연립일차방정식
STEP 1
개념 읽기
번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.
이 개념에서 배울 것
두 일차방정식을 동시에 만족하는 순서쌍 가 연립방정식의 해예요. 가감법이나 대입법으로 미지수 하나를 소거하여 풀고, 소거 결과가 이면 해가 무수히 많고 처럼 거짓이면 해가 없어요.
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어
1미지수가 2개인 일차방정식
정의미지수가 2개인 일차방정식
(단, , , 는 상수, , )
꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 미지수가 개인 일차방정식이라 한다.
이 방정식을 참이 되게 하는 , 의 값을 순서쌍 로 나타내고, 이것을 방정식의 해라 한다.
꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 미지수가 개인 일차방정식이라 한다.
이 방정식을 참이 되게 하는 , 의 값을 순서쌍 로 나타내고, 이것을 방정식의 해라 한다.
공식미지수가 2개인 일차방정식인가?
맞다
꼴
아니다
의 차수가 이다.
아니다
정리하면 으로 미지수가 개이다.
아니다
등호가 없으므로 방정식이 아니다.
자연수인 해
에 을 넣어 를 구해요. 이면 가 자연수가 아니므로, 해는 노란 칸의 이에요.
학생
미지수가 개인 일차방정식은 해가 하나였는데, 왜 해가 여러 개예요?
쌤
의 값을 하나 정할 때마다 의 값이 하나씩 정해지기 때문이에요. 에서 이면 , 이면 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
이 해인 방정식은?
자세히 보기펼치기왜 그런지
한 개에 점짜리 문제 개와 점짜리 문제 개를 맞혀 점을 얻었다면
이 식에는 미지수가 , 두 개 있고, 각 미지수의 차수가 모두 이에요.
2연립방정식과 그 해
정의연립방정식과 그 해
두 일차방정식을 한 쌍으로 묶어 나타낸 것을 연립일차방정식 또는 간단히 연립방정식이라 한다.
연립방정식에서 두 방정식을 동시에 만족하는 , 의 값 또는 그 순서쌍 를 연립방정식의 해라 하고, 해를 구하는 것을 연립방정식을 푼다고 한다.
해를 구한 뒤에는 두 식에 모두 넣어 성립하는지 확인한다. 한 식에만 넣으면 확인이 되지 않는다.
연립방정식에서 두 방정식을 동시에 만족하는 , 의 값 또는 그 순서쌍 를 연립방정식의 해라 하고, 해를 구하는 것을 연립방정식을 푼다고 한다.
해를 구한 뒤에는 두 식에 모두 넣어 성립하는지 확인한다. 한 식에만 넣으면 확인이 되지 않는다.
학생
한 방정식만 만족해도 해예요?
쌤
아니요. 연립방정식의 해는 두 방정식을 동시에 만족해야 해요. 그래서 구한 해는 꼭 두 식 모두에 넣어 확인해요.
예를 들어 다음 연립방정식을 봐요., 가 자연수일 때 각 방정식의 해를 좌표평면에 찍어 봐요.
두 방정식의 자연수인 해
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
연립방정식 , 의 해는?
3가감법
표를 만들어 해를 찾는 방법은 해가 자연수가 아닐 때 쓸 수 없어요. 그래서 미지수 하나를 없애 일차방정식으로 바꾸어 풀어요. 이것을 소거한다고 해요.
정의가감법
연립방정식의 두 식을 변끼리 더하거나 빼서 한 미지수를 소거하여 해를 구하는 방법을 가감법이라 한다.
가감법으로 풀기
↳◀ 의 계수가 같아요
↳◀위 식에서 아래 식을 빼요
↳◀ 를 둘째 식에
학생
언제 더하고 언제 빼요?
쌤
없앨 미지수의 계수가 같으면 빼고, 절댓값은 같은데 부호가 다르면 더해요. 계수가 다르면 양변에 알맞은 수를 곱해 먼저 맞춰요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
, 을 가감법으로 풀면?
두 식을 뺄 때
✗ 틀린 풀이
왜 틀렸나 두 식을 변끼리 뺄 때는 빼는 식의 모든 항의 부호를 바꾸어 더해야 한다. 음수 항도 마찬가지이다.
✓ 바른 풀이
바른 계산은 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
가감법으로 푸는 순서
- 1없앨 미지수를 정하고, 그 계수의 절댓값이 같아지도록 각 식에 적당한 수를 곱해요.양변 모두에 곱해요.
- 2계수의 부호가 같으면 두 식을 빼고, 다르면 두 식을 더해요.
- 3나온 일차방정식을 풀어 한 미지수의 값을 구해요.
- 4그 값을 간단한 식에 대입하여 다른 미지수의 값을 구해요.두 식에 모두 넣어 검산해요.
계수를 맞춘 뒤 더하기
↳◀위에 , 아래에
↳◀부호가 달라 더해요
↳◀ 을 첫째 식에
4대입법
정의대입법
한 방정식을 ( 에 대한 식) 또는 ( 에 대한 식) 꼴로 나타낸 다음, 이것을 다른 방정식에 대입하여 해를 구하는 방법을 대입법이라 한다.
한 식이 ( 에 대한 식) 꼴이면 그 식을 다른 식의 자리에 통째로 넣어 를 없앨 수 있어요.
대입법으로 풀기
↳◀ 자리에 괄호째 넣어요
↳◀첫째 식에 대입
학생
이 문제를 가감법으로 풀어도 돼요?
쌤
돼요. 어느 방법으로 풀어도 해는 같아요. 한 식이 꼴로 이미 정리되어 있으면 대입법이 더 빠를 뿐이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
, 에서 의 값은?
식을 통째로 대입할 때
✗ 틀린 풀이
왜 틀렸나 자리에 식을 대입할 때는 그 식 전체를 괄호로 묶어 넣어야 한다.
✓ 바른 풀이
확인 방법: 괄호를 풀어 처럼 괄호 안 모든 항에 가 곱해졌는지 본다.
공식가감법과 대입법 비교
가감법
계수의 절댓값이 같거나 쉽게 맞출 수 있을 때 편하다.
대입법
또는 꼴의 식이 있을 때 편하다.
공통
어느 방법으로 풀어도 해는 같다.
5여러 가지 연립방정식
괄호가 있으면 먼저 괄호를 풀고, 소수·분수 계수는 양변에 알맞은 수를 곱해 꼴로 정리해요. 그다음은 가감법이나 대입법으로 똑같이 풀어요.
괄호가 있는 연립방정식
↳◀괄호를 풀어 정리
↳◀둘째 식에서 로 고쳐 첫째 식에 대입
성질 꼴의 방정식
는 다음 세 연립방정식 중 하나로 바꾸어 푼다. 가 상수일 때는 마지막 꼴이 가장 간단하다.
학생
는 세 연립방정식 중 아무거나 써도 돼요?
쌤
네. 세 가지 중 어느 것을 풀어도 해는 같아요. 계산이 쉬워 보이는 쪽을 쓰면 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
을 풀 때 세울 연립방정식은?
를 나눌 때
✗ 틀린 풀이
에서
하나만 풀었다
하나만 풀었다
왜 틀렸나 꼴은 , , 중 두 식을 골라 연립방정식으로 풀어야 한다.
✓ 바른 풀이
에서
두 식을 골라 연립한다
두 식을 골라 연립한다
미지수가 개이므로 식도 개가 있어야 해가 하나로 정해져요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
복잡한 연립방정식 정리하기
- 1괄호가 있으면 분배법칙으로 괄호를 풀고 꼴로 정리해요.
- 2계수가 소수이면 양변에 을 곱해요.모든 항에 곱해요.
- 3계수가 분수이면 양변에 분모의 최소공배수를 곱해요.상수항에도 곱해요.
- 4정리한 두 식을 가감법이나 대입법으로 풀어요.
꼴
↳◀두 식으로 나눠요
↳◀두 식을 더해요
↳◀첫째 식에 대입
6해가 특수한 연립방정식
공식해의 개수 판별 (두 식 , )
, 계수의 비가 다르다.
한 식에 어떤 수를 곱하면 다른 식과 같아진다.
좌변은 같아지는데 우변이 다르다.
학생
풀다가 이나 이 나오면 틀린 거예요?
쌤
아니에요. 처럼 항상 참이면 해가 무수히 많고, 처럼 항상 거짓이면 해가 없어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
연립방정식 , 의 해는?
자세히 보기펼치기왜 그런지
두 식을 연립하면첫째 식의 양변에 를 곱하면 둘째 식과 똑같아져요. 두 식을 빼면 이 되어 , 에 무엇을 넣어도 참이에요.
따라서 첫째 식의 해가 모두 연립방정식의 해이므로 해가 무수히 많아요.
두 식을 연립하면첫째 식에 를 곱하면 이에요. 둘째 식을 빼면 이 되어 항상 거짓이에요.
같은 가 이면서 동시에 일 수 없으므로 해가 없어요.
그래프로 보면 두 직선이 일치하거나 평행한 경우예요.
7연립방정식의 활용
활용 문제에서는 같은 양을 두 가지로 나타낸 관계를 찾아 식 두 개를 세워요. 개수의 합과 금액의 합처럼 「합」이 두 번 나오는 경우가 많아요.
한 개에 원인 사탕과 원인 초콜릿을 합하여 개 사고 원을 냈어요. 사탕을 개, 초콜릿을 개 샀다고 해요.
개수와 금액
↳◀개수의 합, 금액의 합
↳◀둘째 식
↳◀첫째 식 : 을 빼요
↳◀사탕 개, 초콜릿 개
학생
답을 구한 뒤에 또 할 일이 있어요?
쌤
구한 개수가 자연수인지, 문제의 조건에 맞는지 확인해요. 사탕 개, 초콜릿 개면 으로 맞아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원짜리 사탕 개와 원짜리 초콜릿 개를 사고 원을 냈을 때 금액에 대한 식은?
자세히 보기펼치기왜 그런지
활용 문제 풀기
- 1구하려는 두 양을 , 로 놓아요.
- 2문제에서 같은 양을 두 가지로 나타낸 관계 두 개를 찾아 식을 세워요.개수의 합, 금액의 합처럼 「합」이 두 번 나오는 경우가 많아요.
- 3연립방정식을 풀어요.
- 4구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인해요.개수는 자연수여야 해요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
- 1미지수가 개이고 그 차수가 모두 인 방정식 () 을 미지수가 개인 일차방정식이라 하고, 그 해는 순서쌍 로 나타낸다.
- 2두 일차방정식을 한 쌍으로 묶은 것을 연립방정식이라 하고, 두 방정식을 동시에 만족하는 , 의 값(공통인 해)을 연립방정식의 해라 한다.
- 3한 미지수를 없애(소거하여) 푼다. 두 식을 더하거나 빼서 없애면 가감법, 한 식을 다른 식에 대입하여 없애면 대입법이다.
- 4소거했을 때 처럼 항상 참인 식이 나오면 해가 무수히 많고, 처럼 거짓인 식이 나오면 해가 없다.
✗ 자주 하는 실수
- 가감법에서 두 식을 뺄 때 빼는 식의 일부 항만 부호를 바꿔요.
- 대입법에서 식을 대입할 때 괄호를 치지 않아 처럼 계산해요.
- 분수·소수 계수의 식을 정리할 때 상수항이나 일부 항에 곱하지 않아요.
STEP 2
예제로 익히기
풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.
- 예제 1연립방정식 를 푸시오.
- 예제 2연립방정식 을 푸시오.
- 예제 3방정식 를 푸시오.