수학 개념 노트전체 과목

선분의 내분점과 무게중심

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
선분 AB\mathrm{AB} 를 m:nm:n 으로 내분하는 점의 좌표는 (mx2+nx1m+n, my2+ny1m+n)\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right) 이에요. 중점은 m=nm=n 인 경우이고, 삼각형의 무게중심은 세 꼭짓점의 좌표의 평균이며, 평행사변형은 두 대각선의 중점이 일치함을 이용해요. 삼각형의 한 각의 이등분선은 마주 보는 변을 이웃한 두 변의 길이의 비로 내분해요.
  1. 1수직선 위의 선분의 내분점
  2. 2좌표평면 위의 선분의 내분점
  3. 3선분의 중점
  4. 4삼각형의 무게중심
  5. 5평행사변형의 꼭짓점
  6. 6삼각형의 각의 이등분선
  7. 7나란히 비교하기
  8. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1수직선 위의 선분의 내분점

정의내분점
선분 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P} 에 대하여 AP‾:PB‾=m:n(m>0, n>0)\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PB}}=m:n\quad(m>0,\ n>0)일 때, 점 P\mathrm{P} 는 선분 AB\mathrm{AB} 를 m:nm:n 으로 내분 한다고 하고, 점 P\mathrm{P} 를 내분점이라 한다.
비는 A\mathrm{A} 쪽 부분이 먼저, B\mathrm{B} 쪽 부분이 나중이다.
성질수직선 위의 내분점
수직선 위의 두 점 A(x1)\mathrm{A}(x_1), B(x2)\mathrm{B}(x_2) 에 대하여 선분 AB\mathrm{AB} 를 m:nm:n 으로 내분하는 점 P\mathrm{P} 의 좌표는 다음과 같다.x=mx2+nx1m+nx=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}
성질엇갈려 곱한다
m×(B의 좌표)+n×(A의 좌표)m+n\frac{m\times(\mathrm{B}\text{의 좌표})+n\times(\mathrm{A}\text{의 좌표})}{m+n}비의 앞 수 mm 은 먼 끝점 B\mathrm{B} 에, 뒤 수 nn 은 A\mathrm{A} 에 곱한다.
m<nm<n 이면 P\mathrm{P} 는 A\mathrm{A} 에 더 가깝다. 가까운 끝점의 좌표에 더 큰 수가 곱해진다고 기억하면 엇갈림을 확인할 수 있다.
위치벡터로도 같은 꼴을 쓴다.
A(−2)\mathrm{A}(-2), B(8)\mathrm{B}(8) 을 2:32:3 으로 내분
44
66
-3-2-10123456789
A\mathrm{A}
P(2)\mathrm{P}(2)
B\mathrm{B}
  • 계산x=2×8+3×(−2)2+3=105=2x=\dfrac{2\times8+3\times(-2)}{2+3}=\dfrac{10}{5}=2
  • 검산AP‾=4\overline{\mathrm{AP}}=4, PB‾=6\overline{\mathrm{PB}}=6 이고 4:6=2:34:6=2:3 ✓
P\mathrm{P} 는 A\mathrm{A} 쪽에 더 가까워요. 4:6=2:34:6=2:3 이에요.
학생
비를 거꾸로 곱하면 어떻게 돼요?
쌤
n:mn:m 으로 내분하는 점이 나와요. A(−2)\mathrm{A}(-2), B(8)\mathrm{B}(8) 을 2:32:3 으로 내분하면 2×8+3×(−2)5=2\frac{2\times8+3\times(-2)}{5}=2 인데, 거꾸로 곱하면 2×(−2)+3×85=4\frac{2\times(-2)+3\times8}{5}=4 가 나와요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
수직선 위의 두 점 A(0)\mathrm{A}(0), B(10)\mathrm{B}(10) 에 대하여 선분 AB\mathrm{AB} 를 3:23:2 로 내분하는 점의 좌표는?
엇갈리지 않고 곱하면
✗ 틀린 풀이
2×(−2)+3×85=4\dfrac{2\times(-2)+3\times8}{5}=4
왜 틀렸나 m:nm:n 으로 내분할 때는 mm 을 B\mathrm{B} 쪽 좌표에, nn 을 A\mathrm{A} 쪽 좌표에 엇갈려 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
2×8+3×(−2)5=2\dfrac{2\times8+3\times(-2)}{5}=2
검산: 바른 점 22 에서 AP‾=4\overline{\mathrm{AP}}=4, PB‾=6\overline{\mathrm{PB}}=6 이므로 AP‾:PB‾=2:3\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PB}}=2:3 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

이유는 다음과 같아요. 수직선 위의 두 점 A(x1)\mathrm{A}(x_1), B(x2)\mathrm{B}(x_2) (x1<x2)(x_1<x_2) 에 대하여 내분점을 P(x)\mathrm{P}(x) 라 하면
AP‾=x−x1\overline{\mathrm{AP}}=x-x_1
PB‾=x2−x\overline{\mathrm{PB}}=x_2-x
(x−x1):(x2−x)=m:n(x-x_1):(x_2-x)=m:n 이므로

n(x−x1)=m(x2−x)n(x-x_1)=m(x_2-x)
↳내항의 곱 == 외항의 곱
nx−nx1=mx2−mxnx-nx_1=mx_2-mx
↳괄호를 풀어요
(m+n)x=mx2+nx1(m+n)x=mx_2+nx_1
↳xx 를 한쪽으로 모아요
x=mx2+nx1m+nx=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}
↳m+nm+n 으로 나눠요
x1>x2x_1>x_2 일 때도 같은 식이 나와요.

2좌표평면 위의 선분의 내분점

좌표평면 위의 선분의 내분점은 xx 좌표와 yy 좌표를 따로 수직선 위의 내분점처럼 구해요.

A(1, −2)\mathrm{A}(1,\ -2), B(6, 8)\mathrm{B}(6,\ 8) 을 2:32:3 으로 내분하는 점 P(3, 2)\mathrm{P}(3,\ 2)
-11234567-3-2-1123456789xyO23APBA′P′B′
AP:PB=2:3\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:3 이면 xx 축 위의 그림자도 A′P′:P′B′=2:3\mathrm{A}'\mathrm{P}':\mathrm{P}'\mathrm{B}'=2:3 이에요.
학생
왜 xx 좌표와 yy 좌표를 따로 구해도 돼요?
쌤
세 점을 xx 축에 내려도 비 m:nm:n 이 그대로 남기 때문이에요. yy 축에 내려도 마찬가지예요.
공식내분점과 중점
내분점
(mx2+nx1m+n, my2+ny1m+n)\displaystyle \left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)
선분 AB\mathrm{AB} 를 m:nm:n 으로 내분
중점
(x1+x22, y1+y22)\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)
m=nm=n 인 경우
예A(1, −2)\mathrm{A}(1,\ -2), B(6, 8)\mathrm{B}(6,\ 8) 을 2:32:3 으로 내분
x=2×6+3×15=3x=\dfrac{2\times6+3\times1}{5}=3
y=2×8+3×(−2)5=2y=\dfrac{2\times8+3\times(-2)}{5}=2
내분점은 (3, 2)(3,\ 2) 이에요.
검산: A\mathrm{A} 에서 P\mathrm{P} 까지 xx 로 22, yy 로 44 만큼 움직이고, P\mathrm{P} 에서 B\mathrm{B} 까지 xx 로 33, yy 로 66 만큼 움직여요.
2:3=4:6=2:32:3=4:6=2:3 ✓
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A(1, 2)\mathrm{A}(1,\ 2), B(7, 5)\mathrm{B}(7,\ 5) 에 대하여 선분 AB\mathrm{AB} 를 1:21:2 로 내분하는 점은?
선분 AB 와 선분 BA
✗ 틀린 풀이
선분 BA\mathrm{BA} 를 2:32:3 으로 내분하는 점을
선분 AB\mathrm{AB} 를 2:32:3 으로 내분하는 점 (3, 2)(3,\ 2) 로 답한다.
왜 틀렸나 선분 BA\mathrm{BA} 는 B\mathrm{B} 에서 출발하므로 비의 앞 수는 B\mathrm{B} 쪽 부분의 길이를 나타낸다.
✓ 바른 풀이
선분 BA\mathrm{BA} 를 2:32:3 으로 내분하는 점은
선분 AB\mathrm{AB} 를 3:23:2 로 내분하는 점 (4, 4)(4,\ 4) 이다.
A(1, −2)\mathrm{A}(1,\ -2), B(6, 8)\mathrm{B}(6,\ 8) 의 경우이다.
검산: 바른 점 (4, 4)(4,\ 4) 에서 B\mathrm{B} 까지는 252\sqrt5, A\mathrm{A} 까지는 353\sqrt5 이므로 B\mathrm{B} 에 더 가깝다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드예제

두 점 A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1), B(x2, y2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2) 를 잇는 선분 AB\mathrm{AB} 를 m:nm:n 으로 내분하는 점을 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) 라 해요.
세 점 A\mathrm{A}, P\mathrm{P}, B\mathrm{B} 에서 xx 축에 내린 수선의 발을 A′\mathrm{A}', P′\mathrm{P}', B′\mathrm{B}' 이라 하면, 평행선 사이의 선분의 길이의 비에 의하여 A′P′‾:P′B′‾=AP‾:PB‾=m:n\overline{\mathrm{A}'\mathrm{P}'}:\overline{\mathrm{P}'\mathrm{B}'}=\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PB}}=m:n즉 P′(x)\mathrm{P}'(x) 는 수직선(xx 축) 위에서 A′(x1)\mathrm{A}'(x_1), B′(x2)\mathrm{B}'(x_2) 를 m:nm:n 으로 내분하는 점이므로 x=mx2+nx1m+nx=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}yy 축에 수선을 내려도 같은 방법으로 yy 좌표를 얻어요.

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2엇갈려 곱한다
m:n 내분점의 x 좌표=m□+n△m+nm:n\ \text{내분점의}\ x\ \text{좌표}=\frac{m\square+n\triangle}{m+n}
단계 1 / 2
무게중심의 x 좌표=x1+x2+x3□\text{무게중심의}\ x\ \text{좌표}=\frac{x_1+x_2+x_3}{\square}
내분점을 구하는 순서
  1. 1
    선분의 시작점 A\mathrm{A} 와 끝점 B\mathrm{B}, 비 m:nm:n 을 확인해요.
    「선분 BA\mathrm{BA} 를 m:nm:n」 이면 B\mathrm{B} 가 시작점이에요.
  2. 2
    xx 좌표: m×(Bm\times(\mathrm{B} 의 xx 좌표)+n×(A)+n\times(\mathrm{A} 의 xx 좌표)) 를 m+nm+n 으로 나눠요.
  3. 3
    yy 좌표도 같은 방법으로 따로 계산해요.
  4. 4
    검산: A→P\mathrm{A}\to\mathrm{P} 로 움직인 양과 P→B\mathrm{P}\to\mathrm{B} 로 움직인 양의 비가 m:nm:n 인지 봐요.
예음수 좌표, 비 1:21:2
A(−3, 4)\mathrm{A}(-3,\ 4), B(3, −2)\mathrm{B}(3,\ -2)
x=1×3+2×(−3)3=−1x=\dfrac{1\times3+2\times(-3)}{3}=-1
y=1×(−2)+2×43=2y=\dfrac{1\times(-2)+2\times4}{3}=2
내분점은 (−1, 2)(-1,\ 2) 이에요.

3선분의 중점

m=nm=n 이면 내분점은 선분의 중점이에요. 좌표는 (x1+x22, y1+y22)\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

학생
내분점 공식에 m=nm=n 을 넣으면 정말 이렇게 돼요?
쌤
네. mx2+mx1m+m=m(x1+x2)2m=x1+x22\frac{mx_2+mx_1}{m+m}=\frac{m(x_1+x_2)}{2m}=\frac{x_1+x_2}{2} 라서 두 끝점 좌표의 평균이 돼요.
예A(−3, 5)\mathrm{A}(-3,\ 5), B(7, −1)\mathrm{B}(7,\ -1) 의 중점
x=−3+72=2x=\dfrac{-3+7}{2}=2
y=5+(−1)2=2y=\dfrac{5+(-1)}{2}=2
중점은 (2, 2)(2,\ 2) 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A(−4, 1)\mathrm{A}(-4,\ 1), B(2, 7)\mathrm{B}(2,\ 7) 의 중점은?
중점은 합의 절반
✗ 틀린 풀이
(7−(−3)2, −1−52)=(5, −3)\left(\dfrac{7-(-3)}{2},\ \dfrac{-1-5}{2}\right)=(5,\ -3)
왜 틀렸나 중점의 좌표는 두 끝점의 좌표를 더하여 22 로 나눈 값, 즉 두 좌표의 평균이다.
✓ 바른 풀이
(−3+72, 5+(−1)2)=(2, 2)\left(\dfrac{-3+7}{2},\ \dfrac{5+(-1)}{2}\right)=(2,\ 2)
검산: 중점 (2, 2)(2,\ 2) 에서 두 끝점 (−3, 5)(-3,\ 5), (7, −1)(7,\ -1) 까지 움직인 양은 (−5, 3)(-5,\ 3), (5, −3)(5,\ -3) 으로 크기가 같고 방향이 반대이다.
자세히 보기펼치기예제
예거꾸로
중점과 한 끝점으로 다른 끝점 구하기
중점 M(2, 2)\mathrm{M}(2,\ 2), A(−3, 5)\mathrm{A}(-3,\ 5) 일 때 B(a, b)\mathrm{B}(a,\ b) 는
−3+a2=2\dfrac{-3+a}{2}=2 에서 a=7a=7
5+b2=2\dfrac{5+b}{2}=2 에서 b=−1b=-1
즉 B\mathrm{B} 의 좌표는 (2×2−(−3), 2×2−5)=(7, −1)(2\times2-(-3),\ 2\times2-5)=(7,\ -1)

4삼각형의 무게중심

정의무게중심
삼각형의 꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 이은 선분을 중선이라 한다. 세 중선은 한 점에서 만나고, 이 점을 삼각형의 무게중심이라 한다.
무게중심은 각 중선을 꼭짓점으로부터 2:12:1 로 내분한다.
공식삼각형의 무게중심
무게중심
(x1+x2+x33, y1+y2+y33)\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)
세 꼭짓점의 좌표의 평균
예A(1, 4)\mathrm{A}(1,\ 4), B(−2, −1)\mathrm{B}(-2,\ -1), C(4, 0)\mathrm{C}(4,\ 0)
x=1+(−2)+43=1x=\dfrac{1+(-2)+4}{3}=1
y=4+(−1)+03=1y=\dfrac{4+(-1)+0}{3}=1
무게중심은 G(1, 1)\mathrm{G}(1,\ 1) 이에요.
무게중심 G(1, 1)\mathrm{G}(1,\ 1)
-3-2-112345-2-112345xyO21ABCMG
M\mathrm{M} 은 변 BC\mathrm{BC} 의 중점이고, G\mathrm{G} 는 중선 AM\mathrm{AM} 을 꼭짓점 쪽부터 2:12:1 로 나눠요.
학생
중선을 2:12:1 로 내분한다는 성질은 어디에 써요?
쌤
꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 알면 그 선분을 2:12:1 로 내분해서 무게중심을 구할 수 있어요. 좌표의 평균으로 구한 것과 같은 점이 나와요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
세 점 (0, 0)(0,\ 0), (6, 0)(6,\ 0), (3, 9)(3,\ 9) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심은?
중선을 내분하는 방향
✗ 틀린 풀이
M(1, −12)\mathrm{M}\left(1,\ -\frac{1}{2}\right) 에 대하여 AM\mathrm{AM} 을 1:21:2 로 내분
(1, 52)\left(1,\ \frac{5}{2}\right)
왜 틀렸나 무게중심은 꼭짓점에서 변의 중점으로 가는 중선을 꼭짓점 쪽에서부터 2:12:1 로 내분하는 점이다.
✓ 바른 풀이
AM\mathrm{AM} 을 2:12:1 로 내분
(1, 1)(1,\ 1)
무게중심은 꼭짓점에서 멀고 변의 중점에 가깝다고 기억한다.
검산: 세 좌표의 평균 (1−2+43, 4−1+03)=(1, 1)\left(\frac{1-2+4}{3},\ \frac{4-1+0}{3}\right)=(1,\ 1) 과 일치해야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

이유는 다음과 같아요. 세 꼭짓점 A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1), B(x2, y2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2), C(x3, y3)\mathrm{C}(x_3,\ y_3) 에 대하여 변 BC\mathrm{BC} 의 중점은 M(x2+x32, y2+y32)\mathrm{M}\left(\frac{x_2+x_3}{2},\ \frac{y_2+y_3}{2}\right)무게중심 G\mathrm{G} 는 선분 AM\mathrm{AM} 을 2:12:1 로 내분하므로 xx 좌표는
2×x2+x32+1×x12+1=x1+x2+x33\dfrac{2\times\frac{x_2+x_3}{2}+1\times x_1}{2+1}=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}
yy 좌표도 같은 방법으로 구해요.

예거꾸로
무게중심과 두 꼭짓점으로 나머지 꼭짓점 구하기
G(1, 1)\mathrm{G}(1,\ 1), A(1, 4)\mathrm{A}(1,\ 4), B(−2, −1)\mathrm{B}(-2,\ -1) 일 때 C(a, b)\mathrm{C}(a,\ b) 는
1+(−2)+a3=1\dfrac{1+(-2)+a}{3}=1 에서 a=4a=4
4+(−1)+b3=1\dfrac{4+(-1)+b}{3}=1 에서 b=0b=0

5평행사변형의 꼭짓점

성질평행사변형과 중점
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분 한다.
따라서 평행사변형 ABCD\mathrm{ABCD} 에서 대각선 AC\mathrm{AC} 의 중점과 대각선 BD\mathrm{BD} 의 중점이 일치한다.
x1+x3=x2+x4x_1+x_3=x_2+x_4
y1+y3=y2+y4y_1+y_3=y_2+y_4
예A(1, 1)\mathrm{A}(1,\ 1), B(5, 2)\mathrm{B}(5,\ 2), C(6, 5)\mathrm{C}(6,\ 5) 인 평행사변형 ABCD\mathrm{ABCD} 의 꼭짓점 D(a, b)\mathrm{D}(a,\ b)
AC\mathrm{AC} 의 중점은 (72, 3)\left(\frac{7}{2},\ 3\right)
BD\mathrm{BD} 의 중점은 (5+a2, 2+b2)\left(\frac{5+a}{2},\ \frac{2+b}{2}\right)
두 중점이 일치하므로
5+a=75+a=7
2+b=62+b=6
따라서 a=2a=2, b=4b=4 이고 D(2, 4)\mathrm{D}(2,\ 4)
평행사변형 ABCD\mathrm{ABCD}
1234567123456xyOABCDM
두 대각선 AC\mathrm{AC}, BD\mathrm{BD} 가 한 점 M(72, 3)\mathrm{M}\left(\frac{7}{2},\ 3\right) 에서 서로를 이등분해요.
학생
꼭짓점 이름의 순서가 중요해요?
쌤
네. 평행사변형 ABCD\mathrm{ABCD} 는 A\mathrm{A} 와 C\mathrm{C}, B\mathrm{B} 와 D\mathrm{D} 가 마주 봐요. 순서가 바뀌면 마주 보는 짝이 달라져 다른 점이 나오니 이름의 순서를 꼭 확인해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
평행사변형 ABCD\mathrm{ABCD} 에서 A(0, 0)\mathrm{A}(0,\ 0), B(4, 0)\mathrm{B}(4,\ 0), C(5, 3)\mathrm{C}(5,\ 3) 일 때 꼭짓점 D\mathrm{D} 는?
대각선 짝짓기
✗ 틀린 풀이
AB\mathrm{AB} 와 CD\mathrm{CD} 의 중점이 같다고 놓아
D(0, −2)\mathrm{D}(0,\ -2)
왜 틀렸나 평행사변형에서 중점이 같은 것은 마주 보는 꼭짓점을 이은 두 대각선이다.
✓ 바른 풀이
대각선 AC\mathrm{AC} 와 BD\mathrm{BD} 의 중점이 같다고 놓아
D(2, 4)\mathrm{D}(2,\ 4)
꼭짓점은 A→B→C→D\mathrm{A}\to\mathrm{B}\to\mathrm{C}\to\mathrm{D} 순서로 돌아가므로 마주 보는 꼭짓점은 A\mathrm{A} 와 C\mathrm{C}, B\mathrm{B} 와 D\mathrm{D} 이에요.

6삼각형의 각의 이등분선

성질각의 이등분선의 성질
삼각형 ABC\mathrm{ABC} 에서 ∠A\angle\mathrm{A} 의 이등분선이 변 BC\mathrm{BC} 와 만나는 점을 D\mathrm{D} 라 하면 AB‾:AC‾=BD‾:DC‾\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}}즉 점 D\mathrm{D} 는 선분 BC\mathrm{BC} 를 AB‾:AC‾\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}} 로 내분한다.
각의 이등분선과 선분의 길이의 비에서 배운 성질을 좌표에 쓰는 것이다.

좌표평면에서는 두 변의 길이를 두 점 사이의 거리로 구하고, 그 비로 내분점을 구해요.

예A(1, 2)\mathrm{A}(1,\ 2), B(4, 6)\mathrm{B}(4,\ 6), C(7, −6)\mathrm{C}(7,\ -6)
∠A\angle\mathrm{A} 의 이등분선이 변 BC\mathrm{BC} 와 만나는 점 D\mathrm{D} 를 구해요.
AB‾=32+42=5\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{3^2+4^2}=5
AC‾=62+(−8)2=10\overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10
D\mathrm{D} 는 선분 BC\mathrm{BC} 를 5:10=1:25:10=1:2 로 내분해요.
x=1×7+2×43=5x=\dfrac{1\times7+2\times4}{3}=5
y=1×(−6)+2×63=2y=\dfrac{1\times(-6)+2\times6}{3}=2
따라서 D(5, 2)\mathrm{D}(5,\ 2)
∠A\angle\mathrm{A} 의 이등분선과 변 BC\mathrm{BC} 의 교점 D(5, 2)\mathrm{D}(5,\ 2)
12345678-7-6-5-4-3-2-11234567xyO12ABCD
AB‾:AC‾=5:10\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}}=5:10 이므로 D\mathrm{D} 는 B\mathrm{B} 쪽에 더 가까워요.
학생
왜 마주 보는 변을 이웃한 두 변의 길이의 비로 나눠요?
쌤
각의 이등분선 위의 점 D\mathrm{D} 에서 두 변 AB\mathrm{AB}, AC\mathrm{AC} 까지의 거리가 같아요. 그래서 넓이의 비 △ABD:△ADC\triangle\mathrm{ABD}:\triangle\mathrm{ADC} 는 밑변 AB‾:AC‾\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}} 와 같아요.
쌤
같은 두 삼각형을 밑변 BD\mathrm{BD}, DC\mathrm{DC} 로 보면 꼭짓점 A\mathrm{A} 에서의 높이가 같아서 넓이의 비가 BD‾:DC‾\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}} 이기도 해요. 두 비가 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
삼각형 ABC\mathrm{ABC} 에서 AB‾=6\overline{\mathrm{AB}}=6, AC‾=4\overline{\mathrm{AC}}=4 이고 ∠A\angle\mathrm{A} 의 이등분선이 변 BC\mathrm{BC} 와 만나는 점을 D\mathrm{D} 라 할 때, BD‾:DC‾\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}} 는?
비의 짝 맞추기
✗ 틀린 풀이
BD‾:DC‾=AC‾:AB‾=2:1\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}}=\overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{AB}}=2:1
D(6, −2)\mathrm{D}(6,\ -2)
왜 틀렸나 각의 이등분선은 마주 보는 변을 이웃한 두 변의 길이의 비로 나누며, B\mathrm{B} 쪽 선분 BD‾\overline{\mathrm{BD}} 에는 B\mathrm{B} 를 끝점으로 하는 변 AB‾\overline{\mathrm{AB}} 가 대응한다.
✓ 바른 풀이
BD‾:DC‾=AB‾:AC‾=1:2\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}}=\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}}=1:2
D(5, 2)\mathrm{D}(5,\ 2)
검산: D(5, 2)\mathrm{D}(5,\ 2) 에서 BD‾=17\overline{\mathrm{BD}}=\sqrt{17}, DC‾=217\overline{\mathrm{DC}}=2\sqrt{17} 이므로 BD‾:DC‾=1:2\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}}=1:2 이다.
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예넓이의 비로 쓰기
A(1, 2)\mathrm{A}(1,\ 2), B(4, 6)\mathrm{B}(4,\ 6), C(7, −6)\mathrm{C}(7,\ -6) 인 삼각형에서 △ABD\triangle\mathrm{ABD} 와 △ADC\triangle\mathrm{ADC} 는 꼭짓점 A\mathrm{A} 에서의 높이가 같아요.
따라서 △ABD:△ADC=BD‾:DC‾=1:2\triangle\mathrm{ABD}:\triangle\mathrm{ADC}=\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DC}}=1:2
△ABC=24\triangle\mathrm{ABC}=24 이므로 △ABD=8\triangle\mathrm{ABD}=8, △ADC=16\triangle\mathrm{ADC}=16

7나란히 비교하기

공식내분점 · 중점 · 무게중심 · 평행사변형
내분점
mx2+nx1m+n\displaystyle \frac{mx_2+nx_1}{m+n}
엇갈려 곱하고 m+nm+n 으로 나눈다.
중점
x1+x22\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}
두 점의 평균
무게중심
x1+x2+x33\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3}{3}
세 점의 평균, 중선을 2:12:1 로 내분
평행사변형
x1+x3=x2+x4\displaystyle x_1+x_3=x_2+x_4
두 대각선의 중점이 일치
학생
네 공식이 다 비슷해 보여요.
쌤
맞아요. 모두 좌표의 평균 꼴이에요. 내분점은 비만큼 가중치를 준 평균, 중점은 두 점의 평균, 무게중심은 세 점의 평균이에요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1선분 AB\mathrm{AB} 를 m:nm:n (m>0, n>0)(m>0,\ n>0) 으로 내분하는 점의 좌표는 (mx2+nx1m+n, my2+ny1m+n)\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \dfrac{my_2+ny_1}{m+n}\right) 이다.
  2. 2mm 은 B\mathrm{B} 의 좌표에, nn 은 A\mathrm{A} 의 좌표에 곱한다(엇갈려 곱한다). xx 좌표와 yy 좌표를 따로 계산한다.
  3. 3중점은 (x1+x22, y1+y22)\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right), 삼각형의 무게중심은 (x1+x2+x33, y1+y2+y33)\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) 이다.
  4. 4평행사변형 ABCD\mathrm{ABCD} 에서는 두 대각선 AC\mathrm{AC}, BD\mathrm{BD} 의 중점이 일치한다.
  5. 5삼각형 ABC\mathrm{ABC} 에서 ∠A\angle\mathrm{A} 의 이등분선은 변 BC\mathrm{BC} 를 AB‾:AC‾\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}} 로 내분한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 내분점의 좌표에서 엇갈려 곱하지 않고 mx1+nx2m+n\frac{mx_1+nx_2}{m+n} 으로 계산해요.
  • 무게중심이 중선을 꼭짓점으로부터 1:21:2 로 내분한다고 생각해요.
  • 평행사변형 ABCD\mathrm{ABCD} 에서 대각선이 아닌 변 AB\mathrm{AB}, CD\mathrm{CD} 의 중점을 같게 놓아요.
  • 각의 이등분선이 나누는 비를 AC‾:AB‾\overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{AB}} 로 거꾸로 짝지어요. B\mathrm{B} 쪽 선분에는 변 AB\mathrm{AB} 가 짝이에요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    두 점 A(−2, 3)\mathrm{A}(-2,\ 3), B(8, −2)\mathrm{B}(8,\ -2) 에 대하여 선분 AB\mathrm{AB} 를 3:23:2 로 내분하는 점의 좌표를 구하시오.
  2. 예제 2
    세 점 A(a, 3)\mathrm{A}(a,\ 3), B(−1, b)\mathrm{B}(-1,\ b), C(4, −2)\mathrm{C}(4,\ -2) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC\mathrm{ABC} 의 무게중심이 G(1, 2)\mathrm{G}(1,\ 2) 일 때, aa, bb 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    세 점 A(−1, 2)\mathrm{A}(-1,\ 2), B(3, −1)\mathrm{B}(3,\ -1), C(5, 3)\mathrm{C}(5,\ 3) 에 대하여 사각형 ABCD\mathrm{ABCD} 가 평행사변형이 되도록 하는 점 D\mathrm{D} 의 좌표를 구하시오.

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