수학 개념 노트전체 과목

복소수의 뜻과 서로 같은 복소수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
i2=−1i^2=-1 인 허수단위 ii 로 복소수 a+bia+bi 를 만들어요. 두 복소수는 실수부분끼리, 허수부분끼리 같을 때 서로 같고, a+bia+bi 의 켤레복소수는 a−bia-bi 이에요.
  1. 1허수단위 ii 와 복소수
  2. 2복소수의 분류
  3. 3서로 같은 복소수
  4. 4켤레복소수
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1허수단위 ii 와 복소수

실수는 제곱하면 항상 00 이상이에요. 그래서 방정식 x2=−1x^2=-1 은 실수 범위에서 해가 없어요.
수의 범위를 넓혀, 제곱하여 −1-1 이 되는 새로운 수를 생각해요. 이 수 덕분에 이차방정식은 언제나 해를 가져요.

정의허수단위
제곱하여 −1-1 이 되는 수를 기호 ii 로 나타내고, 이것을 허수단위 라 한다.i2=−1i^2=-1이때 i=−1i=\sqrt{-1} 로 나타내기도 한다.
정의복소수
실수 a,ba, b 에 대하여 a+bia+bi 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 한다.
aa 를 실수부분, bb 를 허수부분이라 한다.
공식실수부분과 허수부분 읽기
3−2i3-2i
실수부분 3,허수부분 −2\displaystyle \text{실수부분 }3,\quad \text{허수부분 }-2
허수부분은 부호까지 포함한 −2-2 이다. −2i-2i 가 아니다.
−i-i
실수부분 0,허수부분 −1\displaystyle \text{실수부분 }0,\quad \text{허수부분 }-1
−i=0+(−1)i-i=0+(-1)i 로 본다.
55
실수부분 5,허수부분 0\displaystyle \text{실수부분 }5,\quad \text{허수부분 }0
5=5+0i5=5+0i 이므로 실수도 복소수이다.
2i\sqrt{2}i
실수부분 0,허수부분 2\displaystyle \text{실수부분 }0,\quad \text{허수부분 }\sqrt{2}
허수부분이 무리수인 경우.
i+4i+4
실수부분 4,허수부분 1\displaystyle \text{실수부분 }4,\quad \text{허수부분 }1
순서가 바뀐 꼴은 4+i4+i 로 고쳐 읽는다.
3−i2\frac{3-i}{2}
실수부분 32,허수부분 −12\displaystyle \text{실수부분 }\frac{3}{2},\quad \text{허수부분 }-\frac{1}{2}
32−12i\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i 로 나누어 쓴 뒤 읽는다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−4+3i-4+\sqrt3 i 의 허수부분은?
허수부분
✗ 틀린 풀이
3−2i3-2i 의 허수부분은 −2i-2i
왜 틀렸나 허수부분은 ii 의 계수인 실수이므로 ii 를 떼고 −2-2 만 쓴다.
✓ 바른 풀이
3−2i3-2i 의 허수부분은 −2-2
a+bia+bi (a, ba,\ b 는 실수)에서 실수부분은 aa, 허수부분은 bb 로 둘 다 실수이다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질틀로 읽기
□+△i□+△i
복소수는 항상 □+△i□+△i 꼴로 정리한 뒤 읽는다.
□□ 자리(실수)가 실수부분, ii 앞에 붙은 △△ 가 허수부분이다.
△△ 에는 음수, 11, 무리수, 분수도 들어간다.
ii 만 있으면 △=1△=1, −i-i 이면 △=−1△=-1 이다.

2복소수의 분류

정의실수, 허수, 순허수
복소수 a+bia+bi (a,ba, b 는 실수)에서 허수부분 bb 가 00 이면 실수, 00 이 아니면 허수라 한다.
허수 가운데 실수부분이 00 인 것을 순허수 라 한다.
a+bia+bi 의 분류
복소수 a+bia+bi
실수
b=0b=0 · 예) 5, 0, 1−2, i25,\ 0,\ 1-\sqrt{2},\ i^2
허수
b≠0b\ne 0 · 예) 2+i, 12−3i2+i,\ \frac12-\sqrt3 i
순허수
a=0, b≠0a=0,\ b\ne0 · 예) −3i, 2i-3i,\ \sqrt2 i
순허수는 허수 가운데 실수부분이 00 인 것이에요.
학생
1−21-\sqrt2 처럼 근호가 있으면 허수예요?
쌤
아니에요. 허수인지는 ii 가 남는지로 판단해요.
1−21-\sqrt2 는 허수부분이 00 이라서 실수예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 순허수인 것은?
 \sqrt{\ } 가 있으면 허수?
✗ 틀린 풀이
1−21-\sqrt{2} 는 허수이다.
왜 틀렸나 2\sqrt{2} 는 실수이므로 1−2=(1−2)+0i1-\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})+0i 는 허수부분이 00 인 실수이다.
✓ 바른 풀이
1−21-\sqrt{2} 는 실수이다.
허수인지는 근호가 아니라 ii 가 남는지로 판단한다. a+bia+bi 에서 b≠0b\ne0 일 때만 허수이다.
⚠ 주의순허수 조건의 두 부분
순허수 조건은 「실수부분 =0=0」과 「허수부분 ≠0\ne0」 두 가지예요.
뒤의 조건을 빠뜨리면 복소수가 00 이 되는 값까지 답에 섞여요(예제 3).
자세히 보기펼치기성질 더 보기예제
성질포함 관계
복소수 ⊃\supset 실수, 복소수 ⊃\supset 허수 ⊃\supset 순허수
실수와 허수는 겹치지 않는다. 모든 복소수는 둘 중 하나이다.
0=0+0i0=0+0i 은 b=0b=0 이므로 실수이다. 순허수가 아니다.
허수는 크기를 비교하지 않는다. 2i>i2i>i 같은 대소 관계는 생각하지 않는다.
조건으로 분류하기
(x−2)+(x+3)i(x-2)+(x+3)i (xx 는 실수)
x+3=0 ⇒ x=−3x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3
↳실수: 허수부분 =0=0
x−2=0 ⇒ x=2x-2=0\ \Rightarrow\ x=2
↳순허수: 실수부분 =0=0
x+3=5≠0x+3=5\neq0
↳허수부분 ≠0\neq0 확인 ✓
x=−3x=-3 이면 −5-5 로 실수, x=2x=2 이면 5i5i 로 순허수예요.

3서로 같은 복소수

정의복소수가 서로 같을 조건
a,b,c,da, b, c, d 가 실수일 때a+bi=c+di  ⟺  a=c, b=da+bi=c+di \iff a=c,\ b=d즉 두 복소수는 실수부분끼리, 허수부분 끼리 각각 같을 때 서로 같다.
특히 a+bi=0  ⟺  a=0, b=0a+bi=0 \iff a=0,\ b=0
⚠ 주의「실수」라는 조건이 꼭 필요하다
x+yi=3+2ix+yi=3+2i 에서 x=3, y=2x=3,\ y=2 라고 할 수 있는 것은 x,yx, y 가 실수일 때뿐이에요.
x,yx, y 가 실수라는 조건이 없으면 x=3+2i, y=0x=3+2i,\ y=0 도 등식을 만족시켜요.
그래서 문제에 「실수 x,yx, y」가 적혀 있는지 먼저 봐요.
학생
등식은 하나인데 미지수 두 개를 어떻게 구해요?
쌤
복소수의 등식 하나는 실수부분끼리, 허수부분끼리의 등식 두 개가 돼요.
그래서 미지수 두 개를 구할 수 있어요.
미정계수 구하기
실수 x,yx, y 에 대하여 (x+y)+(x−y)i=3+i(x+y)+(x-y)i=3+i
x+y=3,x−y=1x+y=3,\quad x-y=1
↳실수부분끼리, 허수부분끼리
2x=42x=4
↳두 식을 더해요
x=2,y=1x=2,\quad y=1
(2+1)+(2−1)i=3+i(2+1)+(2-1)i=3+i
↳검산 ✓
먼저 양변을 □+△i□+△i 꼴로 정리해야 비교할 수 있어요(예제 2). 오른쪽 ii 의 계수는 11 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
실수 x, yx,\ y 에 대하여 x+(y−1)i=4+3ix+(y-1)i=4+3i 일 때 x+yx+y 의 값은?
허수부분끼리 같다고 놓을 때
✗ 틀린 풀이
(2x−1)+(y+3)i=5−i(2x-1)+(y+3)i=5-i 에서
y+3=−iy+3=-i
왜 틀렸나 복소수가 서로 같을 때는 ii 를 뗀 허수부분끼리 같다고 놓으므로 y+3=−1y+3=-1 이다.
✓ 바른 풀이
(2x−1)+(y+3)i=5−i(2x-1)+(y+3)i=5-i 에서
y+3=−1y+3=-1
확인: 실수부분끼리 2x−1=52x-1=5, 허수부분끼리 y+3=−1y+3=-1 로 두 식 모두 실수의 등식이어야 한다.
자세히 보기펼치기예제 2
왜 그런가
a+bi=c+di ⇒ (b−d)i=c−aa+bi=c+di\ \Rightarrow\ (b-d)i=c-a
↳이항해요
b≠d 이면 i=c−ab−db\neq d\ \text{이면}\ i=\frac{c-a}{b-d}
↳ii 가 실수가 돼요 ✗
b=d,a=cb=d,\quad a=c
↳따라서
실수는 제곱하여 −1-1 이 될 수 없으므로 ii 는 실수가 아니에요. 그래서 b≠db\neq d 는 모순이에요.
00 과 같을 조건
실수 xx 에 대하여 (x2−1)+(x+1)i=0(x^2-1)+(x+1)i=0
x2−1=0 ⇒ x=±1x^2-1=0\ \Rightarrow\ x=\pm1
↳실수부분 =0=0
x+1=0 ⇒ x=−1x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1
↳허수부분 =0=0
x=−1x=-1
↳두 조건을 모두 만족
실수부분과 허수부분이 모두 00 이어야 해요.

4켤레복소수

정의켤레복소수
복소수 a+bia+bi (a,ba, b 는 실수)에 대하여 허수부분의 부호만 바꾼 a−bia-bi 를 a+bia+bi 의 켤레복소수 라 하고, 기호로 a+bi‾\overline{a+bi} 와 같이 나타낸다.a+bi‾=a−bi\overline{a+bi}=a-bi
공식켤레복소수 만들기
2+3i2+3i
2+3i‾=2−3i\displaystyle \overline{2+3i}=2-3i
−1−i-1-i
−1−i‾=−1+i\displaystyle \overline{-1-i}=-1+i
실수부분 −1-1 의 부호는 그대로 둔다.
4i4i
4i‾=−4i\displaystyle \overline{4i}=-4i
순허수의 켤레복소수는 부호만 바뀐다.
55
5‾=5\displaystyle \overline{5}=5
실수의 켤레복소수는 자기 자신이다.
학생
켤레복소수는 어디에 써요?
쌤
켤레끼리 더하거나 곱하면 ii 가 사라져 실수가 돼요.
그래서 분모에 ii 가 있는 나눗셈을 정리할 때 써요.
부호를 바꾸는 곳
✗ 틀린 풀이
−3+2i‾=3−2i\overline{-3+2i}=3-2i
왜 틀렸나 켤레복소수는 허수부분의 부호만 바꾸고 실수부분 −3-3 은 그대로 둔다.
✓ 바른 풀이
−3+2i‾=−3−2i\overline{-3+2i}=-3-2i
확인: 켤레끼리 더하면 (−3+2i)+(−3−2i)=−6(-3+2i)+(-3-2i)=-6 처럼 실수부분의 22 배가 된다.
성질zz 와 z‾\overline{z} 의 합과 곱은 실수
z=a+biz=a+bi 이면 z‾=a−bi\overline{z}=a-bi 이므로z+z‾=(a+bi)+(a−bi)=2az+\overline{z}=(a+bi)+(a-bi)=2azz‾=(a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2곱은 다항식처럼 전개한 뒤 i2=−1i^2=-1 을 넣은 것이다.
두 값 모두 ii 가 없어지므로 실수이다. 반면 z−z‾=2biz-\overline{z}=2bi 는 b≠0b\ne0 이면 순허수이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
z=2−5iz=2-5i 일 때 zz‾z\overline{z} 의 값은?
자세히 보기펼치기예제공식 더 보기외우기 카드
예z=3−2iz=3-2i
z‾=3+2i\overline{z}=3+2i
z+z‾=6z+\overline{z}=6
zz‾=32+(−2)2=13z\overline{z}=3^2+(-2)^2=13
외우기: 「켤레끼리 더하면 실수부분의 22 배, 곱하면 (실수부분)2+^2+(허수부분)2^2」
이 성질로 복소수의 나눗셈에서 분모를 실수로 만들어요.
공식켤레복소수의 성질
두 번 켤레
z‾‾=z\displaystyle \overline{\overline{z}}=z
부호를 두 번 바꾸면 처음으로 돌아온다.
실수일 조건
z=z‾  ⟺  z 는 실수\displaystyle z=\overline{z}\iff z\text{ 는 실수}
a+bi=a−bia+bi=a-bi 이면 2bi=02bi=0 이므로 b=0b=0
순허수 또는 00
z=−z‾  ⟺  z 는 순허수 또는 0\displaystyle z=-\overline{z}\iff z\text{ 는 순허수 또는 }0
a+bi=−a+bia+bi=-a+bi 이면 a=0a=0
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 1
i2=□i^2=\square
단계 1 / 2a,b,c,da, b, c, d 는 실수
a+bi=c+di=a=□, b=□a+bi=c+di=a=\square,\ b=\square
단계 1 / 2
a+bi‾=a □ bi\overline{a+bi}=a\ \square\ bi
단계 1 / 2
zz‾ (z=a+bi)=a2 □ b2z\overline{z}\ (z=a+bi)=a^2\ \square\ b^2
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1제곱하여 −1-1 이 되는 수를 ii 로 나타내고 허수단위라 한다. 곧 i2=−1i^2=-1 이다.
  2. 2실수 a,ba, b 에 대하여 a+bia+bi 꼴의 수를 복소수라 한다. aa 는 실수부분, bb 는 허수부분이다(bibi 가 아니라 bb).
  3. 3a+bi=c+dia+bi=c+di 이면 실수부분끼리, 허수부분끼리 같다(a=ca=c, b=db=d). 미지수가 있으면 이 두 등식을 연립한다.
  4. 4a+bia+bi 의 켤레복소수는 a−bia-bi 이고, z+z‾z+\overline{z} 와 zz‾z\overline{z} 는 항상 실수이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 허수부분을 ii 까지 붙여 3−2i3-2i 의 허수부분을 −2i-2i 라고 써요.
  • 순허수가 될 조건에서 「허수부분 ≠0\ne0」을 확인하지 않아 복소수가 00 이 되는 값까지 답에 넣어요.
  • x,yx, y 가 실수라는 조건을 확인하지 않거나, 양변을 a+bia+bi 꼴로 정리하지 않은 채 실수부분·허수부분을 비교해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    실수 x,yx, y 에 대하여 (2x−1)+(y+3)i=5−i(2x-1)+(y+3)i=5-i 일 때, x,yx, y 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    실수 x,yx, y 에 대하여 x(1+i)+y(2−i)=5+2ix(1+i)+y(2-i)=5+2i 일 때, x,yx, y 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    복소수 (x2−3x+2)+(x2−1)i(x^2-3x+2)+(x^2-1)i 가 순허수가 되도록 하는 실수 xx 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 복소수의 사칙연산 →
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