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삼각함수의 뜻과 관계

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
원점을 중심으로 하는 반지름의 길이가 rr 인 원 위의 점 P(x, y)P(x,\ y) 에 대하여 동경 OPOP 가 나타내는 각을 θ\theta 라 할 때, sin⁡θ=yr\sin\theta=\dfrac{y}{r}, cos⁡θ=xr\cos\theta=\dfrac{x}{r}, tan⁡θ=yx\tan\theta=\dfrac{y}{x} 이에요. 삼각함수 사이에는 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 이 성립해요.
  1. 1삼각함수의 정의
  2. 2삼각함수의 값의 부호
  3. 3특수각의 삼각함수의 값
  4. 4특수각이 아닌 각의 삼각비
  5. 5삼각함수 사이의 관계
  6. 6sin⁡θ±cos⁡θ\sin\theta\pm\cos\theta 와 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1삼각함수의 정의

좌표평면에서 원점 OO 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 rr 인 원 위의 한 점을 P(x, y)P(x,\ y) 라 해요.
xx 축의 양의 부분을 시초선으로 할 때, 동경 OPOP 가 나타내는 각의 크기를 θ\theta 라 해요.

원 위의 점 P(x, y)P(x,\ y) 와 각 θ\theta
xyryxθOP
xx 축의 양의 부분에서 동경 OPOP 까지 돈 각이 θ\theta 예요. 제22사분면이면 x<0x<0 이므로 cos⁡θ=xr<0\cos\theta=\dfrac{x}{r}<0 이에요.
정의삼각함수
sin⁡θ=yr,cos⁡θ=xr,tan⁡θ=yx (x≠0)\sin\theta=\frac{y}{r},\quad\cos\theta=\frac{x}{r},\quad\tan\theta=\frac{y}{x}\ (x\ne0)이와 같이 정의된 함수를 각각 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라 하고, 이들을 통틀어 θ\theta 에 대한 삼각함수 라 한다.
학생
예각일 때의 삼각비와 뭐가 달라요?
쌤
예각이면 같은 값이에요. 다른 점은 xx, yy 좌표가 음수일 수 있어서 삼각함수의 값도 음수가 될 수 있다는 거예요. 그래서 120∘120^\circ 같은 각도 구할 수 있어요.
공식읽는 법
sin⁡θ\sin\theta
yr=y좌표반지름\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{y\text{좌표}}{\text{반지름}}
cos⁡θ\cos\theta
xr=x좌표반지름\displaystyle \frac{x}{r}=\frac{x\text{좌표}}{\text{반지름}}
tan⁡θ\tan\theta
yx=동경 OP 의 기울기\displaystyle \frac{y}{x}=\text{동경 }OP\text{ 의 기울기}
rr 이 필요 없다.
단위원 (r=1r=1)
P(cos⁡θ, sin⁡θ)\displaystyle P(\cos\theta,\ \sin\theta)
반지름이 11 이면 점의 좌표가 곧 cos⁡θ\cos\theta, sin⁡θ\sin\theta 이다.
점의 좌표로 구하기
P(−3, 4):r=(−3)2+42=5P(-3,\ 4):\quad r=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5
sin⁡θ=45,cos⁡θ=−35,tan⁡θ=−43\sin\theta=\dfrac{4}{5},\quad \cos\theta=-\dfrac{3}{5},\quad \tan\theta=-\dfrac{4}{3}
↳부호까지 그대로
P(1, −3):r=12+(−3)2=2P(1,\ -\sqrt{3}):\quad r=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=2
sin⁡θ=−32,cos⁡θ=12,tan⁡θ=−3\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\theta=\dfrac{1}{2},\quad \tan\theta=-\sqrt{3}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 P(4, −3)P(4,\ -3) 을 지나는 동경이 나타내는 각 θ\theta 에 대하여 cos⁡θ\cos\theta 의 값은?
좌표의 부호를 그대로 넣는다
✗ 틀린 풀이
점 P(−3, 4)P(-3,\ 4) 에서
cos⁡θ=35\cos\theta=\dfrac{3}{5}
왜 틀렸나 삼각함수는 동경 위의 점의 좌표로 정의하므로 xx 좌표 −3-3 을 부호째 넣어야 한다.
✓ 바른 풀이
점 P(−3, 4)P(-3,\ 4) 에서
cos⁡θ=−35\cos\theta=-\dfrac{3}{5}
r=(−3)2+42=5r=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5 이므로 cos⁡θ=xr=−35\cos\theta=\dfrac{x}{r}=-\dfrac{3}{5} 이다.
제22사분면의 점이므로 cos⁡θ<0\cos\theta<0 인지 확인한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

같은 동경 위에서 원의 반지름만 바꾸면 점 PP 와 원점, xx 축으로 만든 직각삼각형은 서로 닮음이에요.
그래서 세 비 yr\dfrac{y}{r}, xr\dfrac{x}{r}, yx\dfrac{y}{x} 는 rr 에 관계없이 θ\theta 에 따라 하나씩 정해지고, 이것이 θ\theta 의 함수가 돼요.
θ\theta 가 예각이면 삼각비(빗변 rr, 높이 yy, 밑변 xx)와 같아요. 삼각함수는 삼각비를 모든 각으로 넓힌 거예요.
x=0x=0 이 되는 θ=nπ+π2\theta=n\pi+\dfrac{\pi}{2} (nn 은 정수)에서는 tan⁡θ\tan\theta 가 정의되지 않아요.

점의 좌표로 삼각함수의 값 구하기
  1. 1
    r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2} 을 구해요.
    rr 은 길이이므로 항상 양수예요.
  2. 2
    xx, yy 를 부호까지 그대로 정의에 넣어요.
  3. 3
    값의 부호가 점의 사분면과 맞는지 확인해요.
    검산

2삼각함수의 값의 부호

r>0r>0 이므로 sin⁡θ\sin\theta 의 부호는 yy 의 부호, cos⁡θ\cos\theta 의 부호는 xx 의 부호와 같아요.
tan⁡θ=yx\tan\theta=\dfrac{y}{x} 는 xx, yy 의 부호가 같으면 양수, 다르면 음수예요.

사분면별로 양수인 삼각함수
제11사분면 (+, +)(+,\ +)
모두 ++
제22사분면 (−, +)(-,\ +)
sin⁡\sin 만 ++
제33사분면 (−, −)(-,\ -)
tan⁡\tan 만 ++
제44사분면 (+, −)(+,\ -)
cos⁡\cos 만 ++
괄호 안은 그 사분면에 있는 점 (x, y)(x,\ y) 의 부호예요. sin⁡\sin 은 yy, cos⁡\cos 은 xx 의 부호를 따르고, tan⁡=yx\tan=\dfrac{y}{x} 는 두 부호가 같을 때 양수예요. 적히지 않은 것은 음수예요.
성질외우는 장치
각 사분면에서 「양수인 것」만 기억한다.
제11사분면은 모두(all), 제22사분면은 sin⁡\sin, 제33사분면은 tan, 제44사분면은 cos⁡\cos 만 양수이다.
머리글자를 따서 「얼(all)·싸(sin)·안(tan)·코(cos)」로 외운다.
학생
동경이 좌표축 위에 있으면 부호는 어떻게 돼요?
쌤
그때는 xx 나 yy 가 00 이라서 값이 00 이 되거나, tan⁡\tan 처럼 정의되지 않기도 해요. 예를 들어 θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2} 이면 cos⁡θ=0\cos\theta=0 이고 tan⁡θ\tan\theta 는 정의되지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
θ\theta 가 제33사분면의 각일 때 값이 양수인 것은?
두 조건을 모두 확인한다
✗ 틀린 풀이
sin⁡θ<0\sin\theta<0, tan⁡θ>0\tan\theta>0
sin⁡θ<0\sin\theta<0 이므로 제44사분면
왜 틀렸나 주어진 두 조건을 모두 만족하는 사분면을 찾아야 하므로 각 조건의 사분면의 공통부분을 고른다.
✓ 바른 풀이
sin⁡θ<0\sin\theta<0 인 곳은 제33, 44사분면
tan⁡θ>0\tan\theta>0 인 곳은 제11, 33사분면
따라서 제33사분면
조건 하나만 보면 사분면이 두 개 남아요. 두 조건에 공통인 사분면을 골라요.

3특수각의 삼각함수의 값

π6\dfrac{\pi}{6}, π4\dfrac{\pi}{4}, π3\dfrac{\pi}{3} 같은 특수각의 삼각함수의 값은 표로 정리해 두고 써요.

특수각의 삼각함수의 값
θ\theta00π6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}π2\frac{\pi}{2}
sin⁡θ\sin\theta0012\frac{1}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}11
cos⁡θ\cos\theta1132\frac{\sqrt{3}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}12\frac{1}{2}00
tan⁡θ\tan\theta0033\frac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}없음
θ=π2\theta=\frac{\pi}{2} 이면 점의 xx 좌표가 00 이라서 tan⁡θ\tan\theta 는 정의되지 않아요.
학생
sin⁡π6\sin\dfrac{\pi}{6} 같은 값은 외워야 해요?
쌤
표로 외워 두면 편해요. sin⁡\sin 은 02\dfrac{\sqrt{0}}{2} 부터 42\dfrac{\sqrt{4}}{2} 까지 차례로 커지고, cos⁡\cos 은 그 반대예요. 다른 사분면의 각은 예각의 값에 사분면의 부호만 붙여요.
여러 사분면의 특수각 (반지름 22 인 원 위의 점)
2π3: P(−1, 3)\dfrac{2\pi}{3}:\ P(-1,\ \sqrt{3})
↳xx 축 음의 부분과 π3\frac{\pi}{3}
sin⁡2π3=32,cos⁡2π3=−12,tan⁡2π3=−3\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2},\quad \tan\dfrac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}
7π6: P(−3, −1)\dfrac{7\pi}{6}:\ P(-\sqrt{3},\ -1)
↳제33사분면
sin⁡7π6=−12,cos⁡7π6=−32,tan⁡7π6=33\sin\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{1}{2},\quad \cos\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \tan\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}
3π2: P(0, −1)\dfrac{3\pi}{2}:\ P(0,\ -1)
↳반지름 11 인 원 위의 점
sin⁡3π2=−1,cos⁡3π2=0\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1,\quad \cos\dfrac{3\pi}{2}=0
↳tan⁡3π2\tan\dfrac{3\pi}{2} 는 정의되지 않아요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
cos⁡5π6\cos\dfrac{5\pi}{6} 의 값은?
예각의 값을 그대로 쓰지 않는다
✗ 틀린 풀이
cos⁡2π3=12\cos\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{1}{2}
왜 틀렸나 2π3\dfrac{2\pi}{3} 는 제22사분면의 각이므로 cos⁡\cos 의 값은 음수가 되어야 한다.
✓ 바른 풀이
cos⁡2π3=−12\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}
2π3\dfrac{2\pi}{3} 는 제22사분면의 각이므로 xx 좌표가 음수예요.
2nπ+θ2n\pi+\theta, π±θ\pi\pm\theta 꼴의 각도 동경이 있는 사분면을 보고 부호를 정해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

π6\dfrac{\pi}{6}, π4\dfrac{\pi}{4}, π3\dfrac{\pi}{3} 의 값은 세 변의 길이의 비가 1:3:21:\sqrt{3}:2, 1:1:21:1:\sqrt{2} 인 직각삼각형으로 구해요.

θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6} 일 때
21
3\sqrt{3}
30∘30^\circ
OP
반지름의 길이가 22 인 원 위의 점은 P(3, 1)P(\sqrt{3},\ 1) 이에요.
sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}
↳yr\dfrac{y}{r}
cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
↳xr\dfrac{x}{r}
tan⁡π6=13=33\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}
↳yx\dfrac{y}{x}
성질외우는 장치
sin⁡θ\sin\theta 의 값은 차례로 02, 12, 22, 32, 42\dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2} 이다.
cos⁡θ\cos\theta 의 값은 이것을 거꾸로 읽은 것이다.
tan⁡θ\tan\theta 는 sin⁡θcos⁡θ\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 로 나누어 구한다.
특수각의 값 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
sin⁡π3=□2\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{\square}}{2}
단계 1 / 2
cos⁡π4=□2\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{\square}}{2}
단계 1 / 213\dfrac{1}{\sqrt{3}} 의 분모를 유리화
tan⁡π6=3□\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{\square}
예각이 아닌 각의 값 구하기
  1. 1
    동경을 그리고, 동경과 xx 축이 이루는 예각을 찾아요.
  2. 2
    그 예각으로 직각삼각형을 그려 동경 위의 점의 좌표를 부호까지 정해요.
  3. 3
    정의 yr\dfrac{y}{r}, xr\dfrac{x}{r}, yx\dfrac{y}{x} 에 넣어요.
    절댓값은 예각의 값과 같고, 부호는 사분면이 정해요.

이런 계산을 한꺼번에 공식으로 정리한 것이 삼각함수의 성질이에요.

4특수각이 아닌 각의 삼각비

15∘15^\circ, 22.5∘22.5^\circ 처럼 특수각의 절반인 각의 삼각함수의 값은 직각삼각형의 삼각비로 구할 수 있어요.
특수각이 있는 직각삼각형의 한 변을 늘여 이등변삼각형을 붙이면 절반인 각이 생겨요.

성질절반인 각 만들기
직각삼각형 ABCABC 에서 ∠C=90∘\angle C=90^\circ, ∠B=θ\angle B=\theta 일 때
변 CBCB 의 연장선 위에 BD‾=BA‾\overline{BD}=\overline{BA} 인 점 DD 를 잡으면
∠ADC=θ2\angle ADC=\dfrac{\theta}{2} 이다.
θ=30∘\theta=30^\circ 일 때
122
3\sqrt{3}
30∘30^\circ
15∘15^\circ
CBAD
삼각형 ABDABD 는 BA‾=BD‾=2\overline{BA}=\overline{BD}=2 인 이등변삼각형이에요.
tan⁡15∘\tan15^\circ
AC‾=1,BC‾=3,AB‾=2\overline{AC}=1,\quad \overline{BC}=\sqrt{3},\quad \overline{AB}=2
↳30∘30^\circ 인 직각삼각형
CD‾=3+2\overline{CD}=\sqrt{3}+2
↳BD‾=AB‾=2\overline{BD}=\overline{AB}=2
tan⁡15∘=AC‾CD‾=12+3=2−3\tan15^\circ=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CD}}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}
↳분모를 유리화
학생
왜 ∠ADC\angle ADC 가 ∠ABC\angle ABC 의 절반이에요?
쌤
삼각형 ABDABD 는 BA‾=BD‾\overline{BA}=\overline{BD} 인 이등변삼각형이라 ∠BAD=∠BDA\angle BAD=\angle BDA 예요. 삼각형의 외각 ∠ABC\angle ABC 는 이 두 각의 합이므로 한 각은 그 절반이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
tan⁡22.5∘\tan22.5^\circ 의 값은?
자세히 보기펼치기예제왜 그런지
응용
tan⁡75∘\tan75^\circ
∠DAC=90∘−15∘=75∘\angle DAC=90^\circ-15^\circ=75^\circ
↳같은 그림의 다른 예각
tan⁡75∘=CD‾AC‾=2+3\tan75^\circ=\dfrac{\overline{CD}}{\overline{AC}}=2+\sqrt{3}

라디안으로 쓰면 15∘=π1215^\circ=\dfrac{\pi}{12}, 22.5∘=π822.5^\circ=\dfrac{\pi}{8}, 75∘=512π75^\circ=\dfrac{5}{12}\pi 예요.

5삼각함수 사이의 관계

sin⁡2θ\sin^2\theta 는 (sin⁡θ)2(\sin\theta)^2 을 뜻해요.
sin⁡θ2\sin\theta^2 으로 쓰면 sin⁡(θ2)\sin(\theta^2) 이라는 다른 뜻이 되므로 주의해요.

성질삼각함수 사이의 관계
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}이유: sin⁡θcos⁡θ=y/rx/r=yx\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{y/r}{x/r}=\dfrac{y}{x}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1이유: 점 P(x, y)P(x,\ y) 는 원 위에 있으므로 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 이고, 양변을 r2r^2 으로 나누면
(yr)2+(xr)2=1\left(\dfrac{y}{r}\right)^2+\left(\dfrac{x}{r}\right)^2=1
따라서 sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2\theta+\cos^2\theta 의 값은 항상 1이다.
성질sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 에서 나오는 식
양변을 cos⁡2θ\cos^2\theta 로 나누면
sin⁡2θcos⁡2θ+1=1cos⁡2θ\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}
따라서 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}tan⁡θ\tan\theta 의 값만 알 때 cos⁡θ\cos\theta 를 구하는 데 쓴다.
학생
sin⁡θ\sin\theta 만 알면 cos⁡θ\cos\theta 도 구할 수 있어요?
쌤
네. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 로 제곱한 값을 구하고, θ\theta 가 있는 사분면을 보고 부호를 정해요.
sin⁡θ=35\sin\theta=\dfrac{3}{5} 이고 θ\theta 가 제22사분면의 각일 때
cos⁡2θ=1−sin⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}
cos⁡θ=−45\cos\theta=-\dfrac{4}{5}
↳제22사분면: cos⁡θ<0\cos\theta<0
tan⁡θ=35÷(−45)=−34\tan\theta=\dfrac{3}{5}\div\left(-\dfrac{4}{5}\right)=-\dfrac{3}{4}
↳sin⁡θcos⁡θ\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
cos⁡θ=−1213\cos\theta=-\frac{12}{13} 이고 θ\theta 가 제33사분면의 각일 때 sin⁡θ\sin\theta 의 값은?
제곱근의 부호는 사분면으로
✗ 틀린 풀이
sin⁡θ=35\sin\theta=\dfrac{3}{5} (θ\theta 는 제22사분면의 각)
cos⁡θ=1625=45\cos\theta=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}
왜 틀렸나 cos⁡2θ\cos^2\theta 의 값에서 cos⁡θ\cos\theta 를 구할 때는 θ\theta 가 있는 사분면으로 부호를 정해야 한다.
✓ 바른 풀이
cos⁡2θ=1625\cos^2\theta=\dfrac{16}{25} 이고 제22사분면에서 cos⁡θ<0\cos\theta<0 이므로
cos⁡θ=−45\cos\theta=-\dfrac{4}{5}
cos⁡2θ=1625\cos^2\theta=\dfrac{16}{25} 을 만족하는 값은 ±45\pm\dfrac{4}{5} 두 개예요.
검산: tan⁡θ\tan\theta 가 제22사분면의 부호(음수)인지 확인해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
삼각함수 하나의 값으로 나머지 구하기
  1. 1
    sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 (또는 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta})으로 제곱한 값을 구해요.
  2. 2
    θ\theta 가 속한 사분면으로 부호를 정해요.
    제곱근을 구하면 ±\pm 두 값이 나오므로 사분면 조건이 꼭 필요해요.
  3. 3
    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 로 나머지를 구해요.
tan⁡θ=2\tan\theta=2 이고 θ\theta 가 제33사분면의 각일 때
1cos⁡2θ=1+tan⁡2θ=5,cos⁡2θ=15\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta=5,\quad \cos^2\theta=\dfrac{1}{5}
cos⁡θ=−15=−55\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}
↳제33사분면: cos⁡θ<0\cos\theta<0
sin⁡θ=tan⁡θ×cos⁡θ=−255\sin\theta=\tan\theta\times\cos\theta=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}

6sin⁡θ±cos⁡θ\sin\theta\pm\cos\theta 와 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta

sin⁡θ±cos⁡θ\sin\theta\pm\cos\theta 를 제곱하면 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 이 나타나서 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 와 이어져요.

공식곱셈 공식과 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
합의 제곱
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle (\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta
차의 제곱
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2sin⁡θcos⁡θ\displaystyle (\sin\theta-\cos\theta)^2=1-2\sin\theta\cos\theta
세제곱의 합
sin⁡3θ+cos⁡3θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)3−3sin⁡θcos⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ)\displaystyle \sin^3\theta+\cos^3\theta=(\sin\theta+\cos\theta)^3-3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta)
a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
세제곱의 차
sin⁡3θ−cos⁡3θ=(sin⁡θ−cos⁡θ)3+3sin⁡θcos⁡θ(sin⁡θ−cos⁡θ)\displaystyle \sin^3\theta-\cos^3\theta=(\sin\theta-\cos\theta)^3+3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)
a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)
tan⁡\tan 와 역수의 합
tan⁡θ+1tan⁡θ=sin⁡2θ+cos⁡2θsin⁡θcos⁡θ=1sin⁡θcos⁡θ\displaystyle \tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}
학생
거꾸로 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 를 알면 sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta 도 구할 수 있어요?
쌤
네. (sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta 로 제곱한 값을 구한 뒤, θ\theta 가 있는 사분면을 보고 부호를 정해요.
sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2} 일 때
1+2sin⁡θcos⁡θ=14,sin⁡θcos⁡θ=−381+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4},\quad \sin\theta\cos\theta=-\dfrac{3}{8}
↳양변을 제곱
sin⁡3θ+cos⁡3θ=(12)3−3×(−38)×12=1116\sin^3\theta+\cos^3\theta=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3-3\times\left(-\dfrac{3}{8}\right)\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{16}
↳세제곱 공식
tan⁡θ+1tan⁡θ=1sin⁡θcos⁡θ=−83\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}=-\dfrac{8}{3}
↳통분하면 분자가 11
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
sin⁡θ−cos⁡θ=12\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{2} 일 때 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 의 값은?
가운데 항을 빠뜨리지 않는다
✗ 틀린 풀이
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+cos⁡2θ=1(\sin\theta+\cos\theta)^2=\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
왜 틀렸나 (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 이므로 2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta 항을 반드시 함께 써야 한다.
✓ 바른 풀이
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta
가운데 항 2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta 에 구하려는 값이 들어 있다.
검산: θ=π4\theta=\dfrac{\pi}{4} 이면 (2)2=2(\sqrt{2})^2=2 이고 1+2×22×22=21+2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2 이다.
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왜 그런가
sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta 를 제곱하면 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 이 나타나서, sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta 의 값으로 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 의 값을 구할 수 있어요.

(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ(\sin\theta+\cos\theta)^2=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta
↳전개
=1+2sin⁡θcos⁡θ=1+2\sin\theta\cos\theta
↳sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1원 위의 점 P(x, y)P(x,\ y), r=OP‾r=\overline{OP}
    sin⁡θ=yr\sin\theta=\dfrac{y}{r}
    cos⁡θ=xr\cos\theta=\dfrac{x}{r}
    tan⁡θ=yx (x≠0)\tan\theta=\dfrac{y}{x}\ (x\ne0)
  2. 2양수인 삼각함수
    제11사분면은 모두, 제22사분면은 sin⁡\sin, 제33사분면은 tan⁡\tan, 제44사분면은 cos⁡\cos
  3. 3tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
    sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
  4. 4(sin⁡θ±cos⁡θ)2=1±2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta\pm\cos\theta)^2=1\pm2\sin\theta\cos\theta (복부호 동순)
✗ 자주 하는 실수
  • 점 P(−3, 4)P(-3,\ 4) 에서 cos⁡θ=35\cos\theta=\dfrac{3}{5} 처럼 좌표의 부호를 빼고 변의 길이만 써요.
  • sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 로 cos⁡2θ\cos^2\theta 를 구한 뒤, 사분면을 보지 않고 양수만 택해요.
  • (sin⁡θ+cos⁡θ)2(\sin\theta+\cos\theta)^2 을 sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin^2\theta+\cos^2\theta 로 계산하여 가운데 항 2sin⁡θcos⁡θ2\sin\theta\cos\theta 를 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    원점 OO 와 점 P(5, −12)P(5,\ -12) 에 대하여 동경 OPOP 가 나타내는 각의 크기를 θ\theta 라 할 때, sin⁡θ\sin\theta, cos⁡θ\cos\theta, tan⁡θ\tan\theta 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    θ\theta 가 제33사분면의 각이고 cos⁡θ=−513\cos\theta=-\dfrac{5}{13} 일 때, sin⁡θ\sin\theta 와 tan⁡θ\tan\theta 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    sin⁡θ−cos⁡θ=12\sin\theta-\cos\theta=\dfrac{1}{2} 일 때, sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 와 sin⁡3θ−cos⁡3θ\sin^3\theta-\cos^3\theta 의 값을 구하시오.

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