수학 개념 노트전체 과목

사인함수와 코사인함수의 미분

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x, (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x 이에요. 도함수의 정의에 삼각함수의 덧셈정리와 lim⁡h→0sin⁡hh=1\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 을 써서 얻어요.
  1. 1사인함수의 도함수
  2. 2코사인함수의 도함수
  3. 3곱의 미분법과 함께 쓰기
  4. 4미분계수 계산
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1사인함수의 도함수

성질사인함수의 도함수
y=sin⁡xy=\sin x 의 도함수는 cos⁡x\cos x 이다.
학생
왜 sin⁡x\sin x 를 미분하면 cos⁡x\cos x 예요?
쌤
y=sin⁡xy=\sin x 의 그래프에서 각 점의 접선의 기울기를 읽어 보면 cos⁡x\cos x 의 값과 같아요. 예를 들어 x=π2x=\dfrac{\pi}{2} 꼭대기에서 기울기는 0=cos⁡π20=\cos\dfrac{\pi}{2}, x=πx=\pi 에서는 −1=cos⁡π-1=\cos\pi 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=sin⁡xy=\sin x 위의 점 (0, 0)(0,\ 0) 에서의 접선의 기울기는?
자세히 보기펼치기예제왜 그런지
왜 그런가
(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x
sin⁡(x+h)−sin⁡xh\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}
↳도함수의 정의
=sin⁡xcos⁡h+cos⁡xsin⁡h−sin⁡xh=\dfrac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}
↳덧셈정리
=sin⁡x⋅cos⁡h−1h+cos⁡x⋅sin⁡hh=\sin x\cdot\dfrac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\dfrac{\sin h}{h}
↳sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x 끼리 묶기
sin⁡hh→1,cos⁡h−1h→0\dfrac{\sin h}{h}\to1,\quad\dfrac{\cos h-1}{h}\to0
↳h→0h\to0
(sin⁡x)′=sin⁡x×0+cos⁡x×1=cos⁡x(\sin x)'=\sin x\times0+\cos x\times1=\cos x

h→0h\to0 일 때 sin⁡hh→1\dfrac{\sin h}{h}\to1 이에요.
cos⁡h−1h=−1−cos⁡hh2×h→−12×0=0\dfrac{\cos h-1}{h}=-\dfrac{1-\cos h}{h^2}\times h\to-\dfrac{1}{2}\times0=0 이에요.

2코사인함수의 도함수

성질코사인함수의 도함수
y=cos⁡xy=\cos x 의 도함수는 −sin⁡x-\sin x 이다.
코사인의 덧셈정리에서 가운데 부호가 −- 이기 때문에 −- 가 붙는다.
학생
부호가 헷갈려요. 쉽게 기억하는 방법이 있어요?
쌤
미분할 때마다 sin⁡→cos⁡→−sin⁡→−cos⁡\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos 로 돌아요. cos⁡\cos 에서 sin⁡\sin 으로 갈 때 −- 가 붙어요.
공식공식 정리
사인
(sin⁡x)′=cos⁡x\displaystyle (\sin x)'=\cos x
코사인
(cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle (\cos x)'=-\sin x
부호가 바뀐다
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(3cos⁡x)′(3\cos x)' 은?
cos⁡x\cos x 의 미분에는 −- 가 붙는다
✗ 틀린 풀이
(cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)'=\sin x
왜 틀렸나 cos⁡x\cos x 를 미분하면 −sin⁡x-\sin x 이고, 부호 없이 바뀌는 것은 sin⁡x\sin x 를 미분할 때뿐이다.
✓ 바른 풀이
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x
y=cos⁡xy=\cos x 는 0<x<π0<x<\pi 에서 감소하므로 그 구간에서 도함수가 음수여야 해요. −sin⁡x<0-\sin x<0 이에요.
자세히 보기펼치기예제왜 그런지외우기 카드
왜 그런가
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x
cos⁡(x+h)=cos⁡xcos⁡h−sin⁡xsin⁡h\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h
↳덧셈정리
cos⁡(x+h)−cos⁡xh=cos⁡x⋅cos⁡h−1h−sin⁡x⋅sin⁡hh\dfrac{\cos(x+h)-\cos x}{h}=\cos x\cdot\dfrac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\dfrac{\sin h}{h}
→cos⁡x×0−sin⁡x×1=−sin⁡x\to\cos x\times0-\sin x\times1=-\sin x
↳h→0h\to0

외우는 방법: 미분할 때마다 sin⁡→cos⁡→−sin⁡→−cos⁡→sin⁡\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos\to\sin 으로 돌아요.
cos⁡\cos 에서 sin⁡\sin 으로 갈 때만 −- 가 붙는다고 기억해요.
이 공식을 거꾸로 쓰면 삼각함수의 적분이 돼요.

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 1
(sin⁡x)′=□(\sin x)'=\square
단계 1 / 2
(cos⁡x)′=□sin⁡x(\cos x)'=\square\sin x
⚠ 주의검산
sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 의 양변을 미분하면 00 이 되어야 해요.
2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x×(−sin⁡x)=02\sin x\cos x+2\cos x\times(-\sin x)=0
(cos⁡x)′(\cos x)' 의 부호를 빠뜨리면 00 이 되지 않아요.

3곱의 미분법과 함께 쓰기

xsin⁡xx\sin x 처럼 곱으로 된 함수는 곱의 미분법 「앞 미분 × 뒤 + 앞 × 뒤 미분」에 sin⁡\sin, cos⁡\cos 의 도함수를 넣어 미분해요.

y=xsin⁡xy=x\sin x, y=exsin⁡xy=e^x\sin x
(xsin⁡x)′=(x)′sin⁡x+x(sin⁡x)′(x\sin x)'=(x)'\sin x+x(\sin x)'
↳곱의 미분법
=sin⁡x+xcos⁡x=\sin x+x\cos x
(exsin⁡x)′=exsin⁡x+excos⁡x(e^x\sin x)'=e^x\sin x+e^x\cos x
=ex(sin⁡x+cos⁡x)=e^x(\sin x+\cos x)
↳exe^x 로 묶기
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(xcos⁡x)′(x\cos x)' 은?
곱의 미분은 각각 미분해서 곱하는 것이 아니다
✗ 틀린 풀이
(sin⁡xcos⁡x)′=cos⁡x×(−sin⁡x)(\sin x\cos x)'=\cos x\times(-\sin x)
왜 틀렸나 곱의 미분법은 「앞 미분 ×\times 뒤 ++ 앞 ×\times 뒤 미분」이므로 두 항을 더해야 한다.
✓ 바른 풀이
(sin⁡xcos⁡x)′=cos⁡xcos⁡x+sin⁡x(−sin⁡x)=cos⁡2x(\sin x\cos x)'=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos2x
f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x, g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x 로 놓고 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 에 차례로 넣으면 실수가 줄어든다.
자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지
응용
y=sin⁡xcos⁡xy=\sin x\cos x
y′=cos⁡x×cos⁡x+sin⁡x×(−sin⁡x)y'=\cos x\times\cos x+\sin x\times(-\sin x)
↳곱의 미분법
=cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x=\cos^2x-\sin^2x=\cos2x
↳배각 공식
y=sin⁡2xy=\sin2x 를 지금까지의 공식으로
sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x
↳배각 공식
y′=2(cos⁡2x−sin⁡2x)=2cos⁡2xy'=2(\cos^2x-\sin^2x)=2\cos2x
↳위의 결과에 22 배

합성함수의 미분법을 이용하면 이 결과를 바로 얻어요.

4미분계수 계산

f′(a)f'(a) 는 f′(x)f'(x) 를 구한 뒤 x=ax=a 를 넣어요.
자주 쓰는 값: sin⁡0=0\sin0=0, cos⁡0=1\cos0=1, sin⁡π2=1\sin\dfrac{\pi}{2}=1, cos⁡π2=0\cos\dfrac{\pi}{2}=0, sin⁡π=0\sin\pi=0, cos⁡π=−1\cos\pi=-1

f(x)=xcos⁡xf(x)=x\cos x 일 때 f′(π)f'(\pi)
f′(x)=cos⁡x−xsin⁡xf'(x)=\cos x-x\sin x
↳곱의 미분법
f′(π)=cos⁡π−πsin⁡π=−1f'(\pi)=\cos\pi-\pi\sin\pi=-1
↳cos⁡π=−1\cos\pi=-1, sin⁡π=0\sin\pi=0
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x)=\sin x+\cos x 일 때 f′(0)f'(0) 은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

미분계수의 정의로 주어진 극한도 같은 방법으로 구해요.
lim⁡h→0sin⁡(π3+h)−sin⁡π3h\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}+h\right)-\sin\frac{\pi}{3}}{h} 는 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x 의 x=π3x=\dfrac{\pi}{3} 에서의 미분계수이므로 cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} 이에요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x
  2. 2(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x (−- 부호에 주의)
  3. 3증명: 도함수의 정의 + 덧셈정리 + lim⁡h→0sin⁡hh=1\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1, lim⁡h→0cos⁡h−1h=0\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0
  4. 4곱의 미분법 {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 와 함께 쓴다.
✗ 자주 하는 실수
  • (cos⁡x)′(\cos x)' 을 sin⁡x\sin x 로 써요. (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x 이에요.
  • (xsin⁡x)′(x\sin x)' 을 (x)′×(sin⁡x)′=cos⁡x(x)'\times(\sin x)'=\cos x 로 계산해요. 곱의 미분법을 써야 해요.
  • 미분계수를 구할 때 cos⁡π\cos\pi 를 11 로 넣어요. cos⁡π=−1\cos\pi=-1 이에요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)=3sin⁡x−2cos⁡x+x2f(x)=3\sin x-2\cos x+x^2 의 도함수를 구하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)=x2sin⁡xf(x)=x^2\sin x 에 대하여 f′(π)f'(\pi) 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)=excos⁡xf(x)=e^x\cos x 에 대하여 f′(0)f'(0) 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 함수의 몫의 미분 →
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