수학 개념 노트전체 과목

삼각함수의 성질

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
2nπ+θ2n\pi+\theta, −θ-\theta, π±θ\pi\pm\theta, π2±θ\dfrac{\pi}{2}\pm\theta 의 삼각함수는 단위원 위의 점의 대칭 이동으로 얻어요. 각을 n2π±θ\dfrac{n}{2}\pi\pm\theta 꼴로 쓰면 nn 이 홀수일 때 함수 이름이 바뀌고, 부호는 θ\theta 를 예각으로 보았을 때의 사분면에서 원래 함수의 부호를 따라요.
  1. 12nπ+θ2n\pi+\theta 의 삼각함수
  2. 2−θ-\theta 의 삼각함수
  3. 3π±θ\pi\pm\theta 의 삼각함수
  4. 4π2±θ\dfrac{\pi}{2}\pm\theta 의 삼각함수
  5. 5변환 규칙 한꺼번에 쓰기
  6. 6삼각함수의 값 구하기와 식 간단히 하기
  7. 7삼각함수표 읽기
  8. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

12nπ+θ2n\pi+\theta 의 삼각함수

단위원에서 각 θ\theta 를 나타내는 동경 OPOP 위의 점 PP 의 좌표는 (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) 이에요.
각 2nπ+θ2n\pi+\theta (nn 은 정수)는 θ\theta 에서 동경이 nn 바퀴 더 돈 것이므로 동경의 위치가 θ\theta 와 같아요.
따라서 삼각함수의 값도 같아요.

공식2nπ+θ2n\pi+\theta 의 삼각함수 (nn 은 정수)
sin⁡\sin
sin⁡(2nπ+θ)=sin⁡θ\displaystyle \sin(2n\pi+\theta)=\sin\theta
cos⁡\cos
cos⁡(2nπ+θ)=cos⁡θ\displaystyle \cos(2n\pi+\theta)=\cos\theta
tan⁡\tan
tan⁡(2nπ+θ)=tan⁡θ\displaystyle \tan(2n\pi+\theta)=\tan\theta
tan⁡\tan 는 주기가 π\pi 이므로 tan⁡(nπ+θ)=tan⁡θ\tan(n\pi+\theta)=\tan\theta 도 성립한다.
학생
sin⁡256π\sin\dfrac{25}{6}\pi 처럼 큰 각은 어떻게 계산해요?
쌤
2π2\pi 씩 떼어 내요. 256π=4π+π6\dfrac{25}{6}\pi=4\pi+\dfrac{\pi}{6} 이니까 sin⁡256π=sin⁡π6=12\sin\dfrac{25}{6}\pi=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2} 예요.
큰 각은 2π2\pi 의 정수배를 떼어 낸다
256π=4π+π6\dfrac{25}{6}\pi=4\pi+\dfrac{\pi}{6}
↳2π2\pi 를 두 번 떼어 내요
sin⁡256π=sin⁡π6=12\sin\dfrac{25}{6}\pi=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
cos⁡133π\cos\dfrac{13}{3}\pi 의 값은?

2−θ-\theta 의 삼각함수

각 −θ-\theta 의 동경은 각 θ\theta 의 동경과 xx 축에 대하여 대칭이에요.
따라서 점 P(cos⁡θ, sin⁡θ)P(\cos\theta,\ \sin\theta) 를 xx 축에 대하여 대칭 이동한 점 (cos⁡θ, −sin⁡θ)(\cos\theta,\ -\sin\theta) 가 각 −θ-\theta 를 나타내는 점이에요.
xx 좌표는 그대로, yy 좌표는 부호만 바뀌므로

공식−θ-\theta 의 삼각함수
sin⁡\sin
sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\displaystyle \sin(-\theta)=-\sin\theta
y=sin⁡xy=\sin x 의 그래프가 원점에 대하여 대칭인 것과 같은 뜻이다.
cos⁡\cos
cos⁡(−θ)=cos⁡θ\displaystyle \cos(-\theta)=\cos\theta
y=cos⁡xy=\cos x 의 그래프가 yy 축에 대하여 대칭인 것과 같은 뜻이다.
tan⁡\tan
tan⁡(−θ)=−tan⁡θ\displaystyle \tan(-\theta)=-\tan\theta
−sin⁡θcos⁡θ=−tan⁡θ\dfrac{-\sin\theta}{\cos\theta}=-\tan\theta
학생
sin⁡(−θ)\sin(-\theta) 와 −sin⁡θ-\sin\theta 는 같은 거예요?
쌤
네, 같아요. 그래서 sin⁡\sin 은 −- 를 앞으로 꺼내고, cos⁡\cos 은 −- 를 그냥 떼어 내요. cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
cos⁡(−π3)\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) 의 값은?

3π±θ\pi\pm\theta 의 삼각함수

각 π+θ\pi+\theta 의 동경은 각 θ\theta 의 동경을 원점에 대하여, 각 π−θ\pi-\theta 의 동경은 yy 축에 대하여 대칭 이동한 거예요.
따라서 각 π+θ\pi+\theta 를 나타내는 점은 (−cos⁡θ, −sin⁡θ)(-\cos\theta,\ -\sin\theta), 각 π−θ\pi-\theta 를 나타내는 점은 (−cos⁡θ, sin⁡θ)(-\cos\theta,\ \sin\theta) 이에요.

θ\theta, −θ-\theta, π−θ\pi-\theta, π+θ\pi+\theta 를 나타내는 점
θ\theta : (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta)
−θ-\theta : (cos⁡θ, −sin⁡θ)(\cos\theta,\ -\sin\theta)
π−θ\pi-\theta : (−cos⁡θ, sin⁡θ)(-\cos\theta,\ \sin\theta)
π+θ\pi+\theta : (−cos⁡θ, −sin⁡θ)(-\cos\theta,\ -\sin\theta)
O
−θ-\theta 는 xx 축 대칭, π−θ\pi-\theta 는 yy 축 대칭, π+θ\pi+\theta 는 원점 대칭이에요. 좌표의 부호만 바뀌어요.
공식π+θ\pi+\theta 의 삼각함수 (원점 대칭)
sin⁡\sin
sin⁡(π+θ)=−sin⁡θ\displaystyle \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta
cos⁡\cos
cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\displaystyle \cos(\pi+\theta)=-\cos\theta
tan⁡\tan
tan⁡(π+θ)=tan⁡θ\displaystyle \tan(\pi+\theta)=\tan\theta
−sin⁡θ−cos⁡θ=tan⁡θ\dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta}=\tan\theta
공식π−θ\pi-\theta 의 삼각함수 (yy 축 대칭)
sin⁡\sin
sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\displaystyle \sin(\pi-\theta)=\sin\theta
cos⁡\cos
cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\displaystyle \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta
tan⁡\tan
tan⁡(π−θ)=−tan⁡θ\displaystyle \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta
sin⁡θ−cos⁡θ=−tan⁡θ\dfrac{\sin\theta}{-\cos\theta}=-\tan\theta
학생
공식이 여섯 개인데 다 외워야 해요?
쌤
함수 이름은 그대로이고 부호만 바뀌어요. θ\theta 를 예각으로 보면 π+θ\pi+\theta 는 제33사분면, π−θ\pi-\theta 는 제22사분면이니까 그 사분면에서의 부호를 붙이면 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
sin⁡(π−θ)\sin(\pi-\theta) 와 같은 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

π−θ=π+(−θ)\pi-\theta=\pi+(-\theta) 이므로 π−θ\pi-\theta 의 공식은 π+θ\pi+\theta 의 공식에 −θ-\theta 의 공식을 이어 써서 얻을 수도 있어요.
cos⁡(π−θ)=−cos⁡(−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi-\theta)=-\cos(-\theta)=-\cos\theta

4π2±θ\dfrac{\pi}{2}\pm\theta 의 삼각함수

각 π2−θ\dfrac{\pi}{2}-\theta 의 동경은 각 θ\theta 의 동경과 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이에요. 그래서 점의 xx 좌표와 yy 좌표가 서로 바뀌어요.

π2−θ\dfrac{\pi}{2}-\theta, π2+θ\dfrac{\pi}{2}+\theta 를 나타내는 점
y=xθ
π2−θ\frac{\pi}{2}-\theta
π2+θ\frac{\pi}{2}+\theta
O
π2−θ\frac{\pi}{2}-\theta 를 나타내는 점은 (sin⁡θ, cos⁡θ)(\sin\theta,\ \cos\theta), π2+θ\frac{\pi}{2}+\theta 를 나타내는 점은 (−sin⁡θ, cos⁡θ)(-\sin\theta,\ \cos\theta) 예요. 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭 이동하면 xx 좌표와 yy 좌표가 서로 바뀌어요. 그래서 sin⁡\sin 과 cos⁡\cos 이 서로 바뀌어요.
공식π2−θ\dfrac{\pi}{2}-\theta 의 삼각함수 (직선 y=xy=x 대칭)
sin⁡\sin
sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta
cos⁡\cos
cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta
tan⁡\tan
tan⁡(π2−θ)=1tan⁡θ\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{\tan\theta}
cos⁡θsin⁡θ=1tan⁡θ\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{1}{\tan\theta}
공식π2+θ\dfrac{\pi}{2}+\theta 의 삼각함수
sin⁡\sin
sin⁡(π2+θ)=cos⁡θ\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta
cos⁡\cos
cos⁡(π2+θ)=−sin⁡θ\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta
tan⁡\tan
tan⁡(π2+θ)=−1tan⁡θ\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\frac{1}{\tan\theta}
cos⁡θ−sin⁡θ=−1tan⁡θ\dfrac{\cos\theta}{-\sin\theta}=-\dfrac{1}{\tan\theta}
학생
직각삼각형에서 sin⁡(90∘−θ)=cos⁡θ\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta 였던 것과 같은 거예요?
쌤
네. 직각삼각형의 두 예각은 θ\theta 와 π2−θ\dfrac{\pi}{2}-\theta 라서 한 각과 마주 보는 변이 다른 각의 이웃한 변이 돼요. 그 관계를 모든 각으로 넓힌 거예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
cos⁡(π2+θ)\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) 와 같은 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

각 π2−θ\dfrac{\pi}{2}-\theta 의 동경은 각 θ\theta 의 동경을 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭 이동한 거예요.
직선 y=xy=x 에 대하여 대칭 이동하면 xx 좌표와 yy 좌표가 서로 바뀌므로 각 π2−θ\dfrac{\pi}{2}-\theta 를 나타내는 점은 (sin⁡θ, cos⁡θ)(\sin\theta,\ \cos\theta) 이에요.

π2+θ=π2−(−θ)\dfrac{\pi}{2}+\theta=\dfrac{\pi}{2}-(-\theta) 이므로 위의 결과에 −θ-\theta 를 넣으면 각 π2+θ\dfrac{\pi}{2}+\theta 를 나타내는 점은 (−sin⁡θ, cos⁡θ)(-\sin\theta,\ \cos\theta) 이에요.
xx 좌표와 yy 좌표가 서로 바뀌므로 함수 이름이 sin⁡↔cos⁡\sin\leftrightarrow\cos 로 바뀌어요.

직각삼각형에서 두 예각의 합은 π2\dfrac{\pi}{2} 이에요.
한 예각을 θ\theta 라 하면 다른 예각은 π2−θ\dfrac{\pi}{2}-\theta 이고, 한 각의 사인은 다른 각의 코사인과 같아요.
sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta 는 이 사실을 모든 각으로 넓힌 거예요.

공식 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2π−θ\pi-\theta 는 θ\theta 를 예각으로 보면 제22사분면의 각이다.
sin⁡(π−θ)=□sin⁡θ\sin(\pi-\theta)=\square\sin\theta
단계 1 / 2
cos⁡(π+θ)=□cos⁡θ\cos(\pi+\theta)=\square\cos\theta
단계 1 / 2π2\dfrac{\pi}{2} 의 홀수 배이므로 이름이 바뀐다.
cos⁡(π2+θ)=−□\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\square
단계 1 / 2
tan⁡(π2−θ)=1□\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{\square}

5변환 규칙 한꺼번에 쓰기

위의 공식은 모두 각을 n2π±θ\dfrac{n}{2}\pi\pm\theta (nn 은 정수) 꼴로 쓰고 두 가지만 정하면 얻을 수 있어요.

성질삼각함수의 변환 규칙
① 함수 이름
nn 이 짝수이면 함수 이름은 그대로이다.
nn 이 홀수 이면 sin⁡→cos⁡\sin\to\cos, cos⁡→sin⁡\cos\to\sin, tan⁡→1tan⁡\tan\to\dfrac{1}{\tan} 으로 바뀐다.

② 부호
θ\theta 를 예각으로 보았을 때 n2π±θ\dfrac{n}{2}\pi\pm\theta 가 속하는 사분면에서 원래 함수의 부호를 붙인다.
변환 규칙을 쓰는 순서
  1. 1
    각을 n2π±θ\dfrac{n}{2}\pi\pm\theta 꼴로 써요.
    예: 32π+θ\dfrac{3}{2}\pi+\theta 는 n=3n=3
  2. 2
    nn 이 홀수이면 함수 이름을 바꾸고, 짝수이면 그대로 둬요.
    n=3n=3 은 홀수이므로 sin⁡→cos⁡\sin\to\cos
  3. 3
    θ\theta 를 예각으로 보고 각이 속하는 사분면을 찾아요.
    32π+θ\dfrac{3}{2}\pi+\theta 는 제44사분면
  4. 4
    그 사분면에서 「원래」 함수의 부호를 붙여요.
    제44사분면에서 sin⁡\sin 은 음수이므로 sin⁡(32π+θ)=−cos⁡θ\sin\left(\dfrac{3}{2}\pi+\theta\right)=-\cos\theta
  5. 5
    θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6} 처럼 쉬운 값을 넣어 양변을 비교해요.
    검산
공식규칙을 쓴 예 (θ\theta 를 예각으로 볼 때)
π+θ\pi+\theta (제33사분면)
sin⁡(π+θ)=−sin⁡θ\displaystyle \sin(\pi+\theta)=-\sin\theta
n=2n=2 짝수, 제33사분면에서 sin⁡<0\sin<0
π2+θ\frac{\pi}{2}+\theta (제22사분면)
cos⁡(π2+θ)=−sin⁡θ\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta
n=1n=1 홀수, 제22사분면에서 cos⁡<0\cos<0
32π−θ\frac{3}{2}\pi-\theta (제33사분면)
cos⁡(32π−θ)=−sin⁡θ\displaystyle \cos\left(\frac{3}{2}\pi-\theta\right)=-\sin\theta
n=3n=3 홀수, 제33사분면에서 cos⁡<0\cos<0
32π−θ\frac{3}{2}\pi-\theta (제33사분면)
tan⁡(32π−θ)=1tan⁡θ\displaystyle \tan\left(\frac{3}{2}\pi-\theta\right)=\frac{1}{\tan\theta}
n=3n=3 홀수, 제33사분면에서 tan⁡>0\tan>0
2π−θ2\pi-\theta (제44사분면)
sin⁡(2π−θ)=−sin⁡θ\displaystyle \sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta
n=4n=4 짝수, 제44사분면에서 sin⁡<0\sin<0
학생
32π−θ\dfrac{3}{2}\pi-\theta 처럼 π\pi 보다 큰 각도 이 규칙이면 돼요?
쌤
네. 32π\dfrac{3}{2}\pi 는 n=3n=3 인 홀수라서 이름이 바뀌어요. 32π−θ\dfrac{3}{2}\pi-\theta 는 제33사분면이라 sin⁡(32π−θ)=−cos⁡θ\sin\left(\dfrac{3}{2}\pi-\theta\right)=-\cos\theta 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
cos⁡(32π+θ)\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi+\theta\right) 와 같은 것은?
부호는 원래 함수로 정한다
✗ 틀린 풀이
sin⁡(π2+θ)=−cos⁡θ\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\cos\theta
왜 틀렸나 변환 공식의 부호는 각이 있는 사분면에서 원래 함수 sin⁡\sin 의 부호로 정해야 한다.
✓ 바른 풀이
sin⁡(π2+θ)=cos⁡θ\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta
π2+θ\dfrac{\pi}{2}+\theta 는 제22사분면의 각이고 제22사분면에서 sin⁡\sin 은 양수이다.
검산: θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6} 이면 sin⁡23π=32\sin\dfrac{2}{3}\pi=\dfrac{\sqrt{3}}{2} 이고 cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} 이다.
π\pi 를 더해도 부호는 바뀐다
✗ 틀린 풀이
cos⁡(π+θ)=cos⁡θ\cos(\pi+\theta)=\cos\theta
왜 틀렸나 π+θ\pi+\theta 는 제33사분면의 각이고 거기서 cos⁡\cos 은 음수이므로 −- 를 붙여야 한다.
✓ 바른 풀이
cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta
π\pi 는 π2\dfrac{\pi}{2} 의 짝수 배라서 이름은 그대로이지만, π+θ\pi+\theta 는 제33사분면의 각이므로 cos⁡\cos 은 음수예요.
검산: θ=π3\theta=\dfrac{\pi}{3} 이면 cos⁡43π=−12\cos\dfrac{4}{3}\pi=-\dfrac{1}{2} 이에요.
π2\dfrac{\pi}{2} 의 홀수 배는 이름이 바뀐다
✗ 틀린 풀이
tan⁡(π2−θ)=tan⁡θ\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\tan\theta
왜 틀렸나 π2\dfrac{\pi}{2} 의 홀수 배를 더하거나 빼면 tan⁡\tan 은 1tan⁡\dfrac{1}{\tan} 으로 이름이 바뀐다.
✓ 바른 풀이
tan⁡(π2−θ)=1tan⁡θ\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\dfrac{1}{\tan\theta}
θ\theta 를 예각으로 보면 π2−θ\dfrac{\pi}{2}-\theta 는 제11사분면의 각이므로 부호는 ++ 이다.
검산: θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6} 이면 tan⁡π3=3\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3} 이고 1tan⁡π6=3\dfrac{1}{\tan\frac{\pi}{6}}=\sqrt{3} 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

이름이 바뀌는 이유는 π2\dfrac{\pi}{2} 를 한 번 돌 때마다 점의 xx 좌표와 yy 좌표가 서로 자리를 바꾸기 때문이에요. 두 번(π\pi) 돌면 다시 제자리로 돌아오므로 짝수 배이면 이름이 그대로예요.
부호는 공식이 모든 θ\theta 에 대하여 성립하므로, 가장 쉬운 경우인 예각 θ\theta 에서 정하면 돼요.
제11사분면은 모두, 제22사분면은 sin⁡\sin, 제33사분면은 tan⁡\tan, 제44사분면은 cos⁡\cos 만 양수예요.

6삼각함수의 값 구하기와 식 간단히 하기

변환 공식을 쓰면 어떤 각의 삼각함수도 00 과 π2\dfrac{\pi}{2} 사이의 각의 삼각함수로 바꿀 수 있어요.
반대로 예각의 값을 알면 같은 기준각을 갖는 모든 각의 값을 알 수 있어요.

sin⁡43π\sin\dfrac{4}{3}\pi
43π=π+π3\dfrac{4}{3}\pi=\pi+\dfrac{\pi}{3}
↳제33사분면: sin⁡\sin 은 음수
sin⁡43π=−sin⁡π3=−32\sin\dfrac{4}{3}\pi=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(−116π)\cos\left(-\dfrac{11}{6}\pi\right)
cos⁡(−116π)=cos⁡116π\cos\left(-\dfrac{11}{6}\pi\right)=\cos\dfrac{11}{6}\pi
↳cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta
116π=2π−π6\dfrac{11}{6}\pi=2\pi-\dfrac{\pi}{6}
↳제44사분면: cos⁡\cos 은 양수
cos⁡116π=cos⁡π6=32\cos\dfrac{11}{6}\pi=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
tan⁡56π\tan\dfrac{5}{6}\pi 의 값은?
음의 각의 부호를 먼저 처리한다
✗ 틀린 풀이
sin⁡(−256π)=sin⁡π6=12\sin\left(-\dfrac{25}{6}\pi\right)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}
왜 틀렸나 sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta 이므로 음의 각은 부호를 먼저 밖으로 꺼내야 한다.
✓ 바른 풀이
sin⁡(−256π)=−sin⁡256π=−sin⁡π6=−12\sin\left(-\dfrac{25}{6}\pi\right)=-\sin\dfrac{25}{6}\pi=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}
sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta 를 먼저 쓰고, 그다음 256π=4π+π6\dfrac{25}{6}\pi=4\pi+\dfrac{\pi}{6} 로 2π2\pi 의 정수배를 떼어 내요.

식을 간단히 할 때는 각 항을 θ\theta 의 삼각함수로 바꾼 뒤 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1, tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} 를 써요.
간단히 한 결과는 θ=π6\theta=\dfrac{\pi}{6} 같은 값을 넣어 검산해요.

식 간단히 하기
cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ,sin⁡(π2+θ)=cos⁡θ\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta,\quad \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta
↳각 항을 θ\theta 의 삼각함수로
tan⁡(π−θ)=−tan⁡θ,tan⁡(π2−θ)=1tan⁡θ\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta,\quad \tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\dfrac{1}{\tan\theta}
cos⁡(π+θ)+sin⁡(π2+θ)+tan⁡(π−θ)tan⁡(π2−θ)\cos(\pi+\theta)+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)+\tan(\pi-\theta)\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)
↳주어진 식
=−cos⁡θ+cos⁡θ+(−tan⁡θ)×1tan⁡θ=−1=-\cos\theta+\cos\theta+(-\tan\theta)\times\dfrac{1}{\tan\theta}=-1
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2
삼각함수의 값 구하기
  1. 1
    음의 각이면 −θ-\theta 의 공식으로 양의 각으로 바꿔요.
    sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta, cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta
  2. 2
    2π2\pi 보다 크면 2π2\pi 의 정수배를 떼어 내요.
    tan⁡\tan 는 π\pi 의 정수배를 떼어 내도 돼요.
  3. 3
    남은 각을 π±θ\pi\pm\theta, 2π−θ2\pi-\theta, π2±θ\dfrac{\pi}{2}\pm\theta 꼴로 써요.
    θ\theta 는 예각
  4. 4
    변환 규칙으로 예각 θ\theta 의 삼각함수로 바꾸어 값을 넣어요.
tan⁡74π\tan\dfrac{7}{4}\pi
74π=2π−π4\dfrac{7}{4}\pi=2\pi-\dfrac{\pi}{4}
↳제44사분면: tan⁡\tan 는 음수
tan⁡74π=−tan⁡π4=−1\tan\dfrac{7}{4}\pi=-\tan\dfrac{\pi}{4}=-1
같은 각을 두 가지로 나누어 검산하기
23π=π2+π6:cos⁡23π=−sin⁡π6=−12\dfrac{2}{3}\pi=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}:\quad \cos\dfrac{2}{3}\pi=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}
23π=π−π3:cos⁡23π=−cos⁡π3=−12\dfrac{2}{3}\pi=\pi-\dfrac{\pi}{3}:\quad \cos\dfrac{2}{3}\pi=-\cos\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}
↳답이 같아요

7삼각함수표 읽기

sin⁡23∘\sin23^\circ 처럼 특수각이 아닌 각의 값은 삼각함수표에서 읽어요.
표에는 0∘0^\circ 부터 90∘90^\circ 까지 1∘1^\circ 간격으로 sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan 의 값이 소수 넷째 자리까지의 어림값으로 적혀 있어요.

삼각함수표의 일부
각sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
20∘20^\circ0.34200.34200.93970.93970.36400.3640
21∘21^\circ0.35840.35840.93360.93360.38390.3839
22∘22^\circ0.37460.37460.92720.92720.40400.4040
23∘23^\circ0.39070.39070.92050.92050.42450.4245
값은 소수 다섯째 자리에서 반올림한 어림값이에요.
성질표에 없는 각
90∘90^\circ 보다 큰 각은 삼각함수의 성질로 0∘0^\circ 와 90∘90^\circ 사이의 각으로 바꾼 뒤 표를 읽는다.
sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta
cos⁡(180∘+θ)=−cos⁡θ\cos(180^\circ+\theta)=-\cos\theta
cos⁡(90∘+θ)=−sin⁡θ\cos(90^\circ+\theta)=-\sin\theta
표로 값 구하기
sin⁡200∘=sin⁡(180∘+20∘)=−sin⁡20∘=−0.3420\sin200^\circ=\sin(180^\circ+20^\circ)=-\sin20^\circ=-0.3420
↳제33사분면: sin⁡\sin 은 음수
cos⁡112∘=cos⁡(90∘+22∘)=−sin⁡22∘=−0.3746\cos112^\circ=\cos(90^\circ+22^\circ)=-\sin22^\circ=-0.3746
↳90∘90^\circ 의 홀수 배: 이름이 바뀜
학생
라디안으로 주어진 각도 표로 읽을 수 있어요?
쌤
π=180∘\pi=180^\circ 를 써서 도로 바꾼 뒤 읽어요. 예를 들어 760π=21∘\dfrac{7}{60}\pi=21^\circ 이므로 sin⁡760π=0.3584\sin\dfrac{7}{60}\pi=0.3584 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
표에서 sin⁡21∘=0.3584\sin21^\circ=0.3584 일 때 sin⁡159∘\sin159^\circ 의 값은?
자세히 보기펼치기예제왜 그런지
응용
tan⁡157∘\tan157^\circ
157∘=180∘−23∘157^\circ=180^\circ-23^\circ
↳제22사분면: tan⁡\tan 는 음수
tan⁡157∘=−tan⁡23∘=−0.4245\tan157^\circ=-\tan23^\circ=-0.4245
↳표의 tan⁡23∘\tan23^\circ

cos⁡θ=sin⁡(90∘−θ)\cos\theta=\sin(90^\circ-\theta) 이므로 표의 cos⁡\cos 값은 여각의 sin⁡\sin 값과 같아요.
예를 들어 cos⁡20∘=sin⁡70∘=0.9397\cos20^\circ=\sin70^\circ=0.9397 이에요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1sin⁡(2nπ+θ)=sin⁡θ\sin(2n\pi+\theta)=\sin\theta
    cos⁡(2nπ+θ)=cos⁡θ\cos(2n\pi+\theta)=\cos\theta
    tan⁡(2nπ+θ)=tan⁡θ\tan(2n\pi+\theta)=\tan\theta (nn 은 정수)
  2. 2sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta
    cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta
    tan⁡(−θ)=−tan⁡θ\tan(-\theta)=-\tan\theta
  3. 3π±θ\pi\pm\theta, π2±θ\dfrac{\pi}{2}\pm\theta 의 삼각함수
    단위원 위의 점을 대칭 이동하여 얻는다.
  4. 4각을 n2π±θ\dfrac{n}{2}\pi\pm\theta 로 쓰면
    nn 이 짝수이면 함수 이름 그대로, 홀수이면 sin⁡↔cos⁡\sin\leftrightarrow\cos, tan⁡→1tan⁡\tan\to\dfrac{1}{\tan}
    부호는 θ\theta 를 예각으로 보았을 때의 사분면에서 원래 함수의 부호
✗ 자주 하는 실수
  • sin⁡(π2+θ)\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) 의 부호를 바뀐 함수 cos⁡\cos 의 부호로 정해 −cos⁡θ-\cos\theta 로 써요. 부호는 원래 함수 sin⁡\sin 이 제22사분면에서 갖는 부호(양수)이에요.
  • π±θ\pi\pm\theta 에서도 함수 이름을 바꾸거나, π2±θ\dfrac{\pi}{2}\pm\theta, 32π±θ\dfrac{3}{2}\pi\pm\theta 에서 이름을 바꾸지 않아요. π2\dfrac{\pi}{2} 의 홀수 배일 때만 이름이 바뀌어요.
  • sin⁡(−256π)\sin\left(-\dfrac{25}{6}\pi\right) 처럼 음의 각에서 sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta 의 부호를 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    cos⁡54π\cos\dfrac{5}{4}\pi 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    tan⁡(−43π)+sin⁡176π\tan\left(-\dfrac{4}{3}\pi\right)+\sin\dfrac{17}{6}\pi 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    sin⁡(π2+θ)cos⁡(π−θ)+cos⁡(32π+θ)sin⁡(π+θ)\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)\cos(\pi-\theta)+\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi+\theta\right)\sin(\pi+\theta) 를 간단히 하시오.

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