수학 개념 노트전체 과목

삼각함수의 극한

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
xx 의 단위가 라디안일 때 lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 이에요. 이로부터 lim⁡x→0tan⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1, lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} 을 얻고, 덩어리를 맞추어 여러 극한을 계산해요.
  1. 1삼각함수의 극한
  2. 2sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} 의 극한
  3. 3tan⁡x\tan x 와 1−cos⁡x1-\cos x 의 극한
  4. 4삼각함수의 극한 계산
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1삼각함수의 극한

성질삼각함수의 연속과 극한
y=sin⁡xy=\sin x, y=cos⁡xy=\cos x 는 모든 실수에서, y=tan⁡xy=\tan x 는 x≠nπ+π2x\ne n\pi+\dfrac{\pi}{2} (nn 은 정수) 에서 연속이다.
따라서 정의역에 속하는 aa 에서는 함숫값을 넣어 극한값을 구한다.
예: lim⁡x→π6sin⁡x=sin⁡π6=12\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\sin x=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
학생
그럼 tan⁡x\tan x 처럼 정의되지 않는 점 근처에서는요?
쌤
함숫값을 넣을 수 없으니 그래프를 보고 판단해요. x→∞x\to\infty 일 때도 마찬가지예요.
공식그래프로 판단하는 극한
탄젠트
lim⁡x→π2−tan⁡x=∞,lim⁡x→π2+tan⁡x=−∞\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}-}\tan x=\infty,\quad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}+}\tan x=-\infty
직선 x=π2x=\dfrac{\pi}{2} 가 점근선이다
진동
lim⁡x→∞sin⁡x 는 없다\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sin x \text{ 는 없다}
−1-1 과 11 사이를 계속 오르내린다
조임
lim⁡x→∞sin⁡xx=0\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0
∣sin⁡xx∣≤1x\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\le\dfrac{1}{x} (x>0)(x>0) 이고 1x→0\dfrac{1}{x}\to0
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→πcos⁡x\displaystyle\lim_{x\to\pi}\cos x 의 값은?
자세히 보기펼치기그림

2sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} 의 극한

성질사인함수의 극한
xx 의 단위가 라디안일 때 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1이 극한에서 xx 는 반드시 라디안로 잰 각이어야 한다. 부채꼴의 넓이 12r2θ\dfrac{1}{2}r^2\theta 가 라디안에서 성립하기 때문이다.
학생
00\dfrac{0}{0} 꼴인데 어떻게 11 이 돼요?
쌤
xx 가 00 에 가까우면 sin⁡x\sin x 와 xx 가 거의 같아져요. 그래서 둘의 비가 11 에 가까워져요. 각을 라디안으로 잴 때만 그래요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→0xsin⁡x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x} 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

x→0x\to0 일 때 sin⁡x→0\sin x\to0, x→0x\to0 이므로 sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x} 는 00\dfrac{0}{0} 꼴이에요. 그래프로 먼저 확인해요.
이 극한은 사인함수의 미분에서 바로 쓰여요.

도형으로 증명해요. 0<x<π20<x<\dfrac{\pi}{2} 일 때 반지름이 11 인 부채꼴 OAP\mathrm{OAP} 를 그리고, 점 A\mathrm{A} 에서 그은 접선이 직선 OP\mathrm{OP} 와 만나는 점을 T\mathrm{T} 라 해요.

tan xsin xxOAPTH
OA‾=OP‾=1\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{OP}}=1, ∠AOP=x\angle\mathrm{AOP}=x 예요.
직각삼각형 OHP\mathrm{OHP} 에서 PH‾=OP‾sin⁡x=sin⁡x\overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{OP}}\sin x=\sin x, 직각삼각형 OAT\mathrm{OAT} 에서 AT‾=OA‾tan⁡x=tan⁡x\overline{\mathrm{AT}}=\overline{\mathrm{OA}}\tan x=\tan x 예요.
넓이: 삼각형 OAP\mathrm{OAP} << 부채꼴 OAP\mathrm{OAP} << 삼각형 OAT\mathrm{OAT}
lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 의 증명
  1. 1
    12sin⁡x<12x<12tan⁡x\dfrac{1}{2}\sin x<\dfrac{1}{2}x<\dfrac{1}{2}\tan x (삼각형의 넓이)
    세 도형의 넓이: 삼각형 OAP\mathrm{OAP}, 부채꼴 OAP\mathrm{OAP} (반지름 11, 중심각 xx), 삼각형 OAT\mathrm{OAT}
  2. 2
    sin⁡x<x<tan⁡x\sin x<x<\tan x
    양변에 22 를 곱해요
  3. 3
    1<xsin⁡x<1cos⁡x1<\dfrac{x}{\sin x}<\dfrac{1}{\cos x}
    sin⁡x>0\sin x>0 으로 각 변을 나눠요
  4. 4
    cos⁡x<sin⁡xx<1\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1
    각 변의 역수를 잡으면 부등호 방향이 바뀌어요
  5. 5
    lim⁡x→0+cos⁡x=1\displaystyle\lim_{x\to0+}\cos x=1 이므로 lim⁡x→0+sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to0+}\frac{\sin x}{x}=1 (극한의 대소 관계)
    함수의 극한의 대소 관계(조임)
  6. 6
    sin⁡(−x)−x=sin⁡xx\dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{\sin x}{x} 이므로 x→0−x\to0- 일 때도 11 이에요.

3tan⁡x\tan x 와 1−cos⁡x1-\cos x 의 극한

성질탄젠트함수의 극한
lim⁡x→0tan⁡xx=1\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1이유: tan⁡xx=sin⁡xx×1cos⁡x\dfrac{\tan x}{x}=\dfrac{\sin x}{x}\times\dfrac{1}{\cos x} 이고 x→0x\to0 일 때 sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}{x}\to1, cos⁡x→1\cos x\to1 이다.
성질1−cos⁡x1-\cos x 꼴의 극한
lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}이유: 분모, 분자에 1+cos⁡x1+\cos x 를 곱한다.
1−cos⁡xx2=1−cos⁡2xx2(1+cos⁡x)=(sin⁡xx)2×11+cos⁡x\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}=\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\times\dfrac{1}{1+\cos x}
x→0x\to0 일 때 (sin⁡xx)2→1\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\to1, 11+cos⁡x→12\dfrac{1}{1+\cos x}\to\dfrac{1}{2} 이다.
같은 방법으로 lim⁡x→01−cos⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0 이다.
공식틀로 쓰기
□\square 는 모두 같은 식이고 □→0\square\to0
사인
lim⁡sin⁡□□=1\displaystyle \lim\frac{\sin\square}{\square}=1
뒤집은 □sin⁡□\dfrac{\square}{\sin\square} 도 11
탄젠트
lim⁡tan⁡□□=1\displaystyle \lim\frac{\tan\square}{\square}=1
코사인
lim⁡1−cos⁡□□2=12\displaystyle \lim\frac{1-\cos\square}{\square^2}=\frac{1}{2}
분모는 □\square 의 제곱
학생
왜 □\square 는 모두 같은 식이어야 해요?
쌤
분자 속 덩어리와 분모가 똑같은 식으로 00 에 갈 때만 비가 11 이에요. 덩어리가 다르면 앞에 수를 곱해 맞춰요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→0xtan⁡x1−cos⁡x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x\tan x}{1-\cos x} 의 값은?
자세히 보기펼치기외우기 카드
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 1
lim⁡x→0sin⁡xx=□\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\square
단계 1 / 1
lim⁡x→0tan⁡xx=□\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=\square
단계 1 / 1
lim⁡x→01−cos⁡xx2=□\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\square

4삼각함수의 극한 계산

sin⁡\sin, tan⁡\tan 안의 식을 덩어리 □\square 로 보고, 분모에 같은 덩어리를 만든 뒤 바꾼 만큼의 수를 앞에 곱해요.

lim⁡x→0sin⁡3xx\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}
sin⁡3xx=3×sin⁡3x3x\dfrac{\sin3x}{x}=3\times\dfrac{\sin3x}{3x}
↳□=3x\square=3x 로 맞추기
sin⁡3x3x→1\dfrac{\sin3x}{3x}\to1
↳3x→03x\to0
lim⁡x→0sin⁡3xx=3\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}=3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→0sin⁡4x2x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{2x} 의 값은?
덩어리를 맞추고 1 을 쓴다
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→0sin⁡3xx=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=1
왜 틀렸나 sin⁡tt→1\dfrac{\sin t}{t}\to1 은 sin⁡\sin 안과 분모가 같은 tt 일 때만 쓰므로 분모를 3x3x 로 맞춘다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→0sin⁡3xx=lim⁡x→03×sin⁡3x3x=3\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}3\times\frac{\sin3x}{3x}=3
검산: x=0.01x=0.01 이면 sin⁡0.030.01≈2.9996\dfrac{\sin0.03}{0.01}\approx2.9996 으로 33 에 가깝다.
x→∞x\to\infty 에서는 쓰지 않는다
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→∞sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=1
왜 틀렸나 sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}{x}\to1 은 x→0x\to0 일 때만 성립하므로, x→∞x\to\infty 이면 ∣sin⁡x∣≤1|\sin x|\le1 을 써서 구한다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→∞sin⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0
x>0x>0 일 때 −1x≤sin⁡xx≤1x-\dfrac{1}{x}\le\dfrac{\sin x}{x}\le\dfrac{1}{x} 이고 양쪽이 00 으로 가므로 극한값은 00 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 4틀리기 쉬운 곳
계산 순서
  1. 1
    sin⁡\sin, tan⁡\tan 안의 식을 덩어리 □\square 로 봐요.
    예: sin⁡3x\sin3x 이면 □=3x\square=3x
  2. 2
    분모에 같은 덩어리를 만들고, 바꾼 만큼의 수를 앞에 곱해요.
    sin⁡3xx=3×sin⁡3x3x\dfrac{\sin3x}{x}=3\times\dfrac{\sin3x}{3x}
  3. 3
    1−cos⁡1-\cos 꼴은 1+cos⁡1+\cos 를 곱해 sin⁡2\sin^2 으로 바꿔요.
  4. 4
    기본 극한값을 넣어요.
응용
lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡5x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\sin5x}
sin⁡2xsin⁡5x=2×sin⁡2x2x5×sin⁡5x5x\dfrac{\sin2x}{\sin5x}=\dfrac{2\times\frac{\sin2x}{2x}}{5\times\frac{\sin5x}{5x}}
↳위아래를 xx 로 나누기
lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡5x=25\lim_{x\to0}\dfrac{\sin2x}{\sin5x}=\dfrac{2}{5}
응용
lim⁡x→0tan⁡3x2x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan3x}{2x}
tan⁡3x2x=32×tan⁡3x3x\dfrac{\tan3x}{2x}=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\tan3x}{3x}
↳□=3x\square=3x
lim⁡x→0tan⁡3x2x=32\lim_{x\to0}\dfrac{\tan3x}{2x}=\dfrac{3}{2}
응용
lim⁡x→01−cos⁡2xx2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}
1−cos⁡2xx2=4×1−cos⁡2x(2x)2\dfrac{1-\cos2x}{x^2}=4\times\dfrac{1-\cos2x}{(2x)^2}
↳분모를 (2x)2(2x)^2 으로
lim⁡x→01−cos⁡2xx2=4×12=2\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x^2}=4\times\dfrac{1}{2}=2
x→∞x\to\infty 이지만 덩어리가 00 으로 가는 꼴
lim⁡x→∞xsin⁡1x\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}
1x=t\dfrac{1}{x}=t
↳x→∞x\to\infty 이면 t→0+t\to0+
xsin⁡1x=sin⁡tt→1x\sin\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sin t}{t}\to1
⚠ 주의주의와 검산
각을 도(∘^\circ)로 재면 성립하지 않아요. x∘=πx180x^\circ=\dfrac{\pi x}{180} 이므로 lim⁡x→0sin⁡x∘x=π180\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x^\circ}{x}=\frac{\pi}{180} 이에요.
검산: 계산기를 라디안으로 두고 x=0.001x=0.001 을 넣어 봐요.
sin⁡0.0030.001=2.99999⋯\dfrac{\sin0.003}{0.001}=2.99999\cdots 로 33 에 가까워요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1삼각함수는 정의역에서 연속이므로 lim⁡x→asin⁡x=sin⁡a\displaystyle\lim_{x\to a}\sin x=\sin a 이다.
  2. 2lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 (xx 는 라디안)
  3. 3lim⁡x→0tan⁡xx=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1, lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}
  4. 4sin⁡□□\dfrac{\sin\square}{\square} 처럼 같은 덩어리 □→0\square\to0 을 만들어 계산한다.
✗ 자주 하는 실수
  • lim⁡x→0sin⁡3xx\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x} 처럼 sin⁡\sin 안의 식과 분모가 다른데 극한값을 11 로 써요.
  • lim⁡x→∞sin⁡xx\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x} 에도 11 을 써요. x→0x\to0 일 때만 11 이에요.
  • lim⁡x→01−cos⁡xx2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} 을 11 이나 00 으로 써요. 1+cos⁡x1+\cos x 를 곱하면 12\dfrac{1}{2} 이에요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    lim⁡x→0sin⁡4x3x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin4x}{3x} 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    lim⁡x→0tan⁡2xsin⁡3x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{\sin3x} 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    lim⁡x→01−cos⁡xxsin⁡x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\sin x} 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 사인함수와 코사인함수의 미분 →
이전 개념: 삼각함수의 덧셈정리설명에서 참고한 다른 과목 개념: 미적분Ⅰ 함수의 연속, 대수 일반각과 호도법, 중3 원과 현, 원의 접선, 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이, 미적분Ⅰ 함수의 극한값의 계산미적분Ⅱ 목차
← 삼각함수의 덧셈정리사인함수와 코사인함수의 미분 →
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