수학 개념 노트전체 과목

근호를 포함한 식의 계산

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}, ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} 로 곱하고 나누며, a2b=ab\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b} 로 근호 안을 간단히 해요. 분모의 근호는 유리화하여 없애고, 근호 안의 수가 같은 것끼리 동류항처럼 더하고 빼요.
  1. 1제곱근의 곱셈과 나눗셈
  2. 2근호가 있는 식의 변형
  3. 3분모의 유리화
  4. 4제곱근의 덧셈과 뺄셈
  5. 5근호를 포함한 식의 혼합 계산
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1제곱근의 곱셈과 나눗셈

공식제곱근의 곱셈과 나눗셈 (a>0a>0, b>0b>0, mm, nn 은 유리수)
곱셈
a×b=ab\displaystyle \sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}
근호 안의 수끼리 곱한다.
계수가 있는 곱셈
ma×nb=mnab\displaystyle m\sqrt{a}\times n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}
근호 밖의 수끼리, 근호 안의 수끼리 곱한다.
나눗셈
a÷b=ab=ab\displaystyle \sqrt{a}\div\sqrt{b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}
계수가 있는 나눗셈
ma÷nb=mnab\displaystyle m\sqrt{a}\div n\sqrt{b}=\frac{m}{n}\sqrt{\frac{a}{b}}
n≠0n\ne0
학생
왜 근호 안의 수끼리 곱해도 돼요?
쌤
2×3\sqrt{2}\times\sqrt{3} 을 제곱하면 2×3=62\times3=6 이고, 이 수는 양수예요. 그래서 66 의 양의 제곱근, 곧 6\sqrt{6} 이에요.
곱셈과 나눗셈
23×45=8152\sqrt{3}\times4\sqrt{5}=8\sqrt{15}
↳밖은 밖끼리, 안은 안끼리
2×3×5=30\sqrt{2}\times\sqrt{3}\times\sqrt{5}=\sqrt{30}
615÷23=62153=356\sqrt{15}\div2\sqrt{3}=\frac{6}{2}\sqrt{\frac{15}{3}}=3\sqrt{5}
6÷32=6×23=4=2\sqrt{6}\div\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}\times\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{4}=2
↳역수의 곱셈으로
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
32×273\sqrt{2}\times2\sqrt{7} 의 값은?
근호 밖과 안을 섞어 곱할 때
✗ 틀린 풀이
23×45=882\sqrt{3}\times4\sqrt{5}=8\sqrt{8} 또는 120\sqrt{120}
왜 틀렸나 근호 밖의 수는 근호 밖의 수끼리, 근호 안의 수는 근호 안의 수끼리 곱한다.
✓ 바른 풀이
23×45=8152\sqrt{3}\times4\sqrt{5}=8\sqrt{15}
바른 계산은 2×4=82\times4=8, 3×5=15\sqrt{3}\times\sqrt{5}=\sqrt{15} 를 따로 구하여 붙인 것이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가요? 2×3\sqrt{2}\times\sqrt{3} 을 제곱해 봐요. 2×3>0\sqrt{2}\times\sqrt{3}>0 이므로 이 수는 66 의 양의 제곱근이에요.

2×3\sqrt{2}\times\sqrt{3} 을 제곱하기
(2×3)2=(2)2×(3)2(\sqrt{2}\times\sqrt{3})^2=(\sqrt{2})^2\times(\sqrt{3})^2
=2×3=6=2\times3=6
2×3=6\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}
↳양수이므로

2근호가 있는 식의 변형

공식근호 밖으로, 근호 안으로 (a>0a>0, b>0b>0)
근호 밖으로
a2b=ab\displaystyle \sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}
예: 50=52×2=52\sqrt{50}=\sqrt{5^2\times2}=5\sqrt{2}
분수일 때
ba2=ba\displaystyle \sqrt{\frac{b}{a^2}}=\frac{\sqrt{b}}{a}
예: 59=53\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}
근호 안으로
ab=a2b\displaystyle a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}
예: 25=22×5=202\sqrt{5}=\sqrt{2^2\times5}=\sqrt{20}
소수일 때
0.03=3100=310\displaystyle \sqrt{0.03}=\sqrt{\frac{3}{100}}=\frac{\sqrt{3}}{10}
소수를 분모가 10210^2, 1002100^2 인 분수로 고친다.

근호 안의 수를 소인수분해하여 제곱인 부분을 근호 밖으로 꺼내요. 마지막에 근호 안에 제곱인 인수가 남아 있지 않은지 확인해요.

학생
근호 밖으로 꺼낼 때 99 가 나와요, 33 이 나와요?
쌤
33 이에요. 18=32×218=3^2\times2 에서 제곱인 인수 323^2 이 근호 밖으로 나오면 32=3\sqrt{3^2}=3 이 되기 때문이에요. 그래서 18=32\sqrt{18}=3\sqrt{2} 예요.
72\sqrt{72} 의 근호 안을 가장 작은 자연수로
72=23×3272=2^3\times3^2
↳소인수분해
=22×32×2=(2×3)2×2=2^2\times3^2\times2=(2\times3)^2\times2
↳23=22×22^3=2^2\times2 로 나눠 제곱끼리 묶어요
72=62\sqrt{72}=6\sqrt{2}
↳제곱인 부분을 밖으로
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
48\sqrt{48} 을 aba\sqrt{b} (bb 는 가장 작은 자연수) 꼴로 나타낸 것은?
근호 밖으로 꺼낼 때
✗ 틀린 풀이
18=9×2=92\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=9\sqrt{2}
왜 틀렸나 근호 밖으로 꺼낼 때는 제곱인 인수 323^2 의 양의 제곱근 33 이 나온다.
✓ 바른 풀이
18=32×2=32\sqrt{18}=\sqrt{3^2\times2}=3\sqrt{2}
확인: (32)2=9×2=18(3\sqrt{2})^2=9\times2=18 이다.
음수를 근호 안으로 넣을 때
✗ 틀린 풀이
−32=(−3)2×2=18-3\sqrt{2}=\sqrt{(-3)^2\times2}=\sqrt{18}
왜 틀렸나 근호 안으로는 양수만 넣을 수 있으므로 음의 부호는 근호 밖에 그대로 둔다.
✓ 바른 풀이
−32=−32×2=−18-3\sqrt{2}=-\sqrt{3^2\times2}=-\sqrt{18}
확인: −32-3\sqrt{2} 는 음수이므로 바꾼 결과도 음수여야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드예제

왜 그런가요? 예를 들어 18\sqrt{18} 에서 18=32×218=3^2\times2 이므로
18=32×2=32\sqrt{18}=\sqrt{3^2}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}
근호 안의 제곱인 인수 323^2 이 근호 밖으로 나와 33 이 돼요.

근호 밖으로 꺼내기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2제곱인 인수만 밖으로
a2b=□b\sqrt{a^2b}=\square\sqrt{b}
단계 1 / 2안으로 넣을 때는 제곱해서
ab=□ ba\sqrt{b}=\sqrt{\square\, b}

2\sqrt{2} 의 값을 1.4141.414 로 알고 있으면 근호 안의 수가 100100 배, 1100\frac{1}{100} 배인 수의 값도 구할 수 있어요.

제곱근의 값 어림하기
200=102×2=102\sqrt{200}=\sqrt{10^2\times2}=10\sqrt{2}
↳약 14.1414.14
0.02=2102=210\sqrt{0.02}=\sqrt{\frac{2}{10^2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}
↳약 0.14140.1414

3분모의 유리화

정의분모의 유리화
분모에 근호가 있을 때, 분모와 분자에 00 이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것을 분모의 유리화 라 한다.
학생
분모에 근호가 있으면 왜 고쳐요?
쌤
12\frac{1}{\sqrt{2}} 처럼 분모에 근호가 있으면 값을 어림하거나 계산하기 불편해요. 분모와 분자에 같은 2\sqrt{2} 를 곱하면 분모가 (2)2=2(\sqrt{2})^2=2 가 돼요.
12\frac{1}{\sqrt{2}} 의 분모를 유리화하기
12=1×22×2\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}
↳분모와 분자에 2\sqrt2
=22=\frac{\sqrt{2}}{2}
공식분모의 유리화 (aa, cc 는 유리수, b>0b>0)
기본
ab=a×bb×b=abb\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\times\sqrt{b}}{\sqrt{b}\times\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}
분자에도 근호
ab=abb=abb\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{b}=\frac{\sqrt{ab}}{b}
a>0a>0
분모에 계수
acb=abcb\displaystyle \frac{a}{c\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{cb}
근호 부분 b\sqrt{b} 만 곱하면 된다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
105\frac{10}{\sqrt{5}} 의 분모를 유리화한 것은?
분자에도 곱해야 한다
✗ 틀린 풀이
63=63=2\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6}{3}=2
왜 틀렸나 분모를 유리화할 때는 분모와 분자에 같은 수 3\sqrt{3} 을 곱해야 값이 바뀌지 않는다.
✓ 바른 풀이
63=633=23\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}
바른 계산은 6×33×3=633=23\frac{6\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3} 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제성질 더 보기

분모가 3+1\sqrt{3}+1 처럼 덧셈 꼴이면 합과 차의 곱을 써요.

분모를 먼저 간단히 하기
312\frac{3}{\sqrt{12}}
12=23\sqrt{12}=2\sqrt{3}
↳분모의 근호 안을 간단히
323=3×323×3\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\times\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}
↳분모와 분자에 3\sqrt3
=336=32=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
↳약분해요
성질검산하기
유리화하기 전과 후의 값은 같다. 근삿값을 넣어 확인할 수 있다.
3\sqrt{3} 을 약 1.731.73 으로 보면 63\frac{6}{\sqrt{3}} 은 약 3.473.47
232\sqrt{3} 은 약 3.463.46 으로 거의 같다.

4제곱근의 덧셈과 뺄셈

성질제곱근의 덧셈과 뺄셈
근호 안의 수가 같은 것끼리는 다항식의 동류항 처럼 계수끼리 더하거나 뺀다.
ma+na=(m+n)am\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}
ma−na=(m−n)am\sqrt{a}-n\sqrt{a}=(m-n)\sqrt{a}
근호 안의 수가 다르면 더 이상 계산할 수 없다. 32+233\sqrt{2}+2\sqrt{3} 은 그대로 둔다.
학생
2+3=5\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} 아니에요?
쌤
아니에요. 덧셈은 근호 안의 수가 같을 때만 해요. 3\sqrt{3} 을 문자처럼 보고 계수끼리 더해서 23+53=732\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3} 이에요.
근호 안을 먼저 간단히
12+27\sqrt{12}+\sqrt{27}
12=23,27=33\sqrt{12}=2\sqrt{3},\quad \sqrt{27}=3\sqrt{3}
↳근호 안이 같아져요
23+33=532\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}
↳계수끼리 더해요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
8+18\sqrt{8}+\sqrt{18} 의 값은?
근호 안끼리 더하기
✗ 틀린 풀이
2+3=5\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}
왜 틀렸나 곱셈에서는 ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} 이지만, 덧셈에서는 근호 안의 수끼리 더할 수 없다.
✓ 바른 풀이
2+3\sqrt{2}+\sqrt{3} 은 더 이상 간단히 할 수 없다.
예를 들어 9+16=3+4=7\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7 이지만 25=5\sqrt{25}=5 이다.
공식곱셈과 덧셈 비교
곱셈
2×3=6\displaystyle \sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}
근호 안의 수가 달라도 계산된다.
덧셈
2+3≠5\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}\ne\sqrt{5}
근호 안의 수가 같을 때만 계수끼리 계산된다.
덧셈
23+53=73\displaystyle 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? 23+532\sqrt{3}+5\sqrt{3} 은 3\sqrt{3} 을 하나의 문자처럼 보면 2x+5x=7x2x+5x=7x 와 같은 꼴이에요.
23+53=(2+5)3=732\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(2+5)\sqrt{3}=7\sqrt{3}

5근호를 포함한 식의 혼합 계산

괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀어요.

학생
괄호를 푼 다음에는 어떤 순서로 계산해요?
쌤
곱셈·나눗셈을 먼저 한 뒤 덧셈·뺄셈을 해요. 마지막에 근호 안의 수가 같은 것끼리 모아요.
2(3+6)\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{6})
=23+26=\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}\sqrt{6}
↳분배법칙
=6+12=\sqrt{6}+\sqrt{12}
=6+23=\sqrt{6}+2\sqrt{3}
↳12=23\sqrt{12}=2\sqrt3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
2(8+1)\sqrt{2}(\sqrt{8}+1) 의 값은?
곱셈을 먼저
✗ 틀린 풀이
2+2×3=22×3=26\sqrt{2}+\sqrt{2}\times\sqrt{3}=2\sqrt{2}\times\sqrt{3}=2\sqrt{6}
왜 틀렸나 덧셈과 곱셈이 섞인 식에서는 곱셈을 먼저 하므로 2×3=6\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6} 부터 계산한다.
✓ 바른 풀이
2+2×3=2+6\sqrt{2}+\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2}+\sqrt{6}
2\sqrt{2} 와 6\sqrt{6} 은 근호 안의 수가 달라서 더 이상 묶을 수 없다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
혼합 계산의 순서
  1. 1
    괄호가 있으면 분배법칙으로 괄호를 풀어요.
  2. 2
    근호 안의 제곱인 인수는 근호 밖으로 꺼내요.
  3. 3
    분모에 근호가 있으면 분모를 유리화해요.
  4. 4
    곱셈, 나눗셈을 먼저 하고 덧셈, 뺄셈을 해요.
    수의 계산 순서와 같아요.
  5. 5
    근호 안의 수가 같은 것끼리 모아 정리해요.
분배법칙
3(6−23)\sqrt{3}(\sqrt{6}-2\sqrt{3})
=3×6−3×23=\sqrt{3}\times\sqrt{6}-\sqrt{3}\times2\sqrt{3}
=18−6=\sqrt{18}-6
=32−6=3\sqrt{2}-6
↳18=32\sqrt{18}=3\sqrt2
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1a>0a>0, b>0b>0 일 때 ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}, ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} 이다.
  2. 2a>0a>0, b>0b>0 일 때 a2b=ab\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b} 이다. 근호 안의 제곱인 인수는 근호 밖으로 꺼내어 근호 안을 가장 작은 자연수로 만든다.
  3. 3분모에 근호가 있으면 분모와 분자에 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고친다. ab=abb\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}
  4. 4근호 안의 수가 같은 것끼리만 더하거나 뺄 수 있다. ma+na=(m+n)am\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}
✗ 자주 하는 실수
  • 18=9×2=92\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=9\sqrt{2} 처럼 제곱인 인수를 근호 밖으로 꺼낼 때 제곱근을 구하지 않아요.
  • 2+3=5\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} 처럼 곱셈 규칙을 덧셈에도 써요.
  • 분모를 유리화할 때 분모에만 근호를 곱하고 분자에는 곱하지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다음을 계산하시오.
    (1) 18×6\sqrt{18}\times\sqrt{6}
    (2) 46÷234\sqrt{6}\div2\sqrt{3}
    (3) 35×103\sqrt{\frac{3}{5}}\times\sqrt{\frac{10}{3}}
  2. 예제 2
    다음을 계산하시오.
    (1) 42−18+32\frac{4}{\sqrt{2}}-\sqrt{18}+\sqrt{32}
    (2) 53+153\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{15}}{3}
  3. 예제 3
    3(6−2)+6−62\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})+\frac{6-\sqrt{6}}{\sqrt{2}} 을 계산하시오.

다음 공부

다음 개념: 이차방정식 →
이전 개념: 제곱근과 실수설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 소인수분해, 중1 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈중학교 3학년 목차
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