정의 급수
수열 { a n } \{a_n\} { a n } a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n + ⋯ a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n + ⋯ ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty}a_n ∑ n = 1 ∞ a n 첫째항부터 제n n n S n = ∑ k = 1 n a k S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k S n = ∑ k = 1 n a k n n n 부분합 이라 한다. 이전 개념 학생 무한히 많은 수를 더한 값을 어떻게 구해요?
쌤 무한히 더할 수는 없으니까, 제n n n S n S_n S n n → ∞ n\to\infty n → ∞ S n S_n S n 정의 급수의 수렴과 발산
부분합으로 이루어진 수열 { S n } \{S_n\} { S n } S S S ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty}a_n ∑ n = 1 ∞ a n S S S S S S 급수의 합 이라 한다.∑ n = 1 ∞ a n = lim n → ∞ S n = S \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}S_n=S n = 1 ∑ ∞ a n = n → ∞ lim S n = S { S n } \{S_n\} { S n } 부분합으로 판정하기
∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n : S n = 1 − ( 1 2 ) n → 1 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n:\ S_n=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to1 ∑ n = 1 ∞ ( 2 1 ) n : S n = 1 − ( 2 1 ) n → 1 ∑ n = 1 ∞ n : S n = n ( n + 1 ) 2 → ∞ \sum_{n=1}^{\infty}n:\ S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\to\infty ∑ n = 1 ∞ n : S n = 2 n ( n + 1 ) → ∞ ↳ ◀ 자연수의 합, 발산
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n : S n = − 1 , 0 , − 1 , 0 , ⋯ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n:\ S_n=-1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \cdots ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n : S n = − 1 , 0 , − 1 , 0 , ⋯ ↳ ◀ 진동하므로 발산
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
부분합이 S n = 2 n n + 1 S_n=\dfrac{2n}{n+1} S n = n + 1 2 n ⚠ 주의 급수의 합은 부분합의 극한이다
급수의 합은 무한히 많은 수를 「모두 더한 값」이 아니라, 부분합 S n S_n S n 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 1-1+1-1+\cdots 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 1 , 0 , 1 , 0 , ⋯ 1,\ 0,\ 1,\ 0,\ \cdots 1 , 0 , 1 , 0 , ⋯ 일반항이 분수식이면 부분분수로 나누어 S n S_n S n
부분분수
1 A B = 1 B − A ( 1 A − 1 B ) \displaystyle \frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right) A B 1 = B − A 1 ( A 1 − B 1 ) A ≠ B A\ne B A = B B − A B-A B − A 쌤 이웃한 항이 서로 지워져서 처음과 끝의 몇 항만 남아요. 그것으로 S n S_n S n ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)} ∑ n = 1 ∞ n ( n + 1 ) 1 1 n ( n + 1 ) = 1 n − 1 n + 1 \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} n ( n + 1 ) 1 = n 1 − n + 1 1 ↳ ◀ 부분분수
S n = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ S_n=\left(1-\tfrac{1}{2}\right)+\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\right)+\cdots S n = ( 1 − 2 1 ) + ( 2 1 − 3 1 ) + ⋯ ↳ ◀ 이웃한 항이 지워져요
+ ( 1 n − 1 n + 1 ) \quad+\left(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}\right) + ( n 1 − n + 1 1 ) S n = 1 − 1 n + 1 S_n=1-\dfrac{1}{n+1} S n = 1 − n + 1 1 ↳ ◀ 처음과 끝만 남아요
lim n → ∞ S n = 1 \lim_{n\to\infty}S_n=1 lim n → ∞ S n = 1 ↳ ◀ 급수의 합
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∑ n = 1 ∞ 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+2)} n = 1 ∑ ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) 1 1 1 1 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 3 2 \dfrac{3}{2} 2 3 부분분수의 계수를 빠뜨리지 않는다
✗ 틀린 풀이
1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) = 1 2 n − 1 − 1 2 n + 1 \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1} ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) 1 = 2 n − 1 1 − 2 n + 1 1 왜 틀렸나 부분분수로 나눌 때는 두 분수의 차를 분모 두 인수의 차 ( 2 n + 1 ) − ( 2 n − 1 ) = 2 (2n+1)-(2n-1)=2 ( 2 n + 1 ) − ( 2 n − 1 ) = 2 ↓ ✓ 바른 풀이
1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) = 1 2 ( 1 2 n − 1 − 1 2 n + 1 ) \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right) ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) 1 = 2 1 ( 2 n − 1 1 − 2 n + 1 1 ) 검산: 1 2 n − 1 − 1 2 n + 1 \dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1} 2 n − 1 1 − 2 n + 1 1 2 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) \dfrac{2}{(2n-1)(2n+1)} ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) 2 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 그림 예제 3 일반항이 분수식이면 부분분수로 나누어 S n S_n S n 유리화 하여 같은 방법을 써요. 등비급수 의 공식으로 바로 구해요.
이전 개념 부분분수로 급수의 합 구하기
1 일반항을 부분분수로 나눠요.
통분하여 원래 식이 되는지 확인해요.
2 3 4
∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) 1 1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) = 1 2 ( 1 2 n − 1 − 1 2 n + 1 ) \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right) ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) 1 = 2 1 ( 2 n − 1 1 − 2 n + 1 1 ) S n = 1 2 ( 1 − 1 2 n + 1 ) S_n=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right) S n = 2 1 ( 1 − 2 n + 1 1 ) lim n → ∞ S n = 1 2 \lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{1}{2} lim n → ∞ S n = 2 1 두 항씩 남는 경우 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 2 ) \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+2)} ∑ n = 1 ∞ n ( n + 2 ) 1 1 n ( n + 2 ) = 1 2 ( 1 n − 1 n + 2 ) \dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right) n ( n + 2 ) 1 = 2 1 ( n 1 − n + 2 1 ) ↳ ◀ 하나 건너 지워져요
S n = 1 2 ( 1 + 1 2 − 1 n + 1 − 1 n + 2 ) S_n=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right) S n = 2 1 ( 1 + 2 1 − n + 1 1 − n + 2 1 ) ↳ ◀ 앞의 두 항, 뒤의 두 항이 남아요
lim n → ∞ S n = 1 2 × 3 2 = 3 4 \lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4} lim n → ∞ S n = 2 1 × 2 3 = 4 3 근호가 있는 경우 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 + n \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} ∑ n = 1 ∞ n + 1 + n 1 1 n + 1 + n = n + 1 − n \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} n + 1 + n 1 = n + 1 − n ↳ ◀ 분모 유리화
S n = n + 1 − 1 S_n=\sqrt{n+1}-1 S n = n + 1 − 1 ↳ ◀ 중간 항이 지워져요
성질 급수가 수렴하면 일반항은 0 에 수렴한다
급수 ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty}a_n ∑ n = 1 ∞ a n { a n } \{a_n\} { a n } 0 에 수렴한다. 즉 lim n → ∞ a n = 0 \lim_{n\to\infty}a_n=0 lim n → ∞ a n = 0 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 a n = S n − S n − 1 a_n=S_n-S_{n-1} a n = S n − S n − 1 이다.∑ n = 1 ∞ a n = S \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S ∑ n = 1 ∞ a n = S lim n → ∞ S n = S \lim_{n\to\infty}S_n=S lim n → ∞ S n = S lim n → ∞ S n − 1 = S \lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S lim n → ∞ S n − 1 = S lim n → ∞ a n = S − S = 0 \lim_{n\to\infty}a_n=S-S=0 lim n → ∞ a n = S − S = 0 이전 개념 성질 발산 판정
위 성질의 대우 에 의하여lim n → ∞ a n ≠ 0 \lim_{n\to\infty}a_n\ne0 lim n → ∞ a n = 0 ∑ n = 1 ∞ a n \sum_{n=1}^{\infty}a_n ∑ n = 1 ∞ a n lim n → ∞ a n \lim_{n\to\infty}a_n lim n → ∞ a n ∑ n = 1 ∞ n 2 n + 1 \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1} ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 n lim n → ∞ n 2 n + 1 = 1 2 ≠ 0 \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{1}{2}\ne0 lim n → ∞ 2 n + 1 n = 2 1 = 0 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n { ( − 1 ) n } \{(-1)^n\} {( − 1 ) n } 이전 개념 학생 그럼 a n → 0 a_n\to0 a n → 0 쌤 꼭 그렇지는 않아요. a n → 0 a_n\to0 a n → 0 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
일반항의 극한만 보고 바로 발산을 알 수 있는 급수는?
∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)} n = 1 ∑ ∞ n ( n + 1 ) 1 ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n n = 1 ∑ ∞ ( 2 1 ) n ∑ n = 1 ∞ 2 n n + 3 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2n}{n+3} n = 1 ∑ ∞ n + 3 2 n 일반항이 0 에 수렴해도 급수는 발산할 수 있다
✗ 틀린 풀이
lim n → ∞ 1 n + 1 + n = 0 \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 lim n → ∞ n + 1 + n 1 = 0 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 + n \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} ∑ n = 1 ∞ n + 1 + n 1 왜 틀렸나 lim n → ∞ a n = 0 \lim_{n\to\infty}a_n=0 lim n → ∞ a n = 0 S n S_n S n ↓ ✓ 바른 풀이
S n = n + 1 − 1 → ∞ S_n=\sqrt{n+1}-1\to\infty S n = n + 1 − 1 → ∞ ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 + n \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} ∑ n = 1 ∞ n + 1 + n 1 바른 계산: 분모를 유리화하면 a n = n + 1 − n a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} a n = n + 1 − n S n = ( 2 − 1 ) + ( 3 − 2 ) + ⋯ + ( n + 1 − n ) = n + 1 − 1 S_n=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n+1}-1 S n = ( 2 − 1 ) + ( 3 − 2 ) + ⋯ + ( n + 1 − n ) = n + 1 − 1 수렴하는 급수에서 일반항의 극한 구하기 ∑ n = 1 ∞ ( a n − 2 ) \sum_{n=1}^{\infty}(a_n-2) ∑ n = 1 ∞ ( a n − 2 ) lim n → ∞ ( a n − 2 ) = 0 \lim_{n\to\infty}(a_n-2)=0 lim n → ∞ ( a n − 2 ) = 0 lim n → ∞ a n = 2 \lim_{n\to\infty}a_n=2 lim n → ∞ a n = 2 lim n → ∞ 3 a n + 1 a n − 1 = 3 × 2 + 1 2 − 1 = 7 \lim_{n\to\infty}\dfrac{3a_n+1}{a_n-1}=\dfrac{3\times2+1}{2-1}=7 lim n → ∞ a n − 1 3 a n + 1 = 2 − 1 3 × 2 + 1 = 7 + 펼치기 접기 틀리기 쉬운 곳 ⚠ 주의 역은 성립하지 않는다
lim n → ∞ a n = 0 \lim_{n\to\infty}a_n=0 lim n → ∞ a n = 0 a n = n + 1 − n a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} a n = n + 1 − n a n = 1 n + 1 + n → 0 a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to0 a n = n + 1 + n 1 → 0 S n = n + 1 − 1 → ∞ S_n=\sqrt{n+1}-1\to\infty S n = n + 1 − 1 → ∞ lim n → ∞ a n = 0 \lim_{n\to\infty}a_n=0 lim n → ∞ a n = 0 S n S_n S n 공식 두 급수 ∑ n = 1 ∞ a n = S \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S ∑ n = 1 ∞ a n = S ∑ n = 1 ∞ b n = T \sum_{n=1}^{\infty}b_n=T ∑ n = 1 ∞ b n = T 실수배
∑ n = 1 ∞ k a n = k S \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ka_n=kS n = 1 ∑ ∞ k a n = k S 합
∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) = S + T \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)=S+T n = 1 ∑ ∞ ( a n + b n ) = S + T 차
∑ n = 1 ∞ ( a n − b n ) = S − T \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_n-b_n)=S-T n = 1 ∑ ∞ ( a n − b n ) = S − T 쌤 아니요. 합·차·실수배만 각 급수의 합으로 계산해요. 곱과 몫은 이렇게 계산할 수 없어요.
성질을 이용한 계산 ∑ n = 1 ∞ a n = 3 \sum_{n=1}^{\infty}a_n=3 ∑ n = 1 ∞ a n = 3 ∑ n = 1 ∞ b n = − 1 \sum_{n=1}^{\infty}b_n=-1 ∑ n = 1 ∞ b n = − 1 ∑ n = 1 ∞ ( 2 a n − 5 b n ) = 2 × 3 − 5 × ( − 1 ) = 11 \sum_{n=1}^{\infty}(2a_n-5b_n)=2\times3-5\times(-1)=11 ∑ n = 1 ∞ ( 2 a n − 5 b n ) = 2 × 3 − 5 × ( − 1 ) = 11 ↳ ◀ 실수배와 차
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
∑ n = 1 ∞ a n = 4 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=4 n = 1 ∑ ∞ a n = 4 ∑ n = 1 ∞ b n = 1 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n=1 n = 1 ∑ ∞ b n = 1 ∑ n = 1 ∞ ( a n + 3 b n ) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+3b_n) n = 1 ∑ ∞ ( a n + 3 b n ) ⚠ 주의 곱과 몫에는 이런 성질이 없다
a n = b n = ( 1 2 ) n a_n=b_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n a n = b n = ( 2 1 ) n ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ b n = 1 \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}b_n=1 ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ b n = 1 a n b n = ( 1 4 ) n a_nb_n=\left(\dfrac{1}{4}\right)^n a n b n = ( 4 1 ) n 1 3 { 1 − ( 1 4 ) n } \dfrac{1}{3}\left\{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right\} 3 1 { 1 − ( 4 1 ) n } ∑ n = 1 ∞ a n b n = 1 3 \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n=\dfrac{1}{3} ∑ n = 1 ∞ a n b n = 3 1 1 × 1 = 1 1\times1=1 1 × 1 = 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 이유: 부분합에서 ∑ k = 1 n ( a k + b k ) = ∑ k = 1 n a k + ∑ k = 1 n b k \sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k ∑ k = 1 n ( a k + b k ) = ∑ k = 1 n a k + ∑ k = 1 n b k 극한의 합 이에요.
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