수학 개념 노트전체 과목

수열의 합과 일반항의 관계

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
수열의 합 SnS_n 에서 a1=S1a_1=S_1, an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} (n≥2n\ge2) 로 일반항을 구해요. SnS_n 이 상수항이 없는 nn 에 대한 이차식이면 첫째항부터 등차수열이고, Sn=Arn+BS_n=Ar^n+B 에서 A+B=0A+B=0 이면 첫째항부터 등비수열이에요.
  1. 1합에서 일반항 구하기
  2. 2합이 이차식이면 등차수열
  3. 3합이 지수 꼴이면 등비수열
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1합에서 일반항 구하기

지금까지는 일반항을 알고 합 SnS_n 을 구했어요.
거꾸로 합 SnS_n 을 nn 에 대한 식으로 알면 일반항 ana_n 을 구할 수 있어요.

정의수열의 합과 일반항의 관계
수열 {an}\{a_n\} 의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS_n 이라 하면
a1=S1a_1=S_1
an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1}
둘째 식은 S0S_0 이 없으므로 n≥n\ge 22 일 때만 성립한다.
학생
왜 a1a_1 은 따로 구해요?
쌤
an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} 에 n=1n=1 을 넣으면 S0S_0 이 필요한데, S0S_0 은 정해져 있지 않아요. 그래서 a1=S1a_1=S_1 로 따로 구하고, 위 식에 n=1n=1 을 넣은 값과 같은지 확인해요.
공식기억할 관계
첫째항
a1=S1\displaystyle a_1=S_1
제nn항
an=Sn−Sn−1 (n≥2)\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\ge2)
nn 개의 합에서 n−1n-1 개의 합을 뺀다.
중간 구간의 합
am+1+am+2+⋯+ak=Sk−Sm\displaystyle a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_k=S_k-S_m
예: a6+a7+a8=S8−S5a_6+a_7+a_8=S_8-S_5
Sn=n2+2nS_n=n^2+2n
a1=S1=3a_1=S_1=3
Sn−1=(n−1)2+2(n−1)=n2−1S_{n-1}=(n-1)^2+2(n-1)=n^2-1
↳n≥2n\ge2
an=(n2+2n)−(n2−1)=2n+1a_n=(n^2+2n)-(n^2-1)=2n+1
↳Sn−Sn−1S_n-S_{n-1}
n=1: 2×1+1=3=a1n=1:\ 2\times1+1=3=a_1
↳같으므로 모든 nn 에서 an=2n+1a_n=2n+1
a1+a2=3+5=8=S2a_1+a_2=3+5=8=S_2
↳검산
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
Sn=n2+3nS_n=n^2+3n 일 때 a5a_5 의 값은?
n=1n=1 확인을 빠뜨리는 실수
✗ 틀린 풀이
Sn=n2+2n+1S_n=n^2+2n+1 이므로 모든 nn 에 대하여 an=2n+1a_n=2n+1
왜 틀렸나 an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} 은 n≥2n\ge2 에서만 성립하므로 a1=S1a_1=S_1 을 따로 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
a1=S1=4a_1=S_1=4 이고 an=2n+1a_n=2n+1 (n≥2n\ge2)
an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} 은 n≥2n\ge2 에서만 얻은 식이에요.
n=1n=1 을 넣은 값 33 이 S1=4S_1=4 와 다르므로 첫째항은 따로 써요.
Sn−1S_{n-1} 을 쓸 때 일부만 바꾸는 실수
✗ 틀린 풀이
Sn=n2+2nS_n=n^2+2n 이면 Sn−1=(n−1)2+2nS_{n-1}=(n-1)^2+2n
왜 틀렸나 Sn−1S_{n-1} 은 SnS_n 의 식에서 nn 이 있는 모든 자리를 n−1n-1 로 바꾼 것이다.
✓ 바른 풀이
Sn−1=(n−1)2+2(n−1)S_{n-1}=(n-1)^2+2(n-1)
nn 이 있는 자리를 모두 (n−1)(n-1) 로 바꾼다.
바른 계산은 an=Sn−Sn−1=2n+1a_n=S_n-S_{n-1}=2n+1 이고, n=1n=1 이면 3=S13=S_1 으로 맞는다.
자세히 보기펼치기예제 3외우기 카드왜 그런지
SnS_n 과 Sn−1S_{n-1} 을 빼서 유도하기
Sn=a1+a2+⋯+an−1+anS_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n
↳제nn항까지의 합
Sn−1=a1+a2+⋯+an−1S_{n-1}=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}
↳제(n−1)(n-1)항까지, n≥2n\ge2
Sn−Sn−1=anS_n-S_{n-1}=a_n
↳마지막 항 ana_n 만 남아요
a1=S1a_1=S_1
↳첫째항은 S1S_1 그 자체
관계 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2nn 개의 합에서 n−1n-1 개의 합을 뺀다.
an (n≥2)=Sn−S□a_n\ (n\ge2)=S_n-S_{\square}
단계 1 / 1
a1=□a_1=\square
일반항을 구하는 순서
  1. 1
    a1=S1a_1=S_1 을 구해요.
    SnS_n 에 n=1n=1 을 넣어요.
  2. 2
    Sn−1S_{n-1} 을 써요.
    SnS_n 의 모든 nn 자리에 (n−1)(n-1) 을 괄호째 넣어요.
  3. 3
    an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} 을 정리해요.
    이 식은 n≥2n\ge2 일 때의 일반항이에요.
  4. 4
    구한 식에 n=1n=1 을 넣어 a1a_1 과 비교해요.
    같으면 하나의 식으로, 다르면 a1a_1 과 ana_n (n≥2n\ge2) 으로 나누어 써요.
  5. 5
    a1+a2=S2a_1+a_2=S_2 인지 확인해요.
    검산
응용
Sn=n2+2n+1S_n=n^2+2n+1 (상수항이 있는 경우)
a1=S1=4a_1=S_1=4
an=Sn−Sn−1=2n+1a_n=S_n-S_{n-1}=2n+1
↳n≥2n\ge2
n=1: 2×1+1=3≠4n=1:\ 2\times1+1=3\ne4
↳첫째항만 달라요
a1=4,an=2n+1 (n≥2)a_1=4,\quad a_n=2n+1\ (n\ge2)
↳수열은 4, 5, 7, 9, ⋯4,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots
특정한 항, 중간 구간의 합 (Sn=n2+2nS_n=n^2+2n)
a10=S10−S9=120−99=21a_{10}=S_{10}-S_9=120-99=21
↳일반항 없이
a6+a7+a8=S8−S5=80−35=45a_6+a_7+a_8=S_8-S_5=80-35=45

2합이 이차식이면 등차수열

Sn=An2+Bn+CS_n=An^2+Bn+C 이면 n≥2n\ge2 일 때 an=Sn−Sn−1=2An−A+Ba_n=S_n-S_{n-1}=2An-A+B 이므로, 둘째항부터는 공차가 2A2A 인 등차수열이에요.

첫째항부터 등차수열인 조건은 SnS_n 의 상수항이 00 인 거예요.

학생
상수항이 있으면 왜 첫째항만 어긋나요?
쌤
an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} 을 계산할 때 상수항은 빼면서 지워져요. 그런데 a1=S1a_1=S_1 에는 상수항이 그대로 남아서 첫째항만 달라져요.
성질등차수열의 합의 모양 (거꾸로 방향)
첫째항이 aa, 공차가 dd 인 등차수열의 합은
Sn=n{2a+(n−1)d}2=d2n2+(a−d2)nS_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a-\dfrac{d}{2}\right)n
이므로 상수항이 없는 nn 에 대한 식이다.
이차항의 계수의 22 배가 공차이다.
상수항이 없는 이차식
Sn=2n2−3nS_n=2n^2-3n
공차 2×2=4\text{공차 }2\times2=4
↳상수항 00: 첫째항부터 등차
a1=S1=−1a_1=S_1=-1
an=4n−5a_n=4n-5
n=1: 4−5=−1n=1:\ 4-5=-1
↳검산
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
Sn=n2−2n+kS_n=n^2-2n+k 인 수열이 첫째항부터 등차수열일 때 kk 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

Sn=An2+Bn+CS_n=An^2+Bn+C (A, B, CA,\ B,\ C 는 상수) 일 때
a1=S1=A+B+Ca_1=S_1=A+B+C
n≥2n\ge2 일 때
an=Sn−Sn−1=A{n2−(n−1)2}+B{n−(n−1)}=2An−A+Ba_n=S_n-S_{n-1}=A\{n^2-(n-1)^2\}+B\{n-(n-1)\}=2An-A+B (CC 는 빼면 지워져요)
이 식은 nn 에 대한 일차식이에요.

an=2An−A+Ba_n=2An-A+B 에 n=1n=1 을 넣으면 A+BA+B 이에요.
a1=A+B+Ca_1=A+B+C 와 비교하면 차이가 CC 이므로
C=0C=0 이면 첫째항부터 등차수열이에요.
C≠0C\ne0 이면 첫째항만 어긋나고 둘째항부터 등차수열이에요.

3합이 지수 꼴이면 등비수열

Sn=Arn+BS_n=Ar^n+B (A≠0, r≠0, r≠1A\ne0,\ r\ne0,\ r\ne1) 일 때
a1=S1=Ar+Ba_1=S_1=Ar+B
n≥2n\ge2 일 때
an=(Arn+B)−(Arn−1+B)=A(r−1)rn−1a_n=(Ar^n+B)-(Ar^{n-1}+B)=A(r-1)r^{n-1}
이므로 둘째항부터 공비가 rr 인 등비수열이에요.

성질등비수열의 합의 모양 (거꾸로 방향)
첫째항이 aa, 공비가 rr (r≠1r\ne1) 인 등비수열의 합은
Sn=a(rn−1)r−1=ar−1 rn−ar−1S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}=\dfrac{a}{r-1}\,r^n-\dfrac{a}{r-1}
이므로 rnr^n 의 계수와 상수항의 합이 00 이다.
공식합의 모양으로 수열 알아보기
Sn=An2+Bn+CS_n=An^2+Bn+C
C=0\displaystyle C=0
첫째항부터 등차수열 (공차 2A2A)
Sn=An2+Bn+CS_n=An^2+Bn+C
C≠0\displaystyle C\ne0
a1=A+B+Ca_1=A+B+C, 둘째항부터 등차수열
Sn=Arn+BS_n=Ar^n+B
A+B=0\displaystyle A+B=0
첫째항부터 등비수열 (공비 rr)
Sn=Arn+BS_n=Ar^n+B
A+B≠0\displaystyle A+B\ne0
a1=Ar+Ba_1=Ar+B, 둘째항부터 등비수열
학생
Sn=2n−1S_n=2^n-1 은 첫째항부터 등비수열이에요?
쌤
네. 2n2^n 의 계수 11 과 상수항 −1-1 을 더하면 00 이니까 첫째항부터 등비수열이에요. 실제로 an=2n−1a_n=2^{n-1} 이에요.
응용
Sn=2n−1:an=2n−2n−1=2n−1S_n=2^n-1:\quad a_n=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}
↳1+(−1)=01+(-1)=0: 첫째항부터 등비
Sn=3n+1:a1=4, an=2×3n−1 (n≥2)S_n=3^n+1:\quad a_1=4,\ a_n=2\times3^{n-1}\ (n\ge2)
↳1+1≠01+1\ne0: 둘째항부터 등비
Sn=2×2n−2:an=2n+1−2n=2nS_n=2\times2^n-2:\quad a_n=2^{n+1}-2^n=2^n
↳2+(−2)=02+(-2)=0: 첫째항부터 등비
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
Sn=3n+kS_n=3^n+k 인 수열이 첫째항부터 등비수열일 때 kk 의 값은?
3n−3n−13^n-3^{n-1} 계산
✗ 틀린 풀이
3n−3n−1=3n−(n−1)=33^n-3^{n-1}=3^{n-(n-1)}=3
왜 틀렸나 지수를 빼는 것은 나눗셈일 때이므로 뺄셈은 공통인 3n−13^{n-1} 로 묶어 계산한다.
✓ 바른 풀이
3n−3n−1=3n−1(3−1)=2×3n−13^n-3^{n-1}=3^{n-1}(3-1)=2\times3^{n-1}
지수를 빼는 것은 나눗셈 3n÷3n−13^n\div3^{n-1} 일 때예요.
뺄셈은 3n−13^{n-1} 로 묶어서 계산해요.
검산: n=2n=2 이면 9−3=69-3=6 이에요.
등차와 등비의 조건을 섞는 실수
✗ 틀린 풀이
Sn=3×2n+kS_n=3\times2^n+k 가 첫째항부터 등비수열이면 상수항이 00 이므로 k=0k=0
왜 틀렸나 Sn=Arn+BS_n=Ar^n+B 꼴이 첫째항부터 등비수열이 되기 위해서는 A+B=0A+B=0 이어야 한다.
✓ 바른 풀이
3+k=03+k=0 이므로 k=−3k=-3
상수항이 00 이어야 하는 것은 이차식 꼴(등차수열)이에요.
지수 꼴(등비수열)은 rnr^n 의 계수와 상수항의 합이 00 이어야 해요.
자세히 보기펼치기예제
첫째항과 비교하기
n=1: A(r−1)r0=Ar−An=1:\ A(r-1)r^0=Ar-A
↳일반항 식에 n=1n=1
a1=Ar+Ba_1=Ar+B
(Ar+B)−(Ar−A)=A+B(Ar+B)-(Ar-A)=A+B
↳차이
A+B=0A+B=0 이면 첫째항부터, A+B≠0A+B\ne0 이면 둘째항부터 등비수열이에요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1수열 {an}\{a_n\} 의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS_n 이라 하면
    a1=S1a_1=S_1
    an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} (n≥2n\ge2)
  2. 2Sn=An2+Bn+CS_n=An^2+Bn+C 일 때
    C=0C=0 이면 첫째항부터 등차수열, C≠0C\ne0 이면 둘째항부터 등차수열이다.
  3. 3Sn=Arn+BS_n=Ar^n+B (r≠0, r≠1r\ne0,\ r\ne1) 일 때
    A+B=0A+B=0 이면 첫째항부터 등비수열, A+B≠0A+B\ne0 이면 둘째항부터 등비수열이다.
  4. 4n≥2n\ge2 에서 구한 식에 n=1n=1 을 넣어 S1S_1 과 같은지 반드시 확인한다.
✗ 자주 하는 실수
  • an=Sn−Sn−1a_n=S_n-S_{n-1} 로 구한 식을 n=1n=1 일 때 확인하지 않고 모든 nn 에 대하여 써요.
  • Sn−1S_{n-1} 을 쓸 때 nn 의 일부만 n−1n-1 로 바꾸거나 괄호를 빠뜨려요.
  • 3n−3n−13^n-3^{n-1} 을 33 으로 계산하거나, 등비수열의 합 꼴에서도 「상수항이 00」 이라는 등차수열의 조건을 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    수열 {an}\{a_n\} 의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS_n 이 Sn=2n2−nS_n=2n^2-n 일 때, 일반항 ana_n 을 구하시오.
  2. 예제 2
    수열 {an}\{a_n\} 의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS_n 이 Sn=n2−3n+2S_n=n^2-3n+2 일 때, 일반항 ana_n 을 구하시오.
  3. 예제 3
    수열 {an}\{a_n\} 의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS_n 이 Sn=3n+1+kS_n=3^{n+1}+k 이고, 수열 {an}\{a_n\} 이 첫째항부터 등비수열을 이룰 때, 상수 kk 의 값과 일반항 ana_n 을 구하시오.

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