공식 lim n → ∞ a n = α \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha lim n → ∞ a n = α lim n → ∞ b n = β \lim_{n\to\infty}b_n=\beta lim n → ∞ b n = β α \alpha α β \beta β 실수배
lim n → ∞ k a n = k α \displaystyle \lim_{n\to\infty}ka_n=k\alpha n → ∞ lim k a n = k α 합
lim n → ∞ ( a n + b n ) = α + β \displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\alpha+\beta n → ∞ lim ( a n + b n ) = α + β 차
lim n → ∞ ( a n − b n ) = α − β \displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\alpha-\beta n → ∞ lim ( a n − b n ) = α − β 곱
lim n → ∞ a n b n = α β \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta n → ∞ lim a n b n = α β 몫
lim n → ∞ a n b n = α β \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta} n → ∞ lim b n a n = β α 단, b n ≠ 0 b_n\ne0 b n = 0 β ≠ 0 \beta\ne0 β = 0 이 성질은 두 수열이 모두 수렴 할 때만 쓸 수 있어요.
쌤 쓸 수 없어요. 예를 들어 a n = n a_n=n a n = n b n = − n b_n=-n b n = − n a n + b n = 0 a_n+b_n=0 a n + b n = 0 0 0 0 성질을 이용한 계산 lim n → ∞ a n = 3 \lim_{n\to\infty}a_n=3 lim n → ∞ a n = 3 lim n → ∞ b n = − 2 \lim_{n\to\infty}b_n=-2 lim n → ∞ b n = − 2 lim n → ∞ ( 2 a n − b n ) = 2 × 3 − ( − 2 ) = 8 \lim_{n\to\infty}(2a_n-b_n)=2\times3-(-2)=8 lim n → ∞ ( 2 a n − b n ) = 2 × 3 − ( − 2 ) = 8 ↳ ◀ 실수배와 차
lim n → ∞ a n b n = 3 × ( − 2 ) = − 6 \lim_{n\to\infty}a_nb_n=3\times(-2)=-6 lim n → ∞ a n b n = 3 × ( − 2 ) = − 6 ↳ ◀ 곱
lim n → ∞ a n + 1 b n = 3 + 1 − 2 = − 2 \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n+1}{b_n}=\dfrac{3+1}{-2}=-2 lim n → ∞ b n a n + 1 = − 2 3 + 1 = − 2 ↳ ◀ 몫
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
lim n → ∞ a n = 2 \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=2 n → ∞ lim a n = 2 lim n → ∞ b n = 4 \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=4 n → ∞ lim b n = 4 lim n → ∞ a n b n a n + b n \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_nb_n}{a_n+b_n} n → ∞ lim a n + b n a n b n 4 3 \dfrac{4}{3} 3 4 2 2 2 3 4 \dfrac{3}{4} 4 3 ⚠ 주의 각각 수렴할 때만 나눌 수 있다
a n = n a_n=n a n = n b n = − n b_n=-n b n = − n a n + b n = 0 a_n+b_n=0 a n + b n = 0 lim n → ∞ ( a n + b n ) = 0 \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=0 lim n → ∞ ( a n + b n ) = 0 lim n → ∞ ( a n + b n ) \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) lim n → ∞ ( a n + b n ) lim n → ∞ a n \lim_{n\to\infty}a_n lim n → ∞ a n lim n → ∞ b n \lim_{n\to\infty}b_n lim n → ∞ b n + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 2 상수수열 c , c , c , ⋯ c,\ c,\ c,\ \cdots c , c , c , ⋯ lim n → ∞ ( a n + c ) = α + c \lim_{n\to\infty}(a_n+c)=\alpha+c lim n → ∞ ( a n + c ) = α + c 급수 의 계산에도 그대로 쓰여요.
이전 개념 수렴하는 수열로 나타내기 lim n → ∞ ( 2 a n + 3 ) = 7 \lim_{n\to\infty}(2a_n+3)=7 lim n → ∞ ( 2 a n + 3 ) = 7 b n = 2 a n + 3 , lim n → ∞ b n = 7 b_n=2a_n+3,\ \lim_{n\to\infty}b_n=7 b n = 2 a n + 3 , lim n → ∞ b n = 7 ↳ ◀ 수렴하는 수열로 놓기
a n = b n − 3 2 a_n=\dfrac{b_n-3}{2} a n = 2 b n − 3 lim n → ∞ a n = 7 − 3 2 = 2 \lim_{n\to\infty}a_n=\dfrac{7-3}{2}=2 lim n → ∞ a n = 2 7 − 3 = 2 극한을 아는 것은 n a n na_n n a n n a n na_n n a n
수렴하는 수열로 나타내기 lim n → ∞ n a n = 3 \lim_{n\to\infty}na_n=3 lim n → ∞ n a n = 3 ( 2 n + 1 ) a n = n a n × 2 n + 1 n (2n+1)a_n=na_n\times\dfrac{2n+1}{n} ( 2 n + 1 ) a n = n a n × n 2 n + 1 ↳ ◀ 수렴하는 두 수열의 곱
lim n → ∞ 2 n + 1 n = 2 \lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{n}=2 lim n → ∞ n 2 n + 1 = 2 lim n → ∞ ( 2 n + 1 ) a n = 3 × 2 = 6 \lim_{n\to\infty}(2n+1)a_n=3\times2=6 lim n → ∞ ( 2 n + 1 ) a n = 3 × 2 = 6 ↳ ◀ 곱의 성질
분자와 분모가 모두 양의 무한대(또는 음의 무한대)로 발산하는 꼴이에요.
분모의 최고차항 으로 분자와 분모를 각각 나눠요.
쌤 그러면 분모는 0 0 0 2 n \dfrac{2}{n} n 2 0 0 0 차수가 같을 때
lim n → ∞ 3 n 2 + 2 n n 2 − 1 \lim_{n\to\infty}\dfrac{3n^2+2n}{n^2-1} lim n → ∞ n 2 − 1 3 n 2 + 2 n = lim n → ∞ 3 + 2 n 1 − 1 n 2 =\lim_{n\to\infty}\dfrac{3+\frac{2}{n}}{1-\frac{1}{n^2}} = lim n → ∞ 1 − n 2 1 3 + n 2 = 3 1 = 3 =\dfrac{3}{1}=3 = 1 3 = 3 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
lim n → ∞ 4 n 2 − 1 2 n 2 + n \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{4n^2-1}{2n^2+n} n → ∞ lim 2 n 2 + n 4 n 2 − 1 공식 ∞ ∞ \dfrac{\infty}{\infty} ∞ ∞ ( 분자의 차수 ) < ( 분모의 차수 ) (\text{분자의 차수})<(\text{분모의 차수}) ( 분자의 차수 ) < ( 분모의 차수 ) 왜? 이유 보기
( 분자의 차수 ) = ( 분모의 차수 ) (\text{분자의 차수})=(\text{분모의 차수}) ( 분자의 차수 ) = ( 분모의 차수 ) 분자의 최고차항의 계수 분모의 최고차항의 계수 \displaystyle \frac{\text{분자의 최고차항의 계수}}{\text{분모의 최고차항의 계수}} 분모의 최고차항의 계수 분자의 최고차항의 계수 왜? 이유 보기
( 분자의 차수 ) > ( 분모의 차수 ) (\text{분자의 차수})>(\text{분모의 차수}) ( 분자의 차수 ) > ( 분모의 차수 ) ∞ 또는 − ∞ \displaystyle \infty \text{ 또는 } -\infty ∞ 또는 − ∞ 발산한다.
왜? 이유 보기
∞ ∞ \dfrac{\infty}{\infty} ∞ ∞ 1 1 1 ✗ 틀린 풀이
lim n → ∞ 2 n 2 + 1 n 2 + n = ∞ ∞ = 1 \lim_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+1}{n^2+n}=\dfrac{\infty}{\infty}=1 lim n → ∞ n 2 + n 2 n 2 + 1 = ∞ ∞ = 1 왜 틀렸나 ∞ ∞ \dfrac{\infty}{\infty} ∞ ∞ n 2 n^2 n 2 ↓ ✓ 바른 풀이
분자와 분모를 n 2 n^2 n 2 lim n → ∞ 2 + 1 n 2 1 + 1 n = 2 \lim_{n\to\infty}\dfrac{2+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}}=2 lim n → ∞ 1 + n 1 2 + n 2 1 = 2 확인: n = 1000 n=1000 n = 1000 2000001 1001000 ≈ 1.998 \dfrac{2000001}{1001000}\approx1.998 1001000 2000001 ≈ 1.998 2 2 2 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 2 분자와 분모가 모두 양의 무한대(또는 음의 무한대)로 발산하는 꼴이에요.c n \dfrac{c}{n} n c c n 2 \dfrac{c}{n^2} n 2 c 0 0 0 r n r^n r n 등비수열의 극한 에서 다뤄요.
이전 개념 분모의 차수가 클 때·분자의 차수가 클 때
lim n → ∞ 2 n + 5 n 2 + 1 = lim n → ∞ 2 n + 5 n 2 1 + 1 n 2 = 0 \lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+5}{n^2+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}=0 lim n → ∞ n 2 + 1 2 n + 5 = lim n → ∞ 1 + n 2 1 n 2 + n 2 5 = 0 lim n → ∞ n 2 + 1 3 n − 2 = lim n → ∞ n + 1 n 3 − 2 n = ∞ \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2+1}{3n-2}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+\frac{1}{n}}{3-\frac{2}{n}}=\infty lim n → ∞ 3 n − 2 n 2 + 1 = lim n → ∞ 3 − n 2 n + n 1 = ∞ 근호가 있을 때
lim n → ∞ 4 n 2 + n n + 3 \lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{4n^2+n}}{n+3} lim n → ∞ n + 3 4 n 2 + n = lim n → ∞ 4 + 1 n 1 + 3 n =\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{4+\frac{1}{n}}}{1+\frac{3}{n}} = lim n → ∞ 1 + n 3 4 + n 1 ↳ ◀ 위아래를 n = n 2 n=\sqrt{n^2} n = n 2 = 4 1 = 2 =\dfrac{\sqrt{4}}{1}=2 = 1 4 = 2 근호 안의 식은
n 2 n^2 n 2 으로 나누어진다는 점에 주의해요.
두 수열이 모두 양의 무한대로 발산하면서 빼는 꼴이에요.
다항식이면 최고차항으로 묶고, 근호가 있으면 분모를 1 1 1 유리화 하여 ∞ ∞ \dfrac{\infty}{\infty} ∞ ∞
학생 ∞ − ∞ \infty-\infty ∞ − ∞ 0 0 0 쌤 아니에요. 두 수열이 커지는 빠르기가 달라서 값이 따로 있어요. 그래서 꼭 식을 바꿔서 계산해요.
근호가 있으면 유리화
lim n → ∞ ( n 2 + 4 n − n ) \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n}-n) lim n → ∞ ( n 2 + 4 n − n ) = lim n → ∞ 4 n n 2 + 4 n + n =\lim_{n\to\infty}\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n} = lim n → ∞ n 2 + 4 n + n 4 n ↳ ◀ 위아래에 n 2 + 4 n + n \sqrt{n^2+4n}+n n 2 + 4 n + n = lim n → ∞ 4 1 + 4 n + 1 = 4 2 = 2 =\lim_{n\to\infty}\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+1}=\dfrac{4}{2}=2 = lim n → ∞ 1 + n 4 + 1 4 = 2 4 = 2 ( A − B ) ( A + B ) = A − B 2 (\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2 ( A − B ) ( A + B ) = A − B 2 을 쓰려고
n 2 + 4 n + n \sqrt{n^2+4n}+n n 2 + 4 n + n 을 곱해요. 분자는
( n 2 + 4 n ) − n 2 = 4 n (n^2+4n)-n^2=4n ( n 2 + 4 n ) − n 2 = 4 n 이 되어 근호가 사라져요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
lim n → ∞ ( n 2 + 6 n − n ) \displaystyle\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+6n}-n) n → ∞ lim ( n 2 + 6 n − n ) ∞ − ∞ \infty-\infty ∞ − ∞ 0 0 0 ✗ 틀린 풀이
lim n → ∞ ( n 2 + 4 n − n ) = ∞ − ∞ = 0 \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n}-n)=\infty-\infty=0 lim n → ∞ ( n 2 + 4 n − n ) = ∞ − ∞ = 0 왜 틀렸나 ∞ − ∞ \infty-\infty ∞ − ∞ ↓ ✓ 바른 풀이
유리화하면lim n → ∞ ( n 2 + 4 n − n ) = 2 \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n}-n)=2 lim n → ∞ ( n 2 + 4 n − n ) = 2 두 수열이 커지는 빠르기가 조금 달라 차가 2 2 2 n = 10000 n=10000 n = 10000 100040000 − 10000 ≈ 1.9998 \sqrt{100040000}-10000\approx1.9998 100040000 − 10000 ≈ 1.9998 + 펼치기 접기 예제 3 다항식은 최고차항으로 묶기
n 2 − 3 n = n 2 ( 1 − 3 n ) n^2-3n=n^2\left(1-\dfrac{3}{n}\right) n 2 − 3 n = n 2 ( 1 − n 3 ) n 2 → ∞ , 1 − 3 n → 1 n^2\to\infty,\quad 1-\dfrac{3}{n}\to1 n 2 → ∞ , 1 − n 3 → 1 lim n → ∞ ( n 2 − 3 n ) = ∞ \lim_{n\to\infty}(n^2-3n)=\infty lim n → ∞ ( n 2 − 3 n ) = ∞ 분모에 근호가 있을 때
lim n → ∞ 1 n 2 + n − n \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}-n} lim n → ∞ n 2 + n − n 1 = lim n → ∞ n 2 + n + n n =\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{n^2+n}+n}{n} = lim n → ∞ n n 2 + n + n ↳ ◀ 위아래에 n 2 + n + n \sqrt{n^2+n}+n n 2 + n + n = lim n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) = 2 =\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+1\right)=2 = lim n → ∞ ( 1 + n 1 + 1 ) = 2 두 근호의 차
lim n → ∞ ( n + 3 − n ) = lim n → ∞ 3 n + 3 + n = 0 \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})=\lim_{n\to\infty}\dfrac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=0 lim n → ∞ ( n + 3 − n ) = lim n → ∞ n + 3 + n 3 = 0 ↳ ◀ 유리화
lim n → ∞ n ( n + 3 − n ) = lim n → ∞ 3 n n + 3 + n \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})=\lim_{n\to\infty}\dfrac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}} lim n → ∞ n ( n + 3 − n ) = lim n → ∞ n + 3 + n 3 n = lim n → ∞ 3 1 + 3 n + 1 = 3 2 =\lim_{n\to\infty}\dfrac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}=\dfrac{3}{2} = lim n → ∞ 1 + n 3 + 1 3 = 2 3 ↳ ◀ 위아래를 n \sqrt{n} n 성질 ∞ ∞ \dfrac{\infty}{\infty} ∞ ∞ 0 0 0 분자와 분모의 차수가 같고, 극한값은 최고차항의 계수의 비이다.0 0 0 쌤 먼저 차수를 맞춰요. 극한값이 0 0 0 0 0 0 lim n → ∞ a n 2 + b n + 1 2 n − 1 = 3 \lim_{n\to\infty}\dfrac{an^2+bn+1}{2n-1}=3 lim n → ∞ 2 n − 1 a n 2 + bn + 1 = 3 lim n → ∞ b n + 1 2 n − 1 = b 2 \lim_{n\to\infty}\dfrac{bn+1}{2n-1}=\dfrac{b}{2} lim n → ∞ 2 n − 1 bn + 1 = 2 b ↳ ◀ 차수가 같아요
b 2 = 3 , b = 6 \dfrac{b}{2}=3,\ b=6 2 b = 3 , b = 6 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
lim n → ∞ a n + 3 2 n + 1 = 5 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{an+3}{2n+1}=5 n → ∞ lim 2 n + 1 an + 3 = 5 a a a 10 10 10 5 2 \dfrac{5}{2} 2 5 5 5 5 + 펼치기 접기 예제 lim n → ∞ ( n 2 + a n − n ) = 3 \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+an}-n)=3 lim n → ∞ ( n 2 + an − n ) = 3 a > 0 a>0 a > 0 lim n → ∞ a n n 2 + a n + n \lim_{n\to\infty}\dfrac{an}{\sqrt{n^2+an}+n} lim n → ∞ n 2 + an + n an ↳ ◀ 유리화
= lim n → ∞ a 1 + a n + 1 = a 2 =\lim_{n\to\infty}\dfrac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1}=\dfrac{a}{2} = lim n → ∞ 1 + n a + 1 a = 2 a a 2 = 3 , a = 6 \dfrac{a}{2}=3,\ a=6 2 a = 3 , a = 6 성질 극한의 대소 관계
lim n → ∞ a n = α \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha lim n → ∞ a n = α lim n → ∞ b n = β \lim_{n\to\infty}b_n=\beta lim n → ∞ b n = β α \alpha α β \beta β n n n a n ≤ b n a_n\le b_n a n ≤ b n α ≤ β \alpha\le\beta α ≤ β { c n } \{c_n\} { c n } a n ≤ c n ≤ b n a_n\le c_n\le b_n a n ≤ c n ≤ b n α = β \alpha=\beta α = β lim n → ∞ c n = α \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha n → ∞ lim c n = α 학생 극한을 직접 못 구할 때 이 성질을 어떻게 써요?
쌤 네. 양쪽 수열이 같은 값으로 가면, 그 사이에 끼인 수열도 그 값으로 가요. 양쪽에서 조여서 구하는 방법이에요.
조여서 극한 구하기 3 n − 1 n + 1 < a n < 3 n + 2 n + 1 \dfrac{3n-1}{n+1}<a_n<\dfrac{3n+2}{n+1} n + 1 3 n − 1 < a n < n + 1 3 n + 2 lim n → ∞ 3 n − 1 n + 1 = 3 \lim_{n\to\infty}\dfrac{3n-1}{n+1}=3 lim n → ∞ n + 1 3 n − 1 = 3 ↳ ◀ 왼쪽 끝
lim n → ∞ 3 n + 2 n + 1 = 3 \lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+2}{n+1}=3 lim n → ∞ n + 1 3 n + 2 = 3 ↳ ◀ 오른쪽 끝
lim n → ∞ a n = 3 \lim_{n\to\infty}a_n=3 lim n → ∞ a n = 3 ↳ ◀ 같은 값으로 조여요
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
n n + 1 < a n < n + 2 n \dfrac{n}{n+1}<a_n<\dfrac{n+2}{n} n + 1 n < a n < n n + 2 lim n → ∞ a n \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n n → ∞ lim a n 부등호 < 는 극한에서 ≤ 가 된다
✗ 틀린 풀이
a n < b n a_n<b_n a n < b n lim n → ∞ a n < lim n → ∞ b n \lim_{n\to\infty}a_n<\lim_{n\to\infty}b_n lim n → ∞ a n < lim n → ∞ b n 왜 틀렸나 극한을 취하면 두 값이 같아질 수 있으므로 부등호 < < < ≤ \le ≤ ↓ ✓ 바른 풀이
a n < b n a_n<b_n a n < b n lim n → ∞ a n ≤ lim n → ∞ b n \lim_{n\to\infty}a_n\le\lim_{n\to\infty}b_n lim n → ∞ a n ≤ lim n → ∞ b n 1 n + 1 < 1 n \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n} n + 1 1 < n 1 lim n → ∞ 1 n + 1 = lim n → ∞ 1 n = 0 \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0 lim n → ∞ n + 1 1 = lim n → ∞ n 1 = 0 + 펼치기 접기 예제 그림 각 변을 n n n 2 n − 1 < n a n < 2 n + 3 2n-1<na_n<2n+3 2 n − 1 < n a n < 2 n + 3 2 − 1 n < a n < 2 + 3 n 2-\dfrac{1}{n}<a_n<2+\dfrac{3}{n} 2 − n 1 < a n < 2 + n 3 ↳ ◀ 각 변을 n ( > 0 ) n\ (>0) n ( > 0 ) lim n → ∞ a n = 2 \lim_{n\to\infty}a_n=2 lim n → ∞ a n = 2 − 1 n ≤ ( − 1 ) n n ≤ 1 n -\dfrac{1}{n}\le\dfrac{(-1)^n}{n}\le\dfrac{1}{n} − n 1 ≤ n ( − 1 ) n ≤ n 1 ↳ ◀ 같은 방법
lim n → ∞ ( − 1 ) n n = 0 \lim_{n\to\infty}\dfrac{(-1)^n}{n}=0 lim n → ∞ n ( − 1 ) n = 0