수학 개념 노트전체 과목

합의 기호 ∑

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
수열의 합 a1+a2+⋯+ana_1+a_2+\cdots+a_n 을 ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} a_k 로 나타내요. Σ\Sigma 는 합·차와 상수배에 대하여 나누어지고 ∑k=1nc=cn\sum_{k=1}^{n} c=cn 이지만, 곱·몫·제곱은 나누어지지 않아요.
  1. 1합의 기호 ∑ 의 뜻
  2. 2∑ 의 성질
  3. 3성립하지 않는 계산
  4. 4시작 번호가 다른 합
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1합의 기호 ∑ 의 뜻

수열의 합 a1+a2+a3+⋯+ana_1+a_2+a_3+\cdots+a_n 은 항이 많으면 길어져요.
이것을 짧게 쓰기 위하여 기호 Σ\Sigma 를 쓰고, 이 기호를 시그마라고 읽어요.

정의합의 기호
수열 {an}\{a_n\} 의 첫째항부터 제nn항까지의 합을
a1+a2+a3+⋯+an=∑k=1naka_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n} a_k
와 같이 나타낸다.
Σ\Sigma 의 오른쪽에는 일반항 aka_k 를 쓰고, 아래에는 시작하는 번호 k=1k=1, 위에는 끝나는 번호 nn 을 쓴다.
성질읽는 법과 문자
∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} a_k 는 「kk 가 11 부터 nn 까지 변할 때 aka_k 의 합」이라고 읽는다.
kk 대신 다른 문자를 써도 같은 합이다.
∑k=1nak=∑i=1nai=∑j=1naj\sum_{k=1}^{n} a_k=\sum_{i=1}^{n} a_i=\sum_{j=1}^{n} a_j
∑k=mnak\sum_{k=m}^{n} a_k 는 제mm항부터 제nn항까지의 합이고, 항의 개수는 n−m+1n-m+1 이다.
학생
∑k=37ak\sum_{k=3}^{7} a_k 는 항이 7−3=47-3=4 개예요?
쌤
아니에요. a3a_3 부터 a7a_7 까지라서 7−3+1=57-3+1=5 개예요. 끝 번호에서 시작 번호를 빼고 11 을 더해요.
풀어 쓰기
∑k=15(2k−1)=1+3+5+7+9=25\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (2k-1)=1+3+5+7+9=25
↳k=1, 2, ⋯ , 5k=1,\ 2,\ \cdots,\ 5
∑k=143k=3+9+27+81=120\displaystyle\sum_{k=1}^{4} 3^k=3+9+27+81=120
∑k=36k2=32+42+52+62=86\displaystyle\sum_{k=3}^{6} k^2=3^2+4^2+5^2+6^2=86
↳시작이 33: 항은 6−3+1=46-3+1=4 개
∑ 로 나타내기
2+4+6+⋯+20=∑k=1102k2+4+6+\cdots+20=\displaystyle\sum_{k=1}^{10} 2k
↳제kk항 2k2k, 2020 은 제1010항
1+3+9+⋯+39=∑k=1103k−11+3+9+\cdots+3^9=\displaystyle\sum_{k=1}^{10} 3^{k-1}
↳제kk항 3k−13^{k-1}, 393^9 은 제1010항
1×2+2×3+⋯+10×11=∑k=110k(k+1)1\times2+2\times3+\cdots+10\times11=\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k(k+1)
↳제kk항 k(k+1)k(k+1)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∑k=24(k+1)\sum_{k=2}^{4} (k+1) 의 값은?
끝 번호는 항의 번호
✗ 틀린 풀이
2+4+6+⋯+20=∑k=1202k2+4+6+\cdots+20=\sum_{k=1}^{20} 2k
왜 틀렸나 Σ\Sigma 의 위끝에는 마지막 항의 값이 아니라 마지막 항의 번호를 써야 한다.
✓ 바른 풀이
2+4+6+⋯+20=∑k=1102k2+4+6+\cdots+20=\sum_{k=1}^{10} 2k
Σ\Sigma 위에는 마지막 항의 값 2020 이 아니라 마지막 항의 번호 1010 을 써요.
검산: k=10k=10 을 넣으면 2×10=202\times10=20
일반항과 번호를 맞춘다
✗ 틀린 풀이
1+3+9+⋯+39=∑k=193k1+3+9+\cdots+3^9=\sum_{k=1}^{9} 3^k
왜 틀렸나 Σ\Sigma 로 나타낼 때는 아래끝의 kk 를 넣은 값이 첫째항이 되도록 일반항을 맞춰야 한다.
✓ 바른 풀이
1+3+9+⋯+39=∑k=1103k−11+3+9+\cdots+3^9=\sum_{k=1}^{10} 3^{k-1}
k=1k=1 을 넣으면 30=13^0=1, k=10k=10 을 넣으면 393^9 이 되는지 확인한다.
∑k=093k\sum_{k=0}^{9} 3^k 로 써도 같은 합이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지
∑ 를 풀어 쓰는 순서
  1. 1
    아래의 시작 번호를 aka_k 의 kk 에 넣어요.
  2. 2
    번호를 11 씩 늘려 가며 위의 끝 번호까지 넣어요.
    항의 개수는 (끝 번호)−-(시작 번호)+1+1
  3. 3
    나온 항을 모두 더해요.
합을 ∑ 로 나타내는 순서
  1. 1
    제kk항(일반항) aka_k 를 kk 에 대한 식으로 써요.
    첫째항에 k=1k=1 을 넣어 맞는지 확인해요.
  2. 2
    마지막 항이 제몇 항인지 구하여 위에 써요.
    마지막 항의 값이 아니라 번호를 써요.
  3. 3
    Σ\Sigma 아래에 k=1k=1, 위에 끝 번호, 오른쪽에 일반항을 써요.

2∑ 의 성질

공식∑ 의 성질 (cc 는 상수)
합
∑k=1n(ak+bk)=∑k=1nak+∑k=1nbk\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n} a_k+\sum_{k=1}^{n} b_k
차
∑k=1n(ak−bk)=∑k=1nak−∑k=1nbk\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k-b_k)=\sum_{k=1}^{n} a_k-\sum_{k=1}^{n} b_k
상수배
∑k=1ncak=c∑k=1nak\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ca_k=c\sum_{k=1}^{n} a_k
상수만 밖으로 꺼낼 수 있다.
상수의 합
∑k=1nc=cn\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c=cn
cc 를 nn 번 더한다.

상수 cc 만 있으면 kk 에 무엇을 넣어도 cc 이므로 cc 를 nn 번 더해요.
∑k=1nc=c+c+⋯+c=\sum_{k=1}^{n} c=c+c+\cdots+c= cncn

학생
∑(ak+2)\sum(a_k+2) 에서 22 는 어떻게 해요?
쌤
∑ak+∑2\sum a_k+\sum 2 로 나눈 뒤, ∑k=1n2=2n\sum_{k=1}^{n}2=2n 이에요. 22 만 더하고 끝내면 안 되고 항의 개수만큼 곱해요.
∑k=110ak=7\sum_{k=1}^{10} a_k=7, ∑k=110bk=4\sum_{k=1}^{10} b_k=4 일 때
∑k=110(2ak−3bk+1)=2∑k=110ak−3∑k=110bk+∑k=1101\sum_{k=1}^{10} (2a_k-3b_k+1)=2\sum_{k=1}^{10} a_k-3\sum_{k=1}^{10} b_k+\sum_{k=1}^{10} 1
↳나누고 상수배를 꺼내요
=2×7−3×4+1×10=12=2\times7-3\times4+1\times10=12
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∑k=15ak=6\sum_{k=1}^{5} a_k=6 일 때 ∑k=15(3ak+2)\sum_{k=1}^{5} (3a_k+2) 의 값은?
상수의 합
✗ 틀린 풀이
∑k=1103=3\sum_{k=1}^{10} 3=3
왜 틀렸나 상수 cc 의 합 ∑k=1nc\sum_{k=1}^{n} c 는 cc 를 nn 번 더한 것이므로 cncn 이다.
✓ 바른 풀이
∑k=1103=3×10=30\sum_{k=1}^{10} 3=3\times10=30
kk 에 11 부터 1010 까지 넣으면 33 이 1010 번 나온다.
∑k=110(2ak+3)\sum_{k=1}^{10} (2a_k+3) 의 33 도 1010 번 더해 3030 이 된다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2외우기 카드

모든 항에 곱해진 상수는 공통인수로 묶어 밖으로 꺼내요.
∑k=1ncak=ca1+ca2+⋯+can=c(a1+a2+⋯+an)=c∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} ca_k=ca_1+ca_2+\cdots+ca_n=c(a_1+a_2+\cdots+a_n)=c\sum_{k=1}^{n} a_k

왜 그런가
∑k=1n(ak+bk)=(a1+b1)+(a2+b2)+⋯+(an+bn)\sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k)=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\cdots+(a_n+b_n)
↳풀어 써요
=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)=(a_1+a_2+\cdots+a_n)+(b_1+b_2+\cdots+b_n)
↳더하는 순서를 바꿔요
=∑k=1nak+∑k=1nbk=\sum_{k=1}^{n} a_k+\sum_{k=1}^{n} b_k
성질 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
∑k=1n(pak+qbk)=□∑k=1nak+□∑k=1nbk\sum_{k=1}^{n} (pa_k+qb_k)=\square\sum_{k=1}^{n} a_k+\square\sum_{k=1}^{n} b_k
단계 1 / 1
∑k=1nc=□\sum_{k=1}^{n} c=\square
성질을 써서 계산하는 순서
  1. 1
    식을 Σ\Sigma 마다 나눠요.
    더하기·빼기로 이어진 항마다 Σ\Sigma 를 붙여요.
  2. 2
    상수배를 Σ\Sigma 밖으로 꺼내요.
  3. 3
    상수만 남은 Σ\Sigma 는 (상수)×\times(항의 개수) 로 바꿔요.
  4. 4
    주어진 합의 값을 넣어 계산해요.

Σ\Sigma 안이 덩어리의 제곱이면 먼저 전개해요.

응용
∑k=110ak=5\sum_{k=1}^{10} a_k=5, ∑k=110ak2=20\sum_{k=1}^{10} a_k^2=20 일 때 ∑k=110(ak−2)2\sum_{k=1}^{10} (a_k-2)^2
(ak−2)2=ak2−4ak+4(a_k-2)^2=a_k^2-4a_k+4
↳전개
∑k=110(ak−2)2=∑k=110ak2−4∑k=110ak+∑k=1104\sum_{k=1}^{10} (a_k-2)^2=\sum_{k=1}^{10} a_k^2-4\sum_{k=1}^{10} a_k+\sum_{k=1}^{10} 4
=20−4×5+4×10=40=20-4\times5+4\times10=40

3성립하지 않는 계산

Σ\Sigma 는 더하기·빼기와 상수배에 대해서만 나누어져요.
곱, 몫, 거듭제곱은 Σ\Sigma 를 나누어 계산할 수 없어요.
n=2n=2, a1=1, a2=2a_1=1,\ a_2=2, b1=3, b2=4b_1=3,\ b_2=4 로 확인해 봐요.

공식일반적으로 성립하지 않는 식
곱
∑k=1nakbk≠∑k=1nak×∑k=1nbk\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_kb_k\ne\sum_{k=1}^{n} a_k\times\sum_{k=1}^{n} b_k
왼쪽은 1×3+2×4=111\times3+2\times4=11, 오른쪽은 3×7=213\times7=21
제곱
∑k=1nak2≠(∑k=1nak)2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k^2\ne\left(\sum_{k=1}^{n} a_k\right)^2
왼쪽은 1+4=51+4=5, 오른쪽은 32=93^2=9
몫
∑k=1nakbk≠∑k=1nak∑k=1nbk\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{b_k}\ne\dfrac{\sum_{k=1}^{n} a_k}{\sum_{k=1}^{n} b_k}
bk=akb_k=a_k 이면 왼쪽은 1+1=21+1=2, 오른쪽은 33=1\dfrac{3}{3}=1
학생
그럼 ∑akbk\sum a_kb_k 는 어떻게 계산해요?
쌤
akbka_kb_k 를 하나의 일반항으로 보고 직접 구해요. 예를 들어 ak=ka_k=k, bk=k+1b_k=k+1 이면 ∑k(k+1)=∑(k2+k)\sum k(k+1)=\sum(k^2+k) 로 전개해 계산해요.
⚠ 주의kk 는 상수가 아니다
Σ\Sigma 밖으로 꺼낼 수 있는 것은 kk 에 따라 변하지 않는 상수 뿐이에요.
∑k=1nkak\sum_{k=1}^{n} ka_k 에서 kk 는 항마다 1, 2, ⋯ , n1,\ 2,\ \cdots,\ n 으로 바뀌므로 k∑k=1nakk\sum_{k=1}^{n} a_k 로 쓸 수 없어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∑k=12k2\sum_{k=1}^{2} k^2 과 (∑k=12k)2\left(\sum_{k=1}^{2} k\right)^2 의 값을 차례로 쓰면?
곱의 합
✗ 틀린 풀이
∑k=110akbk=∑k=110ak×∑k=110bk\sum_{k=1}^{10} a_kb_k=\sum_{k=1}^{10} a_k\times\sum_{k=1}^{10} b_k
왜 틀렸나 Σ\Sigma 는 합과 상수배에 대해서만 나눌 수 있으므로 곱의 합은 곱으로 나눌 수 없다.
✓ 바른 풀이
∑k=110akbk\sum_{k=1}^{10} a_kb_k 는 따로 주어지거나 각 항을 구해서 더해야 한다.
반례: aka_k, bkb_k 가 모두 1,21, 2 이면 왼쪽은 1+4=51+4=5, 오른쪽은 3×3=93\times3=9

4시작 번호가 다른 합

성질시작 번호가 11 이 아닌 합
제mm항부터 제nn항까지의 합은 첫째항부터 제nn항까지의 합에서 첫째항부터 제(m−1)(m-1)항까지의 합을 뺀 것이다.
∑k=mnak=∑k=1nak−∑k=1m−1ak\sum_{k=m}^{n} a_k=\sum_{k=1}^{n} a_k-\sum_{k=1}^{m-1} a_k
빼는 합의 끝 번호는 mm 이 아니라 m−1m-1 이다.
첫째항부터의 합으로 바꾸기
∑k=110ak=30\sum_{k=1}^{10} a_k=30, ∑k=14ak=8\sum_{k=1}^{4} a_k=8
∑k=510ak=∑k=110ak−∑k=14ak\sum_{k=5}^{10} a_k=\sum_{k=1}^{10} a_k-\sum_{k=1}^{4} a_k
↳빼는 합의 끝 번호는 44
=30−8=22=30-8=22
학생
∑k=510ak\sum_{k=5}^{10}a_k 를 ∑k=16ak+4\sum_{k=1}^{6}a_{k+4} 처럼 써도 돼요?
쌤
네, 같은 합이에요. 번호를 44 만큼 당기면 일반항 안의 번호는 44 만큼 늘려요. 처음 항 a5a_5 와 마지막 항 a10a_{10} 이 같은지 확인하면 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∑k=18ak=20\sum_{k=1}^{8} a_k=20, ∑k=13ak=5\sum_{k=1}^{3} a_k=5 일 때 ∑k=48ak\sum_{k=4}^{8} a_k 의 값은?
빼는 합의 끝 번호
✗ 틀린 풀이
∑k=510ak=∑k=110ak−∑k=15ak\sum_{k=5}^{10} a_k=\sum_{k=1}^{10} a_k-\sum_{k=1}^{5} a_k
왜 틀렸나 ∑k=510ak\sum_{k=5}^{10}a_k 는 a5a_5 를 포함하므로 앞부분은 a4a_4 까지만 빼야 한다.
✓ 바른 풀이
∑k=510ak=∑k=110ak−∑k=14ak\sum_{k=5}^{10} a_k=\sum_{k=1}^{10} a_k-\sum_{k=1}^{4} a_k
빼는 합의 위끝은 시작 번호보다 11 작은 44 이다.
검산: a1+⋯+a10a_1+\cdots+a_{10} 에서 a1+⋯+a4a_1+\cdots+a_4 를 빼면 a5a_5 부터 a10a_{10} 까지 남는다.
자세히 보기펼치기왜 그런지공식 더 보기

시작 번호를 바꾸어 같은 합을 다르게 쓸 수도 있어요.
번호를 11 만큼 옮기면 일반항 안의 번호는 반대로 11 만큼 옮겨져요.

공식번호 옮기기
시작을 1 로
∑k=2n+1ak−1=∑k=1nak\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} a_{k-1}=\sum_{k=1}^{n} a_k
둘 다 a1+a2+⋯+ana_1+a_2+\cdots+a_n
한 칸 뒤의 항
∑k=1nak+1=∑k=1n+1ak−a1\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_{k+1}=\sum_{k=1}^{n+1} a_k-a_1
a2+a3+⋯+an+1a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}
예
∑k=042k=∑k=152k−1\displaystyle \sum_{k=0}^{4} 2^k=\sum_{k=1}^{5} 2^{k-1}
둘 다 1+2+4+8+16=311+2+4+8+16=31

헷갈리면 처음 몇 항과 마지막 항을 풀어 써서 두 합이 같은지 확인해요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1∑k=1nak=a1+a2+a3+⋯+an\sum_{k=1}^{n} a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n
    k=1k=1 부터 k=nk=n 까지 aka_k 의 kk 에 차례로 수를 넣어 더한다는 뜻이다.
  2. 2∑k=1n(ak±bk)=∑k=1nak±∑k=1nbk\sum_{k=1}^{n} (a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n} a_k\pm\sum_{k=1}^{n} b_k
    ∑k=1ncak=c∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} ca_k=c\sum_{k=1}^{n} a_k
    ∑k=1nc=cn\sum_{k=1}^{n} c=cn (cc 는 상수)
  3. 3곱·몫·제곱은 나누어지지 않는다.
    ∑k=1nakbk≠∑k=1nak×∑k=1nbk\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\ne\sum_{k=1}^{n} a_k\times\sum_{k=1}^{n} b_k
  4. 4∑k=mnak=∑k=1nak−∑k=1m−1ak\sum_{k=m}^{n} a_k=\sum_{k=1}^{n} a_k-\sum_{k=1}^{m-1} a_k (2≤m≤n2\le m\le n)
✗ 자주 하는 실수
  • ∑k=1nc\sum_{k=1}^{n} c 를 cc 로 계산하거나, ∑k=1n(2ak+3)\sum_{k=1}^{n} (2a_k+3) 에서 33 을 한 번만 더해요.
  • ∑k=1nakbk=∑k=1nak×∑k=1nbk\sum_{k=1}^{n} a_kb_k=\sum_{k=1}^{n} a_k\times\sum_{k=1}^{n} b_k, ∑k=1nak2=(∑k=1nak)2\sum_{k=1}^{n} a_k^2=\left(\sum_{k=1}^{n} a_k\right)^2 처럼 곱이나 제곱을 나누어 계산해요.
  • Σ\Sigma 위에 마지막 항의 값을 쓰거나, ∑k=mnak\sum_{k=m}^{n} a_k 를 구할 때 ∑k=1mak\sum_{k=1}^{m} a_k 를 빼요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    ∑k=15(3k−2)\sum_{k=1}^{5} (3k-2) 를 풀어 쓰고 그 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    ∑k=110ak=6\sum_{k=1}^{10} a_k=6, ∑k=110bk=−3\sum_{k=1}^{10} b_k=-3 일 때, ∑k=110(3ak−2bk+4)\sum_{k=1}^{10} (3a_k-2b_k+4) 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    ∑k=110ak=5\sum_{k=1}^{10} a_k=5, ∑k=110ak2=12\sum_{k=1}^{10} a_k^2=12 일 때, ∑k=110(2ak−1)2\sum_{k=1}^{10} (2a_k-1)^2 의 값을 구하시오.

다음 공부

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