수학 개념 노트전체 과목

명제의 참·거짓과 필요조건·충분조건

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
명제 p⟶qp\longrightarrow q 는 P⊂QP\subset Q 이면 참이고, 반례가 있으면 거짓이에요. 명제와 그 대우 ∼q⟶∼p\sim q\longrightarrow\sim p 는 참·거짓이 같으며, p⟹qp\Longrightarrow q 일 때 pp 는 qq 이기 위한 충분조건, qq 는 pp 이기 위한 필요조건이에요.
  1. 1명제 p⟶qp\longrightarrow q 의 참·거짓
  2. 2역·이·대우
  3. 3삼단논법
  4. 4필요조건과 충분조건
  5. 5정의·정리·증명
  6. 6나란히 비교하기
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1명제 p⟶qp\longrightarrow q 의 참·거짓

정의가정과 결론
두 조건 p, qp,\ q 로 이루어진 명제 「pp 이면 qq 이다」를 기호로 p⟶qp\longrightarrow q 와 같이 나타낸다.
이때 pp 를 가정, qq 를 결론이라 한다.
성질참·거짓과 진리집합의 포함 관계
P⊂QP\subset Q 이면 명제 p⟶qp\longrightarrow q 는 참이다.
P⊄QP\not\subset Q 이면 명제 p⟶qp\longrightarrow q 는 거짓이다.
명제 p⟶qp\longrightarrow q 가 참일 때 기호로 p⟹qp\Longrightarrow q 와 같이 나타낸다.

이유: 「pp 이면 qq」가 참이라는 것은 pp 를 만족하는 원소가 모두 qq 도 만족한다는 뜻이에요. 곧 PP 가 QQ 의 부분집합 이라는 뜻이에요.

정의반례
명제 p⟶qp\longrightarrow q 가 거짓임을 보이는 예, 곧 가정 pp 는 만족하지만 결론 qq 는 만족하지 않는 원소를 반례 라 한다.
반례는 P∩QCP\cap Q^{C} 의 원소, 곧 P−QP-Q 의 원소이다.
반례가 있는 곳
UPQ
반례
PP 에는 있고 QQ 에는 없는 곳(칠한 곳)에 원소가 하나라도 있으면 거짓이에요. 이 곳이 비어 있어야 P⊂QP\subset Q 예요.
학생
참임을 보일 때도 예를 하나 들면 돼요?
쌤
아니요. 예 하나로는 참임을 보일 수 없어요. 참은 P⊂QP\subset Q 를 보여야 하고, 거짓은 반례 하나면 충분해요.
예참·거짓 판별의 예
「x=2x=2 이면 x2=4x^2=4 이다」
두 조건의 진리집합은
P={2}P=\{2\}
Q={−2,2}Q=\{-2, 2\}
P⊂QP\subset Q 이므로 참이에요.

「x2=4x^2=4 이면 x=2x=2 이다」
x=−2x=-2 는 가정을 만족하지만 결론을 만족하지 않아요.
따라서 거짓이고, 반례는 x=−2x=-2

「x>3x>3 이면 x>1x>1 이다」
수직선에서 {x∣x>3}⊂{x∣x>1}\{x \mid x>3\}\subset\{x \mid x>1\} 이므로 참이에요.

「x>1x>1 이면 x>3x>3 이다」
x=2x=2 는 가정을 만족하지만 결론을 만족하지 않아요.
따라서 거짓이고, 반례는 x=2x=2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
명제 「x2=9x^2=9 이면 x=3x=3 이다」의 반례는?
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

명제가 거짓임을 보이려면 반례를 하나만 들면 돼요. 반대로 명제가 참임을 보이려면 예를 몇 개 드는 것으로는 부족하고, P⊂QP\subset Q 임을 보여야 해요.

「x>3x>3 이면 x>1x>1 이다」
P: x>3P:\ x>3
Q: x>1Q:\ x>1
-10123456
11
33
PP 가 QQ 안에 통째로 들어가므로 참이에요. 역은 22 처럼 QQ 에만 있는 수가 반례예요.
거꾸로 쓰기
명제 「−1<x<2-1<x<2 이면 x<ax<a 이다」가 참이 되도록 하는 실수 aa 의 값의 범위
  1. 1
    두 조건의 진리집합을 써요.
    P={x∣−1<x<2}P=\{x \mid -1<x<2\}
    Q={x∣x<a}Q=\{x \mid x<a\}
  2. 2
    수직선에서 P⊂QP\subset Q 가 되도록 aa 의 위치를 정해요.
    QQ 의 경계 aa 가 PP 의 오른쪽 끝 22 보다 왼쪽에 있으면 안 돼요.
  3. 3
    따라서 a≥2a\ge 2
    경계 a=2a=2 는 직접 확인해요. PP 의 원소는 모두 22 보다 작으므로 a=2a=2 일 때도 P⊂QP\subset Q 이에요.
P⊂QP\subset Q 가 되는 aa 의 위치
PP
Q: x<aQ:\ x<a
-3-2-1012345
−1-1
22
aa
QQ 의 오른쪽 끝 aa 가 22 와 같거나 더 오른쪽에 있어야 PP 가 QQ 안에 들어가요.

2역·이·대우

공식명제 p⟶qp\longrightarrow q 의 역·이·대우
역
q⟶p\displaystyle q\longrightarrow p
가정과 결론을 서로 바꾼다.
이
∼p⟶∼q\displaystyle \sim p\longrightarrow\sim q
가정과 결론을 각각 부정한다.
대우
∼q⟶∼p\displaystyle \sim q\longrightarrow\sim p
가정과 결론을 서로 바꾸고 각각 부정한다.
역·이·대우의 관계
p⟶qp\longrightarrow{q}
q⟶pq\longrightarrow{p}
∼p⟶∼q{\sim}p\longrightarrow{\sim}q
∼q⟶∼p{\sim}q\longrightarrow{\sim}p
역역이이대우
가로는 역, 세로는 이, 대각선은 대우 관계예요. 대각선으로 마주 보는 것끼리(명제와 대우, 역과 이) 참·거짓이 항상 같아요.
성질명제와 그 대우의 참·거짓
명제 p⟶qp\longrightarrow q 가 참이면 그 대우 ∼q⟶∼p\sim q\longrightarrow\sim p 도 참이다.
명제가 거짓이면 대우도 거짓이다.
이유: P⊂QP\subset Q 이면 QQ 밖의 원소는 PP 밖에 있으므로 QC⊂PCQ^{C}\subset P^{C} 이다. 거꾸로도 성립하므로 두 포함 관계는 같은 뜻이다.
예예
「x=1x=1 이면 x2=1x^2=1 이다」
명제는 참이에요.
역은 「x2=1x^2=1 이면 x=1x=1 이다」
반례 x=−1x=-1 이 있으므로 거짓이에요.
이는 「x≠1x\ne 1 이면 x2≠1x^2\ne 1 이다」
반례 x=−1x=-1 이 있으므로 거짓이에요.
대우는 「x2≠1x^2\ne 1 이면 x≠1x\ne 1 이다」
명제가 참이므로 대우도 참이에요.
학생
역이 참이면 원래 명제도 참이에요?
쌤
꼭 그렇지는 않아요. 역과 원래 명제는 참·거짓이 따로 정해져요. 참·거짓이 항상 같은 짝은 명제와 대우, 그리고 역과 이예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
명제 「x=2x=2 이면 x2=4x^2=4 이다」의 대우는?
대우 만들기
✗ 틀린 풀이
「pp 이면 qq 이다」의 대우는
「∼p\sim p 이면 ∼q\sim q 이다」
왜 틀렸나 대우는 가정과 결론의 자리를 서로 바꾸고, 바꾼 두 조건을 모두 부정하여 만든다.
✓ 바른 풀이
「pp 이면 qq 이다」의 대우는
「∼q\sim q 이면 ∼p\sim p 이다」
기억 요령: 역은 자리만 바꾸고, 이는 부정만 하고, 대우는 자리도 바꾸고 부정도 한다. 명제와 참·거짓이 항상 같은 것은 대우뿐이다.
역의 참·거짓
✗ 틀린 풀이
「x=1x=1 이면 x2=1x^2=1」이 참이므로
역 「x2=1x^2=1 이면 x=1x=1」도 참
왜 틀렸나 명제가 참이어도 역의 참·거짓은 따로 정해지므로 역은 반례가 있는지 다시 판별해야 한다.
✓ 바른 풀이
역 「x2=1x^2=1 이면 x=1x=1」은
반례 x=−1x=-1 이 있으므로 거짓
확인 방법: 역의 가정 x2=1x^2=1 을 만족하는 값 x=1, −1x=1,\ -1 을 모두 넣어 결론이 성립하는지 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

역과 이는 서로 대우 관계이므로 역과 이의 참·거짓도 같아요. 그러나 명제가 참이라고 해서 역이 반드시 참인 것은 아니에요. 명제와 참·거짓이 항상 같은 것은 대우뿐이에요.
P⊂QP\subset Q 와 QC⊂PCQ^{C}\subset P^{C} 는 같은 뜻이에요.

예「또는」「그리고」가 들어 있는 명제의 대우
명제 「x+y>2x+y>2 이면 x>1x>1 또는 y>1y>1 이다」 (x, yx,\ y 는 실수)
결론을 부정하면 「또는」이 「그리고」로 바뀌어요.
대우는 「x≤1x\le 1 그리고 y≤1y\le 1 이면 x+y≤2x+y\le 2 이다」
x≤1x\le 1 과 y≤1y\le 1 을 변끼리 더하면 x+y≤2x+y\le 2 이므로 대우는 참이에요.
따라서 원래 명제도 참이에요.

3삼단논법

성질삼단논법
두 명제 p⟶qp\longrightarrow q 와 q⟶rq\longrightarrow r 가 모두 참이면 명제 p⟶rp\longrightarrow r 도 참이다.
이유: P⊂QP\subset Q 이고 Q⊂RQ\subset R 이면 P⊂RP\subset R 이다.
P⊂QP\subset Q 이고 Q⊂RQ\subset R
RR
QQ
PP
PP 는 QQ 안에, QQ 는 RR 안에 있으므로 PP 는 RR 안에 있어요. 곧 p⟹rp\Longrightarrow r 이에요.
예예
「xx 가 44 의 배수이면 xx 는 짝수이다」는 참이에요.
「xx 가 짝수이면 x2x^2 은 짝수이다」는 참이에요.
삼단논법에 의해
「xx 가 44 의 배수이면 x2x^2 은 짝수이다」도 참이에요.
학생
화살표가 이어지지 않으면요?
쌤
p⟹qp\Longrightarrow q 와 r⟹qr\Longrightarrow q 처럼 가운데가 이어지지 않으면 삼단논법을 쓸 수 없어요. 첫째 명제의 결론이 둘째 명제의 가정과 같아야 이어져요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
p⟹qp\Longrightarrow q 이고 q⟹rq\Longrightarrow r 일 때 반드시 참인 명제는?
자세히 보기펼치기왜 그런지
대우와 함께 쓰기
p⟶qp\longrightarrow q 와 ∼r⟶∼q\sim r\longrightarrow\sim q 가 참일 때
  1. 1
    둘째 명제의 대우를 만들어요.
    q⟶rq\longrightarrow r
    명제가 참이므로 대우도 참이에요.
  2. 2
    삼단논법을 써요.
    p⟹qp\Longrightarrow q 이고 q⟹rq\Longrightarrow r 이므로 p⟹rp\Longrightarrow r
  3. 3
    p⟶rp\longrightarrow r 의 대우 ∼r⟶∼p\sim r\longrightarrow\sim p 도 참이에요.
    화살표가 이어지도록 필요하면 대우로 바꾸어 연결해요.

4필요조건과 충분조건

정의필요조건과 충분조건
명제 p⟶qp\longrightarrow q 가 참일 때, 곧 p⟹qp\Longrightarrow q 일 때
pp 는 qq 이기 위한 충분조건이라 하고, qq 는 pp 이기 위한 필요조건이라 한다.
정의필요충분조건
p⟹qp\Longrightarrow q 이고 q⟹pq\Longrightarrow p 일 때 기호로 p⟺qp\Longleftrightarrow q 와 같이 나타낸다.
이때 pp 는 qq 이기 위한 필요충분조건이라 한다. qq 도 pp 이기 위한 필요충분조건이다.
공식진리집합으로 판별하기
P⊂QP\subset Q
p⟹q\displaystyle p\Longrightarrow q
pp 는 qq 이기 위한 충분조건
Q⊂PQ\subset P
q⟹p\displaystyle q\Longrightarrow p
pp 는 qq 이기 위한 필요조건
P=QP=Q
p⟺q\displaystyle p\Longleftrightarrow q
pp 는 qq 이기 위한 필요충분조건
P⊂QP\subset Q 일 때
QQ
필요조건 쪽(큰 집합)
PP
충분조건 쪽(작은 집합)
P⊂QP\subset Q 이면 p⟹qp\Longrightarrow q 예요. 안쪽 pp 가 qq 이기 위한 충분조건, 바깥 qq 가 pp 이기 위한 필요조건이에요.
학생
필요조건과 충분조건이 자꾸 헷갈려요.
쌤
화살표 p⟹qp\Longrightarrow q 의 출발점이 충분조건, 도착점이 필요조건이에요. 진리집합으로는 작은 쪽이 충분조건, 큰 쪽이 필요조건이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
pp: x=3x=3, qq: x2=9x^2=9 일 때 pp 는 qq 이기 위한 어떤 조건인가?
필요조건과 충분조건을 바꾸어 쓰는 실수
✗ 틀린 풀이
P⊂QP\subset Q 이므로
pp 는 qq 이기 위한 필요조건
왜 틀렸나 P⊂QP\subset Q 이면 p⟹qp\Longrightarrow q 이므로 출발하는 쪽 pp 가 충분조건, qq 가 필요조건이다.
✓ 바른 풀이
P⊂QP\subset Q 이므로
pp 는 qq 이기 위한 충분조건
기억 요령: 작은 집합 쪽이 충분조건, 큰 집합 쪽이 필요조건이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

외우는 장치: 화살표 ⟹\Longrightarrow 의 출발점이 충분조건, 도착점이 필요조건이에요. 진리집합으로는 작은 집합 쪽이 충분조건, 큰 집합 쪽이 필요조건이에요.
「pp 이기만 하면 qq 가 되기에 충분하다」, 「pp 이려면 qq 는 반드시 필요하다」로 읽으면 뜻이 기억돼요.

필요조건·충분조건을 판별하는 순서
  1. 1
    명제 p⟶qp\longrightarrow q 의 참·거짓을 판별해요.
  2. 2
    역 q⟶pq\longrightarrow p 의 참·거짓을 판별해요.
  3. 3
    둘 다 참이면 필요충분조건이에요.
    p⟶qp\longrightarrow q 만 참이면 pp 는 충분조건이에요.
    q⟶pq\longrightarrow p 만 참이면 pp 는 필요조건이에요.
    둘 다 거짓이면 어느 것도 아니에요.
예판별의 예 (x, yx,\ y 는 실수)
pp 는 x=1x=1, qq 는 x2=1x^2=1
p⟹qp\Longrightarrow q 이지만 역은 반례 x=−1x=-1 이 있으므로 거짓이에요.
따라서 pp 는 qq 이기 위한 충분조건이에요.

pp 는 「x>0x>0 그리고 y>0y>0」, qq 는 xy>0xy>0
p⟹qp\Longrightarrow q 이지만 역은 반례 x=−1, y=−1x=-1,\ y=-1 이 있으므로 거짓이에요.
따라서 pp 는 qq 이기 위한 충분조건이에요.

pp 는 x2+y2=0x^2+y^2=0, qq 는 「x=0x=0 그리고 y=0y=0」
제곱은 00 이상이라 x2+y2=0x^2+y^2=0 이면 x=0, y=0x=0,\ y=0 이고, 거꾸로도 성립해요.
따라서 p⟺qp\Longleftrightarrow q 이므로 pp 는 qq 이기 위한 필요충분조건이에요.
거꾸로 쓰기
pp 는 x≥ax\ge a, qq 는 x>2x>2 이고 pp 가 qq 이기 위한 필요조건일 때 aa 의 값의 범위
  1. 1
    pp 가 필요조건이므로
    q⟹pq\Longrightarrow p
    필요조건 pp 가 화살표의 도착점이에요.
  2. 2
    진리집합으로 쓰면
    Q⊂PQ\subset P
    곧 {x∣x>2}⊂{x∣x≥a}\{x \mid x>2\}\subset\{x \mid x\ge a\}
  3. 3
    따라서 a≤2a\le 2
    a=2a=2 일 때 x>2x>2 인 수는 모두 x≥2x\ge 2 를 만족하므로 포함돼요.
Q⊂PQ\subset P 가 되는 aa 의 위치
Q: x>2Q:\ x>2
P: x≥aP:\ x\ge a
-1012345
aa
22
PP 가 QQ 를 감싸야 하므로 PP 의 시작점 aa 는 22 이하예요.

5정의·정리·증명

정의정의
용어의 뜻을 명확하게 정한 문장을 그 용어의 정의라 한다.
예: 「두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라 한다.」
정의증명과 정리
정의나 이미 참으로 밝혀진 성질을 근거로 하여 어떤 명제가 참임을 설명하는 과정을 증명이라 한다.
참임이 증명된 명제 중에서 기본이 되고 중요한 것을 정리라 한다.
예: 「이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.」
학생
정의와 정리는 어떻게 달라요?
쌤
정의는 용어의 뜻을 정한 약속이라 증명하지 않아요. 정리는 정의와 이미 참으로 밝혀진 성질을 근거로 증명한 중요한 명제예요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

정의는 약속이므로 증명하지 않아요. 정리는 정의와 이미 증명된 성질만을 근거로 증명해요.

6나란히 비교하기

공식명제와 진리집합의 대응
p⟹qp\Longrightarrow q
P⊂Q\displaystyle P\subset Q
반례
P∩QC 의 원소\displaystyle P\cap Q^{C}\ \text{의 원소}
대우가 참
QC⊂PC\displaystyle Q^{C}\subset P^{C}
P⊂QP\subset Q 와 같은 뜻
P⊂Q, Q⊂RP\subset Q,\ Q\subset R
P⊂R\displaystyle P\subset R
삼단논법
필요충분조건
P=Q\displaystyle P=Q
학생
명제 내용을 한 번에 정리할 수 있어요?
쌤
모두 진리집합의 포함 관계로 바꾸면 돼요. 참은 P⊂QP\subset Q, 반례는 PP 에는 있고 QQ 에는 없는 원소예요.
반례 고르기
✗ 틀린 풀이
「x2=4x^2=4 이면 x=2x=2 이다」의 반례로
x=3x=3
왜 틀렸나 반례는 가정은 만족시키면서 결론은 만족시키지 않는 값이어야 하므로 먼저 가정에 넣어 본다.
✓ 바른 풀이
「x2=4x^2=4 이면 x=2x=2 이다」의 반례는
x=−2x=-2
확인 방법: x=−2x=-2 는 (−2)2=4(-2)^2=4 로 가정을 만족하고, x=2x=2 가 아니므로 결론을 만족하지 않는다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1명제 p⟶qp\longrightarrow q 는 진리집합 사이에 P⊂QP\subset Q 이면 참이고, P⊄QP\not\subset Q 이면 거짓이다. 거짓임을 보이는 예(가정은 만족하고 결론은 만족하지 않는 원소)를 반례라 한다.
  2. 2역은 q⟶pq\longrightarrow p, 이는 ∼p⟶∼q\sim p\longrightarrow\sim q, 대우는 ∼q⟶∼p\sim q\longrightarrow\sim p 이다. 명제와 그 대우는 참·거짓이 항상 같다.
  3. 3p⟹qp\Longrightarrow q 이고 q⟹rq\Longrightarrow r 이면 p⟹rp\Longrightarrow r 이다(삼단논법).
  4. 4p⟹qp\Longrightarrow q 일 때 pp 는 qq 이기 위한 충분조건, qq 는 pp 이기 위한 필요조건이다. p⟺qp\Longleftrightarrow q 이면 필요충분조건이다. 진리집합으로는 작은 쪽이 충분조건, 큰 쪽이 필요조건이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 명제가 참이면 그 역도 참이라고 생각해요(참·거짓이 항상 같은 것은 대우뿐이에요).
  • 대우를 만들 때 가정과 결론을 부정만 하고 순서를 바꾸지 않아 이를 써요.
  • P⊂QP\subset Q 일 때 pp 를 필요조건, qq 를 충분조건으로 거꾸로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    명제 「x2−3x+2=0x^2-3x+2=0 이면 x=1x=1 이다」의 참·거짓을 판별하고, 거짓이면 반례를 드시오.
  2. 예제 2
    실수 x, yx,\ y 에 대하여 명제 「x+y≤4x+y\le 4 이면 x≤2x\le 2 또는 y≤2y\le 2 이다」의 대우를 쓰고, 이를 이용하여 참·거짓을 판별하시오.
  3. 예제 3
    두 조건 pp: −2≤x≤3-2\le x\le 3, qq: a−1≤x≤a+5a-1\le x\le a+5 에 대하여 pp 가 qq 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 aa 의 값의 범위를 구하시오.

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