수학 개념 노트전체 과목

함수의 그래프와 최대·최소

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 구하고 증감표를 만들면 함수의 증가·감소와 극값을 한눈에 보고 그래프를 그릴 수 있어요. 닫힌구간에서의 최댓값·최솟값은 구간 안의 극값과 양 끝 값을 비교하여 구해요.
  1. 1증감표를 이용한 그래프 그리기
  2. 2삼차함수의 그래프의 개형
  3. 3닫힌구간에서의 최대·최소
  4. 4최대·최소의 활용
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1증감표를 이용한 그래프 그리기

미분가능한 함수 f(x)f(x) 는 f′(x)>0f'(x)>0 인 구간에서 증가하고, f′(x)<0f'(x)<0 인 구간에서 감소해요.

정의증감표
f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 경계로 f′(x)f'(x) 의 부호와 f(x)f(x) 의 증가(↗\nearrow)·감소(↘\searrow)를 정리한 표를 증감표 라 한다.
함수의 그래프를 그리는 순서
  1. 1
    f′(x)f'(x) 를 구하고 f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 구해요.
    도함수를 인수분해하면 부호를 정하기 쉬워요.
  2. 2
    증감표를 만들어 각 구간에서 f′(x)f'(x) 의 부호와 f(x)f(x) 의 증가·감소를 적어요.
    각 구간에서 수 하나를 넣어 f′(x)f'(x) 의 부호를 정해요.
  3. 3
    극댓값·극솟값을 구해요.
    f′(x)f'(x) 의 부호가 ++ 에서 −- 로 바뀌면 극대, −- 에서 ++ 로 바뀌면 극소예요.
  4. 4
    yy 절편 f(0)f(0) 과, 구할 수 있으면 xx 절편(f(x)=0f(x)=0 의 해)을 구해요.
  5. 5
    점들을 좌표평면에 찍고 증가·감소에 따라 매끄럽게 이어요.
삼차함수 f(x)=x3−3x+2f(x)=x^3-3x+2 의 증감표
xx⋯\cdots−1-1⋯\cdots11⋯\cdots
f′(x)f'(x)++0−-0++
f(x)f(x)↗극대 44↘극소 00↗
  • f′(x)f'(x)3x2−3=3(x+1)(x−1)3x^2-3=3(x+1)(x-1)
  • 경계x=−1, 1x=-1,\ 1
학생
점을 몇 개만 찍어도 그래프를 그릴 수 있어요?
쌤
네. 극대·극소인 점과 yy 절편을 찍고, 증감표의 화살표 방향대로 매끄럽게 이으면 돼요.
정확한 그림이 아니라 그래프의 모양(개형)을 그리는 거예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2 의 극솟값은?
f′(a)=0f'(a)=0 이라고 모두 극값은 아니다
✗ 틀린 풀이
f(x)=x4−4x3f(x)=x^4-4x^3 에서 f′(0)=0f'(0)=0 이므로 x=0x=0 에서 극값을 갖는다.
왜 틀렸나 극값은 f′(x)f'(x) 의 부호가 바뀌는 곳에서만 생기므로 f′(a)=0f'(a)=0 이면 좌우의 부호를 확인한다.
✓ 바른 풀이
x=0x=0 의 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가 바뀌지 않으므로 x=0x=0 에서 극값을 갖지 않는다.
f′(x)=4x3−12x2=4x2(x−3)f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)
4x2≥04x^2\ge0 이므로 x=0x=0 근처에서 f′(x)f'(x) 의 부호는 x−3x-3 의 부호와 같은 −- 이다.
자세히 보기펼치기그림왜 그런지틀리기 쉬운 곳
응용
사차함수 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2 의 증감표
xx⋯\cdots−1-1⋯\cdots00⋯\cdots11⋯\cdots
f′(x)f'(x)−-0++0−-0++
f(x)f(x)↘극소 −1-1↗극대 00↘극소 −1-1↗
  • f′(x)f'(x)4x3−4x=4x(x+1)(x−1)4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)
  • 경계x=−1, 0, 1x=-1,\ 0,\ 1

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) 이므로 그래프는 yy 축에 대하여 대칭이에요.

f′(a)=0f'(a)=0 이지만 극값이 아닌 경우
f(x)=x4−4x3f(x)=x^4-4x^3
xx⋯\cdots00⋯\cdots33⋯\cdots
f′(x)f'(x)−-0−-0++
f(x)f(x)↘00↘극소 −27-27↗
  • f′(x)f'(x)4x3−12x2=4x2(x−3)4x^3-12x^2=4x^2(x-3)
  • 경계x=0, 3x=0,\ 3
x=0x=0 의 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가 모두 −- 이므로 x=0x=0 에서는 극값을 갖지 않아요.
극솟값은 f(3)=−27f(3)=-27 하나뿐이에요.
⚠ 주의검산
① 이웃한 극댓값이 극솟값보다 큰지 확인해요.
② 최고차항의 계수로 그래프의 양 끝을 확인해요.
예: x3x^3 의 계수가 양수이면 xx 가 커질 때 f(x)f(x) 도 한없이 커져요.
③ yy 절편 f(0)f(0) 이 그래프 위에 있는지 확인해요.

2삼차함수의 그래프의 개형

삼차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a\ne0) 의 도함수는 이차함수예요.
f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c
따라서 이차방정식 f′(x)=0f'(x)=0 의 판별식 DD 에 따라 그래프의 개형이 정해져요.
D4=b2−3ac\dfrac{D}{4}=b^2-3ac

공식a>0a>0 인 삼차함수의 개형
D>0D>0
f′(x)=3a(x−α)(x−β) (α<β)\displaystyle f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta)\ (\alpha<\beta)
증가 → 극대 → 감소 → 극소 → 증가
극댓값 f(α)f(\alpha) 와 극솟값 f(β)f(\beta) 를 모두 갖는다.
D=0D=0
f′(x)=3a(x−α)2≥0\displaystyle f'(x)=3a(x-\alpha)^2\ge0
항상 증가한다. 극값이 없다.
x=αx=\alpha 에서 접선이 xx 축에 평행하다.
D<0D<0
f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0
항상 증가한다. 극값이 없다.
학생
D=0D=0 이면 f′(x)=0f'(x)=0 인 점이 있는데 왜 극값이 없어요?
쌤
f′(x)=3a(x−α)2f'(x)=3a(x-\alpha)^2 은 x=αx=\alpha 의 좌우에서 부호가 바뀌지 않아요.
그래프가 그 점에서 잠깐 평평해졌다가 계속 증가해서 극값이 아니에요.
성질삼차함수가 극값을 가질 조건
삼차함수 f(x)f(x) 가 극값을 갖는다.
  ⟺  \iff 이차방정식 f′(x)=0f'(x)=0 이 서로 다른 두 실근을 갖는다.
  ⟺  \iff D>0D>0
극값의 부호로 방정식의 실근의 개수도 알 수 있다.
반대로 D≤0D\le0 이면 f(x)f(x) 는 항상 증가하거나 항상 감소하여 극값을 갖지 않는다.
극값을 갖지 않을 조건
f(x)=x3+ax2+3xf(x)=x^3+ax^2+3x
f′(x)=3x2+2ax+3f'(x)=3x^2+2ax+3
D4=a2−9≤0\dfrac{D}{4}=a^2-9\le0
↳f′(x)=0f'(x)=0 의 판별식 D≤0D\le0
−3≤a≤3-3\le a\le3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3−3x2+3xf(x)=x^3-3x^2+3x 의 극값에 대하여 옳은 것은?
등호를 빠뜨리지 않는다
✗ 틀린 풀이
D4=a2−9<0\dfrac{D}{4}=a^2-9<0 이므로 −3<a<3-3<a<3
왜 틀렸나 D=0D=0 이면 f′(x)≥0f'(x)\ge0 이 되어 함수가 계속 증가하므로 극값이 없는 조건에 등호가 들어간다.
✓ 바른 풀이
D4=a2−9≤0\dfrac{D}{4}=a^2-9\le0 이므로 −3≤a≤3-3\le a\le3
a=3a=3 이면 f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2\ge0 이에요.
f(x)f(x) 는 항상 증가하므로 극값이 없어요.
따라서 D=0D=0 인 경우도 포함해야 해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

a<0a<0 이면 위의 개형을 위아래로 뒤집은 모양이에요.
즉 감소 → 극소 → 증가 → 극대 → 감소 이거나, 항상 감소해요.

D=0D=0 인 경우
f(x)=x3+3x2+3xf(x)=x^3+3x^2+3x
f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2\ge0
D4=32−3×1×3=0\dfrac{D}{4}=3^2-3\times1\times3=0
f′(−1)=0f'(-1)=0
↳좌우에서 부호가 안 바뀌어요
따라서 f(x)f(x) 는 항상 증가하고 극값이 없어요.
a<0a<0 인 경우
f(x)=−x3+3xf(x)=-x^3+3x
xx⋯\cdots−1-1⋯\cdots11⋯\cdots
f′(x)f'(x)−-0++0−-
f(x)f(x)↘극소 −2-2↗극대 22↘
f′(x)=−3x2+3=−3(x+1)(x−1)f'(x)=-3x^2+3=-3(x+1)(x-1)
극솟값 f(−1)=−2f(-1)=-2, 극댓값 f(1)=2f(1)=2

3닫힌구간에서의 최대·최소

성질닫힌구간에서의 최댓값과 최솟값
함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이면 최대·최소 정리에 의하여 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다.
구간 안에서의 극값과 양 끝 값 f(a)f(a), f(b)f(b) 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 최댓값·최솟값 구하기
  1. 1
    f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 구하고, 그중 구간 [a, b][a,\ b] 안에 있는 것만 골라요.
    구간 밖의 값은 버려요.
  2. 2
    고른 xx 에서의 함숫값과 양 끝 값 f(a)f(a), f(b)f(b) 를 구해요.
  3. 3
    이 값들 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이에요.
    증감표를 그려 확인하면 실수가 줄어들어요.
−2≤x≤3-2\le x\le3 에서 f(x)=2x3−3x2−12x+1f(x)=2x^3-3x^2-12x+1 의 최댓값과 최솟값
xx−2-2⋯\cdots−1-1⋯\cdots22⋯\cdots33
f′(x)f'(x)++0−-0++
f(x)f(x)−3-3↗극대 88↘극소 −19-19↗−8-8
  • f′(x)f'(x)6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)
  • 경계x=−1, 2x=-1,\ 2 모두 구간 안
후보 −3, 8, −19, −8-3,\ 8,\ -19,\ -8 중 최댓값 88, 최솟값 −19-19
학생
극댓값이 하나뿐이면 그게 최댓값이에요?
쌤
구간 안에 극값이 그것 하나뿐이면 맞아요.
극댓값과 극솟값이 함께 있으면 끝 값이 더 클 수 있으니 꼭 끝 값까지 비교해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
0≤x≤30\le x\le3 에서 f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x 의 최댓값은?
끝 값을 빠뜨리지 않는다
✗ 틀린 풀이
−2≤x≤4-2\le x\le4 에서 f(x)=2x3−3x2−12x+1f(x)=2x^3-3x^2-12x+1 의 최댓값은 극댓값 f(−1)=8f(-1)=8
왜 틀렸나 닫힌구간에서 최댓값은 극댓값과 양 끝의 함숫값을 모두 비교하여 가장 큰 값으로 정한다.
✓ 바른 풀이
f(4)=33f(4)=33 이 극댓값 88 보다 크므로 최댓값은 3333
후보: f(−2)=−3f(-2)=-3, f(−1)=8f(-1)=8, f(2)=−19f(2)=-19, f(4)=33f(4)=33
이 중 가장 큰 3333 이 최댓값, 가장 작은 −19-19 가 최솟값이다.
구간 밖의 극값은 후보가 아니다
✗ 틀린 풀이
0≤x≤30\le x\le3 에서 f(x)=2x3−3x2−12x+1f(x)=2x^3-3x^2-12x+1 의 최댓값은 f(−1)=8f(-1)=8
왜 틀렸나 최대·최소의 후보는 주어진 구간 0≤x≤30\le x\le3 안에 있는 극값과 양 끝의 함숫값뿐이다.
✓ 바른 풀이
x=−1x=-1 은 구간 밖에 있다.
후보는 f(0)=1f(0)=1, f(2)=−19f(2)=-19, f(3)=−8f(3)=-8
따라서 최댓값은 11, 최솟값은 −19-19
확인: f′(x)=6(x+1)(x−2)f'(x)=6(x+1)(x-2) 이므로 구간 안에서 f′(x)=0f'(x)=0 인 점은 x=2x=2 하나이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림성질 더 보기

왜 그런가?
최댓값을 갖는 점이 구간의 안쪽에 있으면, 그 점의 왼쪽에서는 함숫값이 커지다가 오른쪽에서는 작아지므로 그 점에서 극대예요.
안쪽에 있지 않으면 그 점은 양 끝 중 하나예요.
최솟값도 같은 이유로 극솟값 또는 양 끝 값 중 하나예요.

성질극값이 하나뿐일 때
어떤 구간에서 연속인 함수가 극값을 하나만 가지면, 그 극솟값은 그 구간에서의 최솟값이고 그 극댓값은 그 구간에서의 최댓값이다.
예: f(x)=x4−4x3f(x)=x^4-4x^3 은 극솟값 f(3)=−27f(3)=-27 만 가지므로 실수 전체에서의 최솟값은 −27-27 이다.

4최대·최소의 활용

길이·넓이·부피의 최댓값을 구할 때는 구하는 양을 한 문자에 대한 함수로 나타내요.
이때 길이는 양수여야 하므로 변수의 범위를 먼저 정해요.

활용 문제를 푸는 순서
  1. 1
    구하는 양을 한 변수 xx 에 대한 함수로 나타내요.
  2. 2
    xx 의 범위를 정해요.
    각 변의 길이가 양수인 조건을 써요.
  3. 3
    도함수로 증감표를 만들어 그 범위에서 최댓값·최솟값을 구해요.
    f′(x)=0f'(x)=0 의 해 중 범위 밖의 것은 버려요.
상자 전개도
귀퉁이에서 한 변이 xx 인 정사각형을 잘라 내요
xx12-2x12밑면
주황 정사각형을 잘라 내고 파란 점선을 따라 접으면 밑면 한 변이 12−2x12-2x, 높이가 xx 인 상자가 돼요.
부피의 최대
한 변의 길이가 1212 인 정사각형 철판의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 xx 인 정사각형을 잘라 내고 접어서 뚜껑 없는 상자를 만들 때
V(x)=x(12−2x)2V(x)=x(12-2x)^2
↳(밑넓이)×\times(높이)
0<x<60<x<6
↳x>0x>0, 12−2x>012-2x>0
V′(x)=(12−2x)2+x×2(12−2x)×(−2)V'(x)=(12-2x)^2+x\times2(12-2x)\times(-2)
↳곱의 미분법
=(12−2x)2−4x(12−2x)=(12-2x)^2-4x(12-2x)
=(12−2x)(12−6x)=(12-2x)(12-6x)
↳12−2x12-2x 로 묶기
V′(x)=0: x=2V'(x)=0:\ x=2
↳x=6x=6 은 범위 밖
학생
범위에서 x=0x=0, x=6x=6 은 왜 빼요?
쌤
x=0x=0 이면 높이가, x=6x=6 이면 밑면의 한 변 12−2x12-2x 가 00 이 되어 상자가 만들어지지 않아요.
그래서 범위는 0<x<60<x<6 이에요.
증감표
xx00⋯\cdots22⋯\cdots66
V′(x)V'(x)++0−-
V(x)V(x)↗극대 128128↘
x=2x=2 일 때 부피의 최댓값은 V(2)=2×82=128V(2)=2\times8^2=128
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
한 변의 길이가 1010 인 정사각형 철판의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 xx 인 정사각형을 잘라 내고 접어 상자를 만들 때, xx 의 범위는?
⚠ 주의범위 확인
V′(x)=0V'(x)=0 의 해 x=6x=6 은 범위 0<x<60<x<6 밖이므로 버려요.
양 끝이 범위에 포함되지 않으면 끝 값은 최댓값 후보가 아니에요.
답을 구한 뒤 각 변의 길이가 양수인지 다시 확인해요.
자세히 보기펼치기예제그림
넓이의 최대
곡선 y=12−x2y=12-x^2 과 xx 축으로 둘러싸인 부분에 한 변이 xx 축 위에 있는 직사각형을 넣을 때
S(t)=2t(12−t2)=24t−2t3S(t)=2t(12-t^2)=24t-2t^3
↳꼭짓점 (t, 12−t2)(t,\ 12-t^2): 가로 2t2t, 세로 12−t212-t^2
0<t<230<t<2\sqrt{3}
↳t>0t>0, 12−t2>012-t^2>0
S′(t)=24−6t2=−6(t+2)(t−2)S'(t)=24-6t^2=-6(t+2)(t-2)
↳범위 안에서는 t=2t=2 뿐
증감표
tt00⋯\cdots22⋯\cdots232\sqrt{3}
S′(t)S'(t)++0−-
S(t)S(t)↗극대 3232↘
넓이의 최댓값은 S(2)=4×8=32S(2)=4\times8=32
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1함수의 그래프는 f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 구하고 증감표를 만들어 증가·감소와 극값을 확인한 뒤 그린다.
  2. 2삼차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d 의 개형은 f′(x)=0f'(x)=0 의 판별식으로 정해진다. D4=b2−3ac>0\dfrac{D}{4}=b^2-3ac>0 이면 극값이 두 개, D4≤0\dfrac{D}{4}\le0 이면 극값이 없다.
  3. 3닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속인 함수의 최댓값·최솟값은 구간 안의 극값과 f(a)f(a), f(b)f(b) 중 가장 큰 값·가장 작은 값이다.
  4. 4활용 문제는 구하는 양을 한 변수의 함수로 나타내고, 그 변수의 범위 안에서 최대·최소를 구한다.
✗ 자주 하는 실수
  • f′(a)=0f'(a)=0 이기만 하면 x=ax=a 에서 극값을 갖는다고 생각해요. 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가 바뀌는지 확인해야 해요.
  • 닫힌구간에서 최댓값·최솟값을 구할 때 양 끝 값을 빠뜨리거나, 구간 밖에 있는 극값을 후보에 넣어요.
  • 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건을 D<0D<0 으로만 써서 D=0D=0 인 경우를 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)=x3−6x2+9x+1f(x)=x^3-6x^2+9x+1 의 증감표를 만들고 극댓값과 극솟값을 구하시오.
  2. 예제 2
    −1≤x≤2-1\le x\le2 에서 함수 f(x)=−x4+2x2+3f(x)=-x^4+2x^2+3 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
  3. 예제 3
    가로의 길이가 88, 세로의 길이가 55 인 직사각형 철판의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 xx 인 정사각형을 잘라 내고 접어서 뚜껑 없는 상자를 만들 때, 상자의 부피의 최댓값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 방정식과 부등식에의 활용 →
이전 개념: 함수의 극대와 극소설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학1 이차방정식의 판별식, 공통수학2 대칭이동, 미적분Ⅱ 함수의 그래프 (나중에)미적분Ⅰ 목차
← 함수의 극대와 극소방정식과 부등식에의 활용 →
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