수학 개념 노트전체 과목

방정식과 부등식에의 활용

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
방정식 f(x)=kf(x)=k 의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 직선 y=ky=k 의 교점의 개수와 같아요. 부등식 f(x)≥0f(x)\ge0 이 항상 성립할 조건은 f(x)f(x) 의 최솟값이 00 이상인 것이고, 부등식 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 는 h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x) 의 최솟값으로 증명해요.
  1. 1방정식의 실근과 그래프
  2. 2부등식이 항상 성립할 조건
  3. 3부등식의 증명
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1방정식의 실근과 그래프

성질실근과 교점
방정식 f(x)=0f(x)=0 의 실근은 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축의 교점의 xx 좌표이다.
방정식 f(x)=g(x)f(x)=g(x) 의 실근은 두 곡선 y=f(x)y=f(x), y=g(x)y=g(x) 의 교점의 xx 좌표이다.
따라서 서로 다른 실근의 개수는 교점의 개수와 같다.

상수 kk 가 들어 있는 방정식은 kk 를 한쪽으로 분리 하여 f(x)=kf(x)=k 꼴로 바꿔요.

학생
왜 굳이 kk 를 한쪽으로 모아요?
쌤
그러면 곡선 y=f(x)y=f(x) 는 고정되고 직선 y=ky=k 만 위아래로 움직여요. 움직이는 직선과의 교점만 세면 되니 훨씬 쉬워요.
방정식 f(x)=kf(x)=k 의 실근의 개수 구하기
  1. 1
    방정식을 f(x)=kf(x)=k 꼴로 정리해요(로그가 있으면 진수 조건부터 확인해요).
    xx 로 나눌 때는 x≠0x\ne0 인지, 부호가 어떤지 확인해요.
  2. 2
    f′(x)f'(x) 로 증가·감소와 극값을 조사해요.
  3. 3
    정의역의 양 끝에서의 극한을 조사해요.
    그래프가 점근선에 어느 쪽에서 다가가는지까지 봐요.
  4. 4
    곡선 y=f(x)y=f(x) 를 그리고, 직선 y=ky=k 를 위아래로 움직이며 교점의 개수를 세요.
방정식 xex=kxe^{x}=k 의 서로 다른 실근의 개수
f′(x)=(x+1)exf'(x)=(x+1)e^{x}
↳x=−1x=-1 에서 극소
f(−1)=−1ef(-1)=-\dfrac{1}{e}
↳극솟값
lim⁡x→∞xex=∞,lim⁡x→−∞xex=0\lim_{x\to\infty}xe^{x}=\infty,\quad\lim_{x\to-\infty}xe^{x}=0
↳x<0x<0 에서는 xx 축 아래에서 다가가요
kk 의 값에 따른 실근의 개수
00 개
22 개
11 개
-101
−1e-\frac{1}{e}
00
k=−1ek=-\dfrac{1}{e} 이면 접하므로 11 개, k=0k=0 이면 원점 하나뿐이라 11 개예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
극솟값이 −2-2, 극댓값이 22 인 삼차함수 f(x)f(x) 에 대하여 f(x)=kf(x)=k 가 서로 다른 세 실근을 갖는 kk 의 범위는?
점근선 쪽 교점을 놓치지 않는다
✗ 틀린 풀이
−1e<k<0-\dfrac{1}{e}<k<0 일 때 방정식 xex=kxe^{x}=k 의 실근은 11 개이다.
왜 틀렸나 실근의 개수는 극값뿐 아니라 x→±∞x\to\pm\infty 일 때 그래프가 다가가는 값까지 보고 정해야 한다.
✓ 바른 풀이
−1e<k<0-\dfrac{1}{e}<k<0 일 때 실근은 22 개이다.
x→−∞x\to-\infty 일 때 xexxe^{x} 은 음수이면서 00 에 가까워진다.
그래서 직선 y=ky=k 는 x<−1x<-1 인 쪽에서 한 번, −1<x<0-1<x<0 인 쪽에서 한 번 곡선과 만난다.
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응용
방정식 ln⁡x=kx\ln x=kx 의 서로 다른 실근의 개수
ln⁡xx=k\dfrac{\ln x}{x}=k
↳x>0x>0 이라 양변을 xx 로 나누기
g(x)=ln⁡xxg(x)=\dfrac{\ln x}{x}
↳왼쪽을 g(x)g(x) 로 놓아요
g′(x)=1−ln⁡xx2g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}
↳x=ex=e 에서 극대
g(e)=1eg(e)=\dfrac{1}{e}
↳극댓값
lim⁡x→0+g(x)=−∞,lim⁡x→∞g(x)=0\lim_{x\to0+}g(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to\infty}g(x)=0
↳x>1x>1 에서는 xx 축 위에서 다가가요
kk 의 값에 따른 실근의 개수
11 개
22 개
00 개
-101
00
1e\frac{1}{e}
k=1ek=\dfrac{1}{e} 이면 접하므로 11 개, k=0k=0 이면 x=1x=1 하나뿐이라 11 개예요.

2부등식이 항상 성립할 조건

성질최댓값·최솟값과 부등식
어떤 구간에서
부등식 f(x)≥0f(x)\ge0 이 항상 성립한다.   ⟺  \iff 그 구간에서 f(x)f(x) 의 최솟값이 00 이상이다.
부등식 f(x)≤0f(x)\le0 이 항상 성립한다.   ⟺  \iff 그 구간에서 f(x)f(x) 의 최댓값이 00 이하이다.
학생
왜 최솟값만 확인하면 돼요?
쌤
가장 작은 값이 00 이상이면 나머지 함숫값은 모두 그보다 크거나 같으니 00 이상이에요.

두 함수를 비교하는 부등식 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 는 두 식의 차 h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x) 를 만들어 h(x)≥0h(x)\ge0 으로 바꿔요.

모든 실수 xx 에 대하여 ex≥x+ke^{x}\ge x+k 가 성립하는 kk 의 값의 범위
ex−x≥ke^{x}-x\ge k
↳kk 를 분리
h(x)=ex−xh(x)=e^{x}-x
↳왼쪽을 h(x)h(x) 로 놓아요
h′(x)=ex−1h'(x)=e^{x}-1
↳x<0x<0 에서 −-, x>0x>0 에서 ++
h(0)=1h(0)=1
↳h(x)h(x) 의 최솟값
k≤1k\le1
↳(최솟값) ≥k\ge k
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
모든 실수 xx 에 대하여 x2−2x≥kx^2-2x\ge k 일 때 kk 의 최댓값은?
끝 값도 최솟값 후보이다
✗ 틀린 풀이
닫힌구간 [−3, 2][-3,\ 2] 에서 x3−3x≥kx^3-3x\ge k 가 항상 성립하려면 극솟값 −2-2 이상이므로 k≤−2k\le-2
왜 틀렸나 닫힌구간에서 항상 성립하려면 극솟값이 아니라 양 끝까지 비교한 최솟값을 써야 한다.
✓ 바른 풀이
후보는 f(−3)=−18f(-3)=-18, f(−1)=2f(-1)=2, f(1)=−2f(1)=-2, f(2)=2f(2)=2
최솟값은 −18-18 이므로 k≤−18k\le-18
확인: k=−18k=-18 이면 가장 작은 값 f(−3)=−18f(-3)=-18 에서도 −18≥−18-18\ge-18 이 성립한다.
⚠ 주의최솟값이 없을 때
x>0x>0 에서 exe^{x} 은 11 보다 크지만, xx 가 00 에 가까워지면 11 에 한없이 가까워져요. 이때 exe^{x} 의 최솟값은 없어요.
x>0x>0 에서 ex>ke^{x}>k 가 항상 성립할 조건은 k≤1k\le1 이에요.
k=1k=1 이어도 ex>1e^{x}>1 은 x>0x>0 에서 참이므로 등호가 포함돼요.
자세히 보기펼치기예제
응용
x>0x>0 인 모든 xx 에 대하여 xln⁡x≥kx\ln x\ge k
h(x)=xln⁡xh(x)=x\ln x
↳왼쪽을 h(x)h(x) 로 놓아요
h′(x)=ln⁡x+1=0, x=1eh'(x)=\ln x+1=0,\ x=\dfrac{1}{e}
↳좌우에서 −- 에서 ++
h(1e)=−1eh\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{1}{e}
↳최솟값
k≤−1ek\le-\dfrac{1}{e}

3부등식의 증명

부등식 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 를 증명하는 순서
  1. 1
    h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x) 로 놓아요.
  2. 2
    h′(x)h'(x) 를 구하여 증가·감소를 조사해요.
  3. 3
    h(x)h(x) 의 최솟값이 00 이상임을 보여요.
    또는 h(x)h(x) 가 증가하고 구간의 왼쪽 끝 값이 00 이상임을 보여요.
  4. 4
    등호가 성립하는 xx 의 값을 밝혀요.
    최솟값을 갖는 xx 에서 등호가 성립해요.
학생
왜 꼭 빼서 h(x)h(x) 를 만들어요?
쌤
두 함수를 따로 보면 크기를 비교하기 어려워요. 빼서 하나로 만들면 h(x)≥0h(x)\ge0, 즉 h(x)h(x) 의 최솟값이 00 이상인지만 보면 돼요.
모든 실수 xx 에 대하여 ex≥x+1e^{x}\ge x+1
h(x)=ex−x−1h(x)=e^{x}-x-1
h′(x)=ex−1h'(x)=e^{x}-1
↳x<0x<0 에서 −-, x>0x>0 에서 ++
h(0)=0h(0)=0
↳최솟값
ex≥x+1e^{x}\ge x+1
↳등호는 x=0x=0 일 때
끝 값을 이용하는 꼴
x>0x>0 일 때 sin⁡x<x\sin x<x
h(x)=x−sin⁡xh(x)=x-\sin x
h′(x)=1−cos⁡x≥0h'(x)=1-\cos x\ge0
↳h′=0h'=0 인 점은 띄엄띄엄이라 증가
h(x)>h(0)=0h(x)>h(0)=0
↳x>0x>0
sin⁡x<x\sin x<x
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x>0x>0 에서 h(x)=x−sin⁡x>0h(x)=x-\sin x>0 을 보이려면 h′(x)=1−cos⁡x≥0h'(x)=1-\cos x\ge0 말고 무엇이 더 필요해요?
출발점의 값을 확인한다
✗ 틀린 풀이
h′(x)>0h'(x)>0 이므로 h(x)>0h(x)>0 이다.
왜 틀렸나 증가함수의 부호를 알려면 출발점 x=0x=0 에서의 값 h(0)=0h(0)=0 을 함께 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
h′(x)>0h'(x)>0 이고 h(0)=0h(0)=0 이므로 x>0x>0 에서 h(x)>h(0)=0h(x)>h(0)=0 이다.
증가한다는 것만으로는 h(x)h(x) 의 부호를 알 수 없어요.
예: h(x)=x−1h(x)=x-1 은 증가하지만 x<1x<1 에서 음수예요.
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응용
x>0x>0 일 때 ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1
h(x)=x−1−ln⁡xh(x)=x-1-\ln x
h′(x)=1−1x=x−1xh'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}
↳0<x<10<x<1 에서 −-, x>1x>1 에서 ++
h(1)=0h(1)=0
↳최솟값
ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1
↳등호는 x=1x=1 일 때
성질그래프로 보기
y=x+1y=x+1 은 곡선 y=exy=e^{x} 위의 점 (0, 1)(0,\ 1) 에서의 접선이다.
곡선 y=exy=e^{x} 는 아래로 볼록하므로 곡선이 접선보다 위에 있다. 그래서 ex≥x+1e^{x}\ge x+1 이다.
y=x−1y=x-1 은 곡선 y=ln⁡xy=\ln x 위의 점 (1, 0)(1,\ 0) 에서의 접선이다.
곡선 y=ln⁡xy=\ln x 는 위로 볼록하므로 곡선이 접선보다 아래에 있다. 그래서 ln⁡x≤x−1\ln x\le x-1 이다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1방정식 f(x)=0f(x)=0 의 실근은 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축의 교점의 xx 좌표이고, 방정식 f(x)=g(x)f(x)=g(x) 의 실근은 두 곡선의 교점의 xx 좌표이다.
  2. 2방정식 f(x)=kf(x)=k 의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 직선 y=ky=k 의 교점의 개수와 같다.
  3. 3어떤 구간에서 부등식 f(x)≥0f(x)\ge0 이 항상 성립한다.   ⟺  \iff 그 구간에서 f(x)f(x) 의 최솟값이 00 이상이다.
  4. 4부등식 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 는 h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x) 의 최솟값이 00 이상임을 보여 증명한다.
✗ 자주 하는 실수
  • f(x)=kf(x)=k 의 실근의 개수를 셀 때 끝에서의 극한(점근선)을 확인하지 않아, 점근선 쪽에서 생기는 교점을 놓쳐요.
  • 부등식이 항상 성립할 조건에서 끝 값을 빼고 극솟값만 비교하거나, 등호 포함 여부를 확인하지 않아요.
  • 부등식 증명에서 h′(x)>0h'(x)>0 만 보이고 출발점의 값 h(0)h(0) 을 확인하지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    방정식 ex=x+ke^{x}=x+k 의 서로 다른 실근의 개수를 실수 kk 의 값에 따라 구하시오.
  2. 예제 2
    x>0x>0 인 모든 실수 xx 에 대하여 부등식 ln⁡x≤kx\ln x\le kx 가 성립하도록 하는 실수 kk 의 최솟값을 구하시오.
  3. 예제 3
    x>0x>0 일 때 부등식 ln⁡(1+x)<x\ln(1+x)<x 가 성립함을 증명하시오.

다음 공부

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← 함수의 그래프속도와 가속도 →
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