여러 가지 곡선의 접선

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

지수·로그·삼각함수의 그래프 위의 점

(a,\ f(a))

에서의 접선도

y-f(a)=f'(a)(x-a)

로 구해요. 매개변수나 음함수로 나타낸 곡선은 그 미분법으로 기울기를 구하고, 역함수의 그래프는

g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}

를 써요.

1곡선 위의 점에서의 접선
2기울기가 주어진 접선
3곡선 밖의 점에서 그은 접선
4매개변수·음함수로 나타낸 곡선의 접선
5역함수의 그래프의 접선
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (2개 · 핵심 용어 가리기)

1곡선 위의 점에서의 접선

성질접선의 방정식

곡선

y=f(x)

위의 점

(a,\ f(a))

에서의 접선의 방정식은

y-f(a)=f'(a)(x-a)

이때 점

(a,\ f(a))

를 접점이라 한다.

학생

지수·로그 곡선의 접선도 같은 방법으로 구해요?

쌤

네. 접선의 기울기는 접점에서의 미분계수

f'(a)

예요. 달라지는 것은 도함수를 구하는 공식뿐이에요.

y=e^x

위의 점

(0,\ 1)

y=\ln x

위의 점

(1,\ 0)

y-1=1\cdot(x-0),\quad y=x+1

↳◀

y'=e^x

, 기울기

e^0=1

y-0=1\cdot(x-1),\quad y=x-1

↳◀

y'=\frac{1}{x}

, 기울기

1

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

곡선

y=e^{2x}

위의 점

(0,\ 1)

에서의 접선의 기울기는?

기울기에는 미분계수의 값을 넣는다

✗ 틀린 풀이

y=\ln x

위의 점

(1,\ 0)

에서의 접선:

y=\dfrac{1}{x}(x-1)

왜 틀렸나 접선의 기울기는 도함수에 접점의

x

좌표를 넣은 수이므로

y'

에

x=1

을 넣는다.

✓ 바른 풀이

y'=\dfrac{1}{x}

에

x=1

을 넣은

1

이 기울기이므로

y=x-1

확인: 접선의 방정식은 일차식이어야 하고,

y=x-1

은 점

(1,\ 0)

을 지난다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

접선의 방정식 구하는 순서

1
접점의 좌표 $(a,\ f(a))$ 를 구해요.
2
$f'(x)$ 를 구하고 $x=a$ 를 넣어 기울기 $f'(a)$ 를 구해요.
$e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ 의 도함수와 합성함수의 미분법을 써요.
3
$y-f(a)=f'(a)(x-a)$ 에 넣고 정리해요.

응용

y=\sin x

위의 점

(\pi,\ 0)

y=x\ln x

위의 점

(e,\ e)

y-0=-(x-\pi),\quad y=-x+\pi

↳◀

y'=\cos x

, 기울기

\cos\pi=-1

y-e=2(x-e),\quad y=2x-e

↳◀

y'=\ln x+1

, 기울기

2

2기울기가 주어진 접선

기울기가

m

인 접선

1
접점을 $(t,\ f(t))$ 로 놓아요.
2
$f'(t)=m$ 을 풀어 $t$ 를 구해요.
삼각함수처럼 $t$ 가 여러 개이면 접선도 여러 개예요. 정의역(범위)을 확인해요.
3
$y-f(t)=m(x-t)$ 에 넣어요.

학생

평행이나 수직 조건이 주어지면요?

쌤

평행하면 기울기가 같고, 수직이면 기울기의 곱이

-1

이에요. 그렇게 기울기

m

을 먼저 정한 뒤 같은 순서로 풀어요.

y=\ln x

에 접하고 기울기가

\dfrac{1}{2}

인 직선

\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{2},\ t=2

↳◀접점

(2,\ \ln2)

y-\ln2=\dfrac{1}{2}(x-2)

y=\dfrac{1}{2}x+\ln2-1

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

곡선

y=\ln x

에 접하고 기울기가

2

인 직선의 접점의

x

좌표는?

자세히 보기펼치기예제 2그림왜 그런지

응용

y=\sin x

(

0<x<2\pi

) 에 접하고 기울기가

\dfrac{1}{2}

인 직선

\cos t=\dfrac{1}{2}

↳◀

t=\frac{\pi}{3}

또는

t=\frac{5}{3}\pi

y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\sqrt3}{2}

↳◀접점

\left(\frac{\pi}{3},\ \frac{\sqrt3}{2}\right)

y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{6}\pi-\dfrac{\sqrt3}{2}

↳◀접점

\left(\frac{5}{3}\pi,\ -\frac{\sqrt3}{2}\right)

평행 조건

y=e^x

에 접하고 직선

y=2x+1

에 평행한 직선

e^t=2,\ t=\ln2

↳◀기울기가 같아요

y-2=2(x-\ln2)

↳◀접점

(\ln2,\ 2)

y=2x+2-2\ln2

평행한 두 직선은 기울기가 같아요.
직선 $y=mx+n$ 에 수직인 접선이면 기울기가 $-\dfrac{1}{m}$ ( $m\ne0$ ) 인 접선을 구해요.

3곡선 밖의 점에서 그은 접선

곡선 밖의 점

(p,\ q)

에서 그은 접선

1
접점을 $(t,\ f(t))$ 로 놓고 접선을 $t$ 로 써요.
$y-f(t)=f'(t)(x-t)$
2
이 접선이 점 $(p,\ q)$ 를 지나므로 $x=p$ , $y=q$ 를 넣어요.
3
$t$ 를 구하여 접선의 방정식에 다시 넣어요.

학생

곡선 밖의 점에서 접선을 그을 때도 그 점의 미분계수를 써요?

쌤

아니요. 그 점은 접점이 아니에요. 접점을

(t,\ f(t))

로 따로 놓고, 접선이 그 점을 지난다는 조건으로

t

를 구해요.

원점에서 곡선

y=\ln x

에 그은 접선

y-\ln t=\dfrac{1}{t}(x-t)

↳◀접점

(t,\ \ln t)

0-\ln t=\dfrac{1}{t}(0-t)

↳◀원점

(0,\ 0)

을 넣어요

-\ln t=-1,\ t=e

↳◀정리하면

y=\dfrac{1}{e}x

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

원점에서 곡선

y=e^x

에 그은 접선의 접점은?

곡선 밖의 점은 접점이 아니다

✗ 틀린 풀이

원점에서

y=e^x

에 그은 접선의 기울기를

f'(0)=1

로 하여

y=x

왜 틀렸나

f'(a)

가 접선의 기울기가 되는 것은 점

(a,\ f(a))

가 곡선 위의 접점일 때뿐이다.

✓ 바른 풀이

접점

(t,\ e^t)

를 따로 놓고, 접선이 원점을 지나는 조건으로

t=1

을 구한다. 접선은

y=ex

먼저 주어진 점이 곡선 위에 있는지 확인한다.

e^0=1\ne0

이므로 원점은 곡선 밖에 있다.
접선

y-e^t=e^t(x-t)

에

(0,\ 0)

을 넣으면

t=1

이다.

자세히 보기펼치기예제

응용

원점에서 곡선

y=e^x

에 그은 접선

y-e^t=e^t(x-t)

↳◀접점

(t,\ e^t)

0-e^t=e^t(0-t)

↳◀원점

(0,\ 0)

을 넣어요

-e^t=-te^t,\ t=1

↳◀양변을

-e^t\ (\ne0)

로 나눠요

y=ex

4매개변수·음함수로 나타낸 곡선의 접선

접선의 방정식에 필요한 것은 접점의 좌표와 기울기 $\dfrac{dy}{dx}$ 이에요.
곡선을 나타내는 방법에 따라 기울기를 구하는 미분법만 바뀌어요.

공식곡선의 종류에 따른 접선

매개변수

x=f(t)

y=g(t)

\displaystyle y-g(t_1)=\frac{g'(t_1)}{f'(t_1)}\{x-f(t_1)\}

접점은

t=t_1

에 대응하는 점

음함수

F(x,\ y)=0

\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)

m

은 음함수의 미분으로 구한

\dfrac{dy}{dx}

에

x=x_1

y=y_1

을 넣은 값

매개변수

x=t^2

y=t^3

에서

t=1

에 대응하는 점

(1,\ 1)

↳◀접점

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3}{2}

↳◀

t=1

y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}

↳◀

y-1=\frac{3}{2}(x-1)

음함수

원

x^2+y^2=25

위의 점

(3,\ 4)

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}

↳◀

2x+2y\frac{dy}{dx}=0

y-4=-\dfrac{3}{4}(x-3)

3x+4y=25

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

원

x^2+y^2=5

위의 점

(1,\ 2)

에서의 접선의 기울기는?

자세히 보기펼치기예제 2그림틀리기 쉬운 곳

응용

x=2\cos t

y=\sin t

에서

t=\dfrac{\pi}{4}

에 대응하는 점

\left(\sqrt2,\ \dfrac{\sqrt2}{2}\right)

↳◀접점

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\cos t}{-2\sin t}=-\dfrac{1}{2}

↳◀

t=\frac{\pi}{4}

y-\dfrac{\sqrt2}{2}=-\dfrac{1}{2}(x-\sqrt2)

x+2y=2\sqrt2

응용

곡선

x^2+2y^2=3

위의 점

(1,\ 1)

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{2y}=-\dfrac{1}{2}

↳◀

2x+4y\frac{dy}{dx}=0

y-1=-\dfrac{1}{2}(x-1)

x+2y=3

⚠ 주의검산

① 접점의 좌표를 접선의 식에 넣어 성립하는지 확인해요.
예:

3x+4y=25

에

(3,\ 4)

를 넣으면

9+16=25

② 원

x^2+y^2=r^2

위의 점

(x_1,\ y_1)

에서의 접선은

x_1x+y_1y=r^2

이에요. 미분으로 구한 결과가 이 꼴과 같은지 확인해요.

5역함수의 그래프의 접선

$y=f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 해요. $f(a)=b$ 이면 점 $(b,\ a)$ 는 $y=g(x)$ 의 그래프 위에 있고, 이 점에서의 접선의 기울기는 $g'(b)=\frac{1}{f'(a)}$ 두 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭 이므로, 두 접선도 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이에요.

학생

접점은 왜

(a,\ b)

가 아니라

(b,\ a)

예요?

쌤

역함수의 그래프는 원래 그래프에서

x

와

y

의 자리를 바꾼 거예요. 그래서

f(a)=b

이면 역함수의 그래프 위의 점은

(b,\ a)

예요.

y=g(x)

(

g=f^{-1}

) 위의

x=b

인 점에서의 접선

1
$f(a)=b$ 인 $a$ 를 구해요.
접점은 $(b,\ a)$ 이에요. $x$ 와 $y$ 의 자리가 바뀌어요.
2
기울기 $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$ 를 구해요.
3
$y-a=\dfrac{1}{f'(a)}(x-b)$

f(x)=x^3+x

의 역함수

g(x)

의 그래프 위의

x=2

인 점

f(1)=2

↳◀접점

(2,\ 1)

\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{4}

↳◀

f'(x)=3x^2+1

y-1=\dfrac{1}{4}(x-2)

y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f(x)=x^3+1

의 역함수의 그래프 위의 점

(2,\ 1)

에서의 접선의 기울기는?

접점의 좌표

✗ 틀린 풀이

g

위의

x=2

인 점을

(2,\ f(2))=(2,\ 10)

으로 쓴다

왜 틀렸나

y=g(x)

위의 점이므로

y

좌표는

g(2)

이고, 역함수에서는

f(a)=2

인

a

가

g(2)

이다.

✓ 바른 풀이

f(1)=2

이므로

g(2)=1

, 접점은

(2,\ 1)

확인: 점

(1,\ 2)

가

y=f(x)

위에 있으므로,

x

와

y

를 바꾼 점

(2,\ 1)

이

y=g(x)

위에 있다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

$y=f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 해요. $f(a)=b$ 이면 점 $(b,\ a)$ 는 $y=g(x)$ 의 그래프 위에 있고, 이 점에서의 접선의 기울기는 $g'(b)=\frac{1}{f'(a)}$

검산: $y=f(x)$ 위의 점 $(1,\ 2)$ 에서의 접선은 $y=4x-2$ 이에요.
$x$ 와 $y$ 를 바꾸면 $x=4y-2$ , 즉 $y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$ 로 같아요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,\ f(a))$ 에서의 접선의 방정식: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$
2기울기 $m$ 이 주어지면 $f'(t)=m$ 을, 곡선 밖의 점이 주어지면 접선이 그 점을 지난다는 식을 풀어 접점 $(t,\ f(t))$ 를 구한다.
3매개변수·음함수로 나타낸 곡선은 $\dfrac{dy}{dx}$ 를 각각의 미분법으로 구한 뒤 접점의 값을 넣는다.
4 $y=f(x)$ 의 역함수 $g(x)$ 의 그래프 위의 점 $(b,\ a)$ ( $b=f(a)$ ) 에서의 접선의 기울기는 $\dfrac{1}{f'(a)}$ 이다.

✗ 자주 하는 실수

접선의 기울기 자리에 $f'(a)$ 의 값 대신 $f'(x)$ 식을 그대로 넣어요.
곡선 밖의 점 (예: 원점) 을 접점으로 보고 그 점에서의 미분계수를 기울기로 써요.
역함수 $g$ 의 그래프 위의 점 $(b,\ g(b))$ 의 $y$ 좌표를 $f(b)$ 로 쓰거나, 기울기를 $\dfrac{1}{f'(b)}$ 로 써요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
곡선 $y=e^{2x}$ 위의 점 $(0,\ 1)$ 에서의 접선의 방정식을 구하시오.
예제 2
곡선 $y=xe^x$ 위의 $x=1$ 인 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.
예제 3
원점에서 곡선 $y=e^{2x}$ 에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

다음 공부

이전 개념: 매개변수로 나타낸 함수의 미분, 음함수와 역함수의 미분설명에서 참고한 다른 과목 개념: 미적분Ⅰ 접선의 방정식, 공통수학2 역함수, 공통수학2 두 직선의 위치 관계, 공통수학2 원과 직선의 위치 관계미적분Ⅱ 목차

← 음함수와 역함수의 미분 함수의 그래프 →

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