수학 개념 노트전체 과목

함수의 극대와 극소

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
함수가 증가하다가 감소하는 점에서 극대, 감소하다가 증가하는 점에서 극소가 돼요. 미분가능한 함수에서는 f′(a)=0f'(a)=0 이고 x=ax=a 의 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가 바뀔 때 극값을 가져요.
  1. 1극대와 극소의 뜻
  2. 2극값과 미분계수
  3. 3도함수를 이용한 극값의 판정
  4. 4극값을 이용하여 미정계수 구하기
  5. 5삼차함수가 극값을 가질 조건
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1극대와 극소의 뜻

정의극대와 극소
함수 f(x)f(x) 에서 x=ax=a 를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 xx 에 대하여
f(x)≤f(a)f(x)\le f(a) 이면 f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 극대 라 하고, f(a)f(a) 를 극댓값이라 한다.
f(x)≥f(a)f(x)\ge f(a) 이면 f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 극소라 하고, f(a)f(a) 를 극솟값이라 한다.
극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 한다.
학생
극대·극소는 최댓값·최솟값과 같은 거예요?
쌤
아니에요. 극대는 그 점 근처에서만 가장 큰 「봉우리」, 극소는 근처에서만 가장 작은 「골짜기」예요.
그래서 극댓값이 극솟값보다 작을 수도 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
그래프가 증가하다가 감소하는 점에서 함수는?
⚠ 주의극값에 대한 주의
① 극댓값이 극솟값보다 작을 수 있어요.
예: f(x)=3x5−25x3+60xf(x)=3x^5-25x^3+60x 는 x=−2x=-2 에서 극댓값 −16-16, x=2x=2 에서 극솟값 1616 을 가져요.
② 미분가능하지 않은 점에서도 극값을 가질 수 있어요.
예: f(x)=∣x∣f(x)=|x| 는 모든 xx 에서 f(x)≥0=f(0)f(x)\ge0=f(0) 이므로 x=0x=0 에서 극소예요.
그러나 x=0x=0 에서 미분가능하지 않아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

그래프로 보면, 극대인 점은 증가하다가 감소하는 「봉우리」이고, 극소인 점은 감소하다가 증가하는 「골짜기」이에요.
극값은 그 점 근처의 값끼리만 비교한 거예요.
따라서 극댓값이 최댓값이라는 보장은 없고, 극댓값이 극솟값보다 작을 수도 있어요.

2극값과 미분계수

성질극값을 가질 필요조건
미분가능한 함수 f(x)f(x) 가 x=ax=a 에서 극값을 가지면
f′(a)f'(a) 의 값은 00 이다.
학생
극값을 갖는 점에서는 왜 미분계수가 00 이에요?
쌤
봉우리나 골짜기 꼭대기에서는 그래프가 올라가지도 내려가지도 않아요.
그래서 접선이 xx 축과 평행하고, 접선의 기울기 f′(a)f'(a) 가 00 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
미분가능한 함수 f(x)f(x) 가 x=2x=2 에서 극솟값 55 를 가질 때 f′(2)f'(2) 의 값은?
역은 성립하지 않는다
f(x)=x3f(x)=x^3
✗ 틀린 풀이
f(x)=x3f(x)=x^3 에서 f′(0)=0f'(0)=0 이므로 x=0x=0 에서 극값을 갖는다.
왜 틀렸나 f′(a)=0f'(a)=0 은 극값의 필요조건일 뿐이므로 x=ax=a 의 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가 바뀌는지 확인한다.
✓ 바른 풀이
f′(x)=3x2≥0f'(x)=3x^2\ge0 이므로 x=0x=0 의 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가 모두 ++ 이다.
f(x)f(x) 는 실수 전체에서 증가하므로 x=0x=0 에서 극값을 갖지 않는다.
확인: x=−1, 0, 1x=-1,\ 0,\ 1 이면 f(x)=−1, 0, 1f(x)=-1,\ 0,\ 1 로 계속 커진다.
그래프가 원점에서 잠깐 평평해질 뿐 꺾이지 않는다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가? x=ax=a 에서 극대이면 극대의 정의에 따라 aa 근처에서 f(a+h)≤f(a)f(a+h)\le f(a), 즉 f(a+h)−f(a)≤0f(a+h)-f(a)\le0 이에요.
이 분자를 hh 로 나눈 값의 부호를 h>0h>0, h<0h<0 으로 나누어 봐요.

극대인 점에서 f′(a)=0f'(a)=0
h>0: f(a+h)−f(a)h≤0h>0:\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\le0
↳(00 이하)÷\div(양수), 우극한 ≤0\le0
h<0: f(a+h)−f(a)h≥0h<0:\ \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\ge0
↳(00 이하)÷\div(음수), 좌극한 ≥0\ge0
0≤f′(a)≤00\le f'(a)\le0
↳두 극한이 같아야 해요
f′(a)=0f'(a)=0

미분가능하면 좌극한과 우극한이 같으므로 f′(a)=0f'(a)=0 이에요.
극소일 때도 같은 방법으로 f′(a)=0f'(a)=0 이에요.
즉 극값을 갖는 점에서 접선은 xx 축에 평행해요.

3도함수를 이용한 극값의 판정

성질극대·극소의 판정
미분가능한 함수 f(x)f(x) 에서 f′(a)=0f'(a)=0 이고, x=ax=a 의 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가
양(++)에서 음(−-)으로 바뀌면 f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 극대이다.
음(−-)에서 양(++)으로 바뀌면 f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 극소이다.
극값을 구하는 순서
  1. 1
    f′(x)f'(x) 를 구하여 인수분해하고, f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 를 구해요.
  2. 2
    증감표를 만들어 각 xx 의 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호를 조사해요.
  3. 3
    부호가 ++ 에서 −- 로 바뀌는 점은 극대, −- 에서 ++ 로 바뀌는 점은 극소로 판정해요.
    부호가 바뀌지 않는 점은 극값이 아니에요.
  4. 4
    그 xx 의 값을 f(x)f(x) 에 대입하여 극값을 구해요.
    f′(x)f'(x) 가 아니라 f(x)f(x) 에 대입해요.
f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5 의 증감표
xx⋯\cdots−1-1⋯\cdots22⋯\cdots
f′(x)f'(x)++0−-0++
f(x)f(x)↗극대 1212↘극소 −15-15↗
  • f′(x)f'(x)6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)
  • 경계f′(x)=0f'(x)=0: x=−1, 2x=-1,\ 2
극댓값 f(−1)=12f(-1)=12, 극솟값 f(2)=−15f(2)=-15
학생
f′(x)f'(x) 의 부호는 어떻게 빨리 정해요?
쌤
인수분해한 f′(x)=6(x+1)(x−2)f'(x)=6(x+1)(x-2) 에 구간 안의 값을 하나 넣어 봐요.
예를 들어 x=0x=0 이면 −12-12 이므로 −1<x<2-1<x<2 에서 f′(x)<0f'(x)<0 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3−3x+4f(x)=x^3-3x+4 의 극댓값은?
극값은 f(x)f(x) 에 대입하여 구한다
✗ 틀린 풀이
f(x)=2x3−3x2−12x+5f(x)=2x^3-3x^2-12x+5 의 극댓값은 x=−1x=-1
왜 틀렸나 극댓값은 극대가 되는 위치인 xx 의 값이 아니라, 그 xx 를 f(x)f(x) 에 넣어 얻은 함숫값이다.
✓ 바른 풀이
극대가 되는 xx 는 −1-1 이고, 극댓값은 f(−1)=12f(-1)=12
계산: f(−1)=−2−3+12+5=12f(-1)=-2-3+12+5=12
답할 때 「x=−1x=-1 에서 극댓값 1212」처럼 위치와 값을 함께 쓴다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

이유: f′(x)>0f'(x)>0 이면 증가, f′(x)<0f'(x)<0 이면 감소이므로
++ 에서 −- 로 바뀌면 증가하다가 감소하여 x=ax=a 에서 봉우리가 생겨요.
−- 에서 ++ 로 바뀌면 감소하다가 증가하여 골짜기가 생겨요.

응용
사차함수 f(x)=3x4−4x3−12x2+5f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5 의 증감표
xx⋯\cdots−1-1⋯\cdots00⋯\cdots22⋯\cdots
f′(x)f'(x)−-0++0−-0++
f(x)f(x)↘극소 00↗극대 55↘극소 −27-27↗
  • f′(x)f'(x)12x3−12x2−24x=12x(x+1)(x−2)12x^3-12x^2-24x=12x(x+1)(x-2)
  • 경계f′(x)=0f'(x)=0: x=−1, 0, 2x=-1,\ 0,\ 2
극솟값 f(−1)=0f(-1)=0, f(2)=−27f(2)=-27 / 극댓값 f(0)=5f(0)=5

4극값을 이용하여 미정계수 구하기

성질극값이 주어질 때의 조건
미분가능한 함수 f(x)f(x) 가 x=ax=a 에서 극값 bb 를 가지면
f′(a)=0f'(a)=0
f(a)=bf(a)=b
이 두 식을 연립하여 미정계수를 구한 뒤, 실제로 x=ax=a 의 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가 바뀌는지 확인한다.
f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x^3+ax^2+bx 가 x=−1x=-1 에서 극대, x=3x=3 에서 극소일 때
f′(x)=3x2+2ax+bf'(x)=3x^2+2ax+b
f′(−1)=3−2a+b=0f'(-1)=3-2a+b=0
f′(3)=27+6a+b=0f'(3)=27+6a+b=0
24+8a=024+8a=0
↳아래 식에서 위 식 빼기
a=−3, b=−9a=-3,\ b=-9
f′(x)=3(x+1)(x−3)f'(x)=3(x+1)(x-3)
↳확인: 부호가 바뀌어요
x=−1x=-1 의 좌우에서 ++ 에서 −-, x=3x=3 의 좌우에서 −- 에서 ++ 로 바뀌어요.
학생
부호가 바뀌는지는 왜 또 확인해요?
쌤
f′(a)=0f'(a)=0 이어도 극값이 아닐 수 있기 때문이에요.
구한 aa, bb 를 넣은 f′(x)=3(x+1)(x−3)f'(x)=3(x+1)(x-3) 에서 부호가 실제로 바뀌는지 봐야 답이 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3+axf(x)=x^3+ax 가 x=1x=1 에서 극값을 가질 때 aa 의 값은?
f′(a)=0f'(a)=0 만으로 끝내지 않는다
✗ 틀린 풀이
f(x)=x3+ax2+3xf(x)=x^3+ax^2+3x 가 x=−1x=-1 에서 극값을 가지므로 f′(−1)=3−2a+3=0f'(-1)=3-2a+3=0
따라서 a=3a=3
왜 틀렸나 f′(a)=0f'(a)=0 으로 구한 값은 후보일 뿐이므로 넣어 보아 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가 바뀌는지 확인한다.
✓ 바른 풀이
a=3a=3 이면 f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2\ge0
x=−1x=-1 의 좌우에서 부호가 바뀌지 않으므로 극값을 갖지 않는다.
따라서 조건을 만족하는 aa 는 없다.
f′(x)f'(x) 가 완전제곱식이 되면 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 없다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

다른 방법: f′(x)=0f'(x)=0 의 두 근이 −1-1, 33 이고 x2x^2 의 계수가 33 이므로
f′(x)=3(x+1)(x−3)=3x2−6x−9f'(x)=3(x+1)(x-3)=3x^2-6x-9
계수를 비교하면 2a=−62a=-6, b=−9b=-9 이에요.

5삼차함수가 극값을 가질 조건

성질삼차함수가 극값을 가질 조건
삼차함수 f(x)f(x) 가 극값을 갖는다.
  ⟺  \iff 이차방정식 f′(x)=0f'(x)=0 이 서로 다른 두 실근을 갖는다.
  ⟺  \iff f′(x)=0f'(x)=0 의 판별식 D>0D>0
학생
D=0D=0 이면 f′(x)=0f'(x)=0 인 점이 있는데 왜 극값이 없어요?
쌤
그때는 f′(x)f'(x) 가 (x−α)2(x-\alpha)^2 에 상수를 곱한 꼴이라 x=αx=\alpha 의 좌우에서 부호가 바뀌지 않아요.
그래서 극값이 없고, D>0D>0 일 때만 극값을 가져요.
f(x)=x3−3ax2+3(a+2)xf(x)=x^3-3ax^2+3(a+2)x 가 극값을 가질 조건
f′(x)=3x2−6ax+3(a+2)f'(x)=3x^2-6ax+3(a+2)
D4=9a2−9(a+2)>0\dfrac{D}{4}=9a^2-9(a+2)>0
↳서로 다른 두 실근
(a+1)(a−2)>0(a+1)(a-2)>0
a<−1 또는 a>2a<-1\ \text{또는}\ a>2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3+3x2+kxf(x)=x^3+3x^2+kx 가 극값을 가질 때 kk 의 값의 범위는?
D=0D=0 은 포함하지 않는다
✗ 틀린 풀이
D4=9(a+1)(a−2)≥0\dfrac{D}{4}=9(a+1)(a-2)\ge0 이므로 a≤−1a\le-1 또는 a≥2a\ge2
왜 틀렸나 극값을 가지려면 f′(x)f'(x) 의 부호가 바뀌어야 하므로 f′(x)=0f'(x)=0 이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
✓ 바른 풀이
D4=9(a+1)(a−2)>0\dfrac{D}{4}=9(a+1)(a-2)>0 이므로 a<−1a<-1 또는 a>2a>2
a=2a=2 이면 f′(x)=3x2−12x+12=3(x−2)2≥0f'(x)=3x^2-12x+12=3(x-2)^2\ge0 이어서 극값이 없어요.
극값을 가질 조건에는 등호가 없고, 갖지 않을 조건(D≤0D\le0)에는 등호가 있어요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

이유: f′(x)f'(x) 는 이차함수예요.
D>0D>0 이면 f′(x)f'(x) 의 부호가 두 근의 좌우에서 각각 바뀌므로 극댓값과 극솟값을 하나씩 가져요.
D=0D=0 이면 f′(x)=3a(x−α)2f'(x)=3a(x-\alpha)^2 꼴이어서 부호가 바뀌지 않아요.
D<0D<0 이면 f′(x)f'(x) 의 부호가 항상 같아요.
따라서 D≤0D\le0 이면 극값을 갖지 않아요.
D>0D>0 은 이차부등식으로 풀어요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1x=ax=a 근처의 모든 xx 에 대하여 f(x)≤f(a)f(x)\le f(a) 이면 극대, f(x)≥f(a)f(x)\ge f(a) 이면 극소이다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 한다.
  2. 2미분가능한 함수 f(x)f(x) 가 x=ax=a 에서 극값을 가지면 f′(a)=0f'(a)=0 이다. 그러나 역은 성립하지 않는다(x3x^3).
  3. 3f′(a)=0f'(a)=0 이고 x=ax=a 의 좌우에서 f′(x)f'(x) 의 부호가 ++ 에서 −- 로 바뀌면 극대, −- 에서 ++ 로 바뀌면 극소이다.
  4. 4x=ax=a 에서 극값 bb 를 가지면 f′(a)=0f'(a)=0, f(a)=bf(a)=b 이다. 삼차함수가 극값을 가질 조건은 f′(x)=0f'(x)=0 의 판별식 D>0D>0 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • f′(a)=0f'(a)=0 이면 x=ax=a 에서 반드시 극값을 갖는다고 생각해요. f(x)=x3f(x)=x^3 처럼 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니에요.
  • 극댓값을 물었는데 극대가 되는 xx 의 값을 답하거나, f′(x)f'(x) 에 대입해요. 극값은 f(a)f(a) 이에요.
  • 미정계수를 f′(a)=0f'(a)=0 으로만 구하고, 실제로 부호가 바뀌는지 확인하지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)=x3−6x2+9x−2f(x)=x^3-6x^2+9x-2 의 극댓값과 극솟값을 구하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)=−x4+4x3−4x2+1f(x)=-x^4+4x^3-4x^2+1 의 극댓값과 극솟값을 구하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)=x3+ax2+bf(x)=x^3+ax^2+b 가 x=2x=2 에서 극솟값 −3-3 을 가질 때, 상수 aa, bb 의 값과 f(x)f(x) 의 극댓값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 함수의 그래프와 최대·최소 →
이전 개념: 함수의 증가와 감소설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학1 이차방정식의 판별식, 미적분Ⅱ 함수의 그래프 (나중에), 중2 연립일차방정식, 공통수학1 항등식과 미정계수법, 공통수학1 이차부등식미적분Ⅰ 목차
← 함수의 증가와 감소함수의 그래프와 최대·최소 →
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