수학 개념 노트전체 과목

대칭이동

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
xx 축, yy 축, 원점, 직선 y=xy=x, 직선 y=−xy=-x 에 대한 대칭이동은 각각 (x, −y)(x,\ -y), (−x, y)(-x,\ y), (−x, −y)(-x,\ -y), (y, x)(y,\ x), (−y, −x)(-y,\ -x) 로 점을 옮기고, 도형의 방정식은 xx, yy 를 같은 규칙으로 바꾸어 얻어요. 점이나 직선에 대한 대칭은 중점과 수직 조건으로 구해요.
  1. 1점의 대칭이동
  2. 2도형의 대칭이동
  3. 3점에 대한 대칭이동
  4. 4직선에 대한 점의 대칭이동
  5. 5평행이동과 대칭이동의 합성
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1점의 대칭이동

정의대칭이동
도형을 한 점 또는 한 직선에 대하여 대칭인 도형으로 옮기는 것을 대칭이동이라 한다.
공식점 (x, y)(x,\ y) 의 대칭이동
xx 축
(x, y)→(x, −y)\displaystyle (x,\ y)\to(x,\ -y)
yy 좌표의 부호만 바뀐다.
yy 축
(x, y)→(−x, y)\displaystyle (x,\ y)\to(-x,\ y)
xx 좌표의 부호만 바뀐다.
원점
(x, y)→(−x, −y)\displaystyle (x,\ y)\to(-x,\ -y)
두 좌표의 부호가 모두 바뀐다.
직선 y=xy=x
(x, y)→(y, x)\displaystyle (x,\ y)\to(y,\ x)
xx 좌표와 yy 좌표를 바꾼다.
직선 y=−xy=-x
(x, y)→(−y, −x)\displaystyle (x,\ y)\to(-y,\ -x)
바꾼 뒤 두 부호를 모두 바꾼다.

따라서 직선 y=xy=x 에 대한 대칭이동은 xx 좌표와 yy 좌표를 서로 바꾼다.

점 (3, −2)(3,\ -2) 의 대칭이동
-4-3-2-11234-4-3-2-11234xyOPx축y축원점y=xy=-x
xx축 대칭 (3, 2)(3,\ 2), yy축 대칭 (−3, −2)(-3,\ -2), 원점 대칭 (−3, 2)(-3,\ 2), y=xy=x 대칭 (−2, 3)(-2,\ 3), y=−xy=-x 대칭 (2, −3)(2,\ -3) 이에요. 점 이름은 무엇에 대하여 옮겼는지예요(점선은 직선 y=xy=x, y=−xy=-x).
학생
y=xy=x 대칭과 y=−xy=-x 대칭이 헷갈려요.
쌤
y=xy=x 대칭은 두 좌표를 그대로 바꿔 (y, x)(y,\ x), y=−xy=-x 대칭은 바꾸면서 부호도 바꿔 (−y, −x)(-y,\ -x) 예요. 점 (3, −2)(3,\ -2) 이면 각각 (−2, 3)(-2,\ 3), (2, −3)(2,\ -3) 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (2, −5)(2,\ -5) 를 직선 y=−xy=-x 에 대하여 대칭이동한 점은?
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

xx 축 대칭은 xx 축이 선분 PP′PP^{\prime} 을 수직이등분하므로 xx 좌표는 그대로이고 yy 좌표만 반대가 돼요.
직선 y=xy=x 대칭에서 P(a, b)P(a,\ b) 와 P′(b, a)P^{\prime}(b,\ a) 의 중점 (a+b2, a+b2)\left(\frac{a+b}{2},\ \frac{a+b}{2}\right) 은 직선 y=xy=x 위에 있고, 직선 PP′PP^{\prime} 의 기울기는 a−bb−a=−1\frac{a-b}{b-a}=-1 이므로 y=xy=x 와 수직이에요.

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
y=x 대칭: (x, y)=(□, x)y=x \text{ 대칭: }(x,\ y)=(\square,\ x)
단계 1 / 2바꾸고 부호도 바꾼다
y=−x 대칭: (x, y)=(□y, □x)y=-x \text{ 대칭: }(x,\ y)=(\square y,\ \square x)
단계 1 / 1
원점 대칭: (x, y)=□\text{원점 대칭: }(x,\ y)=\square

2도형의 대칭이동

공식도형 f(x, y)=0f(x,\ y)=0 의 대칭이동
xx 축
f(x, −y)=0\displaystyle f(x,\ -y)=0
yy 대신 −y-y
yy 축
f(−x, y)=0\displaystyle f(-x,\ y)=0
xx 대신 −x-x
원점
f(−x, −y)=0\displaystyle f(-x,\ -y)=0
xx 대신 −x-x, yy 대신 −y-y
직선 y=xy=x
f(y, x)=0\displaystyle f(y,\ x)=0
xx 와 yy 를 서로 바꾼다.
직선 y=−xy=-x
f(−y, −x)=0\displaystyle f(-y,\ -x)=0
xx 대신 −y-y, yy 대신 −x-x
학생
점을 옮기는 규칙을 그대로 xx, yy 에 넣어도 돼요?
쌤
네. 대칭이동은 두 번 하면 제자리로 돌아오기 때문에 점을 옮기는 규칙을 그대로 넣으면 돼요. xx 축 대칭이면 yy 대신 −y-y 를 넣어요.
예직선·원·포물선의 대칭이동
y=x2−2x+3y=x^2-2x+3 을 xx 축에 대하여
−y=x2−2x+3-y=x^2-2x+3
y=−x2+2x−3y=-x^2+2x-3

y=2x+1y=2x+1 을 yy 축에 대하여
y=2(−x)+1y=2(-x)+1
y=−2x+1y=-2x+1

(x−1)2+(y+2)2=4(x-1)^2+(y+2)^2=4 를 원점에 대하여
(−x−1)2+(−y+2)2=4(-x-1)^2+(-y+2)^2=4
(x+1)2+(y−2)2=4(x+1)^2+(y-2)^2=4
중심 (1, −2)(1,\ -2) 가 (−1, 2)(-1,\ 2) 로 옮겨진 것과 같아요.

2x−y+3=02x-y+3=0 을 직선 y=xy=x 에 대하여
2y−x+3=02y-x+3=0
x−2y−3=0x-2y-3=0
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
직선 y=3x−2y=3x-2 를 yy 축에 대하여 대칭이동한 직선은?
xx 축 대칭은 yy 를 바꾼다
✗ 틀린 풀이
y=x2−2x+3y=x^2-2x+3 을 xx 축에 대하여
y=(−x)2−2(−x)+3y=(-x)^2-2(-x)+3
y=x2+2x+3y=x^2+2x+3
왜 틀렸나 xx 축에 대한 대칭이동은 위아래를 뒤집는 것이므로 yy 대신 −y-y 를 넣어야 한다.
✓ 바른 풀이
y=x2−2x+3y=x^2-2x+3 을 xx 축에 대하여
−y=x2−2x+3-y=x^2-2x+3
y=−x2+2x−3y=-x^2+2x-3
검산: 꼭짓점 (1, 2)(1,\ 2) 가 (1, −2)(1,\ -2) 로 가야 한다. −x2+2x−3=−(x−1)2−2-x^2+2x-3=-(x-1)^2-2 이다.
직선 y=−xy=-x 대칭
✗ 틀린 풀이
x−2y+1=0x-2y+1=0 을 직선 y=−xy=-x 에 대하여
y−2x+1=0y-2x+1=0
왜 틀렸나 직선 y=−xy=-x 에 대한 대칭이동은 xx 대신 −y-y, yy 대신 −x-x 를 넣어야 한다.
✓ 바른 풀이
x−2y+1=0x-2y+1=0 을 직선 y=−xy=-x 에 대하여
−y−2(−x)+1=0-y-2(-x)+1=0
2x−y+1=02x-y+1=0
기억 요령: 직선 y=xy=x 대칭은 xx, yy 를 바꾸기만 하고, y=−xy=-x 대칭은 바꾸면서 부호도 바꾼다.
검산: 원래 직선 위의 점 (1, 1)(1,\ 1) 을 옮긴 (−1, −1)(-1,\ -1) 을 넣으면 −2+1+1=0-2+1+1=0 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

도형 f(x, y)=0f(x,\ y)=0 을 xx 축에 대하여 대칭이동한 도형 위의 점을 (x, y)(x,\ y) 라 하면, 이 점을 다시 xx 축에 대하여 대칭이동한 점 (x, −y)(x,\ -y) 는 원래 도형 위에 있어요.
따라서 f(x, −y)=0f(x,\ -y)=0 이에요.
대칭이동은 두 번 하면 제자리로 돌아오므로, 평행이동과 달리 점을 옮기는 규칙을 그대로 xx, yy 에 넣으면 돼요.
직선 y=xy=x 대칭은 역함수의 그래프에서도 쓰여요.

3점에 대한 대칭이동

공식점 (a, b)(a,\ b) 에 대한 대칭이동
점
(x, y)→(2a−x, 2b−y)\displaystyle (x,\ y)\to(2a-x,\ 2b-y)
대칭의 중심이 중점이다.
도형
f(2a−x, 2b−y)=0\displaystyle f(2a-x,\ 2b-y)=0
xx 대신 2a−x2a-x, yy 대신 2b−y2b-y

점 PP 를 점 M(a, b)M(a,\ b) 에 대하여 대칭이동한 점을 P′P^{\prime} 이라 하면 MM 은 선분 PP′PP^{\prime} 의 중점이에요.

학생
원점에 대한 대칭과는 어떤 관계예요?
쌤
원점 대칭은 대칭의 중심이 (0, 0)(0,\ 0) 인 경우예요. a=0a=0, b=0b=0 을 넣으면 (−x, −y)(-x,\ -y) 가 나와요.
예점 (1, −2)(1,\ -2) 에 대한 대칭이동
점 (3, 1)(3,\ 1) 을 옮기면
(2⋅1−3, 2⋅(−2)−1)=(−1, −5)(2\cdot1-3,\ 2\cdot(-2)-1)=(-1,\ -5)
검산: (3, 1)(3,\ 1) 과 (−1, −5)(-1,\ -5) 의 중점은 (1, −2)(1,\ -2) ✓

원 (x−3)2+(y−1)2=4(x-3)^2+(y-1)^2=4 를 옮기면
(2−x−3)2+(−4−y−1)2=4(2-x-3)^2+(-4-y-1)^2=4
(x+1)2+(y+5)2=4(x+1)^2+(y+5)^2=4
중심 (3, 1)(3,\ 1) 이 (−1, −5)(-1,\ -5) 로 옮겨진 것과 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (5, 1)(5,\ 1) 을 점 (2, 3)(2,\ 3) 에 대하여 대칭이동한 점은?
점에 대한 대칭점
✗ 틀린 풀이
(3, 1)(3,\ 1) 을 (1, −2)(1,\ -2) 에 대하여
(1−3, −2−1)=(−2, −3)(1-3,\ -2-1)=(-2,\ -3)
왜 틀렸나 점에 대한 대칭점은 대칭의 중심이 두 점의 중점이 되어야 하므로 중심 좌표의 22 배에서 원래 좌표를 뺀다.
✓ 바른 풀이
(3, 1)(3,\ 1) 을 (1, −2)(1,\ -2) 에 대하여
(2⋅1−3, 2⋅(−2)−1)=(−1, −5)(2\cdot1-3,\ 2\cdot(-2)-1)=(-1,\ -5)
검산: (3, 1)(3,\ 1) 과 (−1, −5)(-1,\ -5) 의 중점은 (1, −2)(1,\ -2) 로 대칭의 중심과 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

이유는 다음과 같아요. 점 P(x, y)P(x,\ y) 를 점 M(a, b)M(a,\ b) 에 대하여 대칭이동한 점을 P′(x′, y′)P^{\prime}(x^{\prime},\ y^{\prime}) 이라 하면
x+x′2=a\frac{x+x^{\prime}}{2}=a
y+y′2=b\frac{y+y^{\prime}}{2}=b
따라서 P′(2a−x, 2b−y)P^{\prime}(2a-x,\ 2b-y)원점에 대한 대칭은 a=0, b=0a=0,\ b=0 인 경우예요.

4직선에 대한 점의 대칭이동

성질직선에 대한 대칭점의 조건
점 PP 를 직선 ll 에 대하여 대칭이동한 점을 P′P^{\prime} 이라 하면 직선 ll 은 선분 PP′PP^{\prime} 의 수직이등분선이다. 즉 다음 두 조건을 만족한다.
① 직선 PP′PP^{\prime} 은 ll 과 수직이다.
② 선분 PP′PP^{\prime} 의 중점은 ll 위에 있다.
예점 P(3, 0)P(3,\ 0) 의 직선 y=x+1y=x+1 에 대한 대칭점
대칭점을 P′(a, b)P^{\prime}(a,\ b) 라 해요.
수직 조건: y=x+1y=x+1 의 기울기가 11 이므로 곱이 −1-1 이 되도록 직선 PP′PP^{\prime} 의 기울기는 −1-1
b−0a−3=−1\frac{b-0}{a-3}=-1
중점 조건: 중점 (a+32, b2)\left(\frac{a+3}{2},\ \frac{b}{2}\right) 가 y=x+1y=x+1 위에 있으므로
b2=a+32+1\frac{b}{2}=\frac{a+3}{2}+1
두 식을 정리하여 연립하면 {a+b=3a−b=−5\begin{cases} a+b=3 \\ a-b=-5 \end{cases}따라서 a=−1a=-1, b=4b=4
P′(−1, 4)P^{\prime}(-1,\ 4)
검산: 중점 (1, 2)(1,\ 2) 는 y=x+1y=x+1 위에 있어요 ✓
점 P(3, 0)P(3,\ 0) 의 직선 y=x+1y=x+1 에 대한 대칭점
-2-11234-112345xyOPP′M
직선 y=x+1y=x+1 이 선분 PP′PP' 을 수직이등분해요. 중점은 M(1, 2)M(1,\ 2) 예요.
학생
중점만 직선 위에 있으면 되지 않아요?
쌤
아니요. 중점이 직선 위에 있어도 비스듬히 옮긴 점이면 대칭점이 아니에요. 선분이 직선과 수직이라는 조건까지 함께 써야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 PP 를 직선 ll 에 대하여 대칭이동한 점이 P′P^{\prime} 일 때 항상 성립하는 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지
직선 ll 에 대한 대칭점 P′(a, b)P^{\prime}(a,\ b) 구하기
  1. 1
    수직 조건: (직선 PP′PP^{\prime} 의 기울기)×\times(ll 의 기울기)=−1=-1 로 식을 세워요.
  2. 2
    중점 조건: PP′PP^{\prime} 의 중점의 좌표를 ll 의 방정식에 대입하여 식을 세워요.
  3. 3
    두 식을 연립하여 aa, bb 를 구해요.
  4. 4
    중점이 ll 위에 있는지 다시 넣어 검산해요.

5평행이동과 대칭이동의 합성

여러 번 옮기는 문제는 주어진 순서대로 한 번에 하나씩 옮겨요. 도형이면 매번 바뀐 방정식에 다음 규칙을 적용해요.
순서를 바꾸면 결과가 달라질 수 있어요.

예점 (2, 3)(2,\ 3)
xx 축 방향 11, yy 축 방향 −2-2 평행이동한 다음 직선 y=xy=x 대칭
(2, 3)(2,\ 3) 에서 (3, 1)(3,\ 1)
(3, 1)(3,\ 1) 에서 (1, 3)(1,\ 3)

순서를 바꾸어 직선 y=xy=x 대칭한 다음 평행이동
(2, 3)(2,\ 3) 에서 (3, 2)(3,\ 2)
(3, 2)(3,\ 2) 에서 (4, 0)(4,\ 0)
결과가 달라요.
순서에 따라 도착점이 달라요
-112345-11234xyOy=xPBD
파랑: 평행이동(실선) 다음 y=xy=x 대칭(점선)으로 B(1, 3)\mathrm{B}(1,\ 3). 주황: y=xy=x 대칭(점선) 다음 평행이동(실선)으로 D(4, 0)\mathrm{D}(4,\ 0) 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (1, 2)(1,\ 2) 를 xx 축에 대하여 대칭이동한 다음 yy 축의 방향으로 33 만큼 평행이동한 점은?
⚠ 주의평행이동과 대칭이동의 차이
평행이동: 점은 (x+a, y+b)(x+a,\ y+b), 도형은 x−ax-a, y−by-b 를 대입(부호 반대).
대칭이동: 점과 도형 모두 같은 규칙(xx 축이면 y→−yy\to-y).
자세히 보기펼치기예제
예직선 y=2x+1y=2x+1
xx 축에 대하여 대칭이동한 다음 yy 축의 방향으로 33 만큼 평행이동
xx 축에 대하여 대칭이동하면 yy 대신 −y-y
−y=2x+1-y=2x+1
y=−2x−1y=-2x-1
yy 축의 방향으로 33 만큼 평행이동하면 yy 대신 y−3y-3
y−3=−2x−1y-3=-2x-1
따라서 y=−2x+2y=-2x+2

순서를 바꾸어 평행이동을 먼저 하면
y−3=2x+1y-3=2x+1
y=2x+4y=2x+4
xx 축에 대하여 대칭이동하면
−y=2x+4-y=2x+4
따라서 y=−2x−4y=-2x-4
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1xx 축 대칭은 yy 의 부호, yy 축 대칭은 xx 의 부호, 원점 대칭은 둘 다의 부호를 바꾼다.
  2. 2직선 y=xy=x 대칭은 xx 와 yy 를 바꾸고, 직선 y=−xy=-x 대칭은 바꾼 뒤 둘 다 부호를 바꾼다.
  3. 3도형 f(x, y)=0f(x,\ y)=0 의 대칭이동도 점과 같은 규칙으로 xx, yy 를 바꾸어 넣는다.
  4. 4점 MM 에 대한 대칭은 MM 이 중점, 직선 ll 에 대한 대칭은 「ll 이 수직이등분선」이라는 조건으로 구한다.
✗ 자주 하는 실수
  • xx 축 대칭에서 xx 의 부호를 바꾸는 등, xx 축 대칭과 yy 축 대칭을 바꾸어 써요.
  • 직선 y=−xy=-x 대칭을 xx, yy 를 바꾸기만 하여 직선 y=xy=x 대칭과 같게 처리해요.
  • 점 (a, b)(a,\ b) 에 대한 대칭점을 (a−x, b−y)(a-x,\ b-y) 로 계산하거나, 합성에서 주어진 순서를 바꾸어 옮겨요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    점 (3, −2)(3,\ -2) 를 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이동한 다음 xx 축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하시오.
  2. 예제 2
    원 x2+y2−4x+6y+9=0x^2+y^2-4x+6y+9=0 을 직선 y=−xy=-x 에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하시오.
  3. 예제 3
    점 P(4, 1)P(4,\ 1) 을 직선 x+2y−1=0x+2y-1=0 에 대하여 대칭이동한 점 P′P^{\prime} 의 좌표를 구하시오.

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