정의 로그방정식
log 2 ( x − 1 ) = 3 \log_2(x-1)=3 log 2 ( x − 1 ) = 3 ( log 2 x ) 2 − 3 log 2 x + 2 = 0 (\log_2 x)^2-3\log_2 x+2=0 ( log 2 x ) 2 − 3 log 2 x + 2 = 0 로그방정식 이라 한다. 로그방정식을 풀 때는 먼저 진수 조건 을 구해 두고, 마지막에 구한 해가 이 조건을 만족하는지 확인해요.
성질 밑을 같게 할 수 있을 때
a > 0 , a ≠ 1 a>0,\ a\ne1 a > 0 , a = 1 f ( x ) > 0 , g ( x ) > 0 f(x)>0,\ g(x)>0 f ( x ) > 0 , g ( x ) > 0 log a f ( x ) = log a g ( x ) ⟺ f ( x ) = g ( x ) \log_a f(x)=\log_a g(x) \iff f(x)=g(x) log a f ( x ) = log a g ( x ) ⟺ f ( x ) = g ( x ) 로그함수 가 일대일함수이기 때문이다.log a f ( x ) = b ⟺ f ( x ) = a b \log_a f(x)=b \iff f(x)=a^b log a f ( x ) = b ⟺ f ( x ) = a b 이전 개념 쌤 로그의 성질로 식을 바꾸면 처음 식보다 x x x 0 0 0 공식 틀로 보기
□, △ 자리에 어떤 식이 와도 같다
log a □ = log a △ \log_a □=\log_a △ log a □ = log a △ 밑이 같으면 진수끼리 같다. □> 0 >0 > 0 > 0 >0 > 0 왜? 이유 보기
log a □ = b \log_a □=b log a □ = b □ = a b \displaystyle □=a^b □ = a b 한쪽이 수이면 로그의 정의를 쓴다.
로그의 합
log a □ + log a △ = log a □△ \displaystyle \log_a □+\log_a △=\log_a □△ log a □ + log a △ = log a □△ 밑이 다르면
log a 2 □ = 1 2 log a □ , log a □ = log a 2 □ 2 \displaystyle \log_{a^2} □=\frac{1}{2}\log_a □,\quad \log_a □=\log_{a^2} □^2 log a 2 □ = 2 1 log a □ , log a □ = log a 2 □ 2 밑의 변환 공식으로 밑을 맞춘다.
기본 log 2 ( x − 1 ) = 3 \log_2(x-1)=3 log 2 ( x − 1 ) = 3 로그의 합 log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3 log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 x − 1 > 0 , x + 1 > 0 ⇒ x > 1 x-1>0,\ x+1>0\ \Rightarrow\ x>1 x − 1 > 0 , x + 1 > 0 ⇒ x > 1 ↳ ◀ 진수 조건
log 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 3 \log_2(x-1)(x+1)=3 log 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 3 ↳ ◀ 로그의 합을 하나로
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 8 , x 2 = 9 (x-1)(x+1)=8,\quad x^2=9 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 8 , x 2 = 9 ↳ ◀ 로그의 정의
x = − 3 또는 x = 3 x=-3\ \text{또는}\ x=3 x = − 3 또는 x = 3 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
log 3 ( x + 1 ) + log 3 ( x − 1 ) = 1 \log_3(x+1)+\log_3(x-1)=1 log 3 ( x + 1 ) + log 3 ( x − 1 ) = 1 x = ± 2 x=\pm2 x = ± 2 x = 2 x=2 x = 2 x = − 2 x=-2 x = − 2 진수 조건 확인
✗ 틀린 풀이
log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3 log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 8 (x-1)(x+1)=8 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 8 x = ± 3 x=\pm3 x = ± 3 왜 틀렸나 로그방정식은 처음 식의 진수가 모두 양수인 값만 해가 되므로 진수 조건을 먼저 구해야 한다.
↓ ✓ 바른 풀이
먼저 진수 조건 x > 1 x>1 x > 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 8 (x-1)(x+1)=8 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 8 x = ± 3 x=\pm3 x = ± 3 x = 3 x=3 x = 3 x = − 3 x=-3 x = − 3 log 2 ( − 4 ) \log_2(-4) log 2 ( − 4 ) log 2 ( x 2 − 1 ) \log_2(x^2-1) log 2 ( x 2 − 1 ) x < − 1 x<-1 x < − 1 로그의 합
✗ 틀린 풀이
log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 { ( x − 1 ) + ( x + 1 ) } \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=\log_2\{(x-1)+(x+1)\} log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 {( x − 1 ) + ( x + 1 )} 왜 틀렸나 log a M + log a N = log a M N \log_a M+\log_a N=\log_a MN log a M + log a N = log a M N ↓ ✓ 바른 풀이
log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) \log_2(x-1)+\log_2(x+1)=\log_2(x-1)(x+1) log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 로그의 합은 진수의 곱이에요. 진수끼리 더하지 않아요.
+ 펼치기 접기 왜 그런지 예제 2 로그 log a N \log_a N log a N a > 0 , a ≠ 1 , N > 0 a>0,\ a\ne1,\ N>0 a > 0 , a = 1 , N > 0 로그의 성질 로 식을 바꾸면 처음 식보다 정의역이 넓어져서, 조건을 만족하지 않는 값이 섞여 나올 수 있어요.
이전 개념 로그방정식 풀기
1 2 로그의 성질로 각 변을 같은 밑의 로그 하나로 정리해요.
3 진수끼리 같다고 놓거나 로그의 정의로 바꾸어 방정식을 풀어요.
4 구한 값 중 진수 조건을 만족하는 것만 해로 해요.
처음 식에 넣어 검산해도 돼요.
밑이 다르면 한쪽을 같은 밑의 로그로 바꾼 뒤, 진수끼리 같다고 놓아 인수분해 로 풀어요.
이전 개념 밑이 다른 꼴 log 2 ( x + 2 ) = log 4 ( 5 x + 16 ) \log_2(x+2)=\log_4(5x+16) log 2 ( x + 2 ) = log 4 ( 5 x + 16 ) ↳ ◀ 진수 조건 (x > − 2 x>-2 x > − 2 x > − 16 5 x>-\frac{16}{5} x > − 5 16 log 2 ( x + 2 ) = log 4 ( x + 2 ) 2 \log_2(x+2)=\log_4(x+2)^2 log 2 ( x + 2 ) = log 4 ( x + 2 ) 2 ↳ ◀ 좌변을 밑 4 4 4 log a 2 b 2 = log a b \log_{a^2}b^2=\log_a b log a 2 b 2 = log a b ( x + 2 ) 2 = 5 x + 16 (x+2)^2=5x+16 ( x + 2 ) 2 = 5 x + 16 ↳ ◀ 진수끼리 같다고 놓아요
x 2 − x − 12 = 0 , ( x + 3 ) ( x − 4 ) = 0 x^2-x-12=0,\quad (x+3)(x-4)=0 x 2 − x − 12 = 0 , ( x + 3 ) ( x − 4 ) = 0 ↳ ◀ 인수분해
밑에 미지수가 있는 꼴 log x 9 = 2 \log_x 9=2 log x 9 = 2 x > 0 , x ≠ 1 x>0,\ x\ne1 x > 0 , x = 1 ↳ ◀ 밑 조건
x = − 3 또는 x = 3 x=-3\ \text{또는}\ x=3 x = − 3 또는 x = 3 log a x \log_a x log a x log a x = t \log_a x=t log a x = t t t t t t t a x = t a^x=t a x = t t > 0 t>0 t > 0
학생 그럼 t t t 쌤 네, 버리지 않아요. t = log 2 x = − 1 t=\log_2 x=-1 t = log 2 x = − 1 x = 1 2 x=\dfrac{1}{2} x = 2 1 x > 0 x>0 x > 0 ⚠ 주의 log a x n \log_a x^n log a x n log a x 2 = 2 log a x \log_a x^2=2\log_a x log a x 2 = 2 log a x x > 0 x>0 x > 0 x > 0 x>0 x > 0 log a x n = n log a x \log_a x^n=n\log_a x log a x n = n log a x t t t ( log a x ) 2 (\log_a x)^2 ( log a x ) 2 log a x 2 \log_a x^2 log a x 2 ( log 2 x ) 2 − 3 log 2 x + 2 = 0 (\log_2 x)^2-3\log_2 x+2=0 ( log 2 x ) 2 − 3 log 2 x + 2 = 0 t 2 − 3 t + 2 = 0 t^2-3t+2=0 t 2 − 3 t + 2 = 0 ↳ ◀ log 2 x = t \log_2 x=t log 2 x = t ( t − 1 ) ( t − 2 ) = 0 (t-1)(t-2)=0 ( t − 1 ) ( t − 2 ) = 0 log 2 x = 1 또는 log 2 x = 2 \log_2 x=1\ \text{또는}\ \log_2 x=2 log 2 x = 1 또는 log 2 x = 2 x = 2 또는 x = 4 x=2\ \text{또는}\ x=4 x = 2 또는 x = 4 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
( log 2 x ) 2 − log 2 x − 2 = 0 (\log_2 x)^2-\log_2 x-2=0 ( log 2 x ) 2 − log 2 x − 2 = 0 x = 4 x=4 x = 4 x = 1 2 x=\dfrac{1}{2} x = 2 1 x = 4 x=4 x = 4 x = − 1 x=-1 x = − 1 x = 2 x=2 x = 2 ( log a x ) 2 (\log_a x)^2 ( log a x ) 2 log a x 2 \log_a x^2 log a x 2 ✗ 틀린 풀이
( log 3 x ) 2 = 2 log 3 x (\log_3 x)^2=2\log_3 x ( log 3 x ) 2 = 2 log 3 x 왜 틀렸나 진수의 지수만 앞으로 내릴 수 있으므로 ( log 3 x ) 2 (\log_3 x)^2 ( log 3 x ) 2 log 3 x \log_3 x log 3 x ↓ ✓ 바른 풀이
log 3 x 2 = 2 log 3 x \log_3 x^2=2\log_3 x log 3 x 2 = 2 log 3 x x > 0 x>0 x > 0 ( log 3 x ) 2 = log 3 x × log 3 x (\log_3 x)^2=\log_3 x\times\log_3 x ( log 3 x ) 2 = log 3 x × log 3 x 지수 2 2 2 + 펼치기 접기 예제 응용 ( log 3 x ) 2 − log 3 x 2 − 3 = 0 (\log_3 x)^2-\log_3 x^2-3=0 ( log 3 x ) 2 − log 3 x 2 − 3 = 0 log 3 x 2 = 2 log 3 x \log_3 x^2=2\log_3 x log 3 x 2 = 2 log 3 x t 2 − 2 t − 3 = 0 t^2-2t-3=0 t 2 − 2 t − 3 = 0 ↳ ◀ log 3 x = t \log_3 x=t log 3 x = t ( t + 1 ) ( t − 3 ) = 0 (t+1)(t-3)=0 ( t + 1 ) ( t − 3 ) = 0 log 3 x = − 1 또는 log 3 x = 3 \log_3 x=-1\ \text{또는}\ \log_3 x=3 log 3 x = − 1 또는 log 3 x = 3 x = 1 3 또는 x = 27 x=\dfrac{1}{3}\ \text{또는}\ x=27 x = 3 1 또는 x = 27 양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 나타낼 수 없으면 양변에 로그 를 취해요.
a f ( x ) = b g ( x ) a^{f(x)}=b^{g(x)} a f ( x ) = b g ( x ) f ( x ) log a = g ( x ) log b \displaystyle f(x)\log a=g(x)\log b f ( x ) log a = g ( x ) log b 밑이 다른 지수: 상용로그 등 같은 밑의 로그를 양변에 취한다.
왜? 이유 보기
x log a x = k x^{\log_a x}=k x l o g a x = k ( log a x ) 2 = log a k \displaystyle (\log_a x)^2=\log_a k ( log a x ) 2 = log a k 지수에 로그가 있는 꼴: 밑이 a a a 왜? 이유 보기
양변에 밑이 2 2 2 x = log 2 5 x=\log_2 5 x = log 2 5 쌤 양변에 같은 밑이기만 하면 어느 밑이든 돼요. 보통 한쪽 밑에 맞추거나 밑이 10 10 10 2 x = 3 x − 1 2^x=3^{x-1} 2 x = 3 x − 1 10 10 10 x log 2 = ( x − 1 ) log 3 x\log 2=(x-1)\log 3 x log 2 = ( x − 1 ) log 3 밑이 다른 꼴 2 x = 3 x − 1 2^x=3^{x-1} 2 x = 3 x − 1 x log 2 = ( x − 1 ) log 3 x\log2=(x-1)\log3 x log 2 = ( x − 1 ) log 3 ↳ ◀ 양변에 상용로그
x ( log 3 − log 2 ) = log 3 x(\log3-\log2)=\log3 x ( log 3 − log 2 ) = log 3 x = log 3 log 3 − log 2 x=\dfrac{\log3}{\log3-\log2} x = log 3 − log 2 log 3 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
x = log 3 5 x=\log_3 5 x = log 3 5 x = log 5 3 x=\log_5 3 x = log 5 3 x = 5 3 x=\dfrac{5}{3} x = 3 5 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 양변이 양수이므로 로그를 취할 수 있고, 로그함수는 일대일함수이므로 같은 해를 가진 방정식이 돼요.
밑을 같게 할 수 없으면 양변에 상용로그 를 취해요.
이전 개념 지수에 로그가 있는 꼴 x log 2 x = 16 x^{\log_2 x}=16 x l o g 2 x = 16 log 2 x log 2 x = log 2 16 \log_2 x^{\log_2 x}=\log_2 16 log 2 x l o g 2 x = log 2 16 ( log 2 x ) 2 = 4 (\log_2 x)^2=4 ( log 2 x ) 2 = 4 log 2 x = − 2 또는 log 2 x = 2 \log_2 x=-2\ \text{또는}\ \log_2 x=2 log 2 x = − 2 또는 log 2 x = 2 x = 1 4 또는 x = 4 x=\dfrac{1}{4}\ \text{또는}\ x=4 x = 4 1 또는 x = 4 정의 로그부등식
log 2 ( x − 1 ) < 3 \log_2(x-1)<3 log 2 ( x − 1 ) < 3 로그부등식 이라 한다. log a f ( x ) < log a g ( x ) ⟺ 0 < f ( x ) < g ( x ) \displaystyle \log_a f(x)<\log_a g(x) \iff 0<f(x)<g(x) log a f ( x ) < log a g ( x ) ⟺ 0 < f ( x ) < g ( x ) 부등호 방향 그대로
왜? 이유 보기
log a f ( x ) < log a g ( x ) ⟺ f ( x ) > g ( x ) > 0 \displaystyle \log_a f(x)<\log_a g(x) \iff f(x)>g(x)>0 log a f ( x ) < log a g ( x ) ⟺ f ( x ) > g ( x ) > 0 부등호 방향 반대로
왜? 이유 보기
성질 로그부등식의 해
진수 조건에서 얻은 범위와, 진수끼리 비교하여 얻은 범위의 공통 범위 이 해이다.1 1 1 1 1 1 지수부등식 과 같다. 이전 개념 학생 밑이 1 1 1 쌤 0 < a < 1 0<a<1 0 < a < 1 y = log a x y=\log_a x y = log a x 밑이 1 1 1 log 2 ( x − 1 ) < 3 \log_2(x-1)<3 log 2 ( x − 1 ) < 3 log 2 ( x − 1 ) < log 2 8 \log_2(x-1)<\log_2 8 log 2 ( x − 1 ) < log 2 8 ↳ ◀ 3 = log 2 8 3=\log_2 8 3 = log 2 8 x − 1 < 8 , x < 9 x-1<8,\quad x<9 x − 1 < 8 , x < 9 0 1 3 5 7 9 10 두 범위가 겹치는
1 < x < 9 1<x<9 1 < x < 9 가 해예요.
밑이 1 1 1 log 1 2 ( x − 2 ) > − 1 \log_{\frac{1}{2}}(x-2)>-1 log 2 1 ( x − 2 ) > − 1 log 1 2 ( x − 2 ) > log 1 2 2 \log_{\frac{1}{2}}(x-2)>\log_{\frac{1}{2}} 2 log 2 1 ( x − 2 ) > log 2 1 2 ↳ ◀ − 1 = log 1 2 2 -1=\log_{\frac{1}{2}} 2 − 1 = log 2 1 2 x − 2 < 2 , x < 4 x-2<2,\quad x<4 x − 2 < 2 , x < 4 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
log 3 ( x − 2 ) < 1 \log_3(x-2)<1 log 3 ( x − 2 ) < 1 x < 5 x<5 x < 5 2 < x < 5 2<x<5 2 < x < 5 x > 5 x>5 x > 5 진수 조건 빠뜨리기
✗ 틀린 풀이
log 2 ( x − 1 ) < 3 \log_2(x-1)<3 log 2 ( x − 1 ) < 3 x − 1 < 8 x-1<8 x − 1 < 8 x < 9 x<9 x < 9 왜 틀렸나 로그부등식의 해는 진수 조건과 부등식을 함께 만족해야 하므로 두 범위의 공통부분을 구한다.
↓ ✓ 바른 풀이
진수 조건 x > 1 x>1 x > 1 x − 1 < 8 x-1<8 x − 1 < 8 1 < x < 9 1<x<9 1 < x < 9 검산: 바른 답 1 < x < 9 1<x<9 1 < x < 9 x = 5 x=5 x = 5 log 2 4 = 2 < 3 \log_2 4=2<3 log 2 4 = 2 < 3 ✗ 틀린 풀이
log 1 2 ( x − 2 ) > log 1 2 2 \log_{\frac{1}{2}}(x-2)>\log_{\frac{1}{2}} 2 log 2 1 ( x − 2 ) > log 2 1 2 x − 2 > 2 x-2>2 x − 2 > 2 x > 4 x>4 x > 4 왜 틀렸나 밑이 1 1 1 ↓ ✓ 바른 풀이
밑이 1 1 1 x − 2 < 2 x-2<2 x − 2 < 2 x > 2 x>2 x > 2 2 < x < 4 2<x<4 2 < x < 4 검산: 바른 답 2 < x < 4 2<x<4 2 < x < 4 x = 3 x=3 x = 3 log 1 2 1 = 0 > − 1 \log_{\frac{1}{2}} 1=0>-1 log 2 1 1 = 0 > − 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 그림 예제 2 왜 그런가x 1 < x 2 x_1<x_2 x 1 < x 2 log a x 1 < log a x 2 \log_a x_1<\log_a x_2 log a x 1 < log a x 2 a > 1 a>1 a > 1 y = log a x y=\log_a x y = log a x 0 < x 1 < x 2 ⟺ log a x 1 < log a x 2 0<x_1<x_2 \iff \log_a x_1<\log_a x_2 0 < x 1 < x 2 ⟺ log a x 1 < log a x 2 0 < a < 1 0<a<1 0 < a < 1 0 < x 1 < x 2 ⟺ log a x 1 > log a x 2 0<x_1<x_2 \iff \log_a x_1>\log_a x_2 0 < x 1 < x 2 ⟺ log a x 1 > log a x 2
로그부등식 풀기
1 2 양변을 같은 밑의 로그로 나타내요.
수 b b b b = log a a b b=\log_a a^b b = log a a b 3 4 진수 조건과의 공통 범위를 구해요.
수직선에 함께 나타내면 실수가 줄어들어요.
0 1 2 3 4 5 6 두 범위가 겹치는
2 < x < 4 2<x<4 2 < x < 4 가 해예요.
로그의 합이 있는 꼴 log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) ≤ 3 \log_2(x-1)+\log_2(x+1)\le3 log 2 ( x − 1 ) + log 2 ( x + 1 ) ≤ 3 log 2 ( x 2 − 1 ) ≤ log 2 8 \log_2(x^2-1)\le\log_2 8 log 2 ( x 2 − 1 ) ≤ log 2 8 ↳ ◀ 로그를 하나로
x 2 − 1 ≤ 8 , − 3 ≤ x ≤ 3 x^2-1\le8,\quad -3\le x\le3 x 2 − 1 ≤ 8 , − 3 ≤ x ≤ 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 두 범위가 겹치는
1 < x ≤ 3 1<x\le3 1 < x ≤ 3 이 해예요.
x = 1 x=1 x = 1 은 빠지고(○)
x = 3 x=3 x = 3 은 들어가요(●).
치환하는 꼴 ( log 2 x ) 2 − log 2 x − 2 < 0 (\log_2 x)^2-\log_2 x-2<0 ( log 2 x ) 2 − log 2 x − 2 < 0 t 2 − t − 2 < 0 t^2-t-2<0 t 2 − t − 2 < 0 ↳ ◀ log 2 x = t \log_2 x=t log 2 x = t ( t + 1 ) ( t − 2 ) < 0 , − 1 < t < 2 (t+1)(t-2)<0,\quad -1<t<2 ( t + 1 ) ( t − 2 ) < 0 , − 1 < t < 2 log 2 1 2 < log 2 x < log 2 4 \log_2 \dfrac{1}{2}<\log_2 x<\log_2 4 log 2 2 1 < log 2 x < log 2 4 1 2 < x < 4 \dfrac{1}{2}<x<4 2 1 < x < 4 지수와 로그의 방정식·부등식은 모두 밑을 같게 한 뒤 지수끼리 또는 진수끼리 비교해요.
공식 정리 (a > 0 , a ≠ 1 a>0,\ a\ne1 a > 0 , a = 1 먼저 볼 조건
지수: 없음 로그: 진수 > 0 \displaystyle \text{지수: 없음}\qquad \text{로그: 진수}>0 지수 : 없음 로그 : 진수 > 0 로그는 밑에 미지수가 있으면 밑 조건도 본다.
방정식
a f = a g ⟺ f = g , log a f = log a g ⟺ f = g \displaystyle a^{f}=a^{g} \iff f=g,\qquad \log_a f=\log_a g \iff f=g a f = a g ⟺ f = g , log a f = log a g ⟺ f = g 로그는 진수 조건을 만족하는 해만
a f < a g ⟺ f > g , log a f < log a g ⟺ f > g > 0 \displaystyle a^{f}<a^{g} \iff f>g,\qquad \log_a f<\log_a g \iff f>g>0 a f < a g ⟺ f > g , log a f < log a g ⟺ f > g > 0 밑이 1 1 1 치환
a x = t ⇒ t > 0 , log a x = t ⇒ t 는 모든 실수 \displaystyle a^x=t \Rightarrow t>0,\qquad \log_a x=t \Rightarrow t\text{는 모든 실수} a x = t ⇒ t > 0 , log a x = t ⇒ t 는 모든 실수 학생 지수와 로그의 방정식·부등식은 뭐가 같고 뭐가 달라요?
쌤 밑을 맞춰 비교하는 방법과, 밑이 1 1 1 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
log 3 x = t \log_3 x=t log 3 x = t t t t