수학 개념 노트전체 과목

지수방정식과 지수부등식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
지수에 미지수가 있는 방정식·부등식은 밑을 같게 만든 뒤 지수끼리 비교해요. axa^x 가 되풀이되면 ax=t (t>0)a^x=t\ (t>0) 로 치환하고, 부등식은 밑이 11 보다 작으면 부등호 방향을 바꿔요.
  1. 1밑을 같게 하여 푸는 지수방정식
  2. 2치환하여 푸는 지수방정식
  3. 3지수부등식
  4. 4치환하여 푸는 지수부등식
  5. 5지수방정식과 지수부등식 나란히 보기
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1밑을 같게 하여 푸는 지수방정식

정의지수방정식
2x=82^x=8, 4x−3⋅2x−4=04^x-3\cdot2^x-4=0 과 같이 지수에 미지수가 있는 방정식을 지수방정식이라 한다.
성질밑을 같게 할 수 있을 때
a>0, a≠1a>0,\ a\ne1 일 때af(x)=ag(x)  ⟺  f(x)=g(x)a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 나타낸 뒤 지수끼리 같다고 놓는다.
학생
밑이 같으면 왜 지수끼리 같다고 놓아도 돼요?
쌤
밑이 11 이 아닌 양수이면 지수가 다를 때 값도 달라요. 21, 22, 232^1,\ 2^2,\ 2^3 이 모두 다른 것처럼요. 밑이 11 이면 12=151^2=1^5 처럼 지수가 달라도 같아서 a≠1a\ne1 조건이 붙어요.
공식틀로 보기
□, △ 자리에 어떤 식이 와도 같다
a□=a△a^{\square}=a^{\triangle}
□=△\displaystyle \square=\triangle
밑이 같으면 지수끼리 같다. a>0, a≠1a>0,\ a\ne1
수를 거듭제곱으로
8=23,19=3−2,2=212\displaystyle 8=2^3,\quad \frac{1}{9}=3^{-2},\quad \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}
밑을 맞추려면 수를 같은 밑의 거듭제곱으로 바꾼다.
밑을 거듭제곱으로
4x=(22)x=22x\displaystyle 4^{x}=(2^2)^{x}=2^{2x}
지수법칙 (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}
밑이 분수이면
(13)x=3−x\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^{x}=3^{-x}
1a=a−1\frac{1}{a}=a^{-1}
기본
2x+1=82^{x+1}=8
2x+1=232^{x+1}=2^3
↳8=238=2^3
x+1=3x+1=3
↳지수끼리 같다고 놓아요
x=2x=2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
9x=279^{x}=27 의 해는?
수를 거듭제곱으로 바꾸기
✗ 틀린 풀이
2x+1=82^{x+1}=8
지수와 수를 같게 놓아
x+1=8x+1=8
왜 틀렸나 지수끼리 비교하려면 먼저 양변을 같은 밑의 거듭제곱 꼴로 바꾸어야 한다.
✓ 바른 풀이
8=238=2^3 이므로
2x+1=232^{x+1}=2^3
x+1=3x+1=3
따라서 x=2x=2
지수끼리 비교하려면 양변이 모두 같은 밑의 거듭제곱이어야 해요. 88 은 지수가 아니에요.
밑을 바꿀 때 지수 전체에 곱하기
✗ 틀린 풀이
4x+1=(22)x+1=22x+14^{x+1}=(2^2)^{x+1}=2^{2x+1}
왜 틀렸나 (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn} 에서 nn 은 지수 전체이므로 22 를 x+1x+1 전체에 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
4x+1=(22)x+1=22(x+1)=22x+24^{x+1}=(2^2)^{x+1}=2^{2(x+1)}=2^{2x+2}
지수 x+1x+1 을 괄호로 묶어 2(x+1)2(x+1) 로 쓴 뒤 전개한다.
검산: x=0x=0 을 넣으면 41=44^1=4 이고 22=42^{2}=4 이다.
성질지수가 같고 밑이 다를 때
a>0, b>0, a≠ba>0,\ b>0,\ a\ne b 일 때af(x)=bf(x)  ⟺  f(x)=0a^{f(x)}=b^{f(x)} \iff f(x)=0양변을 bf(x)b^{f(x)} 로 나누면 (ab)f(x)=1=(ab)0\left(\frac{a}{b}\right)^{f(x)}=1=\left(\frac{a}{b}\right)^{0} 이고, 밑 ab\frac{a}{b} 는 11 이 아닌 양수이므로 지수끼리 같아야 하기 때문이다.
예를 들어 3x−2=5x−23^{x-2}=5^{x-2} 이면 x−2=0x-2=0
따라서 x=2x=2
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

왜 그런가
지수함수 y=axy=a^x (a>0, a≠1a>0,\ a\ne1) 는 a>1a>1 이면 증가하고, 0<a<10<a<1 이면 감소해요.
어느 경우든 서로 다른 xx 에 대하여 서로 다른 함숫값을 가진다.
그래서 ax1=ax2a^{x_1}=a^{x_2} 이면 x1=x2x_1=x_2 이에요. 이것이 지수끼리 비교해도 되는 이유예요.

밑이 다른 꼴
4x+1=8x−14^{x+1}=8^{x-1}
22(x+1)=23(x−1)2^{2(x+1)}=2^{3(x-1)}
↳밑을 22 로 맞춰요
2x+2=3x−32x+2=3x-3
↳지수끼리 같다고 놓아요
x=5x=5
분수·근호가 있는 꼴
(13)x=93\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=9\sqrt{3}
(13)x=3−x\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}=3^{-x}
↳좌변을 밑 33 으로
93=32⋅312=3529\sqrt{3}=3^2\cdot3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{5}{2}}
↳우변도 밑 33 으로
−x=52-x=\dfrac{5}{2}
↳지수끼리 같다고 놓아요
x=−52x=-\dfrac{5}{2}
밑을 같게 하여 풀기
  1. 1
    양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 나타내요.
    밑은 보통 가장 작은 수(22, 33 등)로 맞춰요.
  2. 2
    (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn} 으로 지수를 정리해요.
    지수 전체에 곱해요. (22)x+1=22x+2(2^2)^{x+1}=2^{2x+2}
  3. 3
    지수끼리 같다고 놓고 방정식을 풀어요.
  4. 4
    검산: 구한 xx 를 처음 식에 넣어 봐요.
    x=5x=5 이면 46=2124^{6}=2^{12}, 84=2128^{4}=2^{12} 이므로 성립해요.

2x=52^x=5 처럼 양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 나타낼 수 없으면 양변에 로그를 취하여 풀어요.

2치환하여 푸는 지수방정식

4x=(22)x=(2x)24^x=(2^2)^x=(2^x)^2 이에요.
따라서 4x4^x 와 2x2^x 가 함께 있으면 2x=t2^x=t 로 치환하여 tt 에 대한 이차방정식으로 풀어요.
같은 이유로 ax+m=am⋅axa^{x+m}=a^m\cdot a^x 도 tt 의 식이 돼요.

학생
왜 2x2^x 를 tt 로 놓아요? 4x4^x 를 tt 로 놓으면 안 돼요?
쌤
2x=t2^x=t 로 놓으면 4x=t24^x=t^2 이 되어 이차방정식이 돼요. 4x4^x 를 tt 로 놓으면 2x=t2^x=\sqrt{t} 가 되어 오히려 복잡해져요.
⚠ 주의치환한 문자의 범위
t=axt=a^x 는 지수함수의 함숫값이므로 항상 양수이에요.
즉 t>0t>0 이에요.
tt 에 대한 방정식의 근 가운데 t≤0t\le0 인 것은 버려요.
4x−3⋅2x−4=04^x-3\cdot2^x-4=0
t2−3t−4=0t^2-3t-4=0
↳2x=t (t>0)2^x=t\ (t>0) 로 놓아요
(t+1)(t−4)=0(t+1)(t-4)=0
↳인수분해
t=4t=4
↳t>0t>0 이므로 t=−1t=-1 은 버려요
2x=4=22,x=22^x=4=2^2,\quad x=2
16−12−4=016-12-4=0
↳검산: x=2x=2 를 넣어요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
4x−2x−12=04^x-2^x-12=0 의 해는?
t>0t>0 조건
✗ 틀린 풀이
4x−3⋅2x−4=04^x-3\cdot2^x-4=0
(t+1)(t−4)=0(t+1)(t-4)=0
t=−1t=-1 또는 t=4t=4 이므로 해가 두 개
왜 틀렸나 t=2xt=2^x 으로 치환하면 t>0t>0 이므로 tt 의 값 중 양수인 것만 해가 된다.
✓ 바른 풀이
t=2x>0t=2^x>0 이므로 t=4t=4 만 가능하다.
2x=42^x=4
따라서 해는 x=2x=2 하나뿐이다.
2x=−12^x=-1 을 만족하는 실수 xx 는 없어요. 치환하면 새 문자의 범위를 반드시 함께 써요.
지수의 합을 곱으로
✗ 틀린 풀이
2x+2=2x+42^{x+2}=2^x+4
왜 틀렸나 지수의 합은 거듭제곱의 곱이므로 am+n=am⋅ana^{m+n}=a^m\cdot a^n 으로 나누어야 한다.
✓ 바른 풀이
2x+2=2x⋅22=4⋅2x2^{x+2}=2^x\cdot2^2=4\cdot2^x
am+n=am⋅ana^{m+n}=a^m\cdot a^n 이에요. 지수가 더해지면 거듭제곱끼리는 곱해져요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2
치환하여 풀기
  1. 1
    ax=ta^x=t 로 놓고 t>0t>0 을 적어 둬요.
    a2x=t2a^{2x}=t^2, ax+1=ata^{x+1}=at, a−x=1ta^{-x}=\frac{1}{t}
  2. 2
    tt 에 대한 방정식을 인수분해 등으로 풀어요.
    대부분 이차방정식이에요.
  3. 3
    t>0t>0 인 근만 남겨요.
  4. 4
    ax=ta^x=t 에서 xx 를 구해요.
    밑을 같게 하여 지수끼리 비교해요.
응용
9x−4⋅3x+1+27=09^x-4\cdot3^{x+1}+27=0
t2−12t+27=0t^2-12t+27=0
↳3x+1=3⋅3x3^{x+1}=3\cdot3^x, 3x=t (t>0)3^x=t\ (t>0)
(t−3)(t−9)=0(t-3)(t-9)=0
↳두 근 모두 양수
3x=3 또는 3x=323^x=3\ \text{또는}\ 3^x=3^2
x=1 또는 x=2x=1\ \text{또는}\ x=2
공통인수로 묶는 꼴
2x+2+2x=402^{x+2}+2^x=40
4⋅2x+2x=5⋅2x4\cdot2^x+2^x=5\cdot2^x
↳2x+2=4⋅2x2^{x+2}=4\cdot2^x
5⋅2x=405\cdot2^x=40
2x=8=232^x=8=2^3
x=3x=3

3지수부등식

정의지수부등식
2x−1>162^{x-1}>16 과 같이 지수에 미지수가 있는 부등식을 지수부등식이라 한다.
공식지수부등식의 성질
a>1a>1
af(x)<ag(x)  ⟺  f(x)<g(x)\displaystyle a^{f(x)}<a^{g(x)} \iff f(x)<g(x)
부등호 방향 그대로
0<a<10<a<1
af(x)<ag(x)  ⟺  f(x)>g(x)\displaystyle a^{f(x)}<a^{g(x)} \iff f(x)>g(x)
부등호 방향 반대로
성질외우는 문장
「밑이 11 보다 크면 그대로, 11 보다 작으면 반대로」
밑이 11 보다 작으면 지수끼리 비교할 때 부등호 방향을 바꾼다
등호(≤, ≥\le,\ \ge)는 그대로 따라간다.
학생
왜 밑이 11 보다 작으면 부등호 방향이 바뀌어요?
쌤
0<a<10<a<1 이면 지수가 커질수록 값이 작아져요. (12)1>(12)2\left(\frac{1}{2}\right)^1>\left(\frac{1}{2}\right)^2 처럼요. 그래서 거듭제곱의 대소와 지수의 대소가 반대가 돼요.
밑이 11 보다 클 때
2x−1>162^{x-1}>16
2x−1>242^{x-1}>2^4
↳16=2416=2^4
x−1>4x-1>4
↳밑 2>12>1: 방향 그대로
x>5x>5
밑이 11 보다 작을 때
(12)x≤8\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\le8
(12)x≤(12)−3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}
↳8=(12)−38=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}
x≥−3x\ge-3
↳밑 12<1\frac{1}{2}<1: 방향을 바꿔요
2−x≤23,−x≤3,x≥−32^{-x}\le2^3,\quad -x\le3,\quad x\ge-3
↳밑을 22 로 바꾸어도 같아요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(13)x>9\left(\frac{1}{3}\right)^{x}>9 의 해는?
밑이 11 보다 작을 때
✗ 틀린 풀이
(12)x≤(12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}
따라서 x≤−3x\le-3
왜 틀렸나 밑이 11 보다 작으면 지수함수가 감소하므로 지수를 비교할 때 부등호 방향을 바꾸어야 한다.
✓ 바른 풀이
(12)x≤(12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}
밑이 11 보다 작으므로
x≥−3x\ge-3
검산: 바른 답 x≥−3x\ge-3 에 들어 있는 x=0x=0 을 넣으면 1≤81\le8 로 참이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

왜 그런가
함수가 증가한다는 것은 아무 두 수 x1<x2x_1<x_2 를 잡았을 때 함숫값도 f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2) 라는 뜻이에요(감소이면 반대로 f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2)). 그래서 두 수 x1x_1, x2x_2 를 잡아 비교해요.
a>1a>1 이면 y=axy=a^x 는 증가하므로 x1<x2  ⟺  ax1<ax2x_1<x_2 \iff a^{x_1}<a^{x_2} 이에요.
0<a<10<a<1 이면 y=axy=a^x 는 감소하므로 x1<x2  ⟺  ax1>ax2x_1<x_2 \iff a^{x_1}>a^{x_2} 이에요.
그래서 지수끼리 비교할 때 밑이 11 보다 작으면 부등호 방향이 바뀌어요.

지수가 이차식인 꼴
3x2−2x<273^{x^2-2x}<27
3x2−2x<333^{x^2-2x}<3^3
↳27=3327=3^3
x2−2x<3x^2-2x<3
↳밑 3>13>1: 방향 그대로
(x+1)(x−3)<0(x+1)(x-3)<0
↳정리해요
−1<x<3-1<x<3
-3-2-1012345
−1-1
33
두 근 사이가 해예요. 끝점은 포함하지 않아요(○).

4치환하여 푸는 지수부등식

부등식에서도 ax=ta^x=t (t>0t>0) 로 치환하여 tt 에 대한 이차부등식을 풀어요.
tt 의 범위를 구한 뒤 t>0t>0 과 함께 보고, 마지막에 axa^x 의 범위를 xx 의 범위로 바꿔요.
이 마지막 단계에서도 밑이 11 보다 작으면 부등호 방향이 바뀌어요.

4x−6⋅2x+8<04^x-6\cdot2^x+8<0
t2−6t+8<0t^2-6t+8<0
↳2x=t (t>0)2^x=t\ (t>0)
(t−2)(t−4)<0(t-2)(t-4)<0
2<t<42<t<4
↳모두 t>0t>0 을 만족해요
21<2x<222^1<2^x<2^2
1<x<21<x<2
↳밑 2>12>1: 방향 그대로
t>0t>0 과 함께 보기
4x−2x−2>04^x-2^x-2>0
t2−t−2>0t^2-t-2>0
↳2x=t (t>0)2^x=t\ (t>0)
(t+1)(t−2)>0(t+1)(t-2)>0
t<−1 또는 t>2t<-1\ \text{또는}\ t>2
↳아래 수직선
t<−1t<-1
t>2t>2
t>0t>0
-3-2-101234
−1-1
00
22
t>0t>0 과 겹치는 곳은 t>2t>2 뿐이에요. 따라서 2x>212^x>2^1 에서 x>1x>1 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
4x−5⋅2x+4<04^x-5\cdot2^x+4<0 의 해는?
자세히 보기펼치기예제
밑이 11 보다 작은 꼴
(14)x−5(12)x+4≤0\left(\frac{1}{4}\right)^{x}-5\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+4\le0
t2−5t+4≤0t^2-5t+4\le0
↳(12)x=t (t>0)\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=t\ (t>0)
(t−1)(t−4)≤0(t-1)(t-4)\le0
1≤t≤41\le t\le4
(12)0≤(12)x≤(12)−2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{0}\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}
−2≤x≤0-2\le x\le0
↳밑이 11 보다 작아 방향을 바꿔요

5지수방정식과 지수부등식 나란히 보기

지수방정식과 지수부등식은 모두 밑을 같게 한 뒤 지수끼리 비교해요.

공식정리 (a>0, a≠1a>0,\ a\ne1)
af(x)=ag(x)a^{f(x)}=a^{g(x)}
f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)
방정식은 밑의 크기와 상관없다.
af(x)>ag(x) (a>1)a^{f(x)}>a^{g(x)}\ (a>1)
f(x)>g(x)\displaystyle f(x)>g(x)
부등식은 밑이 11 보다 크면 방향 그대로이다.
af(x)>ag(x) (0<a<1)a^{f(x)}>a^{g(x)}\ (0<a<1)
f(x)<g(x)\displaystyle f(x)<g(x)
밑이 11 보다 작으면 방향이 바뀐다.
ax=ta^x=t
t>0\displaystyle t>0
방정식이면 t≤0t\le0 인 근을 버리고, 부등식이면 t>0t>0 과 공통 범위를 잡는다.
학생
지수방정식과 지수부등식은 푸는 법이 뭐가 달라요?
쌤
방정식은 밑의 크기와 상관없이 지수끼리 같다고 놓으면 돼요. 부등식은 밑이 11 보다 작을 때 방향이 바뀌는 것만 달라요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(12)x−1=(12)3\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3} 과 (12)x−1<(12)3\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}<\left(\frac{1}{2}\right)^{3} 의 해를 차례로 쓰면?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1밑을 같게 만들면
    af(x)=ag(x)  ⟺  f(x)=g(x)a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x) (a>0, a≠1a>0,\ a\ne1)
  2. 2axa^x 꼴이 되풀이되면 ax=ta^x=t 로 치환한다.
    이때 반드시 t>0t>0 이다.
  3. 3지수부등식은 밑이 a>1a>1 이면 부등호 방향 그대로, 0<a<10<a<1 이면 부등호 방향을 바꾸어 지수끼리 비교한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 2x=t2^x=t 로 치환한 뒤 t>0t>0 조건을 잊고 t=−1t=-1 같은 음수 근까지 해로 써요.
  • 밑이 11 보다 작은 지수부등식 (12)x≤(12)−3\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} 에서 부등호 방향을 바꾸지 않고 x≤−3x\le-3 으로 써요.
  • 4x+1=22x+14^{x+1}=2^{2x+1} 처럼 밑을 바꿀 때 지수 전체에 곱하지 않아요. 바른 식은 22x+22^{2x+2} 예요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    방정식 27x−1=9x+127^{x-1}=9^{x+1} 을 푸시오.
  2. 예제 2
    방정식 9x−10⋅3x+9=09^x-10\cdot3^x+9=0 을 푸시오.
  3. 예제 3
    부등식 (14)x−3(12)x−1+8<0\left(\frac{1}{4}\right)^{x}-3\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}+8<0 을 푸시오.

다음 공부

이전 개념: 지수함수와 그래프설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 여러 가지 함수, 공통수학1 이차방정식의 풀이, 중3 인수분해, 공통수학1 이차부등식대수 목차
← 지수함수와 그래프로그함수와 그래프 →
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