수학 개념 노트전체 과목

다항식의 계산

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
동류항끼리 모아 다항식(이차식 포함)을 더하고 빼며, 분배법칙으로 (단항식)×(다항식)을 전개하고 (다항식)÷(단항식)은 각 항을 나눠요. 식을 대입할 때는 괄호로 묶어 넣어요.
  1. 1다항식의 덧셈과 뺄셈
  2. 2이차식
  3. 3(단항식)×(다항식)
  4. 4(다항식)÷(단항식)
  5. 5식의 대입
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1다항식의 덧셈과 뺄셈

정의동류항
문자와 차수가 각각 같은 항을 동류항이라 한다.
2a2a 와 4a4a 는 동류항이고, 3b3b 와 −5b-5b 도 동류항이다.
x2x^2 과 xx 는 문자는 같지만 차수가 달라 동류항이 아니다.

예를 들어 2a+3b2a+3b 와 4a−5b4a-5b 를 더해 봐요.
aa 는 aa 끼리, bb 는 bb 끼리 모으면 돼요.
(2a+3b)+(4a−5b)=2a+4a+3b−5b=6a−2b(2a+3b)+(4a-5b)=2a+4a+3b-5b=6a-2b

학생
x2x^2 과 xx 는 문자가 같은데 왜 하나로 합칠 수 없어요?
쌤
x2x^2 은 x×xx\times x, xx 는 xx 하나라서 서로 다른 종류예요. x2x^2 두 개와 xx 세 개는 사과 두 개와 배 세 개처럼 하나로 합칠 수 없어요.
성질다항식의 뺄셈
빼는 식의 괄호를 풀 때 괄호 안 각 항의 부호를 모두 바꾼다.
−(x−4y)=−x+4y-(x-4y)=-x+4y
예:
(3x−2y)−(x−4y)=3x−2y−x+4y=2x+2y(3x-2y)-(x-4y)=3x-2y-x+4y=2x+2y
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(2x−y)−(x−3y)(2x-y)-(x-3y) 를 계산하면?
뺄셈에서 괄호 풀기
✗ 틀린 풀이
(3x−2y)−(x−4y)(3x-2y)-(x-4y)
=3x−2y−x−4y=2x−6y=3x-2y-x-4y=2x-6y
왜 틀렸나 괄호 앞에 −- 가 있으면 괄호 안의 모든 항의 부호를 바꾸어 괄호를 풀어야 한다.
✓ 바른 풀이
(3x−2y)−(x−4y)(3x-2y)-(x-4y)
=3x−2y−x+4y=2x+2y=3x-2y-x+4y=2x+2y
검산: x=1, y=1x=1,\ y=1 을 넣으면 처음 식은 1−(−3)=41-(-3)=4 이고, 2x+2y2x+2y 에 넣어도 44 이다.
자세히 보기펼치기예제 3성질 더 보기
계수가 분수인 다항식
2a−b3−a−2b2\frac{2a-b}{3}-\frac{a-2b}{2}
=2(2a−b)−3(a−2b)6=\frac{2(2a-b)-3(a-2b)}{6}
↳분모 33, 22 의 최소공배수 66 으로 통분
=4a−2b−3a+6b6=\frac{4a-2b-3a+6b}{6}
↳괄호를 풀어요
=a+4b6=\frac{a+4b}{6}
↳동류항 정리
여러 괄호가 있을 때
2x−{3y−(x−y)}2x-\{3y-(x-y)\}
=2x−{3y−x+y}=2x-\{3y-x+y\}
↳소괄호 먼저
=2x−(−x+4y)=2x-(-x+4y)
↳중괄호 안 정리
=2x+x−4y=2x+x-4y
↳앞의 −- 로 부호가 바뀌어요
=3x−4y=3x-4y
성질검산
문자에 수 넣기
(3x−2y)−(x−4y)=2x+2y(3x-2y)-(x-4y)=2x+2y 에 x=1x=1, y=1y=1 을 넣으면
왼쪽은 (3−2)−(1−4)=4(3-2)-(1-4)=4
오른쪽은 2+2=42+2=4
값이 같으므로 맞게 계산하였다.
예거꾸로
어떤 식 구하기
어떤 식에 2x−3y2x-3y 를 더하였더니 5x+y5x+y 가 되었어요.
어떤 식은 결과에서 더한 식을 뺀 거예요.
(5x+y)−(2x−3y)=3x+4y(5x+y)-(2x-3y)=3x+4y

2이차식

정의이차식
다항식의 각 항의 차수 중 가장 큰 차수가 22 인 다항식을 xx 에 대한 이차식이라 한다.
예: x2−3x+1x^2-3x+1, 2x2+52x^2+5, −12x2-\frac{1}{2}x^2
1x2\frac{1}{x^2} 처럼 분모에 문자가 있는 식은 다항식이 아니므로 이차식이 아니다.
학생
이차식인지는 어떻게 알아봐요?
쌤
식을 정리한 뒤 가장 큰 차수가 22 인지 봐요. 정리하기 전에 x2x^2 이 보여도 계산하면 지워질 수 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 xx 에 대한 이차식은?
정리한 뒤 판별
✗ 틀린 풀이
(2x2+x)−2x2(2x^2+x)-2x^2 은 x2x^2 이 있으므로 이차식이다.
왜 틀렸나 다항식의 차수는 동류항을 모두 계산하여 정리한 뒤 가장 큰 차수로 정한다.
✓ 바른 풀이
(2x2+x)−2x2=x(2x^2+x)-2x^2=x 이므로 일차식이다.
확인 방법: 정리한 결과에 남은 항만 보고 차수를 읽는다.
자세히 보기펼치기예제
예이차식의 덧셈과 뺄셈
차수가 같은 항끼리 모아 차수가 높은 항부터 써요.
(3x2−2x+1)+(x2+5x−4)=4x2+3x−3(3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)=4x^2+3x-3
(2x2−x+3)−(x2−4x+1)=2x2−x+3−x2+4x−1=x2+3x+2(2x^2-x+3)-(x^2-4x+1)=2x^2-x+3-x^2+4x-1=x^2+3x+2

3(단항식)×(다항식)

정의전개
분배법칙을 이용하여 단항식과 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개 한다고 한다. 전개하여 얻은 다항식을 전개식이라 한다.a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bca(b+c)=ab+ac,\quad (a+b)c=ac+bc
전개하는 순서
−2x(3x−y+1)-2x(3x-y+1)
(−2x)×3x=−6x2(-2x)\times3x=-6x^2
↳첫째 항에 곱해요
(−2x)×(−y)=+2xy(-2x)\times(-y)=+2xy
↳음수끼리 곱하면 양수
(−2x)×1=−2x(-2x)\times1=-2x
↳상수항에도 곱해요
−6x2+2xy−2x-6x^2+2xy-2x
↳모두 더해요
학생
부호가 자꾸 틀려요. 어떻게 하면 안 틀려요?
쌤
곱하는 단항식을 부호까지 한 덩어리로 보고, 괄호 안 각 항도 부호를 붙인 채로 하나씩 곱해요. (−2x)×(−y)(-2x)\times(-y) 처럼 음수끼리 곱하면 ++ 예요.
넓이로 보는 3a(2a+b)3a(2a+b)
2a2a
bb
3a3a
6a26a^2
3ab3ab
세로 3a3a, 가로 2a+b2a+b 인 직사각형은 6a26a^2 과 3ab3ab 두 칸으로 나뉘어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
3a(2a−b)3a(2a-b) 를 전개하면?
모든 항에 곱하기
✗ 틀린 풀이
−2x(3x−y+1)=−6x2−2xy+1-2x(3x-y+1)=-6x^2-2xy+1
왜 틀렸나 분배법칙에서는 괄호 앞의 −2x-2x 를 괄호 안 모든 항에 부호까지 함께 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
−2x(3x−y+1)=−6x2+2xy−2x-2x(3x-y+1)=-6x^2+2xy-2x
검산: x=1, y=1x=1,\ y=1 을 넣으면 처음 식은 −2×3=−6-2\times3=-6 이고, 바른 식도 −6+2−2=−6-6+2-2=-6 이다.
자세히 보기펼치기그림예제
틀에 넣기: A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC 에 A=−2xA=-2x, B=3xB=3x, C=−yC=-y
① 공식을 틀로 본다
□(△+◯)=□△+□◯\textcolor{#2563eb}{\square} (\textcolor{#ea580c}{\triangle} + \textcolor{#059669}{\bigcirc})=\textcolor{#2563eb}{\square} \textcolor{#ea580c}{\triangle} + \textcolor{#2563eb}{\square} \textcolor{#059669}{\bigcirc}
② −2x(3x−y)- 2 x (3 x - y) 에서 틀의 자리에 들어갈 것을 먼저 적는다
□=−2x\textcolor{#2563eb}{\square} = \textcolor{#2563eb}{- 2 x}△=3x\textcolor{#ea580c}{\triangle} = \textcolor{#ea580c}{3 x}◯=−y\textcolor{#059669}{\bigcirc} = \textcolor{#059669}{- y}
③ 괄호째 넣고, 항마다 부호 → 숫자 → 문자 순서로 계산한다
틀의 항괄호째 넣기부호결과
□△\textcolor{#2563eb}{\square} \textcolor{#ea580c}{\triangle}(−2x)(3x)\textcolor{#2563eb}{(- 2 x)} \textcolor{#ea580c}{(3 x)}−−6x2- 6 x^{2}
□◯\textcolor{#2563eb}{\square} \textcolor{#059669}{\bigcirc}(−2x)(−y)\textcolor{#2563eb}{(- 2 x)} \textcolor{#059669}{(- y)}+2xy2 x y
답−2x(3x−y)=−6x2+2xy- 2 x (3 x - y)=- 6 x^{2} + 2 x y
✓ 검산: x=1, y=1x=1,\ y=1 을 넣으면 왼쪽 −4-4, 오른쪽 −4-4
예단항식이 앞이나 뒤에 있을 때
3a(2a+b)=6a2+3ab3a(2a+b)=6a^2+3ab
단항식이 뒤에 있어도 같아요.
(4x−2y)×(−12x)=−2x2+xy(4x-2y)\times\left(-\frac{1}{2}x\right)=-2x^2+xy

4(다항식)÷(단항식)

성질(다항식)÷(단항식)
방법 1: 분수 꼴로 고쳐 다항식의 각 항을 단항식으로 나눈다.
(6x2y−9xy2)÷3xy=6x2y3xy−9xy23xy=2x−3y(6x^2y-9xy^2)\div3xy=\frac{6x^2y}{3xy}-\frac{9xy^2}{3xy}=2x-3y
방법 2: 나누는 단항식의 역수를 곱한다. 나누는 식의 계수가 분수일 때 편리하다.
(4a2−6ab)÷23a=(4a2−6ab)×32a=6a−9b(4a^2-6ab)\div\frac{2}{3}a=(4a^2-6ab)\times\frac{3}{2a}=6a-9b
학생
나눗셈도 분배법칙처럼 각 항에 해요?
쌤
네. 나눗셈은 역수의 곱셈이라서 분배법칙이 그대로 적용돼요. 그래서 다항식의 모든 항을 빠짐없이 나눠야 해요.
공식곱셈과 나눗셈 나란히 비교
(단항식)×(다항식)
m(A+B)=mA+mB\displaystyle m(A+B)=mA+mB
각 항에 곱한다.
(다항식)÷(단항식)
(A+B)÷m=Am+Bm\displaystyle (A+B)\div m=\frac{A}{m}+\frac{B}{m}
각 항을 나눈다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(6x2+3x)÷3x(6x^2+3x)\div3x 를 계산하면?
모든 항을 나누기
✗ 틀린 풀이
(6x2y−9xy2)÷3xy=2x−9xy2(6x^2y-9xy^2)\div3xy=2x-9xy^2
왜 틀렸나 다항식을 단항식으로 나눌 때는 괄호 안의 모든 항을 각각 같은 단항식으로 나눈다.
✓ 바른 풀이
(6x2y−9xy2)÷3xy=2x−3y(6x^2y-9xy^2)\div3xy=2x-3y
바른 계산은 6x2y3xy−9xy23xy\frac{6x^2y}{3xy}-\frac{9xy^2}{3xy} 처럼 분수 꼴로 써서 항마다 약분하는 것이다.
자세히 보기펼치기예제왜 그런지
혼합 계산
2x(x−3)+(6x3−9x2)÷3x2x(x-3)+(6x^3-9x^2)\div3x
=2x2−6x+6x33x−9x23x=2x^2-6x+\frac{6x^3}{3x}-\frac{9x^2}{3x}
↳곱셈은 전개, 나눗셈은 각 항을 나눠요
=2x2−6x+2x2−3x=2x^2-6x+2x^2-3x
=4x2−9x=4x^2-9x
↳동류항 정리

다항식끼리의 곱도 같은 분배법칙으로 전개해요.

5식의 대입

성질식의 대입
문자에 수 대신 식을 넣는 것을 식의 대입이라 한다.
대입하는 식은 반드시 괄호로 묶어 넣은 뒤 계산한다.
A=2x−yA=2x-y, B=x+3yB=x+3y 일 때 2A−B2A-B
2A−B=2(2x−y)−(x+3y)2A-B=2(2x-y)-(x+3y)
↳괄호로 묶어 대입
=4x−2y−x−3y=4x-2y-x-3y
↳괄호를 풀어요
=3x−5y=3x-5y
학생
괄호를 꼭 쳐야 해요?
쌤
앞에 −- 나 계수가 있으면 꼭 필요해요. −B-B 에 x+3yx+3y 를 괄호 없이 넣으면 −x+3y-x+3y 가 되어 3y3y 의 부호가 틀려요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=x−2yA=x-2y, B=x+yB=x+y 일 때 A−BA-B 는?
괄호 없이 대입하기
✗ 틀린 풀이
2A−B=2(2x−y)−x+3y=3x+y2A-B=2(2x-y)-x+3y=3x+y
왜 틀렸나 식을 대입할 때는 빼는 식 전체에 괄호를 씌워야 모든 항의 부호가 함께 바뀐다.
✓ 바른 풀이
2A−B=2(2x−y)−(x+3y)=3x−5y2A-B=2(2x-y)-(x+3y)=3x-5y
검산: x=1, y=1x=1,\ y=1 이면 A=1A=1, B=4B=4 이므로 2A−B=−22A-B=-2 이고, 3x−5y3x-5y 에 넣어도 −2-2 이다.
자세히 보기펼치기예제왜 그런지성질 더 보기
y=2x−1y=2x-1 일 때 3x−y+23x-y+2 를 xx 에 대한 식으로
3x−(2x−1)+23x-(2x-1)+2
↳yy 자리에 괄호째 넣어요
=3x−2x+1+2=3x-2x+1+2
=x+3=x+3

이 방법은 연립일차방정식의 대입법에서 그대로 써요.

성질식을 먼저 간단히
AA, BB 가 들어 있는 식은 먼저 AA, BB 에 대하여 간단히 한 뒤 대입하면 계산이 쉽다.
2A−(A−3B)=A+3B2A-(A-3B)=A+3B
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1다항식의 덧셈은 괄호를 풀고 동류항끼리 모아 계산한다. 뺄셈은 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 더한다.
  2. 2다항식의 각 항의 차수 중 가장 큰 차수가 22 인 다항식을 이차식이라 한다.
  3. 3(단항식)×\times(다항식)은 분배법칙으로 전개한다. a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac
  4. 4(다항식)÷\div(단항식)은 다항식의 각 항을 단항식으로 나누거나, 단항식의 역수를 곱한다. 식을 대입할 때는 괄호를 씌워 넣는다.
✗ 자주 하는 실수
  • 뺄셈에서 빼는 식의 첫째 항만 부호를 바꾸고 나머지 항의 부호는 그대로 둬요.
  • 단항식을 곱하거나 나눌 때 괄호 안의 일부 항(특히 상수항)에만 계산해요.
  • 식을 대입할 때 괄호로 묶지 않아 −B-B 의 부호가 일부 항에만 적용돼요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    (3x2−2x+1)−(x2+4x−3)(3x^2-2x+1)-(x^2+4x-3) 을 계산하시오.
  2. 예제 2
    −3a(2a−b+4)+(8a2b−4ab2)÷2b-3a(2a-b+4)+(8a^2b-4ab^2)\div2b 를 계산하시오.
  3. 예제 3
    A=3x−2yA=3x-2y, B=x+yB=x+y 일 때, 2A−(A−3B)2A-(A-3B) 를 xx, yy 에 대한 식으로 나타내시오.

다음 공부

다음 개념: 일차부등식 →
이전 개념: 지수법칙과 단항식의 계산설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 일차식의 계산, 중1 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈, 중1 문자의 사용과 식의 값, 중3 다항식의 곱셈 (나중에)중학교 2학년 목차
← 지수법칙과 단항식의 계산일차부등식 →
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