수학 개념 노트전체 과목

원주각

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
원주각의 크기는 같은 호에 대한 중심각의 크기의 12\frac{1}{2} 이므로, 같은 호에 대한 원주각은 모두 같고 반원에 대한 원주각은 90∘90^\circ 이에요. 이 성질에서 원에 내접하는 사각형의 대각의 합이 180∘180^\circ 이고, 접선과 현이 이루는 각이 원주각과 같다는 성질이 나와요.
  1. 1원주각과 중심각
  2. 2원주각의 성질
  3. 3원주각의 크기와 호의 길이
  4. 4네 점이 한 원 위에 있을 조건
  5. 5원에 내접하는 사각형
  6. 6접선과 현이 이루는 각
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1원주각과 중심각

정의원주각
원 OO 에서 호 ABAB 위에 있지 않은 원 위의 점 PP 에 대하여 ∠APB\angle APB 를 호 ABAB 에 대한 원주각이라 한다.
이때 ∠AOB\angle AOB 는 호 ABAB 에 대한 중심각이다.
100°50°OABP
성질원주각과 중심각의 크기
한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 12\frac{1}{2} 이다.∠APB=12∠AOB\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB
학생
원주각은 왜 하필 중심각의 절반이에요?
쌤
중심 OO 가 PA‾\overline{PA} 위에 있을 때를 보면, △OPB\triangle OPB 는 두 변이 반지름이라 두 밑각이 같아요. 중심각 ∠AOB\angle AOB 는 그 두 밑각의 합이라서 원주각은 중심각의 절반이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∠AOB=140∘\angle AOB=140^\circ 일 때 큰 호 위의 점 PP 에 대한 원주각 ∠APB\angle APB 는?
두 배와 절반을 바꾼 실수
✗ 틀린 풀이
∠AOB=100∘\angle AOB=100^\circ 일 때
∠APB=200∘\angle APB=200^\circ
왜 틀렸나 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 12\frac12 이다.
✓ 바른 풀이
∠APB=12×100∘=50∘\angle APB=\frac{1}{2}\times100^\circ=50^\circ
중심각이 원주각의 두 배예요. 원주각은 꼭짓점이 원 위에 있어 중심보다 멀리서 보는 각이므로 더 작아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2그림

예를 들어 ∠AOB=100∘\angle AOB=100^\circ 인 원에서 큰 호 위에 점 PP 를 잡고 각을 재면 ∠APB=50∘\angle APB=50^\circ 이에요. PP 를 큰 호 위의 다른 곳으로 옮겨도 50∘50^\circ 이에요.
원주각의 성질은 사인법칙의 바탕이 돼요.

왜 그런가요? 중심 OO 가 PA‾\overline{PA} 위에 있을 때를 먼저 봐요. OP‾=OB‾\overline{OP}=\overline{OB} (반지름) 이므로 △OPB\triangle OPB 는 이등변삼각형이고, ∠AOB\angle AOB 는 △OPB\triangle OPB 의 외각이에요.

중심 OO 가 PA‾\overline{PA} 위에 있을 때
∠OPB=∠OBP\angle OPB=\angle OBP
↳이등변삼각형의 밑각
∠AOB=∠OPB+∠OBP=2∠APB\angle AOB=\angle OPB+\angle OBP=2\angle APB
↳외각의 성질
중심 OO 가 ∠APB\angle APB 의 내부에 있으면 지름 PQPQ 를 그어 두 부분으로 나누어 더하고, 외부에 있으면 빼서 같은 결과를 얻어요.
OABP
△OPB\triangle OPB 는 이등변삼각형, ∠AOB\angle AOB 는 그 외각
원주각을 구하는 순서
  1. 1
    원주각의 꼭짓점 PP 가 어느 호 위에 있는지 확인해요.
  2. 2
    PP 가 있지 않은 쪽의 호를 찾고, 그 호에 대한 중심각을 구해요.
    PP 가 짧은 호 위에 있으면 큰 호의 중심각 360∘−∠AOB360^\circ-\angle AOB 를 써요.
  3. 3
    중심각의 절반을 구해요.
큰 호에 대한 원주각
∠AOB=100∘\angle AOB=100^\circ, PP 는 짧은 호 위
360∘−100∘=260∘360^\circ-100^\circ=260^\circ
↳큰 호에 대한 중심각
∠APB=12×260∘=130∘\angle APB=\frac{1}{2}\times260^\circ=130^\circ
↳검산: 둔각이에요
100°130°OABP
PP 가 짧은 호 위에 있으면 큰 호에 대한 원주각

2원주각의 성질

성질같은 호에 대한 원주각
한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.∠APB=∠AQB=∠ARB\angle APB=\angle AQB=\angle ARB모두 같은 중심각 ∠AOB\angle AOB 의 12\frac{1}{2} 이기 때문이다.
OABPQR
성질반원에 대한 원주각
AB‾\overline{AB} 가 원 OO 의 지름이면 호 ABAB 는 반원이고 중심각은 180∘180^\circ 이다.
따라서 반원에 대한 원주각의 크기는 9090∘^\circ 이다.
거꾸로 원주각이 90∘90^\circ 이면 그 현은 지름이다.
OABC
학생
문제에서 지름이 보이면 무엇부터 떠올려요?
쌤
지름에 대한 원주각은 90∘90^\circ 예요. 그래서 지름을 한 변으로 하는 직각삼각형을 찾아 나머지 각을 구해요.
같은 호(예 1), 반원(예 2)
∠ADB=∠ACB=40∘\angle ADB=\angle ACB=40^\circ
↳예 1 — 같은 호 ABAB 에 대한 원주각
∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ
↳예 2 — AB‾\overline{AB} 가 지름이면 반원에 대한 원주각
∠ABC=180∘−(90∘+35∘)=55∘\angle ABC=180^\circ-(90^\circ+35^\circ)=55^\circ
↳예 2 에서 ∠CAB=35∘\angle CAB=35^\circ 일 때
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
AB‾\overline{AB} 가 원의 지름이고 ∠CAB=25∘\angle CAB=25^\circ 일 때 ∠ABC\angle ABC 는?
호에 대하여 반대쪽에 있는 두 원주각
✗ 틀린 풀이
CC, DD 가 직선 ABAB 에 대하여 반대쪽에 있을 때
∠ADB=∠ACB\angle ADB=\angle ACB
왜 틀렸나 같은 호에 대한 원주각만 크기가 같으므로, 반대쪽에 있는 두 원주각은 합이 180∘180^\circ 이다.
✓ 바른 풀이
CC, DD 가 반대쪽에 있으면 ∠ACB\angle ACB 와 ∠ADB\angle ADB 는 서로 다른 호에 대한 원주각이다.
∠ACB+∠ADB=180∘\angle ACB+\angle ADB=180^\circ
두 호의 중심각의 합이 360∘360^\circ 이므로 원주각의 합은 180∘180^\circ 이에요. 같은 호인지 먼저 확인해요.
ABCD
∠ACB+∠ADB=180∘\angle ACB+\angle ADB=180^\circ
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

원 위의 네 점 AA, BB, CC, DD 에서 두 현 ACAC, BDBD 가 점 PP 에서 만나고 ∠ACB=30∘\angle ACB=30^\circ, ∠DBC=40∘\angle DBC=40^\circ 예요.

두 현이 만날 때
∠APB=∠PCB+∠PBC\angle APB=\angle PCB+\angle PBC
↳△PBC\triangle PBC 의 외각
=30∘+40∘=70∘=30^\circ+40^\circ=70^\circ
∠ADB=∠ACB=30∘\angle ADB=\angle ACB=30^\circ
↳같은 호 ABAB
30°40°ABCDP

3원주각의 크기와 호의 길이

성질원주각과 호
한 원에서
길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같다.
크기가 같은 원주각에 대한 호의 길이는 같다.
원주각의 크기는 호의 길이에 정비례한다.
중심각의 크기가 호의 길이에 정비례하고, 원주각은 그 절반이기 때문이다.
공식틀로 기억하기
원 전체
(원주각의 합)=12×360∘=180∘\displaystyle \text{(원주각의 합)}=\frac{1}{2}\times360^\circ=180^\circ
원 전체 호에 대한 원주각
호가 원주의 mn\frac{m}{n}
(원주각)=180∘×mn\displaystyle \text{(원주각)}=180^\circ\times\frac{m}{n}
학생
호의 길이의 비가 주어지면 각은 어떻게 구해요?
쌤
원 전체에 대한 원주각의 합이 180∘180^\circ 예요. 그래서 180∘180^\circ 를 호의 길이의 비대로 나누면 각 호에 대한 원주각이 나와요.
호의 길이의 비
AB^:BC^:CA^=3:4:5\widehat{AB}:\widehat{BC}:\widehat{CA}=3:4:5
∠C=180∘×312=45∘\angle C=180^\circ\times\frac{3}{12}=45^\circ
↳세 원주각의 합 180∘180^\circ 를 3:4:53:4:5 (3+4+5=123+4+5=12)로 나눠요. ∠C\angle C 는 호 ABAB 에 대한 원주각
∠A=180∘×412=60∘\angle A=180^\circ\times\frac{4}{12}=60^\circ
∠B=180∘×512=75∘\angle B=180^\circ\times\frac{5}{12}=75^\circ
180∘×15=36∘180^\circ\times\frac{1}{5}=36^\circ
↳호가 원주의 15\frac15 이면
345ABC
호의 길이의 비 3:4:53:4:5
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
AB^:BC^:CA^=1:2:3\widehat{AB}:\widehat{BC}:\widehat{CA}=1:2:3 인 △ABC\triangle ABC 에서 ∠C\angle C 는?
360∘360^\circ 로 나눈 실수
✗ 틀린 풀이
AB^:BC^:CA^=3:4:5\widehat{AB}:\widehat{BC}:\widehat{CA}=3:4:5 일 때
∠C=360∘×312=90∘\angle C=360^\circ\times\frac{3}{12}=90^\circ
왜 틀렸나 원주각은 중심각의 절반이므로 세 원주각은 180∘180^\circ 를 호의 길이의 비로 나누어 구한다.
✓ 바른 풀이
∠C=180∘×312=45∘\angle C=180^\circ\times\frac{3}{12}=45^\circ
검산: 세 원주각은 45∘, 60∘, 75∘45^\circ,\ 60^\circ,\ 75^\circ 이고 합이 180∘180^\circ 이다.

4네 점이 한 원 위에 있을 조건

성질네 점이 한 원 위에 있을 조건
두 점 CC, DD 가 직선 ABAB 에 대하여 같은 쪽에 있을 때∠ACB=∠ADB\angle ACB=\angle ADB이면 네 점 AA, BB, CC, DD 는 한 원 위에 있다.
같은 호에 대한 원주각이 같다는 성질을 거꾸로 쓴 것이다.
ABCD
예판별하기
두 대각선이 만나는 사각형 ABCDABCD 에서 ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ, ∠BDC=50∘\angle BDC=50^\circ 이면 AA, DD 가 직선 BCBC 에 대하여 같은 쪽에 있고 각이 같으므로 네 점은 한 원 위에 있어요.
∠ACB=40∘\angle ACB=40^\circ, ∠ADB=45∘\angle ADB=45^\circ 이면 각이 다르므로 네 점은 한 원 위에 있지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 AA, DD 가 직선 BCBC 에 대하여 같은 쪽에 있고 ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ 예요. 네 점 AA, BB, CC, DD 가 한 원 위에 있는 것은 ∠BDC\angle BDC 가 몇 도일 때?

5원에 내접하는 사각형

성질원에 내접하는 사각형의 성질
사각형 ABCDABCD 가 원에 내접할 때∠A+∠C=180∘,∠B+∠D=180∘\angle A+\angle C=180^\circ,\quad \angle B+\angle D=180^\circ즉 대각의 크기의 합은 180180∘^\circ 이다.
ABCD
∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ
학생
왜 마주 보는 두 각의 합이 180∘180^\circ 예요?
쌤
∠A\angle A 와 ∠C\angle C 는 원을 둘로 나눈 두 호에 대한 원주각이에요. 두 호의 중심각의 합이 360∘360^\circ 이니 두 원주각의 합은 그 절반인 180∘180^\circ 예요.
공식원에 내접하는 사각형 ABCDABCD (EE 는 변 BCBC 의 연장선 위의 점)
대각의 합
∠A+∠C=180∘\displaystyle \angle A+\angle C=180^\circ
∠B+∠D=180∘\angle B+\angle D=180^\circ
외각과 내대각
∠DCE=∠A\displaystyle \angle DCE=\angle A
한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.
ABCDE
∠DCE=∠A\angle DCE=\angle A
각 구하기
∠A=80∘\angle A=80^\circ, ∠B=95∘\angle B=95^\circ
∠C=180∘−80∘=100∘\angle C=180^\circ-80^\circ=100^\circ
↳대각의 합
∠D=180∘−95∘=85∘\angle D=180^\circ-95^\circ=85^\circ
∠DCE=∠A=80∘\angle DCE=\angle A=80^\circ
↳외각 = 내대각
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원에 내접하는 사각형 ABCDABCD 에서 ∠B=110∘\angle B=110^\circ 일 때 ∠D\angle D 는?
이웃한 두 각을 더한 실수
✗ 틀린 풀이
원에 내접하는 사각형에서
∠A+∠B=180∘\angle A+\angle B=180^\circ
왜 틀렸나 원에 내접하는 사각형에서는 마주 보는 두 각의 크기의 합이 180∘180^\circ 이므로 ∠A\angle A 와 ∠C\angle C 를 더한다.
✓ 바른 풀이
마주 보는 두 각을 더한다.
∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ
이웃한 두 각의 합이 180∘180^\circ 인 것은 평행선(사다리꼴)의 성질이에요.
성질사각형이 원에 내접하기 위한 조건
사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180∘180^\circ 이거나, 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같으면 이 사각형은 원에 내접한다.
직사각형, 정사각형, 등변사다리꼴은 항상 원에 내접한다. 직사각형이 아닌 평행사변형은 대각의 크기가 같고 합이 180∘180^\circ 가 아니므로 원에 내접하지 않는다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? ∠A\angle A 는 호 BCDBCD 에 대한 원주각, ∠C\angle C 는 호 BADBAD 에 대한 원주각이에요. 두 호의 중심각의 합은 360∘360^\circ 이므로 ∠A+∠C=12×360∘=180∘\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\times360^\circ=180^\circ 예요.

외각의 성질은 왜 그런가요? ∠DCE=180∘−∠BCD\angle DCE=180^\circ-\angle BCD 이고 ∠A=180∘−∠BCD\angle A=180^\circ-\angle BCD 이므로 두 각은 같아요.

6접선과 현이 이루는 각

성질접선과 현이 이루는 각
원 OO 위의 점 AA 에서의 접선을 ATAT 라 하고 현 ABAB 를 그을 때, ∠BAT\angle BAT 의 크기는 그 각의 내부에 있는 호 ABAB 에 대한 원주각 ∠ACB\angle ACB 의 크기와 같다.∠BAT=∠ACB\angle BAT=\angle ACB점 CC 는 직선 ABAB 에 대하여 TT 와 반대쪽에 있는 원 위의 점이다.
OABCT
학생
문제에서 접선과 현이 보이면 무엇부터 해요?
쌤
접선과 현이 이루는 각을 그 각의 안쪽에 있는 호에 대한 원주각으로 바꿔요. 그다음은 원주각의 성질로 다른 각을 구하면 돼요.
접선과 현
∠BAT=65∘\angle BAT=65^\circ
∠ACB=65∘\angle ACB=65^\circ
↳접선과 현이 이루는 각
∠AOB=2×65∘=130∘\angle AOB=2\times65^\circ=130^\circ
↳중심각은 두 배
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원 위의 점 AA 에서의 접선 ATAT 와 현 ABAB 가 이루는 ∠BAT=40∘\angle BAT=40^\circ 일 때, 호 ABAB 에 대한 원주각 ∠ACB\angle ACB 는?
접선과 현이 이루는 각을 중심각으로 본 실수
✗ 틀린 풀이
∠BAT=65∘\angle BAT=65^\circ 일 때
∠AOB=65∘\angle AOB=65^\circ
왜 틀렸나 접선과 현이 이루는 각은 그 각 안의 호에 대한 원주각과 같고, 중심각은 그 두 배이다.
✓ 바른 풀이
∠BAT\angle BAT 는 원주각과 같으므로
∠AOB=2×65∘=130∘\angle AOB=2\times65^\circ=130^\circ
확인: 중심각 130∘130^\circ 는 원주각 65∘65^\circ 의 두 배이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2그림

왜 그런가요? (∠BAT\angle BAT 가 예각일 때) 점 AA 를 지나는 지름 ADAD 를 그어요. 접선은 반지름에 수직이에요.

접선과 현이 이루는 각
∠DAT=90∘,∠ABD=90∘\angle DAT=90^\circ,\quad \angle ABD=90^\circ
↳접선 ⊥ 반지름, 반원의 원주각
∠BAT=90∘−∠DAB=∠ADB\angle BAT=90^\circ-\angle DAB=\angle ADB
↳△ABD\triangle ABD 에서
∠ADB=∠ACB\angle ADB=\angle ACB
↳같은 호 ABAB
∠BAT=∠ACB\angle BAT=\angle ACB
OABTD

AB‾\overline{AB} 가 원 OO 의 지름이고, 원 위의 점 CC 에서의 접선 위의 점 TT 가 직선 ACAC 에 대하여 BB 와 같은 쪽에 있어요. ∠BCT=35∘\angle BCT=35^\circ 예요.

지름과 접선
∠BAC=∠BCT=35∘\angle BAC=\angle BCT=35^\circ
↳내부의 호는 BCBC
∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ
↳반원에 대한 원주각
∠ABC=180∘−(90∘+35∘)=55∘\angle ABC=180^\circ-(90^\circ+35^\circ)=55^\circ
35°35°OABCT
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
∠APB=□∠AOB\angle APB=\square\angle AOB
단계 1 / 1
반원에 대한 원주각=□∘\text{반원에 대한 원주각}=\square^\circ
단계 1 / 1
내접 사각형 ∠A+∠C=□∘\text{내접 사각형 } \angle A+\angle C=\square^\circ
단계 1 / 2
∠BAT (접선과 현)=∠A□B\angle BAT \text{ (접선과 현)}=\angle A\square B
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 12\frac{1}{2} 이다.
  2. 2한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같고, 반원에 대한 원주각의 크기는 90∘90^\circ 이다.
  3. 3한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같고, 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례한다.
  4. 4원에 내접하는 사각형의 대각의 크기의 합은 180∘180^\circ 이고, 원의 접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
✗ 자주 하는 실수
  • 원주각을 중심각의 두 배로 계산하거나, 점 PP 가 짧은 호 위에 있을 때도 짧은 호의 중심각을 절반으로 해요.
  • 원에 내접하는 사각형에서 이웃한 두 각의 합이 180∘180^\circ 라고 생각해요.
  • 접선과 현이 이루는 각을 그 각의 내부에 있지 않은 호의 원주각이나 중심각과 같다고 생각해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    원 OO 에서 ∠AOB=110∘\angle AOB=110^\circ 일 때, 다음을 구하시오.
    (1) 점 PP 가 큰 호 ABAB 위에 있을 때 ∠APB\angle APB
    (2) 점 QQ 가 짧은 호 ABAB 위에 있을 때 ∠AQB\angle AQB
    110°OABPQ
  2. 예제 2
    원에 내접하는 사각형 ABCDABCD 에서 ∠A=80∘\angle A=80^\circ, ∠B=95∘\angle B=95^\circ 일 때, ∠C\angle C, ∠D\angle D 의 크기와 변 BCBC 의 연장선 위의 점 EE 에 대하여 ∠DCE\angle DCE 의 크기를 구하시오.
    80°95°ABCDE
  3. 예제 3
    원 위의 세 점 AA, BB, CC 에 대하여 AB^:BC^:CA^=3:4:5\widehat{AB}:\widehat{BC}:\widehat{CA}=3:4:5 일 때, △ABC\triangle ABC 의 세 내각의 크기를 구하시오.
    345ABC
    호의 길이의 비 3:4:53:4:5

다음 공부

이전 개념: 원과 현, 원의 접선설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 원과 부채꼴, 대수 사인법칙 (나중에), 중2 이등변삼각형과 직각삼각형, 중1 다각형, 중2 사각형의 성질중학교 3학년 목차
← 원과 현, 원의 접선산포도 →
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