수학 개념 노트전체 과목

원과 부채꼴

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 중심각의 크기에 정비례해요(현의 길이는 정비례하지 않아요). 반지름이 rr 인 원의 둘레는 2πr2\pi r, 넓이는 πr2\pi r^2 이고, 중심각이 x∘x^\circ 인 부채꼴의 호의 길이는 2πr×x3602\pi r\times\frac{x}{360}, 넓이는 πr2×x360=12rl\pi r^2\times\frac{x}{360}=\frac12 rl 이에요.
  1. 1원과 부채꼴의 용어
  2. 2중심각과 호, 현, 넓이의 관계
  3. 3원주율과 원의 둘레, 넓이
  4. 4부채꼴의 호의 길이와 넓이
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1원과 부채꼴의 용어

정의원
평면 위의 한 점 OO 에서 일정한 거리에 있는 모든 점으로 이루어진 도형을 원 OO 라 한다.
점 OO 를 원의 중심, 그 일정한 거리를 반지름이라 한다.
호 · 현 · 할선
호 AB현 AB할선OAB
  • 호 ABABAB⌢\overset{\frown}{AB} : 두 점 AA, BB 를 양 끝으로 하는 원의 일부분(보통 짧은 쪽)
  • 현 ABABAB‾\overline{AB} : 원 위의 두 점을 이은 선분. 중심을 지나는 현이 지름
  • 할선원 위의 두 점을 지나는 직선
부채꼴 · 활꼴
중심각부채꼴활꼴O
  • 부채꼴두 반지름 OAOA, OBOB 와 호 ABAB 로 둘러싸인 도형
  • 중심각∠AOB\angle AOB : 두 반지름이 이루는 각(호 ABAB 에 대한 중심각)
  • 활꼴현 ABAB 와 호 ABAB 로 둘러싸인 도형
학생
부채꼴이랑 활꼴은 어떻게 구별해요?
쌤
꼭짓점에 원의 중심이 있는지 보면 돼요. 두 반지름과 호로 둘러싸여 중심이 꼭짓점이면 부채꼴, 현과 호로 둘러싸여 중심이 없으면 활꼴이에요.
성질지름과 반원
한 원에서 길이가 가장 긴 현은 지름이다.
지름은 원을 이등분한다. 반원은 중심각이 180∘180^\circ 인 부채꼴이면서 동시에 현(지름)과 호로 둘러싸인 활꼴이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
한 원에서 길이가 가장 긴 현은?
부채꼴과 활꼴
✗ 틀린 풀이
현 ABAB 와 호 ABAB 로 둘러싸인 도형이 부채꼴이다.
왜 틀렸나 부채꼴은 두 반지름과 호로 둘러싸인 도형이고, 현과 호로 둘러싸인 도형은 활꼴이다.
✓ 바른 풀이
부채꼴은 두 반지름과 호로, 활꼴은 현과 호로 둘러싸인 도형이다.
부채꼴에는 원의 중심이 꼭짓점으로 들어 있고, 활꼴에는 중심이 들어 있지 않다(반원 제외).
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

원 위에 두 점 AA, BB 가 있을 때 쓰는 말을 그림 옆 설명과 함께 읽어 둬요.

반지름O
원 OO: 중심 OO 와 반지름
지름OAB
지름 ABAB 는 가장 긴 현이고, 원을 두 반원으로 나눠요.

2중심각과 호, 현, 넓이의 관계

성질중심각의 크기가 같으면
한 원 또는 합동인 두 원에서 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴은 완전히 포개진다.
따라서 호의 길이가 같고, 현의 길이가 같고, 부채꼴의 넓이가 같다.
거꾸로 호의 길이(또는 현의 길이)가 같으면 중심각의 크기도 같다.
성질정비례 관계
한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 중심각의 크기에 정비례 한다.
현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.
40°120°12SO
중심각이 33 배이면 넓이도 33 배
학생
중심각이 22 배가 되면 호와 현도 22 배가 돼요?
쌤
호의 길이와 넓이는 22 배가 돼요. 같은 부채꼴 두 개를 이어 붙인 것이니까요. 하지만 현은 22 배보다 짧아서 중심각에 정비례하지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
한 원에서 중심각이 30∘30^\circ 인 부채꼴의 호의 길이가 44 cm 일 때, 중심각이 90∘90^\circ 인 부채꼴의 호의 길이는?
현의 길이
✗ 틀린 풀이
중심각이 60∘60^\circ 일 때 현의 길이가 rr 이면, 중심각이 180∘180^\circ 일 때 현의 길이는 3r3r 이다.
왜 틀렸나 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으며, 중심각이 180∘180^\circ 이면 현은 지름이다.
✓ 바른 풀이
중심각이 180∘180^\circ 일 때 현은 지름이므로 길이가 2r2r 이다.
중심각이 60∘60^\circ 이면 두 반지름과 현이 정삼각형을 이루어 현의 길이가 rr 이다.
확인 방법: 원에서 가장 긴 현은 지름이므로 어떤 현도 2r2r 보다 길 수 없다.
rr60°OABC
중심각 60∘60^\circ 의 현은 rr, 중심각 180∘180^\circ 의 현(지름 CA‾\overline{CA})은 2r2r
자세히 보기펼치기그림왜 그런지예제
50°50°OABCD
중심각이 같으면 호·현·넓이가 모두 같아요.

왜 그런가요? 중심각의 크기가 22 배, 33 배, ⋯\cdots 가 되면 부채꼴은 같은 부채꼴 22 개, 33 개, ⋯\cdots 를 이어 붙인 것이 돼요.
그래서 호의 길이와 부채꼴의 넓이도 22 배, 33 배, ⋯\cdots 가 돼요.

예비례식으로 구하기
한 원에서 중심각이 40∘40^\circ 인 부채꼴의 넓이가 1212 이면, 중심각이 120∘120^\circ 인 부채꼴의 넓이는
넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 40:120=12:S40:120=12:S
S=36S=36
(중심각이 33 배이므로 넓이도 33 배예요.)

왜 현은 정비례하지 않을까요?
중심각이 30∘30^\circ 인 현 ABAB 와 BCBC 를 이어 붙이면 중심각 60∘60^\circ 인 현 ACAC 가 돼요.
그런데 △ABC\triangle ABC 에서 한 변은 나머지 두 변의 합보다 짧으므로 AC‾<AB‾+BC‾\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC} 이고, 현 ACAC 는 현 ABAB 의 22 배보다 짧아요.
호는 이어 붙이면 길이가 그대로 더해지지만, 현은 꺾인 길을 곧게 펴는 것이라 짧아져요.

30°30°OABC
AC‾<AB‾+BC‾\overline{AC}<\overline{AB}+\overline{BC}

3원주율과 원의 둘레, 넓이

정의원주율
원의 크기와 관계없이 (원의 둘레의 길이)÷\div(지름의 길이) 의 값은 항상 일정하다. 이 값을 원주율이라 하고 기호 π\pi (파이)로 나타낸다.
π=3.14159⋯\pi=3.14159\cdots 로 소수점 아래가 끝없이 이어지는 수이다. 계산할 때는 보통 3.143.14 대신 π\pi 를 그대로 쓴다.
학생
π\pi 대신 3.143.14 를 쓰면 안 돼요?
쌤
π\pi 는 3.14159⋯3.14159\cdots 로 끝없이 이어지는 수라서 3.143.14 는 어림값이에요. 그래서 답은 보통 25π25\pi 처럼 π\pi 를 그대로 남겨 써요. 문제에서 3.143.14 로 계산하라고 할 때만 바꿔요.
공식반지름이 rr 인 원
둘레의 길이
l=2πr\displaystyle l=2\pi r
(지름)×π=2r×π\times\pi=2r\times\pi
넓이
S=πr2\displaystyle S=\pi r^2
rO
둘레 2πr2\pi r, 넓이 πr2\pi r^2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
지름이 88 cm 인 원의 넓이는?
둘레와 넓이
✗ 틀린 풀이
반지름이 33 인 원의 넓이는
2π×3=6π2\pi\times3=6\pi
왜 틀렸나 원의 넓이는 반지름을 두 번 곱하는 πr2\pi r^2 으로 구하고, 2πr2\pi r 은 둘레의 길이이다.
✓ 바른 풀이
반지름이 33 인 원의 넓이는
π×32=9π\pi\times3^2=9\pi
6π6\pi 는 둘레의 길이이다.
기억 요령: 넓이의 단위는 cm2\mathrm{cm}^2 처럼 제곱이므로 넓이 공식에는 rr 을 두 번 곱한 r2r^2 이 들어간다.
⚠ 주의지름이 주어질 때
지름이 1010 이면 반지름은 55 이에요.
넓이는 π×52=25π\pi\times5^2=25\pi
π×102\pi\times10^2 으로 계산하지 않아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

넓이가 πr2\pi r^2 인 이유: 원을 중심각이 아주 작은 부채꼴로 잘게 잘라 엇갈려 붙이면 직사각형에 가까워져요.
이 직사각형의 가로는 원 둘레의 절반인 πr\pi r, 세로는 반지름 rr 이에요.
따라서 넓이는 πr×r=πr2\pi r\times r=\pi r^2 이에요.

πr (원 둘레의 절반)r
원을 잘게 잘라 엇갈려 붙이면 가로 πr\pi r, 세로 rr 인 직사각형에 가까워져요.

4부채꼴의 호의 길이와 넓이

부채꼴은 원의 일부분이에요. 중심각이 x∘x^\circ 이면 원 전체(360∘360^\circ)의 x360\frac{x}{360} 만큼이에요. 호의 길이와 넓이가 중심각에 정비례하므로 원의 둘레와 넓이에 x360\frac{x}{360} 을 곱해요.

공식반지름이 rr, 중심각이 x∘x^\circ 인 부채꼴
호의 길이
l=2πr×x360\displaystyle l=2\pi r\times\frac{x}{360}
넓이
S=πr2×x360\displaystyle S=\pi r^2\times\frac{x}{360}
호의 길이로 나타낸 넓이
S=12rl\displaystyle S=\frac12 rl
중심각을 몰라도 반지름과 호의 길이만으로 넓이를 구한다.
둘레의 길이
2r+l\displaystyle 2r+l
두 반지름도 더한다.
r
x∘x^\circ
lSO
학생
S=12rlS=\frac12 rl 은 왜 삼각형 넓이 공식이랑 닮았어요?
쌤
부채꼴을 잘게 나누면 밑변이 호, 높이가 반지름인 가는 삼각형들이 모인 모양이 돼요. 그래서 12×(밑변)×(높이)\frac12\times(\text{밑변})\times(\text{높이}) 처럼 12×l×r\frac12\times l\times r 이 돼요.

부채꼴의 넓이는 반지름과 호의 길이의 곱의 절반이에요.

반지름 66, 중심각 120∘120^\circ 인 부채꼴
120360=13\frac{120}{360}=\frac13
↳원 전체의 몇 분의 몇
l=2π×6×13=4πl=2\pi\times6\times\frac13=4\pi
↳호의 길이
S=π×62×13=12πS=\pi\times6^2\times\frac13=12\pi
↳넓이
12×6×4π=12π\frac12\times6\times4\pi=12\pi
↳S=12rlS=\frac12 rl 로 검산
6+6+4π=12+4π6+6+4\pi=12+4\pi
↳둘레(더 묶을 수 없어요)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
반지름이 44, 호의 길이가 3π3\pi 인 부채꼴의 넓이는?
360360 과 180180
✗ 틀린 풀이
중심각이 90∘90^\circ 인 부채꼴의 호의 길이를
2πr×901802\pi r\times\frac{90}{180} 으로 계산한다.
왜 틀렸나 원 한 바퀴는 360∘360^\circ 이므로 호의 길이는 둘레에 (중심각)360\frac{(\text{중심각})}{360} 을 곱해 구한다.
✓ 바른 풀이
2πr×90360=12πr2\pi r\times\frac{90}{360}=\frac12\pi r
확인 방법: 중심각이 90∘90^\circ 이면 원의 14\frac{1}{4} 이므로 호의 길이도 둘레 2πr2\pi r 의 14\frac{1}{4} 이다.
자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지그림
S=12rlS=\frac12 rl 인 이유
S=πr2×x360S=\pi r^2\times\frac{x}{360}
=12r×(2πr×x360)=\frac12 r\times\left(2\pi r\times\frac{x}{360}\right)
↳12r\frac12 r 를 앞으로 빼요
=12rl=\frac12 rl
↳괄호 안이 호의 길이 ll

삼각형 넓이 12×(밑변)×(높이)\frac12\times(\text{밑변})\times(\text{높이}) 와 모양이 같아요. 부채꼴을 잘게 나누면 밑변이 호, 높이가 반지름인 가는 삼각형들의 모임이 되기 때문이에요.
호도법을 쓰면 이 식을 더 간단히 나타낼 수 있어요.

6120°O
거꾸로
반지름 88, 호의 길이 6π6\pi 인 부채꼴의 중심각 x∘x^\circ
2π×8×x360=6π2\pi\times8\times\frac{x}{360}=6\pi
↳호의 길이 식에 넣어요
2πx45=6π\frac{2\pi x}{45}=6\pi
↳2π×8×1360=2π452\pi\times8\times\frac{1}{360}=\frac{2\pi}{45}
x=6π×452π=135x=6\pi\times\frac{45}{2\pi}=135
↳양변에 452π\frac{45}{2\pi} 를 곱해요
S=12×8×6π=24πS=\frac12\times8\times6\pi=24\pi
↳넓이는 12rl\frac12 rl
8
x∘x^\circ
6πO
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
원의 둘레=□πr\text{원의 둘레}=\square\pi r
단계 1 / 2
원의 넓이=πr□\text{원의 넓이}=\pi r^{\square}
단계 1 / 2
부채꼴의 호=2πr×x□\text{부채꼴의 호}=2\pi r\times\frac{x}{\square}
단계 1 / 2삼각형 넓이와 같은 모양
부채꼴의 넓이=□ rl\text{부채꼴의 넓이}=\square\, rl
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1원 위의 두 점 사이의 부분을 호, 두 점을 이은 선분을 현이라 한다. 두 반지름과 호로 둘러싸인 도형이 부채꼴, 현과 호로 둘러싸인 도형이 활꼴이다.
  2. 2한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 중심각의 크기에 정비례한다. 현의 길이는 정비례하지 않는다.
  3. 3반지름이 rr 인 원의 둘레의 길이는 l=2πrl=2\pi r, 넓이는 S=πr2S=\pi r^2 이다.
  4. 4반지름이 rr, 중심각이 x∘x^\circ 인 부채꼴에서 l=2πr×x360l=2\pi r\times\frac{x}{360}, S=πr2×x360S=\pi r^2\times\frac{x}{360} 이고, S=12rlS=\frac12 rl 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 현의 길이도 중심각의 크기에 정비례한다고 생각해요.
  • 원의 넓이를 2πr2\pi r 로, 둘레를 πr2\pi r^2 으로 바꿔 쓰거나 지름을 반지름 자리에 넣어요.
  • 부채꼴의 둘레를 구할 때 두 반지름을 빼고 호의 길이만 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    반지름이 66, 중심각의 크기가 120∘120^\circ 인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하시오.
    6120°O
  2. 예제 2
    반지름이 88 이고 호의 길이가 6π6\pi 인 부채꼴의 넓이와 중심각의 크기를 구하시오.
    8?6πO
  3. 예제 3
    한 원에서 ∠AOB=(x+5)∘\angle AOB=(x+5)^\circ, ∠COD=(2x+30)∘\angle COD=(2x+30)^\circ 이고 AB⌢=3\overset{\frown}{AB}=3, CD⌢=8\overset{\frown}{CD}=8 일 때 xx 의 값을 구하시오.
    (x+5)°(2x+30)°38OABCD

다음 공부

다음 개념: 입체도형의 겉넓이와 부피 →
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