수학 개념 노트전체 과목

직선과 평면의 위치 관계

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
평면은 한 직선 위에 있지 않은 세 점으로 결정돼요. 공간에서 두 직선은 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있고, 직선이 평면 위의 한 점에서 만나는 두 직선에 모두 수직이면 그 평면에 수직이에요.
  1. 1평면의 결정 조건
  2. 2두 직선의 위치 관계
  3. 3직선과 평면, 두 평면의 위치 관계
  4. 4꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각
  5. 5직선과 평면의 수직
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1평면의 결정 조건

성질평면의 결정 조건
다음 각 경우에 평면은 오직 하나로 정해진다.
① 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점
② 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점
③ 한 점에서 만나는 두 직선
④ 평행한 두 직선
학생
두 점을 지나는 평면은 하나로 정해지지 않아요?
쌤
네, 두 점을 지나는 직선을 축으로 평면을 돌리면 무수히 많아요. 그 직선 밖의 점을 하나 더 잡아야 평면이 하나로 정해져요.
⚠ 주의평면이 하나로 정해지지 않는 경우
한 직선 위에 있는 세 점을 지나는 평면은 무수히 많아요.
꼬인 위치에 있는 두 직선을 모두 포함하는 평면은 없어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
평면이 오직 하나로 정해지지 않는 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

서로 다른 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이에요.
그러나 두 점을 지나는 평면은 무수히 많아요. 두 점을 지나는 직선을 축으로 평면을 돌려 보면 알 수 있어요.
여기에 그 직선 위에 있지 않은 점을 하나 더 잡으면 평면이 하나로 정해져요.

②, ③, ④는 모두 ①로 바꿀 수 있어요.
② 직선 위의 두 점과 직선 밖의 한 점을 잡으면 한 직선 위에 있지 않은 세 점이 돼요.
③ 두 직선의 교점과 각 직선 위의 다른 한 점씩을 잡아요.
④ 평행한 두 직선은 한 평면 위에 있으므로, 한 직선 위의 두 점과 다른 직선 위의 한 점을 잡아요.

예네 점으로 정해지는 평면의 개수
공간의 네 점 A, B, C, D 가 한 평면 위에 있지 않으면, 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않아요.
세 점을 고를 때마다 서로 다른 평면이 하나씩 정해지므로 평면의 개수는
4C3=4{}_{4}\mathrm{C}_{3}=4
평면 ABC, ABD, ACD, BCD 가 그거예요.

2두 직선의 위치 관계

정의꼬인 위치
공간에서 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않을 때, 두 직선은 꼬인 위치에 있다고 한다.
성질공간에서 두 직선의 위치 관계
① 한 점에서 만난다.
② 평행하다.
③ 꼬인 위치에 있다.
①, ②는 두 직선이 한 평면 위에 있고, ③은 한 평면 위에 있지 않다.
학생
꼬인 위치인지 평행인지는 어떻게 구별해요?
쌤
두 직선을 함께 담는 평면이 있는지 보면 돼요. 한 평면 위에 있으면서 만나지 않으면 평행이고, 어떤 평면에도 함께 담을 수 없으면 꼬인 위치예요.
ABCDEFGH
윗면 ABCD, 아랫면 EFGH. 파란 모서리 AB 에 대하여 만나는 모서리는 AD, BC, AE, BF (4개), 평행한 모서리는 DC, EF, HG (3개), 꼬인 위치의 모서리는 CG, DH, EH, FG (11−4−3=411-4-3=4 개)예요. 주황은 차례로 BF, DC, CG 예요.
꼬인 위치에 있는 모서리 찾기
  1. 1
    기준 모서리의 두 끝점에서 만나는 모서리를 지워요.
  2. 2
    기준 모서리와 평행한 모서리를 지워요.
    같은 면에서 마주 보는 모서리, 그 모서리와 평행한 모서리
  3. 3
    남은 모서리가 꼬인 위치에 있는 모서리예요.
    기준 모서리를 포함하는 면 위에 있는 모서리는 모두 지워져요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
정육면체 ABCD-EFGH 에서 모서리 AD 와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는?
만나지 않는 두 직선
✗ 틀린 풀이
공간에서 만나지 않는 두 직선은 평행하다.
왜 틀렸나 공간에서는 한 평면 위에 있지 않은 두 직선도 만나지 않으므로 꼬인 위치도 따져야 한다.
✓ 바른 풀이
공간에서 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위치에 있다.
정육면체에서 AB 와 CG 는 만나지 않지만 평행하지도 않아요.
「만나지 않으면 평행」 은 한 평면 위에서만 성립해요.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질공간에서도 성립하는 평행선의 성질
서로 다른 세 직선 ll, mm, nn 에 대하여
l∥ml\parallel m 이고 m∥nm\parallel n 이면 l∥nl\parallel n 이다.
예: 정육면체에서 AE∥BF\mathrm{AE}\parallel\mathrm{BF}, BF∥CG\mathrm{BF}\parallel\mathrm{CG} 이므로 AE∥CG\mathrm{AE}\parallel\mathrm{CG}

3직선과 평면, 두 평면의 위치 관계

성질직선과 평면의 위치 관계
직선 ll 과 평면 α\alpha 의 위치 관계는 다음 세 가지이다.
① ll 이 α\alpha 에 포함된다.
② 한 점에서 만난다.
③ 평행하다. 즉 만나지 않는다. l∥αl\parallel\alpha 로 나타낸다.
성질두 평면의 위치 관계
서로 다른 두 평면 α\alpha, β\beta 의 위치 관계는 다음 두 가지이다.
① 만난다. 이때 두 평면의 공통부분은 직선이고, 이 직선을 두 평면의 교선이라 한다.
② 평행하다. 즉 만나지 않는다. α∥β\alpha\parallel\beta 로 나타낸다.
학생
직선과 평면이 만나지 않으면 항상 평행이에요?
쌤
네. 직선과 평면 사이에는 꼬인 위치 같은 경우가 없어서, 만나지 않으면 평행이에요.
예정육면체 ABCD-EFGH 에서
모서리 AB 는 평면 ABCD 에 포함돼요.
모서리 AB 는 평면 BFGC 와 점 B 에서 만나요.
모서리 AB 는 평면 EFGH 와 평행해요.
평면 ABCD 와 평면 BFGC 는 교선 BC 에서 만나요.
평면 ABCD 와 평면 EFGH 는 평행해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
정육면체 ABCD-EFGH 에서 평면 ABFE 와 평면 BFGC 의 교선은?
성질평행에 관한 성질
① 평면 α\alpha 밖의 직선 ll 이 α\alpha 위의 한 직선과 평행하면 l∥αl\parallel\alpha 이다.
② l∥αl\parallel\alpha 이고 ll 을 포함하는 평면 β\beta 가 α\alpha 와 만나면, 교선 mm 에 대하여 l∥ml\parallel m 이다.
③ α∥β\alpha\parallel\beta 이고 평면 γ\gamma 가 두 평면과 만나면, 두 교선은 평행하다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

②의 이유: ll 과 mm 은 모두 평면 β\beta 위에 있어요.
mm 은 α\alpha 위에 있고 ll 은 α\alpha 와 만나지 않으므로 ll 과 mm 은 만나지 않아요.
한 평면 위에서 만나지 않는 두 직선이므로 l∥ml\parallel m 이에요.
③도 같은 방법으로 보여요. 두 교선은 평면 γ\gamma 위에 있고, α\alpha 와 β\beta 가 만나지 않으므로 두 교선도 만나지 않아요.

4꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각

정의두 직선이 이루는 각
꼬인 위치에 있는 두 직선 ll, mm 에 대하여, ll 위의 한 점 O 를 지나고 mm 에 평행한 직선 m′m' 을 긋는다.
ll 과 m′m' 이 이루는 각 중 크기가 크지 않은 것을 두 직선 ll, mm 이 이루는 각이라 한다.
이 각의 크기 θ\theta 는 0∘<θ≤90∘0^\circ<\theta\le90^\circ 이고, 점 O 를 어디에 잡아도 같다.
θ=90∘\theta=90^\circ 이면 두 직선은 서로 수직이라 하고 l⊥ml\perp m 으로 나타낸다.
학생
왜 90∘90^\circ 보다 큰 각은 답이 아니에요?
쌤
두 직선이 만나면 각이 θ\theta 와 180∘−θ180^\circ-\theta 두 개 생기는데, 그중 크지 않은 쪽을 이루는 각으로 정했기 때문이에요. 둔각이 나오면 180∘180^\circ 에서 빼요.
입체도형에서 두 직선이 이루는 각 구하기
  1. 1
    한 직선을 그와 평행한 모서리나 대각선으로 바꾸어 다른 직선과 만나게 해요.
    평행사변형의 마주 보는 변은 평행해요.
  2. 2
    두 직선을 변으로 하는 삼각형을 찾아 각의 크기를 구해요.
  3. 3
    구한 각이 둔각이면 180∘180^\circ 에서 빼요.
예정육면체 ABCD-EFGH 에서 AB 와 CG
CG∥BF\mathrm{CG}\parallel\mathrm{BF} 이므로 AB 와 CG 가 이루는 각은 AB 와 BF 가 이루는 각과 같아요.
∠ABF=90∘\angle\mathrm{ABF}=90^\circ
따라서 AB⊥CG\mathrm{AB}\perp\mathrm{CG}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
정육면체 ABCD-EFGH 에서 두 직선 AC 와 EF 가 이루는 각의 크기는?
두 직선이 이루는 각은 90∘90^\circ 이하
✗ 틀린 풀이
삼각형에서 구한 각이 120∘120^\circ 이면 두 직선이 이루는 각은 120∘120^\circ
왜 틀렸나 두 직선이 이루는 각은 만나서 생기는 두 각 중 크기가 크지 않은 쪽으로 정한다.
✓ 바른 풀이
두 직선이 이루는 각은 180∘−120∘=60∘180^\circ-120^\circ=60^\circ
두 직선이 만나서 생기는 각은 120∘120^\circ 와 60∘60^\circ 두 가지예요.
이 중 크기가 크지 않은 것을 잡아요.
자세히 보기펼치기예제그림
예정육면체 ABCD-EFGH 에서 AC 와 BG
AB‾\overline{\mathrm{AB}} 와 HG‾\overline{\mathrm{HG}} 는 평행하고 길이가 같으므로 사각형 ABGH 는 평행사변형이에요.
따라서 BG∥AH\mathrm{BG}\parallel\mathrm{AH}
AC 와 BG 가 이루는 각은 AC 와 AH 가 이루는 각 ∠CAH\angle\mathrm{CAH} 와 같아요.
AC‾\overline{\mathrm{AC}}, CH‾\overline{\mathrm{CH}}, HA‾\overline{\mathrm{HA}} 는 모두 정육면체의 면의 대각선이므로 삼각형 ACH 는 정삼각형이에요.
따라서 구하는 각의 크기는 60∘60^\circ
ABCDEFGH
BG\mathrm{BG} 를 평행이동하면 AH\mathrm{AH} 와 겹쳐요. 삼각형 ACH 는 세 변이 모두 면의 대각선인 정삼각형이에요.

5직선과 평면의 수직

정의직선과 평면의 수직
직선 ll 이 평면 α\alpha 와 점 O 에서 만나고, O 를 지나는 α\alpha 위의 모든 직선과 수직일 때 직선 ll 과 평면 α\alpha 는 서로 수직이라 하고 l⊥αl\perp\alpha 로 나타낸다.
이때 ll 을 평면 α\alpha 의 수선, 점 O 를 수선의 발이라 한다.
성질직선과 평면이 수직일 조건
직선 ll 이 평면 α\alpha 위의 한 점 O 에서 만나는 서로 다른 두 직선 mm, nn 에 모두 수직이면
l⊥αl\perp\alpha
학생
평면 위의 직선 하나에만 수직이면 안 돼요?
쌤
안 돼요. 직선 하나에만 수직이면 평면에 비스듬히 서 있을 수도 있어요. 한 점에서 만나는 두 직선에 모두 수직이어야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
l⊥αl\perp\alpha 임을 보이려면 직선 ll 이 평면 α\alpha 위의 무엇과 수직임을 보이면 될까요?
성질수직이면 평면 위의 모든 직선과 수직
l⊥αl\perp\alpha 이면 ll 은 α\alpha 위의 모든 직선과 수직이다.
O 를 지나지 않는 직선도 O 를 지나는 평행한 직선으로 옮겨 생각하면 된다(꼬인 위치에서의 수직).
직선 하나와 수직인 것으로는 부족하다
✗ 틀린 풀이
직선 ll 이 평면 α\alpha 위의 한 직선과 수직이면 l⊥αl\perp\alpha
왜 틀렸나 직선이 평면에 수직이려면 평면 위의 한 점에서 만나는 두 직선과 모두 수직이어야 한다.
✓ 바른 풀이
직선 ll 이 평면 α\alpha 위의 한 점에서 만나는 두 직선과 수직이면 l⊥αl\perp\alpha
정육면체에서 AB⊥BF\mathrm{AB}\perp\mathrm{BF} 이고 BF 는 평면 BFHD 위에 있어요.
그러나 AB 와 BD 가 이루는 각은 45∘45^\circ 이므로 AB 는 평면 BFHD 에 수직이 아니에요.
자세히 보기펼치기그림왜 그런지예제
lmnαOPP′ABC
P, P′ 은 ll 위에서 O 의 양쪽에 같은 거리에 있는 점, A·B 는 mm·nn 위의 점, C 는 O 를 지나는 α\alpha 위의 다른 직선(점선)이 AB 와 만나는 점이에요.
이유(간단한 증명)
  1. 1
    ll 위에 OP‾=OP′‾\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OP'}} 인 두 점 P, P′ 을 O 의 양쪽에 잡아요. mm, nn 위에 점 A, B 를 잡아요.
  2. 2
    mm, nn 은 선분 PP′ 의 수직이등분선이므로 PA‾=P′A‾\overline{\mathrm{PA}}=\overline{\mathrm{P'A}}, PB‾=P′B‾\overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{P'B}}
    m⊥lm\perp l, n⊥ln\perp l 이고 O 가 PP′ 의 중점이에요.
  3. 3
    삼각형 PAB 와 P′AB 는 합동이에요.
    세 변의 길이가 각각 같아요.
  4. 4
    O 를 지나는 α\alpha 위의 임의의 직선이 AB 와 만나는 점을 C 라 하면, 삼각형 PAC 와 P′AC 도 합동이에요.
    삼각형 PAB, P′AB 가 합동이라 ∠PAC=∠P′AC\angle\mathrm{PAC}=\angle\mathrm{P'AC} 이고 두 변의 길이가 같아요.
  5. 5
    PC‾=P′C‾\overline{\mathrm{PC}}=\overline{\mathrm{P'C}} 이므로 이등변삼각형 PCP′ 에서 중점 O 와 꼭짓점 C 를 이은 OC 는 PP′ 에 수직이에요.
    따라서 ll 은 O 를 지나는 α\alpha 위의 모든 직선과 수직이에요.
예간단한 증명
정사면체 ABCD 에서 AB⊥CD\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD}
모서리 CD 의 중점을 M 이라 해요.
삼각형 ACD 는 정삼각형이므로 AM⊥CD\mathrm{AM}\perp\mathrm{CD}
삼각형 BCD 도 정삼각형이므로 BM⊥CD\mathrm{BM}\perp\mathrm{CD}
CD 는 평면 ABM 위의 점 M 에서 만나는 두 직선 AM, BM 에 수직이므로
CD⊥\mathrm{CD}\perp 평면 ABM
AB 는 평면 ABM 위의 직선이므로 AB⊥CD\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나이다.
  2. 2공간에서 두 직선은 만나거나, 평행하거나, 꼬인 위치에 있다. 꼬인 위치의 두 직선은 한 평면 위에 있지 않다.
  3. 3꼬인 위치의 두 직선이 이루는 각은 한 직선을 평행이동하여 다른 직선과 만나게 해서 구한다. 0∘<θ≤90∘0^\circ<\theta\le90^\circ 로 잡는다.
  4. 4직선 ll 이 평면 α\alpha 위의 한 점에서 만나는 두 직선에 모두 수직이면 l⊥αl\perp\alpha 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 공간에서 만나지 않는 두 직선을 모두 평행하다고 생각해요. 꼬인 위치일 수도 있어요.
  • 직선이 평면 위의 직선 하나와 수직이기만 하면 평면에 수직이라고 판단해요. 한 점에서 만나는 두 직선과 수직이어야 해요.
  • 꼬인 위치의 두 직선이 이루는 각을 둔각으로 답해요. 두 직선이 이루는 각은 90∘90^\circ 이하로 잡아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    공간에 서로 다른 다섯 개의 점이 있고, 이 중 어느 네 점도 한 평면 위에 있지 않다. 이 중 세 점으로 정해지는 서로 다른 평면의 개수를 구하시오.
  2. 예제 2
    정육면체 ABCD-EFGH 에서 모서리 BF 와 꼬인 위치에 있는 모서리를 모두 구하시오. (단, 윗면은 ABCD, 아랫면은 EFGH 이고 AE, BF, CG, DH 는 옆모서리이다.)
  3. 예제 3
    정사면체 ABCD 에서 AB⊥CD\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD} 임을 보이시오.
    ABCDM
    M 은 모서리 CD 의 중점이다.

다음 공부

다음 개념: 삼수선 정리와 이면각 →다음 개념: 공간좌표 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 기본 도형, 공통수학1 조합, 중2 사각형의 성질, 중1 작도와 삼각형의 합동, 중2 이등변삼각형과 직각삼각형기하 목차
← 이차곡선 위의 점에서의 접선삼수선 정리와 이면각 →
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