이차곡선 위의 점에서의 접선

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

곡선 위의 점

(x_1,\ y_1)

에서의 접선은 포물선

y^2=4px

이면

y_1y=2p(x+x_1)

, 타원이면

\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1

, 쌍곡선이면

\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1

이에요. 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을

(x_1,\ y_1)

로 놓고 구해요.

1곡선 위의 점에서의 접선
2공식을 만드는 방법
3곡선 밖의 점에서 그은 접선
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (1개 · 핵심 용어 가리기)

1곡선 위의 점에서의 접선

공식곡선 위의 점

(x_1,\ y_1)

에서의 접선의 방정식

포물선

y^2=4px

\displaystyle y_1y=2p(x+x_1)

포물선

x^2=4py

\displaystyle x_1x=2p(y+y_1)

x

와

y

의 역할을 바꾼 것이다.

타원

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1

쌍곡선

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1

쌍곡선

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=-1

학생

곡선마다 공식이 달라서 외우기 힘들어요. 쉽게 기억하는 방법이 있어요?

쌤

곡선의 방정식에서

x^2

을

x_1x

로,

y^2

을

y_1y

로 바꾸면 돼요. 포물선은 일차인

x

를

\frac{x+x_1}{2}

로 바꿔요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

쌍곡선

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

위의 점

(x_1,\ y_1)

에서의 접선의 방정식은?

2공식을 만드는 방법

성질외우는 장치

바꿔 쓰기 규칙

곡선의 방정식에서

x^2

은

x_1x

로

y^2

은

y_1y

로

x

는

\frac{x+x_1}{2}

로 (

y

는

\frac{y+y_1}{2}

로)
바꾸면 그 점에서의 접선이 된다.

y^2=4px

이면

y_1y=4p\cdot\frac{x+x_1}{2}=2p(x+x_1)

ax^2+by^2=c

꼴이면 표준형으로 고치지 않고 바로

ax_1x+by_1y=c

로 쓸 수 있다(양변을

c

로 나눈 표준형에 공식을 쓴 뒤 다시

c

를 곱한 것과 같다).

학생

왜 이렇게 바꿔 쓰기만 하면 접선이 돼요?

쌤

기울기가

m

인 접선의 접점을 구해서,

m

과

y

절편을

x_1

y_1

로 바꿔 쓴 거예요. 문제를 풀 때는 유도보다 바꿔 쓰기 규칙을 기억하는 게 빨라요.

곡선 위의 점에서 접선을 구하는 순서

1
주어진 점이 곡선 위에 있는지 확인해요.
대입하여 등식이 성립해야 공식을 쓸 수 있어요.
2
곡선의 종류에 맞는 공식에 $x_1$ , $y_1$ 을 넣어요.
3
정리해요.
$y=\cdots$ 꼴이나 $ax+by=c$ 꼴로

타원

\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1

위의 점

(2,\ 1)

\frac{4}{8}+\frac{1}{2}=1

↳◀곡선 위의 점이에요

\frac{2x}{8}+\frac{1\cdot y}{2}=1

↳◀

x^2\to x_1x

y^2\to y_1y

x+2y=4

↳◀양변에

4

를 곱해요

타원

\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1

위의 점

P(2,\ 1)

에서의 접선

\frac{2x}{8}+\frac{1\cdot y}{2}=1

포물선

y^2=4x

위의 점

(1,\ 2)

4p=4,\quad p=1

2y=2(x+1)

↳◀

y_1y=2p(x+x_1)

y=x+1

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

포물선

y^2=8x

위의 점

(2,\ 4)

에서의 접선의 방정식은?

포물선 공식의 계수

✗ 틀린 풀이

y^2=4x

위의 점

(1,\ 2)

에서의 접선

2y=4(x+1)

왜 틀렸나

y^2=4px

위의 점에서의 접선은

y_1y=2p(x+x_1)

이므로 계수는

2p

이다.

✓ 바른 풀이

2y=2(x+1)

따라서

y=x+1

y^2=4px

의 접선은

y_1y=2p(x+x_1)

이에요.

4p

가 아니라

2p

이에요.
바꿔 쓰기 규칙에서

x

를

\frac{x+x_1}{2}

로 바꾸므로

\frac{1}{2}

이 붙어요.

쌍곡선의 부호

✗ 틀린 풀이

x^2-\frac{y^2}{3}=1

위의 점

(2,\ 3)

에서의 접선

2x+\frac{3y}{3}=1

왜 틀렸나 점에서의 접선은 곡선의 방정식의 부호를 그대로 옮기므로 쌍곡선은

y_1y

항 앞이

-

이다.

✓ 바른 풀이

2x-\frac{3y}{3}=1

따라서

2x-y=1

곡선의 방정식의 부호를 그대로 옮겨요. 쌍곡선은

y_1y

항 앞이

-

이에요.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제 3그림

판별식으로 구한 「기울기가 $m$ 인 접선」의 접점을 구하면, 접점이 $(x_1,\ y_1)$ 일 때의 기울기와 $y$ 절편을 $x_1$ , $y_1$ 로 나타낼 수 있어요. 이것을 정리하면 곡선 위의 점에서의 접선 공식이 돼요.

포물선

y^2=4px

위의 점

(x_1,\ y_1)

에서의 접선 (

y_1\ne0

)

\left(mx+\frac{p}{m}\right)^2=4px\ \Rightarrow\ \left(mx-\frac{p}{m}\right)^2=0

↳◀

y^2=4px

에 대입

y=mx+\frac{p}{m}\ \text{의 접점}\ \left(\frac{p}{m^2},\ \frac{2p}{m}\right)

↳◀중근

x=\frac{p}{m^2}

이 접점

y_1=\frac{2p}{m}\ \Rightarrow\ m=\frac{2p}{y_1}

↳◀접점이

(x_1,\ y_1)

y=\frac{2p}{y_1}x+\frac{y_1}{2}

↳◀

\frac{p}{m}=\frac{y_1}{2}

y_1y=2px+\frac{y_1^2}{2}

↳◀양변에

y_1

을 곱해요

y_1y=2p(x+x_1)

↳◀

y_1^2=4px_1

$y_1=0$ 이면 접점은 꼭짓점 $(0,\ 0)$ 이고 접선은 $y$ 축 $x=0$ 이에요. 공식에 $x_1=0$ , $y_1=0$ 을 넣어도 $0=2px$ , 즉 $x=0$ 이 되어 이 경우까지 맞아요.

타원

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

위의 점

(x_1,\ y_1)

에서의 접선 (

y_1\ne0

)

y=mx+n\ (n^2=a^2m^2+b^2)\ \text{의 접점}\ \left(-\frac{a^2m}{n},\ \frac{b^2}{n}\right)

↳◀접점은 중근

x=-\frac{a^2mn}{a^2m^2+b^2}=-\frac{a^2mn}{n^2}=-\frac{a^2m}{n}

↳◀중근,

a^2m^2+b^2=n^2

n=\frac{b^2}{y_1},\quad m=-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}

↳◀접점의 좌표와 비교

y=-\frac{b^2x_1}{a^2y_1}x+\frac{b^2}{y_1}

\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1

↳◀양변에

\frac{y_1}{b^2}

을 곱해 정리

쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 도 같은 방법으로, $y=mx+n$ ( $n^2=a^2m^2-b^2$ ) 의 접점이 $\left(-\frac{a^2m}{n},\ -\frac{b^2}{n}\right)$ 임을 이용하면 $\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1$ 을 얻어요. 꼭짓점에서의 접선( $y_1=0$ )도 공식에 들어 있어요.

쌍곡선

x^2-\frac{y^2}{3}=1

위의 점

(2,\ 3)

4-\frac{9}{3}=1

↳◀곡선 위의 점이에요

2x-\frac{3y}{3}=1

↳◀

x_1x-\frac{y_1y}{3}=1

2x-y=1

쌍곡선

x^2-\frac{y^2}{3}=1

위의 점

P(2,\ 3)

에서의 접선

2x-\frac{3y}{3}=1

성질검산

구한 직선이 주어진 점을 지나는지, 곡선과 연립하면 중근이 나오는지 확인한다.

y=x+1

은

(1,\ 2)

를 지난다.

y^2=4x

에 넣으면

(x+1)^2=4x

(x-1)^2=0

✓ (중근

x=1

)

3곡선 밖의 점에서 그은 접선

곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 모르므로, 접점을 $(x_1,\ y_1)$ 로 놓고 두 가지 조건을 세워요.

학생

곡선 밖의 점에서 그은 접선은 그 점을 공식에 넣으면 돼요?

쌤

안 돼요. 공식의

(x_1,\ y_1)

은 접점 자리라서 곡선 위의 점만 들어갈 수 있어요. 곡선 밖의 점은 접선이 지나는 점으로만 써요.

곡선 밖의 점

A

에서 그은 접선

1
접점을 $(x_1,\ y_1)$ 로 놓고 접선의 방정식을 써요.
곡선 위의 점에서의 접선 공식
2
접선이 점 $A$ 를 지나므로 $A$ 의 좌표를 넣어요.
$x_1$ , $y_1$ 에 대한 첫째 식
3
접점이 곡선 위에 있으므로 곡선의 방정식에 $(x_1,\ y_1)$ 을 넣어요.
둘째 식
4
두 식을 연립하여 접점을 구하고, 접선의 방정식에 넣어요.

점

A(-1,\ 0)

에서 포물선

y^2=4x

에 그은 접선

y_1y=2(x+x_1)

↳◀접점

(x_1,\ y_1)

에서의 접선

0=2(-1+x_1)\ \Rightarrow\ x_1=1

↳◀점

(-1,\ 0)

을 지나요

y_1^2=4x_1=4,\quad y_1=\pm2

↳◀접점은 곡선 위

(1,\ 2):\ 2y=2(x+1),\quad y=x+1

(1,\ -2):\ -2y=2(x+1),\quad y=-x-1

점

A(-1,\ 0)

에서 포물선

y^2=4x

에 그은 두 접선과 접점

T(1,\ 2)

T'(1,\ -2)

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

점

A(-2,\ 0)

에서 포물선

y^2=8x

에 그은 접선의 접점의

x

좌표는?

자세히 보기펼치기왜 그런지

기울기를 $m$ 으로 놓고 「 $y=mx+n$ 이 점 $A$ 를 지난다」와 「접할 조건」을 연립하는 방법도 있어요. 다만 이 방법은 $y$ 축에 평행한 접선( $x=k$ 꼴)을 놓칠 수 있으므로, 접점을 $(x_1,\ y_1)$ 로 놓는 방법이 더 안전해요.
같은 접선을 음함수의 미분으로도 구할 수 있어요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1포물선 $y^2=4px$ 위의 점 $(x_1,\ y_1)$ 에서의 접선은 $y_1y=2p(x+x_1)$ 이다.
2타원 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $(x_1,\ y_1)$ 에서의 접선은 $\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$ 이다.
3쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $(x_1,\ y_1)$ 에서의 접선은 $\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1$ 이다.
4곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 $(x_1,\ y_1)$ 로 놓고, 접선이 그 점을 지난다는 조건과 접점이 곡선 위에 있다는 조건을 연립한다.

✗ 자주 하는 실수

포물선 $y^2=4px$ 위의 점에서의 접선을 $y_1y=4p(x+x_1)$ 로 써요. 바른 공식은 $y_1y=2p(x+x_1)$ 이에요.
쌍곡선 위의 점에서의 접선에서 $y_1y$ 항의 부호를 $+$ 로 써요.
곡선 밖의 점에서 그은 접선을 구할 때 주어진 점을 그대로 $(x_1,\ y_1)$ 에 넣어요. 주어진 점은 곡선 위의 점이 아니므로 접점을 따로 놓아야 해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
포물선 $y^2=8x$ 위의 점 $(2,\ -4)$ 에서의 접선의 방정식을 구하시오.
예제 2
쌍곡선 $2x^2-y^2=1$ 위의 점 $(1,\ 1)$ 에서의 접선의 방정식을 구하시오.
예제 3
점 $(0,\ 1)$ 에서 포물선 $y^2=4x$ 에 그은 접선의 방정식을 모두 구하시오.

다음 공부

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← 이차곡선과 직선, 기울기가 주어진 접선 직선과 평면의 위치 관계 →

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