수학 개념 노트전체 과목

사각형의 성질

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
평행사변형은 대변과 대각이 각각 같고 두 대각선이 서로를 이등분해요. 직사각형·마름모·정사각형·등변사다리꼴의 성질과 사각형 사이의 관계를 알고, 평행선 사이에서 밑변이 같은 삼각형의 넓이가 같음을 이용해요.
  1. 1평행사변형의 뜻과 성질
  2. 2평행사변형이 되는 조건
  3. 3평행사변형과 넓이
  4. 4여러 가지 사각형
  5. 5사각형 사이의 관계
  6. 6평행선과 넓이
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1평행사변형의 뜻과 성질

정의평행사변형
사각형 ABCDABCD 를 기호로 □ABCD\square ABCD 와 같이 나타낸다. 사각형에서 마주 보는 변을 대변, 마주 보는 각을 대각이라 한다.
두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 평행사변형이라 한다.
□ABCD\square ABCD 가 평행사변형이면
AB‾∥DC‾\overline{AB}\parallel\overline{DC}
AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC}
공식평행사변형의 성질 (두 대각선의 교점 OO)
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다
AB‾=DC‾, AD‾=BC‾\displaystyle \overline{AB}=\overline{DC},\ \overline{AD}=\overline{BC}
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다
∠A=∠C, ∠B=∠D\displaystyle \angle A=\angle C,\ \angle B=\angle D
두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다
OA‾=OC‾, OB‾=OD‾\displaystyle \overline{OA}=\overline{OC},\ \overline{OB}=\overline{OD}
이웃한 두 내각의 크기의 합
∠A+∠B=180∘\displaystyle \angle A+\angle B=180^\circ
AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 이므로 ∠A\angle A 와 ∠B\angle B 의 외각은 엇각으로 크기가 같다.
학생
평행사변형의 성질은 왜 성립해요?
쌤
대각선 하나를 그으면 평행선의 엇각이 같아서 두 삼각형이 ASA 합동이 돼요. 그래서 대변의 길이와 대각의 크기가 각각 같아요.
대변의 길이, 대각의 크기가 각각 같다
ABCD
두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다
ABCDO

두 대각선은 서로 다른 것을 이등분 하므로, 대각선의 교점 OO 는 두 대각선의 중점이에요. 예를 들어 AC‾=10\overline{AC}=10, BD‾=14\overline{BD}=14 이면 OA‾=5\overline{OA}=5, OB‾=7\overline{OB}=7 이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
평행사변형 ABCDABCD 에서 ∠A=110∘\angle A=110^\circ 일 때 ∠B\angle B 의 크기는?
대각선의 길이
✗ 틀린 풀이
평행사변형의 두 대각선은 길이가 같다.
왜 틀렸나 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하지만, 길이가 같다는 성질은 없다.
✓ 바른 풀이
평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분할 뿐, 길이는 다를 수 있다.
두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이에요.
자세히 보기펼치기그림왜 그런지예제 3
평행사변형 ABCDABCD
ABCD

대변과 대각은 왜 같을까요? 대각선 ACAC 를 긋고 평행선의 엇각과 ASA 합동을 써요.

△ABC\triangle ABC 와 △CDA\triangle CDA
∠BAC=∠DCA\angle BAC=\angle DCA
↳AB‾∥DC‾\overline{AB}\parallel\overline{DC} 의 엇각
∠BCA=∠DAC\angle BCA=\angle DAC
↳AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 의 엇각
AC‾ 공통 ⇒ △ABC≡△CDA\overline{AC}\ \text{공통}\ \Rightarrow\ \triangle ABC\equiv\triangle CDA
↳ASA 합동
AB‾=CD‾, BC‾=DA‾\overline{AB}=\overline{CD},\ \overline{BC}=\overline{DA}
↳대응변
∠B=∠D\angle B=\angle D
↳대응각
∠A=∠BAC+∠CAD\angle A=\angle BAC+\angle CAD
=∠DCA+∠BCA=∠C=\angle DCA+\angle BCA=\angle C
↳엇각끼리 바꿔요
△ABC≡△CDA\triangle ABC\equiv\triangle CDA (ASA 합동)
ABCD
같은 표시의 각은 엇각
두 대각선이 서로를 이등분하는 이유
AB‾=CD‾\overline{AB}=\overline{CD}
↳대변의 길이
∠OAB=∠OCD, ∠OBA=∠ODC\angle OAB=\angle OCD,\ \angle OBA=\angle ODC
↳엇각
△OAB≡△OCD\triangle OAB\equiv\triangle OCD
↳ASA 합동
OA‾=OC‾, OB‾=OD‾\overline{OA}=\overline{OC},\ \overline{OB}=\overline{OD}
↳대응변
△OAB≡△OCD\triangle OAB\equiv\triangle OCD (ASA 합동)
ABCDO
성질 쓰기
AB‾=2x+1\overline{AB}=2x+1, DC‾=x+5\overline{DC}=x+5, ∠A=110∘\angle A=110^\circ
2x+1=x+5 → x=42x+1=x+5\ \to\ x=4
↳대변의 길이가 같아요
AB‾=2×4+1=9\overline{AB}=2\times4+1=9
∠C=∠A=110∘\angle C=\angle A=110^\circ
↳대각의 크기가 같아요
∠B=180∘−110∘=70∘\angle B=180^\circ-110^\circ=70^\circ
↳이웃한 두 각의 합 180∘180^\circ
2x+1x+5110°??ABCD
AC‾=10\overline{AC}=10, BD‾=14\overline{BD}=14
5577ABCDO

2평행사변형이 되는 조건

사각형이 다음 중 어느 하나를 만족하면 평행사변형이에요. 첫째는 뜻이고, 나머지는 평행사변형의 성질을 거꾸로 쓴 거예요.

공식평행사변형이 되는 조건
두 쌍의 대변이 각각 평행하다
AB‾∥DC‾, AD‾∥BC‾\displaystyle \overline{AB}\parallel\overline{DC},\ \overline{AD}\parallel\overline{BC}
뜻
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다
AB‾=DC‾, AD‾=BC‾\displaystyle \overline{AB}=\overline{DC},\ \overline{AD}=\overline{BC}
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다
∠A=∠C, ∠B=∠D\displaystyle \angle A=\angle C,\ \angle B=\angle D
두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다
OA‾=OC‾, OB‾=OD‾\displaystyle \overline{OA}=\overline{OC},\ \overline{OB}=\overline{OD}
한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다
AD‾∥BC‾, AD‾=BC‾\displaystyle \overline{AD}\parallel\overline{BC},\ \overline{AD}=\overline{BC}
평행한 변과 길이가 같은 변이 같은 한 쌍이어야 한다.
AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC}, AD‾=BC‾\overline{AD}=\overline{BC}
ABCD
학생
한 쌍의 대변만 볼 때는 왜 평행과 길이를 둘 다 봐야 해요?
쌤
한 쌍이 평행하기만 하면 사다리꼴일 수 있고, 한 쌍의 길이만 같아도 평행사변형이 아닌 모양이 생겨요. 평행하면서 길이도 같아야 평행사변형이 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 □ABCD\square ABCD 가 항상 평행사변형인 것은?
조건을 섞으면 안 된다
✗ 틀린 풀이
AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 이고 AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC} 이면 평행사변형이다.
왜 틀렸나 평행사변형이 되기 위해서는 두 쌍이 평행하거나, 한 쌍이 평행하면서 그 한 쌍의 길이가 같아야 한다.
✓ 바른 풀이
한 쌍은 평행하고 다른 한 쌍은 길이가 같으면 평행사변형이 아닐 수 있다.
반례: 네 점 A(1, 2)A(1,\ 2), B(0, 0)B(0,\ 0), C(4, 0)C(4,\ 0), D(3, 2)D(3,\ 2) 로 만든 사각형
이 반례에서 AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 이고 AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC} 이지만 AD‾=2\overline{AD}=2, BC‾=4\overline{BC}=4 인 등변사다리꼴이에요.
-112345-1123xyOABCD
AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC}, AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC} 이지만 평행사변형이 아니에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2그림

한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 왜 평행사변형일까요? AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC}, AD‾=BC‾\overline{AD}=\overline{BC} 라 하고 대각선 ACAC 를 그어요.

△ABC\triangle ABC 와 △CDA\triangle CDA
BC‾=DA‾, ∠BCA=∠DAC\overline{BC}=\overline{DA},\ \angle BCA=\angle DAC
↳조건, 엇각
AC‾ 공통 ⇒ △ABC≡△CDA\overline{AC}\ \text{공통}\ \Rightarrow\ \triangle ABC\equiv\triangle CDA
↳SAS 합동
∠BAC=∠DCA\angle BAC=\angle DCA
↳대응각
AB‾∥DC‾\overline{AB}\parallel\overline{DC}
↳엇각이 같으므로
두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이에요.
△ABC≡△CDA\triangle ABC\equiv\triangle CDA (SAS 합동)
ABCD
예조건 확인하기
□ABCD\square ABCD 의 두 대각선의 교점을 OO 라 해요.
OA‾=OC‾=5\overline{OA}=\overline{OC}=5 이고 OB‾=OD‾=3\overline{OB}=\overline{OD}=3 이면 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이에요.
∠A=100∘\angle A=100^\circ, ∠B=80∘\angle B=80^\circ, ∠C=100∘\angle C=100^\circ 이면
사각형의 네 내각의 합은 360∘360^\circ 이므로 ∠D=360∘−(100∘+80∘+100∘)=80∘\angle D=360^\circ-(100^\circ+80^\circ+100^\circ)=80^\circ
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이에요.
5533ABCDO

3평행사변형과 넓이

성질대각선과 넓이
평행사변형 ABCDABCD 에서 한 대각선은 넓이를 이등분한다.
△ABC=△CDA=12□ABCD\triangle ABC=\triangle CDA=\frac{1}{2}\square ABCD
두 대각선의 교점을 OO 라 하면 두 대각선은 넓이를 사등분한다.
△OAB=△OBC=△OCD=△ODA=14□ABCD\triangle OAB=\triangle OBC=\triangle OCD=\triangle ODA=\frac{1}{4}\square ABCD
ABCDO
네 삼각형의 넓이는 모두 14□ABCD\frac{1}{4}\square ABCD
학생
네 삼각형은 모양이 다른데 왜 넓이가 같아요?
쌤
두 대각선이 서로를 이등분해서 이웃한 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고 높이도 같아요. 그래서 모양은 달라도 넓이가 같아요.
성질내부의 한 점과 넓이
평행사변형 ABCDABCD 의 내부의 한 점 PP 에 대하여△PAB+△PCD=△PDA+△PBC=12□ABCD\triangle PAB+\triangle PCD=\triangle PDA+\triangle PBC=\frac{1}{2}\square ABCD
예내부의 한 점
넓이가 4040 인 평행사변형 ABCDABCD 의 내부의 한 점 PP 에 대하여 △PAB=12\triangle PAB=12 이면
△PCD=12×40−12=8\triangle PCD=\frac{1}{2}\times40-12=8
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
넓이가 4848 인 평행사변형 ABCDABCD 의 두 대각선의 교점을 OO 라 할 때 △OAB\triangle OAB 의 넓이는?
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

왜 그런가요? OA‾=OC‾\overline{OA}=\overline{OC} 이므로 △OAB\triangle OAB 와 △OBC\triangle OBC 는 밑변의 길이와 높이가 각각 같아요. 나머지도 같은 방법으로 보여요.

왜 그런가요? AB‾\overline{AB} 와 DC‾\overline{DC} 사이의 거리를 hh 라 하면 △PAB\triangle PAB 와 △PCD\triangle PCD 의 높이 h1h_1, h2h_2 의 합이 hh 예요. 또 AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC} 예요.
△PAB+△PCD=12AB‾ h1+12AB‾ h2=12AB‾ h=12□ABCD\triangle PAB+\triangle PCD=\frac{1}{2}\overline{AB}\,h_1+\frac{1}{2}\overline{AB}\,h_2=\frac{1}{2}\overline{AB}\,h=\frac{1}{2}\square ABCD

ABCDP
파란 두 삼각형의 높이의 합 == 두 변 AB‾\overline{AB}, DC‾\overline{DC} 사이의 거리
12?ABCDP
□ABCD=40\square ABCD=40

4여러 가지 사각형

정의직사각형, 마름모, 정사각형, 등변사다리꼴
직사각형: 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형
마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
정사각형: 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형
사다리꼴: 한 쌍의 대변이 평행한 사각형
등변사다리꼴: 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴
직사각형마름모정사각형등변사다리꼴
학생
직사각형과 마름모는 평행사변형과 뭐가 달라요?
쌤
둘 다 평행사변형이라 그 성질을 모두 가져요. 여기에 직사각형은 두 대각선의 길이가 같고, 마름모는 두 대각선이 수직이라는 성질이 더해져요.
공식대각선의 성질 (두 대각선의 교점 OO)
직사각형
AC‾=BD‾, OA‾=OB‾=OC‾=OD‾\displaystyle \overline{AC}=\overline{BD},\ \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OD}
두 대각선은 길이가 같고 서로 다른 것을 이등분한다.
마름모
AC‾⊥BD‾, OA‾=OC‾, OB‾=OD‾\displaystyle \overline{AC}\perp\overline{BD},\ \overline{OA}=\overline{OC},\ \overline{OB}=\overline{OD}
두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.
정사각형
AC‾=BD‾, AC‾⊥BD‾\displaystyle \overline{AC}=\overline{BD},\ \overline{AC}\perp\overline{BD}
두 대각선은 길이가 같고 서로 다른 것을 수직이등분한다.
등변사다리꼴
AB‾=DC‾, AC‾=DB‾\displaystyle \overline{AB}=\overline{DC},\ \overline{AC}=\overline{DB}
AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 일 때, 평행하지 않은 두 변의 길이가 같고 두 대각선의 길이가 같다.
공식평행사변형이 특별한 사각형이 되는 조건
직사각형
∠A=90∘ 또는 AC‾=BD‾\displaystyle \angle A=90^\circ\ \text{또는}\ \overline{AC}=\overline{BD}
한 내각이 직각이거나 두 대각선의 길이가 같다.
마름모
AB‾=AD‾ 또는 AC‾⊥BD‾\displaystyle \overline{AB}=\overline{AD}\ \text{또는}\ \overline{AC}\perp\overline{BD}
이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대각선이 수직이다.
정사각형
직사각형의 조건과 마름모의 조건\displaystyle \text{직사각형의 조건과 마름모의 조건}
두 조건을 모두 만족한다.

두 대각선의 성질로 판단할 때는 「길이가 같다」와 「수직이다」를 구별해요.
길이가 같으면 직사각형이 되고, 수직이면 마름모가 돼요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 대각선이 서로 수직인 평행사변형은?
대각선 조건 헷갈리기
✗ 틀린 풀이
평행사변형 ABCDABCD 에서 AC‾=BD‾\overline{AC}=\overline{BD} 이면 마름모이다.
왜 틀렸나 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형, 두 대각선이 수직이면 마름모가 된다.
✓ 바른 풀이
평행사변형 ABCDABCD 에서 AC‾=BD‾\overline{AC}=\overline{BD} 이면 직사각형이다.
AC‾⊥BD‾\overline{AC}\perp\overline{BD} 이면 마름모이다.
가로 66, 세로 44 인 직사각형은 두 대각선의 길이가 같지만 네 변의 길이가 같지 않아요.
자세히 보기펼치기성질 더 보기그림
성질직사각형의 대각선의 길이가 같은 이유
△ABC\triangle ABC 와 △DCB\triangle DCB 에서
AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC}
∠ABC=∠DCB=90∘\angle ABC=\angle DCB=90^\circ
BC‾\overline{BC} 는 공통
따라서 △ABC≡△DCB\triangle ABC\equiv\triangle DCB (SAS 합동)이므로
AC‾=DB‾\overline{AC}=\overline{DB}
성질마름모의 대각선이 수직인 이유
△ABO\triangle ABO 와 △ADO\triangle ADO 에서
AB‾=AD‾\overline{AB}=\overline{AD}
BO‾=DO‾\overline{BO}=\overline{DO}
AO‾\overline{AO} 는 공통
따라서 △ABO≡△ADO\triangle ABO\equiv\triangle ADO (SSS 합동)이므로 ∠AOB=∠AOD\angle AOB=\angle AOD
두 각의 합이 180∘180^\circ 이므로
∠AOB=∠AOD=90∘\angle AOB=\angle AOD=90^\circ
성질등변사다리꼴의 성질의 이유
AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC}, ∠B=∠C\angle B=\angle C 인 등변사다리꼴 ABCDABCD 에서 점 DD 를 지나고 AB‾\overline{AB} 에 평행한 직선이 BC‾\overline{BC} 와 만나는 점을 EE 라 하자.
□ABED\square ABED 는 평행사변형이므로
AB‾=DE‾\overline{AB}=\overline{DE}
∠DEC=∠B\angle DEC=\angle B (동위각) 이고 ∠B=∠C\angle B=\angle C 이므로 △DEC\triangle DEC 는 이등변삼각형이다.
DE‾=DC‾\overline{DE}=\overline{DC}
따라서 AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC}
또 △ABC≡△DCB\triangle ABC\equiv\triangle DCB (SAS 합동)이므로 AC‾=DB‾\overline{AC}=\overline{DB}
ABCDE
□ABED\square ABED 는 평행사변형, △DEC\triangle DEC 는 이등변삼각형

5사각형 사이의 관계

성질포함 관계
정사각형은 직사각형이면서 마름모이다.
직사각형과 마름모는 평행사변형이다.
평행사변형은 사다리꼴이다.
거꾸로는 성립하지 않는다. 예를 들어 마름모가 모두 정사각형인 것은 아니다.
사각형 사이의 포함 관계
평행사변형직사각형마름모
정사각형
정사각형은 두 원이 겹친 곳, 곧 직사각형이면서 마름모예요. 두 원 모두 평행사변형 안에 있고, 평행사변형은 다시 사다리꼴에 들어가요.
학생
사다리꼴은 왜 평행사변형보다 넓은 범위예요?
쌤
사다리꼴은 한 쌍의 대변만 평행하면 돼요. 평행사변형은 두 쌍이 모두 평행하니 사다리꼴의 조건을 당연히 만족해요. 조건이 적을수록 더 많은 사각형이 들어가요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 옳은 것은?
포함 관계를 거꾸로 읽기
✗ 틀린 풀이
정사각형이 마름모이므로 마름모는 정사각형이다.
왜 틀렸나 정사각형은 마름모의 성질을 모두 갖지만, 마름모가 정사각형이 되기 위해서는 네 각이 직각이어야 한다.
✓ 바른 풀이
정사각형은 마름모이지만, 마름모는 정사각형이 아닐 수 있다.
네 변의 길이가 같아도 네 각이 90∘90^\circ 가 아닌 마름모가 있어요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

사각형에 조건을 하나씩 더하면 그림처럼 특별한 사각형이 돼요.

사다리꼴평행사변형직사각형마름모정사각형
  • ①사다리꼴 + 나머지 한 쌍의 대변도 평행 → 평행사변형
  • ②평행사변형 + 한 내각이 직각(또는 두 대각선의 길이가 같음) → 직사각형
  • ③평행사변형 + 이웃하는 두 변의 길이가 같음(또는 두 대각선이 수직) → 마름모
  • ④직사각형 + 이웃하는 두 변의 길이가 같음 → 정사각형
  • ⑤마름모 + 한 내각이 직각 → 정사각형
오른쪽으로 갈수록 조건이 더해져요. 정사각형은 직사각형이면서 마름모예요.

6평행선과 넓이

성질밑변이 같고 높이가 같은 삼각형
두 직선 ll, mm 이 평행할 때, ll 위의 두 점 AA, DD 와 mm 위의 두 점 BB, CC 에 대하여△ABC=△DBC\triangle ABC=\triangle DBC밑변 BC‾\overline{BC} 가 공통이고, 높이가 두 평행선 사이의 거리로 같기 때문이다.
lmADBC
△ABC=△DBC\triangle ABC=\triangle DBC
학생
이 성질은 언제 써요?
쌤
넓이를 바꾸지 않고 삼각형의 꼭짓점을 평행선을 따라 옮길 때 써요. 넓이를 구하기 어려운 삼각형을 밑변과 높이가 같은 쉬운 삼각형으로 바꿔 구할 수 있어요.
성질높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비
높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.
점 DD 가 BC‾\overline{BC} 위에 있고 BD‾:DC‾=m:n\overline{BD}:\overline{DC}=m:n 이면 △ABD\triangle ABD 와 △ADC\triangle ADC 는 높이가 같으므로
△ABD:△ADC=m:n\triangle ABD:\triangle ADC=m:n
△ABD=△ABC×mm+n\triangle ABD=\triangle ABC\times\frac{m}{m+n}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
넓이가 3030 인 △ABC\triangle ABC 에서 점 DD 가 BC‾\overline{BC} 위에 있고 BD‾:DC‾=1:2\overline{BD}:\overline{DC}=1:2 일 때 △ABD\triangle ABD 의 넓이는?
비의 분모
✗ 틀린 풀이
BD‾:DC‾=2:3\overline{BD}:\overline{DC}=2:3 이면
△ABD=40×23\triangle ABD=40\times\frac{2}{3}
왜 틀렸나 BD‾\overline{BD} 가 전체 BC‾\overline{BC} 에서 차지하는 비율은 mm+n\frac{m}{m+n} 이므로 분모는 m+nm+n 이다.
✓ 바른 풀이
BD‾\overline{BD} 는 BC‾\overline{BC} 의 22+3\frac{2}{2+3} 이므로
△ABD=40×25=16\triangle ABD=40\times\frac{2}{5}=16
검산: △ABD=16\triangle ABD=16, △ADC=24\triangle ADC=24 이므로 합이 4040 이고 비가 2:32:3 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

즉 AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 이면 △ABC=△DBC\triangle ABC=\triangle DBC 이에요.
사다리꼴 ABCDABCD (AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC}) 의 두 대각선의 교점을 OO 라 하면 공통 부분 △OBC\triangle OBC 를 빼서
△ABO=△ABC−△OBC=△DBC−△OBC=△DOC\triangle ABO=\triangle ABC-\triangle OBC=\triangle DBC-\triangle OBC=\triangle DOC

ABCDO
△ABO=△DOC\triangle ABO=\triangle DOC
mnABCD
△ABD:△ADC=m:n\triangle ABD:\triangle ADC=m:n
예넓이의 비
△ABC\triangle ABC 의 넓이가 4040 이고 점 DD 가 BC‾\overline{BC} 위에 있으며 BD‾:DC‾=2:3\overline{BD}:\overline{DC}=2:3 이면
△ABD=40×25=16\triangle ABD=40\times\frac{2}{5}=16
△ADC=40×35=24\triangle ADC=40\times\frac{3}{5}=24
231624ABCD
△ABC=40\triangle ABC=40
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이고, 두 쌍의 대변의 길이와 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으며, 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
  2. 2직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하며, 정사각형은 두 성질을 모두 가진다.
  3. 3정사각형은 직사각형이면서 마름모이고, 직사각형과 마름모는 평행사변형이며, 평행사변형은 사다리꼴이다.
  4. 4AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 이면 △ABC=△DBC\triangle ABC=\triangle DBC 이다. 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.
✗ 자주 하는 실수
  • 평행사변형의 두 대각선의 길이가 같다고 생각해요(길이가 같은 것은 직사각형이에요).
  • 한 쌍의 대변이 평행하고 다른 한 쌍의 대변의 길이가 같으면 평행사변형이라고 판단해요(등변사다리꼴일 수 있어요).
  • BD‾:DC‾=m:n\overline{BD}:\overline{DC}=m:n 일 때 △ABD=△ABC×mn\triangle ABD=\triangle ABC\times\frac{m}{n} 으로 계산해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    평행사변형 ABCDABCD 에서 ∠A:∠B=2:1\angle A:\angle B=2:1 일 때, ∠C\angle C 와 ∠D\angle D 의 크기를 각각 구하시오.
    ??ABCD
  2. 예제 2
    직사각형 ABCDABCD 에서 두 대각선의 교점을 OO 라 하자. AC‾=12\overline{AC}=12, ∠OAB=35∘\angle OAB=35^\circ 일 때, OB‾\overline{OB} 의 길이와 ∠AOD\angle AOD 의 크기를 각각 구하시오.
    35°12??ABCDO
    AC‾=12\overline{AC}=12
  3. 예제 3
    AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 인 사다리꼴 ABCDABCD 에서 두 대각선의 교점을 OO 라 하자. △ABC=30\triangle ABC=30, △OBC=18\triangle OBC=18 일 때, △DOC\triangle DOC 의 넓이를 구하시오.
    18?ABCDO

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