수학 개념 노트전체 과목

공간좌표

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
좌표공간의 점은 세 실수의 순서쌍 (a, b, c)(a,\ b,\ c) 로 나타내요. 두 점 사이의 거리, 선분의 내분점, 삼각형의 무게중심은 좌표평면의 공식에 zz좌표를 하나 더 붙인 꼴이에요.
  1. 1좌표공간과 점의 좌표
  2. 2대칭인 점의 좌표
  3. 3두 점 사이의 거리
  4. 4선분의 내분점
  5. 5삼각형의 무게중심
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1좌표공간과 점의 좌표

정의좌표공간
공간의 한 점 O 에서 서로 수직인 세 수직선을 그어 각각 xx축, yy축, zz축이라 하고, 이들을 통틀어 좌표축이라 한다. 점 O 는 원점이다.
두 좌표축을 포함하는 평면을 좌표평면이라 한다. xx축과 yy축을 포함하는 좌표평면, yy축과 zz축을 포함하는 좌표평면, zz축과 xx축을 포함하는 좌표평면의 세 개가 있다.
좌표축과 좌표평면이 정해진 공간을 좌표공간이라 한다.
정의점의 좌표
좌표공간의 점 P 를 지나고 xx축, yy축, zz축에 각각 수직인 평면이 세 축과 만나는 점의 좌표를 각각 aa, bb, cc 라 할 때, 세 실수의 순서쌍 (a, b, c)(a,\ b,\ c) 를 점 P 의 좌표 라 하고 P(a, b, c)\mathrm{P}(a,\ b,\ c) 로 나타낸다.
원점은 O(0, 0, 0)\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0) 이다.
학생
좌표평면의 점 (a, b)(a,\ b) 와는 뭐가 달라요?
쌤
zz좌표가 하나 더 붙어서 세 수 (a, b, c)(a,\ b,\ c) 로 나타내요. 예를 들어 xx축과 yy축을 포함하는 좌표평면 위의 점은 zz좌표가 00 이에요.
xyzOabc(a, b, c)P
점 P 를 지나고 각 좌표축에 수직인 평면이 xx축, yy축, zz축과 만나는 점의 좌표가 각각 aa, bb, cc 이에요.
공식좌표축·좌표평면 위의 점
xx축 위
(a, 0, 0)\displaystyle (a,\ 0,\ 0)
yy좌표, zz좌표가 00
yy축 위
(0, b, 0)\displaystyle (0,\ b,\ 0)
zz축 위
(0, 0, c)\displaystyle (0,\ 0,\ c)
xx축과 yy축을 포함하는 좌표평면 위
(a, b, 0)\displaystyle (a,\ b,\ 0)
zz좌표가 00
yy축과 zz축을 포함하는 좌표평면 위
(0, b, c)\displaystyle (0,\ b,\ c)
xx좌표가 00
zz축과 xx축을 포함하는 좌표평면 위
(a, 0, c)\displaystyle (a,\ 0,\ c)
yy좌표가 00
성질수선의 발
점 P(a, b, c)\mathrm{P}(a,\ b,\ c) 에서
xx축과 yy축을 포함하는 좌표평면에 내린 수선의 발은 (a, b, 0)(a,\ b,\ 0)
xx축에 내린 수선의 발은 (a, 0, 0)(a,\ 0,\ 0)
기준에 없는 문자의 좌표를 00 으로 바꾸면 된다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 P(2, −1, 3)\mathrm{P}(2,\ -1,\ 3) 에서 yy축에 내린 수선의 발은?
축에 내린 수선의 발
✗ 틀린 풀이
점 P(3, −1, 5)\mathrm{P}(3,\ -1,\ 5) 에서 xx축에 내린 수선의 발은 (0, −1, 5)(0,\ -1,\ 5)
왜 틀렸나 xx 축 위의 점은 yy 좌표와 zz 좌표가 00 이므로 수선의 발은 xx 좌표만 남긴다.
✓ 바른 풀이
점 P(3, −1, 5)\mathrm{P}(3,\ -1,\ 5) 에서 xx축에 내린 수선의 발은 (3, 0, 0)(3,\ 0,\ 0)
xx축 위의 점은 yy좌표와 zz좌표가 00 이에요.
(0, −1, 5)(0,\ -1,\ 5) 는 yy축과 zz축을 포함하는 좌표평면에 내린 수선의 발이에요.

2대칭인 점의 좌표

공식점 P(a, b, c)\mathrm{P}(a,\ b,\ c) 와 대칭인 점
xx축과 yy축을 포함하는 좌표평면
(a, b, −c)\displaystyle (a,\ b,\ -c)
yy축과 zz축을 포함하는 좌표평면
(−a, b, c)\displaystyle (-a,\ b,\ c)
zz축과 xx축을 포함하는 좌표평면
(a, −b, c)\displaystyle (a,\ -b,\ c)
xx축
(a, −b, −c)\displaystyle (a,\ -b,\ -c)
yy축
(−a, b, −c)\displaystyle (-a,\ b,\ -c)
zz축
(−a, −b, c)\displaystyle (-a,\ -b,\ c)
원점
(−a, −b, −c)\displaystyle (-a,\ -b,\ -c)
성질외우는 규칙
기준(좌표평면 또는 좌표축)에 들어 있는 문자의 좌표는 그대로, 나머지 좌표는 부호를 바꾼다.
좌표평면에 대한 대칭: 한 개의 부호가 바뀐다.
좌표축에 대한 대칭: 두 개의 부호가 바뀐다.
원점에 대한 대칭: 세 개의 부호가 모두 바뀐다.
학생
좌표축에 대한 대칭이랑 좌표평면에 대한 대칭이 헷갈려요.
쌤
좌표평면에 대한 대칭은 그 평면에 없는 문자 하나만 부호가 바뀌어요. xx축에 대한 대칭은 xx좌표만 남고 나머지 두 개가 바뀌어서 (a, −b, −c)(a,\ -b,\ -c) 예요.
xyzO(a, b, c)(a, b, -c)PQ
xx축과 yy축을 포함하는 좌표평면에 대하여 대칭이면 xx좌표, yy좌표는 그대로이고, 중점의 zz좌표가 00 이므로 zz좌표의 부호만 바뀌어요.
점 P(2, −3, 4)\mathrm{P}(2,\ -3,\ 4) 와 대칭인 점
(2, −3, −4)(2,\ -3,\ -4)
↳xx축과 yy축을 포함하는 좌표평면
(−2, −3, 4)(-2,\ -3,\ 4)
↳yy축과 zz축을 포함하는 좌표평면
(2, 3, 4)(2,\ 3,\ 4)
↳zz축과 xx축을 포함하는 좌표평면
(2, 3, −4)(2,\ 3,\ -4)
↳xx축
(−2, −3, −4)(-2,\ -3,\ -4)
↳yy축
(−2, 3, 4)(-2,\ 3,\ 4)
↳zz축
(−2, 3, −4)(-2,\ 3,\ -4)
↳원점
기준에 들어 있는 문자의 좌표는 그대로, 나머지는 부호가 바뀌어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (1, 2, −3)(1,\ 2,\ -3) 을 yy축에 대하여 대칭이동한 점은?
축에 대한 대칭은 두 좌표가 바뀐다
✗ 틀린 풀이
점 (2, −3, 4)(2,\ -3,\ 4) 를 xx축에 대하여 대칭이동하면 (2, 3, 4)(2,\ 3,\ 4)
왜 틀렸나 공간에서 xx 축에 대하여 대칭이동하면 yy 좌표와 zz 좌표의 부호가 모두 바뀐다.
✓ 바른 풀이
점 (2, −3, 4)(2,\ -3,\ 4) 를 xx축에 대하여 대칭이동하면 (2, 3, −4)(2,\ 3,\ -4)
xx 축 위의 점은 그대로이고, xx 축을 중심으로 반 바퀴 돌린 것이므로 xx 좌표만 그대로이다.
검산: 두 점의 중점 (2, 0, 0)(2,\ 0,\ 0) 이 xx 축 위에 있다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

이유: 두 점 P, Q 가 어떤 좌표평면에 대하여 대칭이면 선분 PQ 의 중점이 그 평면 위에 있고, PQ 는 그 평면에 수직이에요.
좌표축에 대한 대칭이면 중점이 그 축 위에 있으므로 그 축의 좌표만 남고 나머지 두 좌표의 부호가 바뀌어요.

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2xx 만 그대로
\text{xx축 대칭}=(a,\ \square,\ \square)
단계 1 / 2yy, zz 는 그대로
\text{yy축과 zz축을 포함하는 좌표평면 대칭}=(\square,\ b,\ c)
단계 1 / 2
원점 대칭=(□, □, □)\text{원점 대칭}=(\square,\ \square,\ \square)

3두 점 사이의 거리

성질두 점 사이의 거리
두 점 A(x1, y1, z1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1), B(x2, y2, z2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2,\ z_2) 사이의 거리는AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}특히 원점 O 와 점 P(a, b, c)\mathrm{P}(a,\ b,\ c) 사이의 거리는 OP‾=a2+b2+c2\overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}
|x₂-x₁||y₂-y₁||z₂-z₁|ABC
AB‾2=AC‾2+BC‾2=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\overline{\mathrm{AB}}^2=\overline{\mathrm{AC}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2
학생
왜 zz좌표의 차의 제곱을 하나 더 더하기만 하면 돼요?
쌤
피타고라스 정리를 두 번 쓴 거예요. 먼저 바닥에서 대각선의 길이를 구하고, 그 길이와 높이의 차 ∣z2−z1∣|z_2-z_1| 로 다시 빗변을 구해요.
두 점 A(1, −2, 3)\mathrm{A}(1,\ -2,\ 3), B(3, 0, 2)\mathrm{B}(3,\ 0,\ 2)
AB‾=(3−1)2+{0−(−2)}2+(2−3)2\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(3-1)^2+\{0-(-2)\}^2+(2-3)^2}
↳음수는 괄호째
=4+4+1=3=\sqrt{4+4+1}=3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 A(1, 2, −1)\mathrm{A}(1,\ 2,\ -1), B(3, 0, 1)\mathrm{B}(3,\ 0,\ 1) 사이의 거리는?
음수 좌표를 뺄 때는 괄호
✗ 틀린 풀이
A(1, 2, −1)\mathrm{A}(1,\ 2,\ -1), B(3, −1, 5)\mathrm{B}(3,\ -1,\ 5) 에서 AB‾=22+32+(5−1)2=29\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{2^2+3^2+(5-1)^2}=\sqrt{29}
왜 틀렸나 두 점 사이의 거리는 좌표의 차를 써야 하므로 음수 좌표는 괄호로 묶어 빼야 한다.
✓ 바른 풀이
AB‾=22+(−3)2+{5−(−1)}2=49=7\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{2^2+(-3)^2+\{5-(-1)\}^2}=\sqrt{49}=7
zz좌표의 차는 5−(−1)=65-(-1)=6 이에요.
음수를 뺄 때는 괄호로 묶어 부호를 확인해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지
이유
  1. 1
    점 C(x2, y2, z1)\mathrm{C}(x_2,\ y_2,\ z_1) 을 잡으면 A, C 는 zz좌표가 같은 평면 위에 있어요.
    A 와 높이가 같고 B 바로 아래에 있는 점이라 직각이 생겨요.
  2. 2
    좌표평면에서의 거리 공식과 같이 AC‾2=(x2−x1)2+(y2−y1)2\overline{\mathrm{AC}}^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2
  3. 3
    BC‾=∣z2−z1∣\overline{\mathrm{BC}}=|z_2-z_1| 이고 ∠ACB=90∘\angle\mathrm{ACB}=90^\circ 이므로 피타고라스 정리에 의해
    AB‾2=AC‾2+BC‾2\overline{\mathrm{AB}}^2=\overline{\mathrm{AC}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2

4선분의 내분점

성질선분의 내분점
두 점 A(x1, y1, z1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1), B(x2, y2, z2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2,\ z_2) 에 대하여 선분 AB 를 m:n (m>0, n>0)m:n\ (m>0,\ n>0) 으로 내분하는 점의 좌표는(mx2+nx1m+n, my2+ny1m+n, mz2+nz1m+n)\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \frac{my_2+ny_1}{m+n},\ \frac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)특히 선분 AB 의 중점의 좌표는 (x1+x22, y1+y22, z1+z22)\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2},\ \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)
학생
공간에서 내분점은 새 공식을 외워야 해요?
쌤
아니요. xx, yy, zz 좌표마다 수직선의 내분점 공식을 따로 쓰면 돼요. m:nm:n 에서 mm 은 B 의 좌표에, nn 은 A 의 좌표에 곱해요.
두 점 A(1, −2, 3)\mathrm{A}(1,\ -2,\ 3), B(4, 1, −3)\mathrm{B}(4,\ 1,\ -3) 에 대하여 선분 AB 를 2:12:1 로 내분하는 점
x: 2×4+1×12+1=3x:\ \dfrac{2\times4+1\times1}{2+1}=3
y: 2×1+1×(−2)2+1=0y:\ \dfrac{2\times1+1\times(-2)}{2+1}=0
z: 2×(−3)+1×32+1=−1z:\ \dfrac{2\times(-3)+1\times3}{2+1}=-1
(3, 0, −1)(3,\ 0,\ -1)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 A(1, 0, 2)\mathrm{A}(1,\ 0,\ 2), B(4, 3, −1)\mathrm{B}(4,\ 3,\ -1) 에 대하여 선분 AB 를 1:21:2 로 내분하는 점의 xx좌표는?
곱하는 짝
✗ 틀린 풀이
2:12:1 로 내분하는 점의 xx좌표 =2×1+1×43=2=\dfrac{2\times1+1\times4}{3}=2
왜 틀렸나 m:nm:n 으로 내분하는 점은 mm 을 B 의 좌표에, nn 을 A 의 좌표에 엇갈려 곱한다.
✓ 바른 풀이
2:12:1 로 내분하는 점의 xx좌표 =2×4+1×13=3=\dfrac{2\times4+1\times1}{3}=3
mm 은 B 의 좌표에, nn 은 A 의 좌표에 곱해요.
2:12:1 로 내분하는 점은 B 에 더 가까우므로 xx좌표가 44 에 더 가까워야 해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

이유: 세 점 A, B, P 에서 xx축과 yy축을 포함하는 좌표평면에 내린 수선의 발을 A′\mathrm{A'}, B′\mathrm{B'}, P′\mathrm{P'} 이라 하면, 평행선 사이의 선분의 길이의 비에 의해 P′\mathrm{P'} 은 선분 A′B′\mathrm{A'B'} 을 m:nm:n 으로 내분해요.
따라서 P 의 xx좌표, yy좌표는 좌표평면의 내분점 공식과 같아요. zz좌표도 같은 방법으로 얻어요.
즉 좌표마다 따로 수직선의 내분점 공식을 쓰면 돼요.

5삼각형의 무게중심

성질삼각형의 무게중심
세 점 A(x1, y1, z1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1), B(x2, y2, z2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2,\ z_2), C(x3, y3, z3)\mathrm{C}(x_3,\ y_3,\ z_3) 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 의 무게중심의 좌표는(x1+x2+x33, y1+y2+y33, z1+z2+z33)\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3},\ \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)
학생
좌표평면에서의 무게중심이랑 같은 방법이에요?
쌤
네. 세 꼭짓점의 좌표를 더해 33 으로 나누는 건 똑같고, zz좌표에도 같은 계산을 한 번 더 해요.
세 점 A(1, 2, 3)\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3), B(−2, 0, 4)\mathrm{B}(-2,\ 0,\ 4), C(4, 1, −1)\mathrm{C}(4,\ 1,\ -1)
(1−2+43, 2+0+13, 3+4−13)=(1, 1, 2)\left(\dfrac{1-2+4}{3},\ \dfrac{2+0+1}{3},\ \dfrac{3+4-1}{3}\right)=(1,\ 1,\ 2)
↳무게중심
x3=3×(무게중심의 x좌표)−x1−x2x_3=3\times(\text{무게중심의 }x\text{좌표})-x_1-x_2
↳무게중심 식의 양변에 33 을 곱해 이항
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
세 점 (2, 0, 1)(2,\ 0,\ 1), (−1, 3, 4)(-1,\ 3,\ 4), (5, 3, −2)(5,\ 3,\ -2) 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심은?
자세히 보기펼치기예제
이유
M(x2+x32, y2+y32, z2+z32)\mathrm{M}\left(\dfrac{x_2+x_3}{2},\ \dfrac{y_2+y_3}{2},\ \dfrac{z_2+z_3}{2}\right)
↳변 BC 의 중점
2×x2+x32+1×x12+1=x1+x2+x33\dfrac{2\times\frac{x_2+x_3}{2}+1\times x_1}{2+1}=\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}
↳무게중심은 중선 AM 을 2:12:1 로 내분
y, z 좌표도 같아요y,\ z\ \text{좌표도 같아요}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1좌표공간의 점 P 는 P(a, b, c)\mathrm{P}(a,\ b,\ c) 로 나타내고, aa, bb, cc 를 각각 xx좌표, yy좌표, zz좌표라 한다.
  2. 2대칭인 점: 기준이 되는 좌표평면이나 좌표축에 들어 있는 문자의 좌표는 그대로 두고, 나머지 좌표의 부호를 바꾼다.
  3. 3AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}
  4. 4m:nm:n 으로 내분하는 점 (mx2+nx1m+n, my2+ny1m+n, mz2+nz1m+n)\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \dfrac{my_2+ny_1}{m+n},\ \dfrac{mz_2+nz_1}{m+n}\right), 무게중심 (x1+x2+x33, y1+y2+y33, z1+z2+z33)\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3},\ \dfrac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)
✗ 자주 하는 실수
  • xx축에 대한 대칭점을 구할 때 좌표평면에서처럼 yy좌표만 부호를 바꿔요. yy좌표와 zz좌표의 부호를 모두 바꿔요.
  • 두 점 사이의 거리에서 음수 좌표를 뺄 때 괄호를 빠뜨려 부호를 틀려요.
  • m:nm:n 내분점에서 mm 을 A 의 좌표에 곱해요. mm 은 B 의 좌표에 곱해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    점 P(3, −2, 4)\mathrm{P}(3,\ -2,\ 4) 를 xx축에 대하여 대칭이동한 점을 Q, yy축과 zz축을 포함하는 좌표평면에 대하여 대칭이동한 점을 R 이라 할 때, 두 점 Q, R 의 좌표를 구하시오.
  2. 예제 2
    두 점 A(1, 2, −1)\mathrm{A}(1,\ 2,\ -1), B(3, −1, 5)\mathrm{B}(3,\ -1,\ 5) 사이의 거리를 구하시오.
  3. 예제 3
    두 점 A(−1, 2, 1)\mathrm{A}(-1,\ 2,\ 1), B(5, −1, 4)\mathrm{B}(5,\ -1,\ 4) 에 대하여 선분 AB 를 2:12:1 로 내분하는 점 P 와 선분 AB 의 중점 M 의 좌표를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 구의 방정식 →다음 개념: 위치벡터와 벡터의 성분 →
이전 개념: 직선과 평면의 위치 관계설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 두 점 사이의 거리, 중2 피타고라스 정리, 중2 평행선과 선분의 길이의 비, 공통수학2 선분의 내분점과 무게중심기하 목차
← 정사영구의 방정식 →
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