수학 개념 노트전체 과목

삼수선 정리와 이면각

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
평면 밖의 점 P 와 평면 위의 직선 ll 에 대하여 PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha, OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l 이면 PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l 이에요(삼수선 정리). 이면각의 크기는 교선 위의 한 점에서 두 면 위에 교선에 수직으로 그은 두 반직선이 이루는 각으로 재요.
  1. 1점과 평면 사이의 거리
  2. 2삼수선 정리
  3. 3이면각과 두 평면이 이루는 각
  4. 4이면각의 크기 구하기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1점과 평면 사이의 거리

정의점과 평면 사이의 거리
평면 α\alpha 밖의 점 P 에서 α\alpha 에 수선을 그어 만나는 점을 O 라 할 때, 점 O 를 점 P 에서 평면 α\alpha 에 내린 수선의 발이라 한다.
선분 PO 의 길이를 점 P 와 평면 α\alpha 사이의 거리라 한다.
학생
평면 위의 아무 점까지 잰 거리면 안 돼요?
쌤
안 돼요. 평면 위의 다른 점까지 잇는 선분은 모두 수선 PO 보다 길어요. 가장 짧은 PO 의 길이를 거리로 정한 거예요.
예직육면체 ABCD-EFGH 에서 (AB‾=3\overline{\mathrm{AB}}=3, AD‾=4\overline{\mathrm{AD}}=4, AE‾=5\overline{\mathrm{AE}}=5)
윗면은 ABCD, 아랫면은 EFGH 이고 AE, BF, CG, DH 는 옆모서리예요.
AE‾⊥EF‾\overline{\mathrm{AE}}\perp\overline{\mathrm{EF}}, AE‾⊥EH‾\overline{\mathrm{AE}}\perp\overline{\mathrm{EH}} 이므로 AE‾⊥\overline{\mathrm{AE}}\perp 평면 EFGH
따라서 점 A 와 평면 EFGH 사이의 거리는 AE‾=5\overline{\mathrm{AE}}=5
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
직육면체 ABCD-EFGH 에서 AB‾=3\overline{\mathrm{AB}}=3, AD‾=4\overline{\mathrm{AD}}=4, AE‾=5\overline{\mathrm{AE}}=5 일 때, 점 E 와 평면 BFGC 사이의 거리는?
자세히 보기펼치기왜 그런지

PO‾\overline{\mathrm{PO}} 는 점 P 와 평면 α\alpha 위의 점을 잇는 선분 중 가장 짧아요.
α\alpha 위의 다른 점 Q 를 잡으면 PO‾⊥OQ‾\overline{\mathrm{PO}}\perp\overline{\mathrm{OQ}} 이므로 삼각형 POQ 는 빗변이 PQ 인 직각삼각형이에요.
따라서 PQ‾>PO‾\overline{\mathrm{PQ}}>\overline{\mathrm{PO}}

직선 ll 이 평면 α\alpha 와 평행할 때, ll 위의 모든 점에서 α\alpha 까지의 거리는 같아요. 이 거리를 직선 ll 과 평면 α\alpha 사이의 거리라 해요.
평행한 두 평면 사이의 거리도 한 평면 위의 한 점에서 다른 평면까지의 거리로 정해요.

2삼수선 정리

다음 세 가지 성질을 통틀어 삼수선 정리이라 해요. 세 개의 수선 PO, OH, PH 사이의 관계를 말해 줘요.

성질삼수선 정리
평면 α\alpha 밖의 점 P, α\alpha 위의 점 O, α\alpha 위의 직선 ll, ll 위의 점 H 에 대하여
① PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha, OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l 이면 PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l
② PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha, PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l 이면 OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l
③ PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l, OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l, PO‾⊥OH‾\overline{\mathrm{PO}}\perp\overline{\mathrm{OH}} 이면 PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha
학생
삼수선 정리는 어디에 써요?
쌤
공간의 수직 관계를 평면 위의 직각삼각형 POH 로 옮길 때 써요. PO 가 평면에 수직이고 OH 가 직선 ll 에 수직이면 PH 도 ll 에 수직이에요.
lαPOH
PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha, OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l 이면 PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l 이에요. 세 수선 PO, OH, PH 의 관계예요.
점과 직선 사이의 거리
PO‾=4,OH‾=3\overline{\mathrm{PO}}=4,\quad \overline{\mathrm{OH}}=3
↳PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha, H 는 O 에서 ll 에 내린 수선의 발
PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l
↳삼수선 정리
PH‾=42+32=5\overline{\mathrm{PH}}=\sqrt{4^2+3^2}=5
↳점 P 와 직선 ll 사이의 거리
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha, OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l 이고 PO‾=6\overline{\mathrm{PO}}=6, OH‾=8\overline{\mathrm{OH}}=8 일 때, 점 P 와 α\alpha 위의 직선 ll 사이의 거리는?
평면까지의 거리와 직선까지의 거리
✗ 틀린 풀이
PH‾\overline{\mathrm{PH}} 가 점 P 와 평면 α\alpha 사이의 거리이다.
왜 틀렸나 점과 평면 사이의 거리는 점에서 평면에 내린 수선의 길이이므로 평면에 수직인 선분으로 잰다.
✓ 바른 풀이
PO‾\overline{\mathrm{PO}} 가 점 P 와 평면 α\alpha 사이의 거리, PH‾\overline{\mathrm{PH}} 는 점 P 와 직선 ll 사이의 거리이다.
PH 는 ll 에 수직이지만 평면 α\alpha 에 수직은 아니에요.
평면까지의 거리는 평면에 수직인 선분 PO 로 재요.
자세히 보기펼치기왜 그런지
①의 증명
  1. 1
    PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha 이고 ll 은 α\alpha 위의 직선이므로 PO‾⊥l\overline{\mathrm{PO}}\perp l
    평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 모든 직선과 수직이에요.
  2. 2
    가정에서 OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l
  3. 3
    ll 은 평면 PHO 위의 만나는 두 직선 PO, OH 에 수직이므로 l⊥l\perp 평면 PHO
  4. 4
    PH 는 평면 PHO 위의 직선이므로 PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l
②, ③의 증명
  1. 1
    ② PO‾⊥l\overline{\mathrm{PO}}\perp l, PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l 이므로 l⊥l\perp 평면 PHO 이고, 따라서 OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l
    평면 PHO 위의 직선 OH 도 ll 과 수직이에요.
  2. 2
    ③ PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l, OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l 이므로 l⊥l\perp 평면 PHO 이고, 따라서 PO‾⊥l\overline{\mathrm{PO}}\perp l
  3. 3
    ③ 이때 PO 는 α\alpha 위의 만나는 두 직선 ll, OH 에 모두 수직이므로 PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha
    PO‾⊥OH‾\overline{\mathrm{PO}}\perp\overline{\mathrm{OH}} 는 가정이에요.

삼수선 정리를 쓰면 공간의 수직 관계를 평면 위의 직각삼각형 POH 로 옮겨 계산할 수 있어요.
∠POH=90∘\angle\mathrm{POH}=90^\circ 이므로 피타고라스 정리에 의해
PH‾2=PO‾2+OH‾2\overline{\mathrm{PH}}^2=\overline{\mathrm{PO}}^2+\overline{\mathrm{OH}}^2

3이면각과 두 평면이 이루는 각

정의이면각
평면 위의 한 직선 ll 은 그 평면을 두 부분으로 나누고, 그 각각을 반평면이라 한다.
직선 ll 을 공유하는 두 반평면 α\alpha, β\beta 로 이루어진 도형을 이면각이라 한다. 이때 ll 을 이면각의 변, α\alpha, β\beta 를 이면각의 면이라 한다.
정의이면각의 크기
변 ll 위의 한 점 O 를 지나고 ll 에 수직인 반직선 OA, OB 를 각각 반평면 α\alpha, β\beta 위에 그을 때, ∠AOB\angle\mathrm{AOB} 의 크기를 이면각의 크기 라 한다.
이 크기는 점 O 를 어디에 잡아도 같다.
θlαβOAB
OA‾⊥l\overline{\mathrm{OA}}\perp l, OB‾⊥l\overline{\mathrm{OB}}\perp l 일 때 ∠AOB=θ\angle\mathrm{AOB}=\theta 가 이면각의 크기예요.
정의두 평면이 이루는 각
서로 다른 두 평면이 만나면 이면각이 네 개 생긴다.
이 중 크기가 크지 않은 것을 두 평면이 이루는 각이라 한다. 그 크기 θ\theta 는 0∘<θ≤90∘0^\circ<\theta\le90^\circ 이다.
θ=90∘\theta=90^\circ 이면 두 평면은 서로 수직이라 하고 α⊥β\alpha\perp\beta 로 나타낸다.
학생
이면각이 둔각이면 두 평면이 이루는 각은 어떻게 돼요?
쌤
180∘180^\circ 에서 그 둔각을 뺀 값이 두 평면이 이루는 각이에요. 예를 들어 이면각이 120∘120^\circ 이면 두 평면이 이루는 각은 60∘60^\circ 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 평면이 만나서 생기는 이면각 중 하나의 크기가 130∘130^\circ 일 때, 두 평면이 이루는 각의 크기는?
두 평면이 이루는 각은 90∘90^\circ 이하
✗ 틀린 풀이
두 평면이 만나서 생기는 이면각 중 하나가 120∘120^\circ 이면 두 평면이 이루는 각은 120∘120^\circ
왜 틀렸나 두 평면이 이루는 각은 생기는 두 이면각 중 크기가 크지 않은 쪽으로 정한다.
✓ 바른 풀이
두 평면이 이루는 각은 180∘−120∘=60∘180^\circ-120^\circ=60^\circ
두 평면이 만나면 120∘120^\circ 와 60∘60^\circ 인 이면각이 함께 생겨요.
두 평면이 이루는 각은 크기가 크지 않은 것을 잡아요.
성질평면에 수직인 직선을 포함하는 평면
평면 α\alpha 가 평면 β\beta 에 수직인 직선 mm 을 포함하면 α⊥β\alpha\perp\beta 이다.
mm 이 β\beta 와 만나는 점에서 교선에 수직인 직선을 β\beta 위에 그으면, 이 직선과 mm 은 모두 교선에 수직이다. 두 직선이 이루는 각이 90∘90^\circ 이므로 이면각의 크기도 90∘90^\circ 이다.
예: 정육면체에서 평면 AEGC 는 평면 EFGH 에 수직인 AE 를 포함하므로 평면 EFGH 와 수직이다.

4이면각의 크기 구하기

삼수선 정리로 두 평면이 이루는 각 구하기
  1. 1
    두 평면 α\alpha, β\beta 의 교선 ll 을 찾아요.
  2. 2
    α\alpha 위의 점 P 에서 β\beta 에 수선 PO 를 긋고, O 에서 ll 에 수선 OH 를 그어요.
  3. 3
    삼수선 정리에 의해 PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l 이므로 ∠PHO=θ\angle\mathrm{PHO}=\theta
    PH 와 OH 가 각각 두 평면 위에서 교선에 수직이에요.
  4. 4
    직각삼각형 POH 에서 θ\theta 의 삼각비를 구해요.
    sin⁡θ=PO‾PH‾\sin\theta=\dfrac{\overline{\mathrm{PO}}}{\overline{\mathrm{PH}}}, cos⁡θ=OH‾PH‾\cos\theta=\dfrac{\overline{\mathrm{OH}}}{\overline{\mathrm{PH}}}, tan⁡θ=PO‾OH‾\tan\theta=\dfrac{\overline{\mathrm{PO}}}{\overline{\mathrm{OH}}}
학생
점 P 는 아무 데나 잡아도 돼요?
쌤
α\alpha 위의 점이면 어디든 돼요. 다만 수선의 발 O 를 찾기 쉬운 꼭짓점을 잡으면 계산이 편해요.
예정육면체 ABCD-EFGH 에서 평면 BDE 와 평면 ABCD 가 이루는 각
모서리의 길이를 aa 라 하고, 정사각형 ABCD 의 두 대각선의 교점을 M 이라 해요.
EA‾⊥\overline{\mathrm{EA}}\perp 평면 ABCD, AM‾⊥BD‾\overline{\mathrm{AM}}\perp\overline{\mathrm{BD}} (정사각형의 두 대각선은 서로 수직) 이므로 삼수선 정리에 의해 EM‾⊥BD‾\overline{\mathrm{EM}}\perp\overline{\mathrm{BD}}
따라서 구하는 각은 θ=∠EMA\theta=\angle\mathrm{EMA}
AM‾=22a\overline{\mathrm{AM}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a (대각선 2a\sqrt{2}a 의 절반), EA‾=a\overline{\mathrm{EA}}=a 이므로 직각삼각형 EAM 에서
tan⁡θ=a22a=2\tan\theta=\dfrac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}
같은 각을 정사영의 넓이로도 구할 수 있어요.
θABCDEFGHM
주황 선분 EM 과 파란 선분 AM 이 이루는 각 θ\theta 가 두 평면이 이루는 각이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∠POH=90∘\angle\mathrm{POH}=90^\circ, PO‾=3\overline{\mathrm{PO}}=3, OH‾=4\overline{\mathrm{OH}}=4 이고 ∠PHO=θ\angle\mathrm{PHO}=\theta 가 두 평면이 이루는 각일 때, cos⁡θ\cos\theta 의 값은?
이면각을 재는 각
✗ 틀린 풀이
교선 위의 아무 점 Q 를 잡아 ∠PQO\angle\mathrm{PQO} 를 이면각으로 잡는다.
왜 틀렸나 이면각의 크기는 교선 위의 한 점에서 교선에 수직인 두 반직선이 이루는 각으로 잰다.
✓ 바른 풀이
PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l, OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l 인 점 H 에서 ∠PHO\angle\mathrm{PHO} 를 잡는다.
이면각은 두 변이 모두 교선에 수직일 때의 각이에요.
Q 가 H 가 아니면 ∠PQO\angle\mathrm{PQO} 는 ∠PHO\angle\mathrm{PHO} 보다 작아요.
자세히 보기펼치기예제 2그림
예정사면체 ABCD 의 이면각
모서리의 길이를 aa, 모서리 CD 의 중점을 M 이라 해요.
삼각형 ACD, BCD 는 정삼각형이므로 AM‾⊥CD‾\overline{\mathrm{AM}}\perp\overline{\mathrm{CD}}, BM‾⊥CD‾\overline{\mathrm{BM}}\perp\overline{\mathrm{CD}}
따라서 면 ACD 와 면 BCD 가 이루는 이면각의 크기는 θ=∠AMB\theta=\angle\mathrm{AMB}
AM‾=BM‾=32a\overline{\mathrm{AM}}=\overline{\mathrm{BM}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a, AB‾=a\overline{\mathrm{AB}}=a 이므로 코사인법칙에 의해
cos⁡θ=34a2+34a2−a22×34a2=13\cos\theta=\dfrac{\frac{3}{4}a^2+\frac{3}{4}a^2-a^2}{2\times\frac{3}{4}a^2}=\dfrac{1}{3}
θABCDM
M 은 모서리 CD 의 중점이고, ∠AMB\angle\mathrm{AMB} 가 이면각의 크기예요.
예정사면체의 높이
꼭짓점 A 에서 면 BCD 에 내린 수선의 발을 G 라 해요.
AB‾=AC‾=AD‾\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{AD}} 이므로 직각삼각형 AGB, AGC, AGD 는 합동이고 GB‾=GC‾=GD‾\overline{\mathrm{GB}}=\overline{\mathrm{GC}}=\overline{\mathrm{GD}}
G 는 정삼각형 BCD 의 외심, 즉 무게중심이므로
BG‾=23×32a=33a\overline{\mathrm{BG}}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a
AG‾=a2−13a2=63a\overline{\mathrm{AG}}=\sqrt{a^2-\dfrac{1}{3}a^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}a
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1평면 α\alpha 밖의 점 P 에서 α\alpha 에 내린 수선의 발을 O 라 하면, PO‾\overline{\mathrm{PO}} 의 길이가 점 P 와 평면 α\alpha 사이의 거리이다.
  2. 2삼수선 정리: PO‾⊥α\overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha, OH‾⊥l\overline{\mathrm{OH}}\perp l 이면 PH‾⊥l\overline{\mathrm{PH}}\perp l 이다. 이 밖에 두 가지 꼴이 더 있다.
  3. 3이면각의 크기: 교선 위의 한 점에서 두 면 위에 교선에 수직인 반직선을 그어 그 사이의 각을 잰다.
  4. 4두 평면이 이루는 각 θ\theta 는 직각삼각형 POH 에서 ∠PHO\angle\mathrm{PHO} 로 구한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 점 P 에서 평면 위의 직선 ll 에 내린 수선 PH 의 길이를 점 P 와 평면 사이의 거리로 써요. 평면까지의 거리는 평면에 수직인 PO 이에요.
  • 이면각을 잴 때 두 변이 교선에 수직인지 확인하지 않고 아무 각이나 잡아요.
  • 두 평면이 이루는 각을 90∘90^\circ 보다 큰 이면각으로 답해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    평면 α\alpha 밖의 점 P 에서 α\alpha 에 내린 수선의 발을 O, 점 O 에서 α\alpha 위의 직선 ll 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. PO‾=12\overline{\mathrm{PO}}=12, OH‾=5\overline{\mathrm{OH}}=5 일 때, 점 P 와 직선 ll 사이의 거리를 구하시오.
  2. 예제 2
    한 모서리의 길이가 66 인 정사면체 ABCD 에서 꼭짓점 A 와 면 BCD 사이의 거리를 구하시오.
  3. 예제 3
    직육면체 ABCD-EFGH 에서 AB‾=3\overline{\mathrm{AB}}=3, AD‾=4\overline{\mathrm{AD}}=4, AE‾=6\overline{\mathrm{AE}}=6 이다. 평면 BDE 와 평면 ABCD 가 이루는 각의 크기를 θ\theta 라 할 때, tan⁡θ\tan\theta 의 값을 구하시오. (단, 윗면은 ABCD, 아랫면은 EFGH 이고 AE, BF, CG, DH 는 옆모서리이다.)

다음 공부

다음 개념: 정사영 →
이전 개념: 직선과 평면의 위치 관계설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 피타고라스 정리, 중3 삼각비, 대수 코사인법칙과 삼각형의 넓이, 중2 삼각형의 외심과 내심, 공통수학2 선분의 내분점과 무게중심기하 목차
← 직선과 평면의 위치 관계정사영 →
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