수학 개념 노트전체 과목

정사영

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
선분 AB 와 평면 α\alpha 가 이루는 각을 θ\theta 라 하면 정사영의 길이는 AB‾cos⁡θ\overline{\mathrm{AB}}\cos\theta 이고, 넓이가 SS 인 도형의 평면과 α\alpha 가 이루는 각을 θ\theta 라 하면 정사영의 넓이는 Scos⁡θS\cos\theta 이에요.
  1. 1점과 도형의 정사영
  2. 2직선과 평면이 이루는 각과 정사영의 길이
  3. 3정사영의 넓이
  4. 4정사영을 이용하여 두 평면이 이루는 각 구하기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1점과 도형의 정사영

정의정사영
점 P 에서 평면 α\alpha 에 내린 수선의 발 P′\mathrm{P'} 을 점 P 의 평면 α\alpha 위로의 정사영이라 한다. 점 P 가 α\alpha 위에 있으면 P 자신이 정사영이다.
도형 F 의 각 점의 평면 α\alpha 위로의 정사영으로 이루어진 도형 F′\mathrm{F'} 을 도형 F 의 평면 α\alpha 위로의 정사영이라 한다.
학생
정사영은 그림자 같은 거예요?
쌤
네, 평면에 수직으로 빛을 비출 때 생기는 그림자라고 보면 돼요. 각 점에서 평면에 내린 수선의 발을 모은 도형이에요.
성질여러 가지 도형의 정사영
① 직선의 정사영은 직선이다. 단, 직선이 평면 α\alpha 에 수직이면 한 점이다.
② 선분의 정사영은 선분이다. 단, 선분이 평면 α\alpha 에 수직 이면 한 점이다.
③ 평면도형의 정사영은 평면도형이다. 단, 그 도형이 있는 평면이 α\alpha 에 수직이면 선분이나 점이 된다.
④ 평면 α\alpha 와 평행한 도형의 정사영은 처음 도형과 합동이다.
예정육면체 ABCD-EFGH 에서 평면 ABCD 위로의 정사영
윗면은 ABCD, 아랫면은 EFGH 이고 AE, BF, CG, DH 는 옆모서리예요.
옆모서리 AE, CG 는 평면 ABCD 에 수직이므로 점 E, G 의 정사영은 각각 A, C 이에요.
선분 EG 의 정사영은 선분 AC 이에요.
삼각형 BDE 의 정사영은 삼각형 BDA 이에요.
ABCDEFGH
점 E 의 평면 ABCD 위로의 정사영은 A 이므로, 삼각형 BDE 의 정사영은 삼각형 BDA 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
정육면체 ABCD-EFGH 에서 선분 BG 의 평면 ABCD 위로의 정사영은?

2직선과 평면이 이루는 각과 정사영의 길이

정의직선과 평면이 이루는 각
직선 ll 이 평면 α\alpha 와 한 점에서 만나고 수직이 아닐 때, ll 과 ll 의 α\alpha 위로의 정사영 l′l' 이 이루는 각 θ\theta 를 직선 ll 과 평면 α\alpha 가 이루는 각이라 한다.
l⊥αl\perp\alpha 이면 θ=90∘\theta=90^\circ 로, ll 이 α\alpha 와 평행하거나 α\alpha 에 포함되면 θ=0∘\theta=0^\circ 로 본다.
성질정사영의 길이
선분 AB 의 평면 α\alpha 위로의 정사영을 선분 A′B′\mathrm{A'B'} 이라 하고, 직선 AB 와 평면 α\alpha 가 이루는 각의 크기를 θ\theta 라 하면A′B′‾=AB‾cos⁡θ(0∘≤θ≤90∘)\overline{\mathrm{A'B'}}=\overline{\mathrm{AB}}\cos\theta\quad(0^\circ\le\theta\le90^\circ)
θαABA′B′C
AC∥A′B′\mathrm{AC}\parallel\mathrm{A'B'} 이면 A′B′‾=AC‾=AB‾cos⁡θ\overline{\mathrm{A'B'}}=\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{AB}}\cos\theta
학생
왜 sin⁡θ\sin\theta 가 아니라 cos⁡θ\cos\theta 를 곱해요?
쌤
선분 AB 를 빗변으로 하는 직각삼각형을 그리면 정사영 A′B′\mathrm{A'B'} 은 각 θ\theta 에 붙은 변이에요. 그 변의 길이는 빗변의 cos⁡θ\cos\theta 배라서 cos⁡θ\cos\theta 를 곱해요.
정사영의 길이 구하기
A′B′‾=6cos⁡60∘=3\overline{\mathrm{A'B'}}=6\cos60^\circ=3
↳AB‾=6\overline{\mathrm{AB}}=6, θ=60∘\theta=60^\circ
cos⁡θ=810=45\cos\theta=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
↳AB‾=10\overline{\mathrm{AB}}=10, A′B′‾=8\overline{\mathrm{A'B'}}=8
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
길이가 88 인 선분 AB 와 평면 α\alpha 가 이루는 각이 30∘30^\circ 일 때, 선분 AB 의 α\alpha 위로의 정사영의 길이는?
어떤 각인지 확인한다
✗ 틀린 풀이
선분 AB 와 평면 α\alpha 의 수선이 이루는 각이 30∘30^\circ 일 때 A′B′‾=AB‾cos⁡30∘\overline{\mathrm{A'B'}}=\overline{\mathrm{AB}}\cos30^\circ
왜 틀렸나 정사영의 길이 공식의 θ\theta 는 선분과 평면이 이루는 각이므로 수선과 이루는 각은 바꿔야 한다.
✓ 바른 풀이
선분 AB 와 평면 α\alpha 가 이루는 각은 90∘−30∘=60∘90^\circ-30^\circ=60^\circ 이므로 A′B′‾=AB‾cos⁡60∘\overline{\mathrm{A'B'}}=\overline{\mathrm{AB}}\cos60^\circ
공식의 θ\theta 는 선분과 그 정사영이 이루는 각이에요.
수선과 이루는 각이 주어지면 90∘90^\circ 에서 빼서 바꿔요.
자세히 보기펼치기왜 그런지
이유
  1. 1
    A 를 지나고 A′B′\mathrm{A'B'} 에 평행한 직선이 BB′\mathrm{BB'} 과 만나는 점을 C 라 해요.
  2. 2
    사각형 AA′B′C\mathrm{AA'B'C} 는 직사각형이므로 AC‾=A′B′‾\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{A'B'}}
    AA′\mathrm{AA'}, BB′\mathrm{BB'} 은 모두 α\alpha 에 수직이에요.
  3. 3
    AC 는 A′B′\mathrm{A'B'} 과 평행하므로 ∠BAC=θ\angle\mathrm{BAC}=\theta
  4. 4
    직각삼각형 ABC 에서 AC‾=AB‾cos⁡θ\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{AB}}\cos\theta
    ∠ACB=90∘\angle\mathrm{ACB}=90^\circ

3정사영의 넓이

성질정사영의 넓이
평면 β\beta 위의 넓이가 SS 인 도형의 평면 α\alpha 위로의 정사영의 넓이를 S′S' 이라 하고, 두 평면 α\alpha, β\beta 가 이루는 각의 크기를 θ\theta 라 하면S′=Scos⁡θ(0∘≤θ≤90∘)S'=S\cos\theta\quad(0^\circ\le\theta\le90^\circ)
학생
정사영의 넓이가 처음보다 커질 수도 있어요?
쌤
아니요. 0≤cos⁡θ≤10\le\cos\theta\le1 이라서 S′S' 은 SS 보다 커지지 않아요. 두 평면이 평행할 때만 넓이가 같아요.
θlβαABCHA′
평면 β\beta 위의 삼각형 ABC 를 평면 α\alpha 위로 정사영한 것이 삼각형 A′BC\mathrm{A'BC} 예요. A′H‾=AH‾cos⁡θ\overline{\mathrm{A'H}}=\overline{\mathrm{AH}}\cos\theta 이므로 넓이도 cos⁡θ\cos\theta 배예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
넓이가 1010 인 도형이 있는 평면과 평면 α\alpha 가 이루는 각이 60∘60^\circ 일 때, 이 도형의 α\alpha 위로의 정사영의 넓이는?
정사영의 넓이는 처음보다 크지 않다
✗ 틀린 풀이
S′=Scos⁡θS'=\dfrac{S}{\cos\theta}
왜 틀렸나 정사영의 넓이는 처음 넓이에 cos⁡θ\cos\theta 를 곱한 Scos⁡θS\cos\theta 이므로 처음보다 크지 않다.
✓ 바른 풀이
S′=Scos⁡θS'=S\cos\theta
0≤cos⁡θ≤10\le\cos\theta\le1 이므로 정사영의 넓이는 처음 넓이보다 작거나 같아요.
예: S=12S=12, θ=60∘\theta=60^\circ 이면 S′=12×12=6S'=12\times\dfrac{1}{2}=6
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드
이유(한 변이 교선 위에 있는 삼각형)
  1. 1
    삼각형 ABC 의 변 BC 가 두 평면의 교선 ll 위에 있고, A 의 정사영을 A′\mathrm{A'} 이라 해요.
    도형을 평행이동해도 정사영의 넓이는 변하지 않으므로 이렇게 놓아도 돼요.
  2. 2
    A 에서 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 삼수선 정리에 의해 A′H‾⊥BC‾\overline{\mathrm{A'H}}\perp\overline{\mathrm{BC}}
  3. 3
    따라서 ∠AHA′=θ\angle\mathrm{AHA'}=\theta 이고 A′H‾=AH‾cos⁡θ\overline{\mathrm{A'H}}=\overline{\mathrm{AH}}\cos\theta
    두 평면이 이루는 각은 교선 BC 에 수직인 두 직선 AH, A′H\mathrm{A'H} 가 이루는 각이에요.
  4. 4
    S′=12×BC‾×AH‾cos⁡θ=Scos⁡θS'=\dfrac{1}{2}\times\overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{AH}}\cos\theta=S\cos\theta
    다각형은 삼각형으로 나누어 각각 적용하면 되고, 곡선으로 둘러싸인 도형에서도 성립해요.
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2정사영은 처음보다 길어지지 않는다.
A′B′‾=AB‾□θ\overline{\mathrm{A'B'}}=\overline{\mathrm{AB}}\square\theta
단계 1 / 2
S′=S□θS'=S\square\theta
단계 1 / 2
cos⁡θ=□S\cos\theta=\dfrac{\square}{S}

4정사영을 이용하여 두 평면이 이루는 각 구하기

성질정사영의 넓이 공식을 거꾸로 쓰기
S′=Scos⁡θS'=S\cos\theta 를 거꾸로 쓰면cos⁡θ=S′S\cos\theta=\frac{S'}{S}
학생
이 방법은 언제 써요?
쌤
교선이나 수선의 발을 찾기 어려울 때 편해요. 처음 도형과 정사영의 넓이만 구하면 cos⁡θ\cos\theta 가 바로 나와요.
넓이로 두 평면이 이루는 각 구하기
  1. 1
    도형의 각 꼭짓점의 정사영을 찾아 정사영 도형을 그려요.
    꼭짓점에서 평면에 수선을 내려요.
  2. 2
    처음 도형의 넓이 SS 와 정사영의 넓이 S′S' 을 구해요.
  3. 3
    cos⁡θ=S′S\cos\theta=\dfrac{S'}{S} 를 계산해요.
정육면체에서 평면 BDE 와 평면 ABCD 가 이루는 각 (모서리 aa)
S=34×(2a)2=32a2S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times(\sqrt{2}a)^2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2
↳삼각형 BDE: 세 변이 모두 면의 대각선 2a\sqrt{2}a
S′=12a2S'=\dfrac{1}{2}a^2
↳정사영 BDA: 빗변이 BD 인 직각이등변삼각형
cos⁡θ=S′S=13=33\cos\theta=\dfrac{S'}{S}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}
삼수선 정리로 구한 tan⁡θ=2\tan\theta=\sqrt{2} 와 같은 각이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
넓이가 1212 인 삼각형의 평면 α\alpha 위로의 정사영의 넓이가 626\sqrt{2} 일 때, 삼각형이 있는 평면과 α\alpha 가 이루는 각의 크기는?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1점 P 에서 평면 α\alpha 에 내린 수선의 발 P′\mathrm{P'} 을 점 P 의 평면 α\alpha 위로의 정사영이라 한다.
  2. 2선분 AB 와 평면 α\alpha 가 이루는 각을 θ\theta 라 하면 A′B′‾=AB‾cos⁡θ\overline{\mathrm{A'B'}}=\overline{\mathrm{AB}}\cos\theta
  3. 3넓이가 SS 인 도형이 있는 평면과 평면 α\alpha 가 이루는 각을 θ\theta 라 하면 정사영의 넓이는 S′=Scos⁡θS'=S\cos\theta
  4. 4거꾸로 쓰면 cos⁡θ=S′S\cos\theta=\dfrac{S'}{S} 로 두 평면이 이루는 각을 구할 수 있다.
✗ 자주 하는 실수
  • 정사영의 길이를 AB‾sin⁡θ\overline{\mathrm{AB}}\sin\theta 로 계산해요. θ\theta 가 선분과 평면이 이루는 각이면 cos⁡θ\cos\theta 를 곱해요.
  • 정사영의 넓이를 Scos⁡θ\dfrac{S}{\cos\theta} 로 계산해요. 정사영의 넓이는 처음 넓이보다 크지 않아요.
  • 평면의 수선과 이루는 각을 평면과 이루는 각으로 착각해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    길이가 88 인 선분 AB 와 평면 α\alpha 가 이루는 각의 크기가 30∘30^\circ 일 때, 선분 AB 의 평면 α\alpha 위로의 정사영의 길이를 구하시오.
  2. 예제 2
    넓이가 1212 인 삼각형이 있는 평면과 평면 α\alpha 가 이루는 각의 크기가 60∘60^\circ 일 때, 이 삼각형의 평면 α\alpha 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.
  3. 예제 3
    한 변의 길이가 44 인 정삼각형의 평면 α\alpha 위로의 정사영의 넓이가 66 일 때, 정삼각형이 있는 평면과 평면 α\alpha 가 이루는 각의 크기 θ\theta 를 구하시오.

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