수학 개념 노트전체 과목

위치벡터와 벡터의 성분

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
점 A 의 위치벡터 a⃗\vec{a} 를 쓰면 AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}, 내분점은 mb⃗+na⃗m+n\dfrac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n} 이에요. 벡터를 성분 (a1, a2, a3)(a_1,\ a_2,\ a_3) 으로 나타내면 크기는 a12+a22+a32\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} 이고 덧셈·뺄셈·실수배는 성분끼리 계산해요.
  1. 1위치벡터
  2. 2선분의 내분점의 위치벡터
  3. 3평면벡터의 성분
  4. 4공간벡터의 성분
  5. 5성분으로 계산하기
  6. 6성분과 평행 조건
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1위치벡터

정의위치벡터
평면이나 공간에서 한 점 O 를 기준점으로 정하면 점 A 마다 벡터 OA→\overrightarrow{OA} 가 하나씩 정해진다.
이 벡터 OA→=a⃗\overrightarrow{OA}=\vec{a} 를 점 O 에 대한 점 A 의 위치벡터 라 한다.
보통 점 A, B, C, … 의 위치벡터를 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c}, … 로 나타낸다.
성질위치벡터로 나타낸 벡터
AB→=OB→−OA→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec{b}-\vec{a}
「종점의 위치벡터에서 시점의 위치벡터를 뺀다」고 기억한다.
벡터의 뺄셈에서 시점을 O 로 같게 놓은 것과 같다.
학생
위치벡터는 왜 쓰는 거예요?
쌤
기준점 O 를 하나 정해 두면 모든 점을 벡터 하나로 나타낼 수 있어요. 그러면 AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a} 처럼 두 점 사이의 벡터를 뺄셈 한 번으로 구해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 A, B 의 위치벡터가 각각 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 일 때, BA→\overrightarrow{BA} 는?

2선분의 내분점의 위치벡터

성질내분점의 위치벡터
두 점 A, B 의 위치벡터가 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 일 때, 선분 AB 를 m:nm:n (m>0, n>0)(m>0,\ n>0) 으로 내분하는 점 P 의 위치벡터 p⃗\vec{p} 는p⃗=mb⃗+na⃗m+n\vec{p}=\frac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}특히 선분 AB 의 중점 M 의 위치벡터는 m⃗=a⃗+b⃗2\vec{m}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2} 이다.
선분 AB 를 2:12:1 로 내분하는 점 P
a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
p⃗\vec{p}
OABP
p⃗=2b⃗+1⋅a⃗2+1\vec{p}=\dfrac{2\vec{b}+1\cdot\vec{a}}{2+1}
학생
mm 을 a⃗\vec{a} 에 곱하면 안 돼요?
쌤
안 돼요. P 가 B 에 가까울수록 b⃗\vec{b} 가 많이 들어가야 해서, 비의 앞 수 mm 을 B 의 위치벡터 b⃗\vec{b} 에 엇갈려 곱해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
선분 AB 를 1:31:3 으로 내분하는 점 P 의 위치벡터는? (A, B 의 위치벡터는 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b})
비와 위치벡터를 짝짓는 방법
✗ 틀린 풀이
AP‾:PB‾=2:1\overline{AP}:\overline{PB}=2:1 이면
p⃗=2a⃗+b⃗3\vec{p}=\dfrac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}
왜 틀렸나 m:nm:n 으로 내분하는 점의 위치벡터는 mb⃗+na⃗m+n\dfrac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n} 이므로 엇갈려 곱한다.
✓ 바른 풀이
p⃗=2b⃗+a⃗3\vec{p}=\dfrac{2\vec{b}+\vec{a}}{3}
비의 앞 수 mm 은 먼 쪽 끝점 B 의 위치벡터에 곱해요(엇갈려 곱하기).
P 는 B 에 더 가까우므로 b⃗\vec{b} 의 계수가 더 커야 해요.
성질삼각형의 무게중심의 위치벡터
세 점 A, B, C 의 위치벡터가 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b}, c⃗\vec{c} 일 때, 삼각형 ABC 의 무게중심 G 의 위치벡터는g⃗=a⃗+b⃗+c⃗3\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}이유: 변 BC 의 중점 M 의 위치벡터는 b⃗+c⃗2\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2} 이고, G 는 중선 AM 을 2:12:1 로 내분하는 점이다.
g⃗=2⋅b⃗+c⃗2+a⃗3=a⃗+b⃗+c⃗3\vec{g}=\dfrac{2\cdot\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}+\vec{a}}{3}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}
자세히 보기펼치기예제외우기 카드
내분점 공식이 나오는 과정
AP→=mm+nAB→\overrightarrow{AP}=\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}
↳점 P 는 선분 AB 위에 있고 AP‾\overline{AP} 는 AB‾\overline{AB} 의 mm+n\dfrac{m}{m+n} 이에요.
p⃗−a⃗=mm+n(b⃗−a⃗)\vec{p}-\vec{a}=\dfrac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a})
↳양변을 위치벡터로 나타내요.
p⃗=(m+n)a⃗+mb⃗−ma⃗m+n\vec{p}=\dfrac{(m+n)\vec{a}+m\vec{b}-m\vec{a}}{m+n}
↳a⃗\vec{a} 를 이항하고 통분해요.
p⃗=mb⃗+na⃗m+n\vec{p}=\dfrac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
AB→=□⃗−a⃗\overrightarrow{AB}=\vec{\square}-\vec{a}
단계 1 / 2엇갈려 곱하기
AB 를 m:n 으로 내분=m□⃗+n□⃗m+nAB\ \text{를}\ m:n\ \text{으로 내분}=\dfrac{m\vec{\square}+n\vec{\square}}{m+n}
단계 1 / 2
무게중심=a⃗+b⃗+c⃗□\text{무게중심}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{\square}

3평면벡터의 성분

정의기본벡터와 성분
좌표평면에서 원점 O 를 시점으로 하고 점 E1(1, 0)\mathrm{E_1}(1,\ 0), E2(0, 1)\mathrm{E_2}(0,\ 1) 을 종점으로 하는 두 단위벡터를 e1⃗\vec{e_1}, e2⃗\vec{e_2} 라 하고, 이것을 기본벡터 라 한다.
점 A(a1, a2)\mathrm{A}(a_1,\ a_2) 에 대하여 a⃗=OA→=a1e1⃗+a2e2⃗\vec{a}=\overrightarrow{OA}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2} 이다.
이때 a1a_1, a2a_2 를 각각 a⃗\vec{a} 의 xx 성분, yy 성분이라 하고 a⃗=(a1, a2)\vec{a}=(a_1,\ a_2) 로 나타낸다.
평면벡터의 성분
-11234-1123xyO
a⃗\vec{a}
e1⃗\vec{e_1}
e2⃗\vec{e_2}
A
a⃗=OA→=3e1⃗+2e2⃗=(3, 2)\vec{a}=\overrightarrow{OA}=3\vec{e_1}+2\vec{e_2}=(3,\ 2)
학생
벡터의 성분이랑 점의 좌표는 같은 거예요?
쌤
원점을 시점으로 놓을 때만 같아요. 그때는 종점의 좌표가 곧 벡터의 성분이고, 다른 점에서 시작하면 종점의 좌표에서 시점의 좌표를 빼야 해요.
성질평면벡터의 크기
a⃗=(a1, a2)\vec{a}=(a_1,\ a_2) 이면
∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}
원점과 점 (a1, a2)(a_1,\ a_2) 사이의 거리와 같다.
예: a⃗=(3, −4)\vec{a}=(3,\ -4) 이면 ∣a⃗∣=32+(−4)2=5|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a⃗=(−5, 12)\vec{a}=(-5,\ 12) 의 크기는?

4공간벡터의 성분

정의공간벡터의 성분
좌표공간에서 세 점 E1(1, 0, 0)\mathrm{E_1}(1,\ 0,\ 0), E2(0, 1, 0)\mathrm{E_2}(0,\ 1,\ 0), E3(0, 0, 1)\mathrm{E_3}(0,\ 0,\ 1) 에 대하여 e1⃗=OE1→\vec{e_1}=\overrightarrow{OE_1}, e2⃗=OE2→\vec{e_2}=\overrightarrow{OE_2}, e3⃗=OE3→\vec{e_3}=\overrightarrow{OE_3} 을 공간의 기본벡터 라 한다.
점 A(a1, a2, a3)\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3) 에 대하여 a⃗=OA→=a1e1⃗+a2e2⃗+a3e3⃗\vec{a}=\overrightarrow{OA}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3} 이고 a⃗=(a1, a2, a3)\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3) 으로 나타낸다.
∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}
학생
공간벡터의 성분은 평면벡터와 뭐가 달라요?
쌤
성분이 하나 늘어 (a1, a2, a3)(a_1,\ a_2,\ a_3) 이 될 뿐이에요. 두 점으로 만든 벡터는 종점의 좌표에서 시점의 좌표를 빼요.
공간벡터의 성분
xyza₁a₂a₃
a⃗\vec{a}
OA
a⃗=OA→=a1e1⃗+a2e2⃗+a3e3⃗=(a1, a2, a3)\vec{a}=\overrightarrow{OA}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3}=(a_1,\ a_2,\ a_3)
성질두 점으로 벡터의 성분 구하기
두 점 A(a1, a2, a3)\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3), B(b1, b2, b3)\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3) 에 대하여
AB→=OB→−OA→=(b1−a1, b2−a2, b3−a3)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2,\ b_3-a_3)
∣AB→∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}
크기는 두 점 사이의 거리 공식과 같다. 평면에서는 셋째 성분을 지운다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 A(2, −1, 3)\mathrm{A}(2,\ -1,\ 3), B(5, 1, 0)\mathrm{B}(5,\ 1,\ 0) 에 대하여 AB→\overrightarrow{AB} 는?
두 점으로 만든 벡터의 순서
✗ 틀린 풀이
A(1, 5)\mathrm{A}(1,\ 5), B(4, 2)\mathrm{B}(4,\ 2) 일 때
AB→=(1−4, 5−2)=(−3, 3)\overrightarrow{AB}=(1-4,\ 5-2)=(-3,\ 3)
왜 틀렸나 AB→\overrightarrow{AB} 의 성분은 종점 B 의 좌표에서 시점 A 의 좌표를 빼서 구한다.
✓ 바른 풀이
AB→=(4−1, 2−5)=(3, −3)\overrightarrow{AB}=(4-1,\ 2-5)=(3,\ -3)
종점 B 의 좌표에서 시점 A 의 좌표를 빼요.
순서를 바꾸면 역벡터 BA→\overrightarrow{BA} 가 돼요.

5성분으로 계산하기

공식성분에 의한 연산 (a⃗=(a1, a2, a3)\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3), b⃗=(b1, b2, b3)\vec{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3), kk 는 실수)
서로 같을 조건
a⃗=b⃗  ⟺  a1=b1, a2=b2, a3=b3\displaystyle \vec{a}=\vec{b}\iff a_1=b_1,\ a_2=b_2,\ a_3=b_3
대응하는 성분이 모두 같아야 한다.
덧셈
a⃗+b⃗=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ a_3+b_3)
뺄셈
a⃗−b⃗=(a1−b1, a2−b2, a3−b3)\displaystyle \vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\ a_2-b_2,\ a_3-b_3)
실수배
ka⃗=(ka1, ka2, ka3)\displaystyle k\vec{a}=(ka_1,\ ka_2,\ ka_3)
크기
∣a⃗∣=a12+a22+a32\displaystyle |\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}
내분점(좌표)
(mb1+na1m+n, mb2+na2m+n, mb3+na3m+n)\displaystyle \left(\frac{mb_1+na_1}{m+n},\ \frac{mb_2+na_2}{m+n},\ \frac{mb_3+na_3}{m+n}\right)
내분점의 위치벡터 공식을 성분으로 쓴 것이다.
학생
성분으로 계산하면 뭐가 편해요?
쌤
덧셈·뺄셈·실수배를 성분끼리 하면 돼서 그림 없이 계산할 수 있어요. 두 벡터가 같으면 대응하는 성분이 모두 같아요.
성분으로 계산하기
2a⃗−3b⃗=(2−6, −4−0, 6+3)=(−4, −4, 9)2\vec{a}-3\vec{b}=(2-6,\ -4-0,\ 6+3)=(-4,\ -4,\ 9)
↳a⃗=(1, −2, 3)\vec{a}=(1,\ -2,\ 3), b⃗=(2, 0, −1)\vec{b}=(2,\ 0,\ -1)
(x+1, 3)=(4, y−2) ⇒ x=3, y=5(x+1,\ 3)=(4,\ y-2)\ \Rightarrow\ x=3,\ y=5
↳성분 비교: x+1=4x+1=4, 3=y−23=y-2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a⃗=(1, 2, −1)\vec{a}=(1,\ 2,\ -1), b⃗=(0, −1, 3)\vec{b}=(0,\ -1,\ 3) 일 때, a⃗−2b⃗\vec{a}-2\vec{b} 는?
크기를 구할 때 음수 성분
✗ 틀린 풀이
a⃗=(3, −4)\vec{a}=(3,\ -4) 에서
∣a⃗∣=32−42|\vec{a}|=\sqrt{3^2-4^2}
왜 틀렸나 벡터의 크기는 성분의 제곱의 합의 제곱근이므로 음수 성분은 괄호째 제곱한다.
✓ 바른 풀이
∣a⃗∣=32+(−4)2=5|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5
음수 성분은 괄호째 제곱해요.
제곱한 값은 항상 00 이상이므로 근호 안은 제곱의 합이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

a⃗=a1e1⃗+a2e2⃗+a3e3⃗\vec{a}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}+a_3\vec{e_3} 이므로 벡터의 연산 법칙을 쓰면 기본벡터의 계수끼리, 즉 성분끼리 계산하면 돼요.
평면벡터는 셋째 성분이 없는 것으로 보면 돼요.

6성분과 평행 조건

성질성분으로 본 평행 조건
영벡터가 아닌 두 벡터 a⃗=(a1, a2, a3)\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3), b⃗=(b1, b2, b3)\vec{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3) 에 대하여
a⃗∥b⃗  ⟺  b⃗=ka⃗  ⟺  (b1, b2, b3)=(ka1, ka2, ka3)\vec{a}\parallel\vec{b}\iff\vec{b}=k\vec{a}\iff(b_1,\ b_2,\ b_3)=(ka_1,\ ka_2,\ ka_3) (k≠0k\ne0)
즉 대응하는 성분의 비가 모두 같다.
예: (−4, 2, −6)=−2(2, −1, 3)(-4,\ 2,\ -6)=-2(2,\ -1,\ 3) 이므로 두 벡터는 평행하다(방향은 반대).
학생
kk 가 음수여도 평행이에요?
쌤
네. k<0k<0 이면 방향만 반대이고 평행이에요. k≠0k\ne0 이기만 하면 돼요.
⚠ 주의성분이 0 인 경우
평행 조건을 b1a1=b2a2=b3a3\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{b_2}{a_2}=\dfrac{b_3}{a_3} 로 쓰면 분모가 00 인 성분이 있을 때 쓸 수 없어요.
이때는 b⃗=ka⃗\vec{b}=k\vec{a} 로 성분을 하나씩 비교해요. a1=0a_1=0 이면 b1=0b_1=0 이어야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 벡터 a⃗=(1, −2, 3)\vec{a}=(1,\ -2,\ 3), b⃗=(2, y, 6)\vec{b}=(2,\ y,\ 6) 이 평행할 때, yy 의 값은?
자세히 보기펼치기예제
주어진 방향과 크기를 가진 벡터
a⃗=(3, −4)\vec{a}=(3,\ -4)
a⃗∣a⃗∣=(35, −45)\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\left(\dfrac{3}{5},\ -\dfrac{4}{5}\right)
↳방향이 같은 단위벡터
10×(35, −45)=(6, −8)10\times\left(\dfrac{3}{5},\ -\dfrac{4}{5}\right)=(6,\ -8)
↳크기가 1010
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1한 점 O 를 기준으로 OA→=a⃗\overrightarrow{OA}=\vec{a} 를 점 A 의 위치벡터라 한다. 두 점의 위치벡터가 a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} 이면 AB→=b⃗−a⃗\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a} 이다.
  2. 2선분 AB 를 m:nm:n 으로 내분하는 점 P 의 위치벡터는 p⃗=mb⃗+na⃗m+n\vec{p}=\dfrac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n}, 중점은 a⃗+b⃗2\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}, 삼각형 ABC 의 무게중심은 a⃗+b⃗+c⃗3\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} 이다.
  3. 3a⃗=(a1, a2, a3)\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3) 이면 ∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} 이고, 덧셈·뺄셈·실수배는 성분끼리 계산한다.
  4. 4두 점 A(a1, a2, a3)\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3), B(b1, b2, b3)\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3) 에 대하여 AB→=(b1−a1, b2−a2, b3−a3)\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2,\ b_3-a_3) 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • AB→\overrightarrow{AB} 의 성분을 시점 A 의 좌표에서 종점 B 의 좌표를 빼서 구해요. 바른 계산은 (종점)−-(시점)이에요.
  • 선분 AB 를 m:nm:n 으로 내분하는 점의 위치벡터를 ma⃗+nb⃗m+n\dfrac{m\vec{a}+n\vec{b}}{m+n} 으로 써요. 바른 식은 mb⃗+na⃗m+n\dfrac{m\vec{b}+n\vec{a}}{m+n} 이에요.
  • ∣(3, −4)∣|(3,\ -4)| 를 32−42\sqrt{3^2-4^2} 또는 3+(−4)3+(-4) 로 계산해요. 크기는 성분의 제곱의 합의 양의 제곱근이에요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    두 점 A(1, −2)\mathrm{A}(1,\ -2), B(4, 2)\mathrm{B}(4,\ 2) 에 대하여 AB→\overrightarrow{AB} 를 성분으로 나타내고, 그 크기를 구하시오.
  2. 예제 2
    두 점 A(1, −2, 3)\mathrm{A}(1,\ -2,\ 3), B(4, 1, −3)\mathrm{B}(4,\ 1,\ -3) 에 대하여 선분 AB 를 2:12:1 로 내분하는 점 P 의 좌표를 구하시오.
  3. 예제 3
    두 벡터 a⃗=(2, k, −1)\vec{a}=(2,\ k,\ -1), b⃗=(4, −6, m)\vec{b}=(4,\ -6,\ m) 이 서로 평행할 때, 실수 kk, mm 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 벡터의 내적 →
이전 개념: 벡터의 연산, 공간좌표설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 선분의 내분점과 무게중심, 중2 피타고라스 정리기하 목차
← 벡터의 연산벡터의 내적 →
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