여러 가지 함수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

일대일함수, 일대일대응, 항등함수, 상수함수의 뜻을 알고 대응표와 그래프로 판별하며, 일대일대응이 되는 조건과 함수의 개수를 구해요.

1일대일함수와 일대일대응
2항등함수와 상수함수
3그래프로 판별하기
4일대일대응이 되는 조건
5함수의 개수
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1일대일함수와 일대일대응

정의일대일함수

함수

f:X\to Y

에서 정의역

X

의 임의의 두 원소

x_1,\ x_2

에 대하여

x_1\ne x_2\ \text{이면}\ f(x_1)\ne f(x_2)

일 때, 함수

f

를 일대일함수 라 한다.
대우를 이용하면 다음과 같이 말해도 같은 뜻이다.

f(x_1)=f(x_2)\ \text{이면}\ x_1=x_2

정의일대일대응

함수

f:X\to Y

가 다음 두 조건을 만족시킬 때, 함수

f

를 일대일대응이라 한다.
① 일대일함수이다.
② 치역과 공역이 같다.
일대일대응일 때만 역함수가 존재한다.

X=\{1,\ 2,\ 3\}

(가) 일대일대응, (나) 일대일함수

두 함수 모두 화살표 끝이 서로 달라 일대일함수예요. (가)는

Y

의 모든 원소가 화살표를 받아 일대일대응이고, (나)는

6

이 화살표를 받지 않아 일대일대응이 아니에요.

(다) 일대일함수가 아님

1\ne 2

인데 두 화살표가 같은

4

로 가요.

f(1)=f(2)=4

이므로 일대일함수가 아니에요.

학생

일대일함수와 일대일대응은 뭐가 달라요?

쌤

일대일함수는 화살표 끝이 겹치지 않기만 하면 돼요. 일대일대응은 거기에 더해 공역의 모든 원소가 화살표를 받아야 해요. 그림 (나)처럼 화살표를 받지 못한 원소가 남으면 일대일함수일 뿐이에요.

공식세 가지 함수의 관계

x_1\ne x_2

\displaystyle f(x_1)\ne f(x_2)

일대일함수: 서로 다른 원소의 함숫값이 서로 다르다.

일대일대응

\displaystyle \text{일대일함수이고 (치역)}=\text{(공역)}

공역의 모든 원소가 하나씩 대응받는다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

X=\{1,\ 2,\ 3\}

에서

Y=\{a,\ b,\ c\}

로의 함수

f

가

f(1)=b,\ f(2)=c,\ f(3)=b

일 때

f

는?

치역과 공역만 확인한 경우

✗ 틀린 풀이

f:\{1,\ 2,\ 3\}\to\{4,\ 5\}

f(1)=4,\ f(2)=f(3)=5

치역이 공역과 같으므로 일대일대응이다.

왜 틀렸나 일대일대응은 일대일함수이면서 치역과 공역이 같아야 하므로 두 조건을 모두 확인해야 한다.

✓ 바른 풀이

2\ne 3

인데

f(2)=f(3)

이므로 일대일함수가 아니다.
따라서 일대일대응이 아니다.

확인 방법: 정의역의 원소가 공역의 원소보다 많으면 일대일함수가 될 수 없으므로 일대일대응도 아니다.

자세히 보기펼치기그림왜 그런지

포함 관계

함수

(다)

일대일함수

(나)

일대일대응

(가)

일대일대응은 모두 일대일함수이고, 일대일함수는 모두 함수예요. 거꾸로는 성립하지 않아요. (나), (다) 가 그 예예요.

$X,\ Y$ 가 유한집합일 때 $f$ 가 일대일대응이면 $X$ 의 원소와 $Y$ 의 원소가 하나씩 남김없이 짝을 이뤄요.
따라서 $n(X)=n(Y)$ 이에요.
$f$ 가 일대일함수이면 서로 다른 함숫값이 $n(X)$ 개 나오므로 $n(X)\le n(Y)$ 이에요.

2항등함수와 상수함수

정의항등함수

함수

f:X\to X

에서 정의역

X

의 각 원소

x

에 자기 자신

x

가 대응할 때, 함수

f

를

X

에서의 항등함수 라 하고 보통

I

로 나타낸다.

I(x)=x

서로 다른 원소에 서로 다른 자기 자신이 대응하고 치역이

X

전체이므로 항등함수는 일대일대응이다.

정의상수함수

함수

f:X\to Y

에서 정의역

X

의 모든 원소에 공역의 원소

c

하나만 대응할 때, 함수

f

를 상수함수 라 한다.

f(x)=c

치역은

\{c\}

이다.
정의역의 원소가 두 개 이상이면 함숫값이 겹치므로 상수함수는 일대일함수가 아니다.

예

X=\{1,\ 2,\ 3\}

에서

X

로의 세 함수

\begin{array}{c|ccc} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline I(x) & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & 2 & 2 & 2 \\ \hline g(x) & 3 & 2 & 1 \end{array}

I

는 항등함수이고 일대일대응이에요.

f(x)=2

는 상수함수이고 일대일함수가 아니에요.

g

는 일대일대응이지만

g(1)=3\ne 1

이므로 항등함수가 아니에요.

학생

항등함수와 상수함수는 어떻게 달라요?

쌤

항등함수는 모든 원소가 자기 자신에 대응하는

I(x)=x

이고, 상수함수는 모든 원소가 같은 값 하나에 대응하는

f(x)=c

예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

X=\{1,\ 2,\ 3\}

에서

X

로의 함수 중 항등함수는?

항등함수의 조건

✗ 틀린 풀이

f:\{1,\ 2\}\to\{1,\ 2,\ 3\}

f(x)=x

는 항등함수이다.

왜 틀렸나 항등함수는 정의역과 공역이 같은 집합

X

이고 모든

x

에 대하여

f(x)=x

일 때만 말한다.

✓ 바른 풀이

정의역과 공역이 다르므로 항등함수가 아니다.
치역

\{1,\ 2\}

가 공역과 다르므로 일대일대응도 아니고, 일대일함수이다.

확인 방법: 먼저

X\to X

꼴인지, 즉 화살표 양쪽 집합이 같은지 본다.

3그래프로 판별하기

성질직선

y=k

로 판별하기

정의역과 공역이 실수의 집합일 때
일대일함수이면 함숫값이

k

인

x

가 하나뿐이다.
따라서 치역의 각 원소

k

에 대하여

x

축에 평행한 직선

y=k

와 그래프가 오직 한 점에서 만난다.
일대일대응이면 공역의 모든 원소가 치역에 들어 있다.
따라서 공역의 각 원소

k

에 대하여 직선

y=k

와 그래프가 오직 한 점에서 만난다.

공식판별에 쓰는 직선

함수

\displaystyle \text{직선 }x=a\text{ 와 한 점에서 만난다}

정의역의 각 원소

a

에 대하여

일대일함수

\displaystyle \text{직선 }y=k\text{ 와 한 점에서 만난다}

치역의 각 원소

k

에 대하여

일대일대응

\displaystyle \text{직선 }y=k\text{ 와 한 점에서 만난다}

공역의 각 원소

k

에 대하여

학생

세로선

x=a

와 가로선

y=k

가 헷갈려요.

쌤

세로선

x=a

는 함수인지 볼 때, 가로선

y=k

는 일대일함수인지 볼 때 써요.

x

하나에

y

가 하나인지,

y

하나에

x

가 하나인지를 보는 거예요.

y=x^2

과 직선

y=1

가로선

y=1

이 두 점

(-1,\ 1)

(1,\ 1)

에서 만나요. 서로 다른

x

에 같은 함숫값이 대응하므로 일대일함수가 아니에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 중 일대일함수인 것은?

세로선과 가로선

✗ 틀린 풀이

y=x^2

의 그래프는 모든 직선

x=a

와 한 점에서 만난다.
따라서 일대일함수이다.

왜 틀렸나 일대일함수인지는

x

축에 평행한 직선

y=k

가 그래프와 두 점 이상에서 만나지 않는지로 판별한다.

✓ 바른 풀이

y=x^2

의 그래프는 직선

y=1

과 두 점에서 만난다.
따라서 일대일함수가 아니다.

직선

x=a

는 함수인지를, 직선

y=k

는 일대일함수인지를 판별해요.

자세히 보기펼치기예제

예실수 전체의 집합에서 실수 전체의 집합으로의 함수

y=2x+1

2x+1=k

를 풀면

x=\frac{k-1}{2}

하나뿐이에요. 직선

y=k

와 점

\left(\frac{k-1}{2},\ k\right)

하나에서 만나므로 일대일대응이에요.

y=x^2

직선

y=1

과 두 점

(-1,\ 1),\ (1,\ 1)

에서 만나므로 일대일함수가 아니에요.

y=|x|

직선

y=2

와 두 점

(-2,\ 2),\ (2,\ 2)

에서 만나므로 일대일함수가 아니에요.

y=3

직선

y=3

과 무수히 많은 점에서 만나므로 일대일함수가 아니에요.

4일대일대응이 되는 조건

정의역과 공역이 실수 전체의 집합일 때 일차함수 $f(x)=ax+b\ (a\ne 0)$ 는 일대일대응이에요.
$a>0$ 이면 그래프가 계속 올라가고, $a<0$ 이면 계속 내려가므로 직선 $y=k$ 와 항상 한 점에서 만나기 때문이에요.
$a=0$ 이면 상수함수이므로 일대일함수가 아니에요.

성질정의역이 구간인 일차함수

f(x)=ax+b

가

X=\{x\mid p\le x\le q\}

에서

Y=\{y\mid r\le y\le s\}

로의 일대일대응이면 정의역의 양 끝이 공역의 양 끝에 대응한다.

a>0

이면 그래프가 오른쪽 위로 올라가므로

f(p)=r

f(q)=s

a<0

이면 그래프가 오른쪽 아래로 내려가므로

f(p)=s

f(q)=r

학생

왜 정의역의 양 끝이 공역의 양 끝에 대응해야 해요?

쌤

일차함수의 그래프는 계속 올라가거나 계속 내려가는 직선이라, 가장 작은 함숫값과 가장 큰 함숫값이 정의역의 양 끝에서 나와요. 치역이 공역과 같아야 하니까 그 두 값이 공역의 양 끝이어야 해요.

예

f(x)=ax+b

X=\{x\mid -1\le x\le 2\}

Y=\{y\mid 1\le y\le 7\}

a>0

이면

f(-1)=1,\ f(2)=7

이므로 두 식을 연립하여 풀면

\begin{cases} -a+b=1 \\ 2a+b=7 \end{cases}

따라서

a=2,\ b=3

a<0

이면

f(-1)=7,\ f(2)=1

이므로 두 식을 연립하여 풀면

\begin{cases} -a+b=7 \\ 2a+b=1 \end{cases}

따라서

a=-2,\ b=5

양 끝이 양 끝에 대응

점선 직사각형의 가로가 정의역

-1\le x\le 2

, 세로가 공역

1\le y\le 7

이에요. 올라가는 직선은 왼쪽 아래 끝에서 오른쪽 위 끝으로, 내려가는 직선은 왼쪽 위 끝에서 오른쪽 아래 끝으로 가요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f(x)=ax+b\ (a>0)

가

\{x\mid 0\le x\le 1\}

에서

\{y\mid 2\le y\le 5\}

로의 일대일대응일 때

f(0)

의 값은?

기울기가 음수일 때

✗ 틀린 풀이

a<0

인데 작은 끝끼리 대응시킨다.

f(-1)=1

왜 틀렸나 기울기가 음수이면

x

가 커질수록

y

가 작아지므로 정의역의 작은 끝이 공역의 큰 끝에 대응한다.

✓ 바른 풀이

a<0

이면 왼쪽 끝이 공역의 큰 끝에 대응한다.

f(-1)=7

확인 방법: 그래프가 내려가는 직선인지 올라가는 직선인지부터 그려 보고 양 끝을 짝짓는다.

성질이차함수의 정의역 제한

f(x)=(x-p)^2+q

의 그래프는 축

x=p

에 대하여 대칭이다.
그래서 실수 전체의 집합에서는

f(p-t)=f(p+t)

가 되어 일대일함수가 아니다.
정의역을 축의 오른쪽

\{x\mid x\ge p\}

로 제한하면 그래프가 계속 올라가므로 일대일함수가 된다.
이때 공역을

\{y\mid y\ge q\}

로 하면 일대일대응이 된다.
일반적으로

\{x\mid x\ge m\}

에서

\{y\mid y\ge n\}

로의 일대일대응이 되는 조건은 다음 두 가지이다.
① 정의역이 축의 한쪽에 있다. 즉

m\ge p

이다.
② 정의역의 시작점이 공역의 시작점에 대응한다. 즉

f(m)=n

이다.

예

f(x)=x^2-2x+3

완전제곱식으로 고치면

f(x)=(x-1)^2+2

축은 직선

x=1

이에요.

X=\{x\mid x\ge 2\}

이면

2\ge 1

이고

f(2)=3

이므로

Y=\{y\mid y\ge 3\}

일 때 일대일대응이에요.

X=\{x\mid x\ge 1\}

이면

f(1)=2

이므로

Y=\{y\mid y\ge 2\}

일 때 일대일대응이에요.

정의역이 축을 포함할 때

✗ 틀린 풀이

X=\{x\mid x\ge 0\}

Y=\{y\mid y\ge 3\}

f(0)=3

이므로 일대일대응이다.

왜 틀렸나 이차함수가 일대일대응이 되기 위해서는 정의역 전체가 그래프의 대칭축의 한쪽에만 있어야 한다.

✓ 바른 풀이

f(0)=f(2)=3

이므로 일대일함수가 아니다.
정의역이 축

x=1

의 양쪽에 걸쳐 있다.

확인 방법: 대칭축

x=1

을 먼저 구해 정의역의 시작점과 비교한다.

자세히 보기펼치기왜 그런지그림

일대일대응이 되도록 일차함수의 계수 정하기

1
기울기 $a$ 의 부호를 확인해요.
부호가 주어지지 않으면 $a>0$ , $a<0$ 두 경우를 모두 봐요.
2
양 끝의 대응을 식으로 써요.
$a>0$ 이면 작은 끝끼리, $a<0$ 이면 작은 끝과 큰 끝이 대응해요.
3
두 식을 연립하여 $a,\ b$ 를 구해요.
4
구한 $a$ 의 부호가 처음 가정과 맞는지 확인해요.

5함수의 개수

$n(X)=m,\ n(Y)=n$ 일 때 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수를 하나 정하는 것은 $X$ 의 원소마다 함숫값을 $Y$ 에서 하나씩 고르는 거예요.
고르는 과정이 잇달아 일어나므로 곱의 법칙으로 개수를 세요.
일대일함수의 개수는 순열의 수와 같아요.

공식

n(X)=m,\ n(Y)=n

일 때 함수의 개수

함수

\displaystyle n\times n\times\cdots\times n=n^m

원소

m

개마다

n

가지씩 고른다.

일대일함수

\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{m}=n(n-1)\cdots(n-m+1)

m\le n

이고, 이미 고른 값은 다시 고를 수 없다.

일대일대응

\displaystyle n!=n(n-1)\times\cdots\times 2\times 1

m=n

일 때 일대일함수의 개수와 같다.

상수함수

\displaystyle n

Y

의 원소 하나를 고르면 정해진다.

항등함수

\displaystyle 1

X=Y

일 때

I(x)=x

하나뿐이다.

학생

일대일대응은 언제 있을 수 있어요?

쌤

정의역과 공역의 원소의 개수가 같을 때만 있어요. 개수가 다르면 화살표 끝이 겹치거나 화살표를 받지 못한 원소가 생겨요. 개수가

n

으로 같을 때 일대일대응의 개수는

n!

이에요.

예같은 두 집합에서 여러 가지 함수의 개수

X=\{1,\ 2,\ 3\}

Y=\{4,\ 5,\ 6,\ 7\}

일 때
함수의 개수는

4^3=64

일대일함수의 개수는

4\times 3\times 2=24

상수함수의 개수는

4

X

에서

X

로의 일대일대응의 개수는

3!=6

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

X=\{1,\ 2\}

에서

Y=\{a,\ b,\ c\}

로의 함수의 개수는?

밑과 지수

✗ 틀린 풀이

X

에서

Y

로의 함수의 개수

3^4=81

왜 틀렸나

X

의 원소마다

Y

에서 하나씩 고르므로 밑은

Y

의 원소의 개수, 지수는

X

의 원소의 개수이다.

✓ 바른 풀이

X

에서

Y

로의 함수의 개수

4^3=64

확인 방법:

X

의 원소가

1

개이면 함수의 개수는

Y

의 원소의 개수와 같아야 한다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

X=\{1,\ 2,\ 3\}

에서

Y=\{4,\ 5,\ 6,\ 7\}

로의 일대일함수의 개수

1
$f(1)$ 은 $Y$ 의 원소 $4$ 개 중에서 골라요.
$4$ 가지
2
$f(2)$ 는 $f(1)$ 을 뺀 $3$ 개 중에서 골라요.
$3$ 가지
3
$f(3)$ 은 $f(1),\ f(2)$ 를 뺀 $2$ 개 중에서 골라요.
$2$ 가지
4
곱의 법칙에 의하여 $4\times 3\times 2=24$
${}_{4}\mathrm{P}_{3}=24$ 와 같아요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1일대일함수는 정의역의 서로 다른 원소에 서로 다른 함숫값이 대응하는 함수이다. 즉 $x_1\ne x_2$ 이면 $f(x_1)\ne f(x_2)$ 이다.
2일대일대응은 일대일함수이면서 치역과 공역이 같은 함수이다.
3항등함수는 $I(x)=x$ 인 $X$ 에서 $X$ 로의 함수이고, 상수함수는 모든 원소에 같은 값 $c$ 가 대응하는 함수이다.
4그래프로는 직선 $y=k$ 와 만나는 점의 개수로 판별하고, $n(X)=n(Y)=n$ 이면 $X$ 에서 $Y$ 로의 일대일대응의 개수는 $n!$ 이다.

✗ 자주 하는 실수

치역과 공역이 같기만 하면 일대일대응이라고 생각하거나, 일대일함수이면 모두 일대일대응이라고 생각해요.
그래프로 일대일함수를 판별할 때 직선 $y=k$ 대신 직선 $x=a$ 를 긋거나, 정의역이 구간인 일차함수에서 기울기가 음수인데도 작은 끝끼리 대응시켜요.
$n(X)=m,\ n(Y)=n$ 일 때 함수의 개수를 $m^n$ 으로 세거나, 일대일함수의 개수와 함수의 개수를 바꿔 세요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
집합 $X=\{-1,\ 0,\ 1\}$ 에서 $X$ 로의 세 함수 $f(x)=-x$ , $g(x)=x^2$ , $h(x)=1$ 중에서 일대일대응인 것과 상수함수인 것을 각각 고르시오.
예제 2
정의역이 $X=\{x\mid -1\le x\le 2\}$ , 공역이 $Y=\{y\mid -2\le y\le 7\}$ 인 함수 $f(x)=ax+b$ 가 일대일대응일 때, 상수 $a,\ b$ 의 값을 구하시오. (단, $a<0$ )
예제 3
두 집합 $X=\{1,\ 2,\ 3\}$ , $Y=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$ 에 대하여 $X$ 에서 $Y$ 로의 함수의 개수, 일대일함수의 개수, 상수함수의 개수를 각각 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 합성함수 →

이전 개념: 함수의 뜻과 그래프설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 일차함수와 그래프, 중3 이차함수와 그래프, 공통수학1 합의 법칙과 곱의 법칙, 공통수학1 순열공통수학2 목차

← 함수의 뜻과 그래프 합성함수 →

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