합의 법칙과 곱의 법칙

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

두 사건이 동시에 일어나지 않으면 경우의 수를 더하고(합의 법칙), 잇달아(동시에) 일어나면 곱해요(곱의 법칙).

1사건과 경우의 수
2합의 법칙
3곱의 법칙
4약수의 개수
5길 찾기, 색칠하기, 지불하기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (6개 · 핵심 용어 가리기)

1사건과 경우의 수

정의사건과 경우의 수

같은 조건에서 되풀이할 수 있는 실험이나 관찰의 결과를 사건이라 한다.
어떤 사건이 일어나는 모든 가짓수를 그 사건의 경우의 수 라 한다.
예를 들어 주사위 한 개를 던질 때 짝수의 눈이 나오는 사건은

2,\ 4,\ 6

이므로 경우의 수는

3

이다.

정의수형도

일정한 순서를 정해 나뭇가지 모양으로 모든 경우를 그린 그림을 수형도 라 한다.
가지 끝의 개수가 경우의 수이다.

학생

경우의 수를 셀 때 무엇을 조심해요?

쌤

빠뜨린 경우도, 두 번 센 경우도 없어야 해요.
그래서 순서를 정해 나뭇가지 모양의 수형도로 빠짐없이 그려 보면 좋아요.

수형도

1, 2, 3 이 적힌 카드 세 장으로 세 자리 자연수 만들기

123

132

1

213

231

2

312

321

3

2

3

1

3

1

2

첫 가지는 백의 자리, 가지 위의 수는 십의 자리예요. 일의 자리는 남은 한 장으로 정해져요.
가지 끝이

6

개이므로

6

가지예요. 백의 자리

3

가지마다

2

가지씩 갈라지는 모양이 곱의 법칙

3\times2\times1=6

이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

주사위 한 개를 던질 때

3

의 배수의 눈이 나오는 경우의 수는?

2합의 법칙

정의합의 법칙

두 사건

A

B

가 동시에 일어나지 않을 때,

A

가 일어나는 경우의 수가

m

B

가 일어나는 경우의 수가

n

이면

A

또는

B

가 일어나는 경우의 수는

m+n

이것을 합의 법칙이라 한다. 셋 이상의 사건에서도 같다.

학생

왜 그냥 더해도 돼요?

쌤

두 사건이 동시에 일어나지 않으면 두 묶음이 겹치지 않아서, 그대로 합친 것이 「

A

또는

B

」 전체예요.
겹치는 경우가 있으면 한 번 빼요.

주사위 두 개를 던져 눈의 합이 3 또는 4

큰\작은	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

합 $3$ $(1,2),\ (2,1)$ — $2$ 가지
합 $4$ $(1,3),\ (2,2),\ (3,1)$ — $3$ 가지
합의 법칙합이 $3$ 이면서 $4$ 일 수는 없으므로 $2+3=5$

칸 안의 수는 두 눈의 합이에요. 노란 칸이 세는 경우예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

주사위 두 개를 던져 눈의 합이

2

또는

3

인 경우의 수는?

성질겹치는 경우가 있으면 한 번 뺀다

두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 그냥 더할 때 겹친 경우를 두 번 세게 된다.
(A 또는 B 의 경우의 수)

=

(A 의 경우의 수)

+

(B 의 경우의 수)

-

(A, B 가 동시에 일어나는 경우의 수)
예:

1

부터

20

까지의 자연수 중

2

의 배수 또는

3

의 배수

2

의 배수는

10

개

3

의 배수는

6

개
둘 다인

6

의 배수

3

개가 두 번 세어졌다.
따라서

10+6-3=13

자세히 보기펼치기그림

1

부터

20

까지

2

의 배수 또는

3

의 배수

A

는

2

의 배수

10

개,

B

는

3

의 배수

6

개예요. 겹친 부분(

6

의 배수)

3

개를 그냥 더하면 두 번 세요.
칠한 부분은

7+3+3=13=10+6-3

개예요.

3곱의 법칙

정의곱의 법칙

사건

A

가 일어나는 경우의 수가

m

이고, 그 각각에 대하여 사건

B

가 일어나는 경우의 수가

n

이면
두 사건

A

B

가 잇달아(동시에) 일어나는 경우의 수는

m\times n

이것을 곱의 법칙이라 한다. 셋 이상의 사건에서도 같다.

A

가

2

가지, 그 각각에

B

가

3

가지

B_1

B_2

B_3

A_1

B_1

B_2

B_3

A_2

가지 끝은

3

개씩

2

묶음이므로

2\times3=6

개예요.

학생

왜 곱해요?

쌤

수형도에서

A

의 가지

m

개마다

B

의 가지가

n

개씩 갈라지니까, 가지 끝은 모두

m\times n

개예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

티셔츠

3

벌, 바지

2

벌에서 하나씩 골라 입는 방법의 수는?

공식합의 법칙과 곱의 법칙 나란히

합의 법칙

\displaystyle m+n

「

A

또는

B

」
두 사건이 동시에 일어나지 않을 때
경우를 나누어 센 다음 더한다.

곱의 법칙

\displaystyle m\times n

「

A

그리고

B

」
잇달아, 동시에 일어날 때
단계를 나누어 센 다음 곱한다.

「또는」 과 「그리고」

✗ 틀린 풀이

수학책

4

권, 영어책

3

권 중 한 권을 고르는 방법

4\times3=12

왜 틀렸나 한 권만 고르면 수학책 「또는」 영어책이므로 곱하지 않고 합의 법칙으로 더한다.

✓ 바른 풀이

수학책

4

권, 영어책

3

권 중 한 권을 고르는 방법

4+3=7

두 과목에서 한 권씩 함께 고를 때가 곱의 법칙이다. 「또는」이면 더하고 「그리고」이면 곱한다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 곱하는가?
수형도를 그리면 $A$ 의 가지 $m$ 개 각각에서 $B$ 의 가지가 $n$ 개씩 갈라져요.
가지 끝은 $n$ 개씩 $m$ 묶음이므로 모두 $m\times n$ 개예요. 이 법칙이 순열과 조합의 바탕이에요.

예곱의 법칙의 여러 모양

김밥

3

종류, 음료

4

종류에서 하나씩 고르기

3\times4=12

큰 주사위는 짝수, 작은 주사위는

3

의 배수가 나오는 경우

3\times2=6

(a+b)(x+y+z)

를 전개할 때 생기는 항의 개수

2\times3=6

앞 괄호에서 하나, 뒤 괄호에서 하나를 골라 곱하므로 곱의 법칙이에요.

4약수의 개수

성질약수의 개수

지수에 1 을 더해 곱한다

자연수

N

이

N=p^a\times q^b\times r^c

(

p,\ q,\ r

는 서로 다른 소수)로 소인수분해될 때

N

의 양의 약수의 개수는

(a+1)(b+1)(c+1)

지수가

0

인 경우도 고를 수 있으므로 각 지수에 1을 더한다.
틀로 기억: □

^{\triangle}

마다

(\triangle+1)

을 곱한다.

학생

지수에 왜

1

을 더해요?

쌤

72=2^3\times3^2

의 약수

2^i\times3^j

에서

i

는

0,\ 1,\ 2,\ 3

의

4

가지예요. 지수

0

도 고를 수 있어서

3+1

이에요.

i

를 고른 각각에

j

를 고르니까 곱의 법칙으로 곱해요.

72=2^3\times3^2

의 약수를 표로

3^0

3^1

3^2

2^0

1

3

9

2^1

2

6

18

2^2

4

12

36

2^3

8

24

72

i

는

0,\ 1,\ 2,\ 3

의

4

가지,

j

는

0,\ 1,\ 2

의

3

가지예요.
칸이

4\times3=12

개이므로 약수는

12

개예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

2^2\times5^3

의 양의 약수의 개수는?

지수 0 을 빠뜨리기

✗ 틀린 풀이

72=2^3\times3^2

의 약수의 개수

3\times2=6

왜 틀렸나 각 소인수의 지수는

0

부터 고를 수 있으므로 (지수

+1

)끼리 곱해야 한다.

✓ 바른 풀이

72=2^3\times3^2

의 약수의 개수

(3+1)(2+1)=12

검산: 약수

1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72

를 직접 세면

12

개이다.

자세히 보기펼치기예제성질 더 보기

응용

360

의 약수의 개수

360=2^3\times3^2\times5^1

↳◀소인수분해

(3+1)(2+1)(1+1)=24

↳◀지수에

1

을 더해 곱해요

5=5^1

이므로 지수는

3,\ 2,\ 1

이에요.

성질약수의 총합(같은 원리)

72=2^3\times3^2

의 약수는

(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)

을 전개한 항 하나하나이다.
따라서 약수의 총합은

(1+2+4+8)(1+3+9)=15\times13=195

전개한 항의 개수

4\times3=12

가 약수의 개수와 같다.

5길 찾기, 색칠하기, 지불하기

단계가 여러 개인 문제는 먼저 경우를 겹치지 않게 나누고(합의 법칙), 나눈 경우마다 단계를 차례로 정해 곱해요(곱의 법칙).
색칠하기는 맞닿은 영역끼리 다른 색이 되도록 한 영역씩 차례로 칠해요.

길 찾기

A→B

3

가지, B→C

2

가지, A→C 바로

2

가지

3\times2=6

↳◀B 를 거쳐 가기(곱의 법칙)

2

↳◀C 로 바로 가기

6+2=8

↳◀두 경우를 더해요(합의 법칙)

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

A→B 길이

2

가지, B→C 길이

4

가지일 때, A 에서 B 를 거쳐 C 로 가는 방법의 수는?

색칠하기 ① 일렬로 놓인 세 영역

4

↳◀A: 아무 색

3

↳◀B: A 의 색을 피해요

3

↳◀C: B 의 색만 피해요

4\times3\times3=36

↳◀곱의 법칙

서로 다른

4

가지 색으로 칠하고, 같은 색을 여러 번 써도 돼요. A 와 C 는 맞닿지 않으므로 같은 색이어도 돼요.

자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제 2

여러 단계로 이루어진 문제를 세는 순서

1
경우를 겹치지 않게 나눠요.
합의 법칙
2
나눈 경우마다 단계를 차례로 정해 곱해요.
곱의 법칙
3
나눈 경우의 결과를 더해요.

색칠하기

맞닿은 영역은 다른 색

1
가장 많은 영역과 맞닿은 영역부터 칠해요.
제약이 가장 많은 곳을 먼저 정해야 뒤의 계산이 간단해요.
2
다음 영역은 이미 칠한, 맞닿은 영역의 색만 피해요.
맞닿지 않은 영역과는 같은 색이어도 돼요.
3
각 단계의 가짓수를 곱해요.
곱의 법칙

색칠하기 ② 한 영역이 나머지와 모두 맞닿은 경우

4

↳◀A: 아무 색

3

↳◀B: A 의 색을 피해요

2

↳◀C: A, B 의 색을 피해요

2

↳◀D: A, C 의 색을 피해요

4\times3\times2\times2=48

↳◀곱의 법칙

A 는 B, C, D 와 모두 맞닿고, B 와 D 는 맞닿지 않아 같은 색이어도 돼요.
가장 많이 맞닿은 A 부터 칠해요.

지불 방법·금액의 수

100

원

3

개,

50

원

2

개,

10

원

4

개

4\times3\times5-1=59

↳◀방법: 각 동전

0

개부터, 모두

0

개 제외

100\text{원}\ 1\text{개}=50\text{원}\ 2\text{개}

↳◀금액이 겹쳐요

9\times5-1=44

↳◀금액:

50

원

8

개,

10

원

4

개로

일부 또는 전부로 지불해요(

0

원 제외). 동전마다

0

개부터 고를 수 있어

3+1,\ 2+1,\ 4+1

가지예요.
금액을 셀 때는

100

원

3

개를

50

원

6

개로 바꾸어 겹침을 없애요.

금액이 겹치는데 그대로 곱하기

✗ 틀린 풀이

지불 금액의 수

4\times3\times5-1=59

왜 틀렸나 금액을 셀 때는 같은 금액이 겹치지 않도록 큰 단위 동전을 작은 단위 동전으로 바꾸어 센다.

✓ 바른 풀이

지불 금액의 수

9\times5-1=44

100

원

1

개와

50

원

2

개는 내는 방법은 다르지만 금액은 같다. 방법의 수와 금액의 수를 구별한다.

검산 방법: 경우가 적으면 수형도나 순서쌍을 직접 써서 센 개수와 비교해요.
공식으로 구한 답이 전체 경우의 수보다 크거나, 합의 법칙을 썼는데 두 사건이 겹친다면 다시 확인해요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1경우의 수는 「빠짐없이, 중복 없이」 센다. 수형도는 그 기본 도구이다.
2두 사건이 동시에 일어나지 않으면 경우의 수를 더한다(합의 법칙). 「또는」 으로 이어진다.
3한 사건의 각 경우마다 다른 사건이 일어나면 경우의 수를 곱한다(곱의 법칙). 「그리고, 잇달아, 동시에」 로 이어진다.
4 $p^a q^b$ 의 양의 약수의 개수는 $(a+1)(b+1)$ 이다. 지수 $0$ 도 고를 수 있어 $+1$ 이 붙는다.

✗ 자주 하는 실수

한 개만 고르는 「또는」 상황에서 곱의 법칙을 써요.
두 사건이 동시에 일어날 수 있는데 그냥 더해 겹친 경우를 두 번 세요.
약수의 개수를 구할 때 지수에 $1$ 을 더하지 않아요(지수 $0$ 인 경우를 빠뜨려요).

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 $4$ 또는 $9$ 인 경우의 수를 구하시오.
예제 2
$540$ 의 양의 약수의 개수를 구하시오.
예제 3
영역 A 가 영역 B, C, D 와 모두 맞닿아 있고, B 와 C, C 와 D 가 맞닿아 있다(B 와 D 는 맞닿지 않는다). 서로 다른 $5$ 가지 색으로 네 영역을 칠할 때, 맞닿은 영역은 서로 다른 색을 칠하는 방법의 수를 구하시오. (단, 같은 색을 여러 번 써도 된다.)

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다음 개념: 순열 →

설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 경우의 수, 공통수학2 집합의 연산 법칙과 원소의 개수 (나중에), 확률과 통계 확률의 덧셈정리와 여사건 (나중에), 중1 소인수분해공통수학1 목차

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