수학 개념 노트전체 과목

이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
이차함수 y=f(x)y=f(x) 의 그래프와 직선 y=mx+ny=mx+n 의 교점의 xx 좌표는 f(x)=mx+nf(x)=mx+n 을 정리한 이차방정식의 실근이에요. 그 판별식의 부호로 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지 판정해요.
  1. 1교점의 xx 좌표와 이차방정식
  2. 2판별식과 위치 관계
  3. 3접할 조건으로 미정계수 구하기
  4. 4두 교점의 xx 좌표의 합과 곱
  5. 5나란히 비교하기
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1교점의 xx 좌표와 이차방정식

성질교점의 xx 좌표
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 와 y=mx+ny=mx+n 의 교점의 xx 좌표는 이차방정식ax2+(b−m)x+(c−n)=0ax^2+(b-m)x+(c-n)=0의 실근이다.
교점의 yy 좌표는 구한 xx 를 직선의 식에 넣어 얻는다.
학생
왜 두 식을 같다고 놓아요?
쌤
교점은 두 그래프 위에 모두 있는 점이라 yy 값이 같거든요.
두 식을 연립하여 yy 를 소거하면 xx 에 대한 이차방정식이 나와요.
y=x2−3x+1y=x^2-3x+1 과 y=x−2y=x-2 의 교점
x2−3x+1=x−2x^2-3x+1=x-2
↳yy 를 소거해요
x2−4x+3=0x^2-4x+3=0
↳우변을 이항
(x−1)(x−3)=0 ⇒ x=1, 3(x-1)(x-3)=0\ \Rightarrow\ x=1,\ 3
↳교점의 xx 좌표
y=−1,  y=1y=-1,\ \ y=1
↳직선의 식에 넣어요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2y=x^2 과 y=x+2y=x+2 의 교점의 xx 좌표는?
이항할 때 부호
✗ 틀린 풀이
x2−3x+1=x−2x^2-3x+1=x-2 에서
x2−2x−1=0x^2-2x-1=0
왜 틀렸나 이항하면 부호가 바뀌므로 우변의 xx 와 −2-2 는 좌변에서 −x-x 와 +2+2 가 된다.
✓ 바른 풀이
x2−3x+1=x−2x^2-3x+1=x-2 에서
x2−4x+3=0x^2-4x+3=0
검산: 구한 xx 를 두 식에 넣어 yy 가 같은지 본다. x=1x=1 이면 두 식 모두 −1-1 이다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기예제
성질xx 축은 직선 y=0y=0
「그래프와 xx 축」은 직선이 y=0y=0 (m=0, n=0m=0,\ n=0)인 특별한 경우이다.
일반적인 직선에서는 이차식에서 직선의 식을 뺀 f(x)−(mx+n)=0f(x)-(mx+n)=0 을 본다.
같은 방법을 원과 직선의 위치 관계에서도 쓴다.
위로 볼록하고 기울기가 음수일 때
y=−x2+2x+3y=-x^2+2x+3 과 y=−2x+3y=-2x+3
−x2+2x+3=−2x+3-x^2+2x+3=-2x+3
↳yy 를 소거해요
−x2+4x=0-x^2+4x=0
↳우변을 이항
−x(x−4)=0 ⇒ x=0, 4-x(x-4)=0\ \Rightarrow\ x=0,\ 4
↳교점의 xx 좌표
y=3,  y=−5y=3,\ \ y=-5
↳직선의 식에 넣어요
교점은 (0, 3)(0,\ 3), (4, −5)(4,\ -5) 이에요.

2판별식과 위치 관계

정의접한다
직선이 이차함수의 그래프와 한 점에서만 만나고 그 점에서 그래프를 뚫고 지나가지 않을 때, 직선이 그래프에 접한다 고 한다.
이 직선을 접선, 만나는 점을 접점이라 한다. 이때 정리한 이차방정식은 중근을 가진다.
공식ax2+(b−m)x+(c−n)=0ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 의 판별식 DD
D>0D>0
서로 다른 두 점에서 만난다\displaystyle \text{서로 다른 두 점에서 만난다}
D=0D=0
한 점에서 만난다(접한다)\displaystyle \text{한 점에서 만난다(접한다)}
이 직선을 접선, 만나는 점을 접점이라 한다.
D<0D<0
만나지 않는다\displaystyle \text{만나지 않는다}
D≥0D\ge0
만난다\displaystyle \text{만난다}
접하는 경우를 포함한다.
학생
판별식은 어느 식으로 계산해요?
쌤
이차함수의 식이 아니라, 직선의 식을 빼서 정리한 ax2+(b−m)x+(c−n)=0ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 으로 계산해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2y=x^2 과 y=2x−1y=2x-1 의 위치 관계는?
판별식은 정리한 식으로
✗ 틀린 풀이
y=x2+3x+2y=x^2+3x+2 와 y=x+1y=x+1 에서
D=32−4⋅2=1>0D=3^2-4\cdot2=1>0
두 점에서 만난다
왜 틀렸나 직선과의 위치 관계는 두 식을 같게 놓고 정리한 이차방정식의 판별식으로 판단한다.
✓ 바른 풀이
x2+2x+1=0x^2+2x+1=0 에서
D4=12−1=0\frac{D}{4}=1^2-1=0
접한다
이차함수 쪽 식만의 판별식은 그래프와 xx 축의 관계를 알려 줄 뿐이에요. 직선과의 관계는 직선의 식을 빼서 정리한 식으로 봐요.
자세히 보기펼치기그림왜 그런지예제
위치 관계를 판정하는 순서
  1. 1
    f(x)=mx+nf(x)=mx+n 으로 놓아요.
    두 식을 연립하여 yy 를 소거한 거예요.
  2. 2
    한쪽으로 모아 ( )x2+( )x+( )=0(\ )x^2+(\ )x+(\ )=0 꼴로 정리해요.
    xx 의 계수는 b−mb-m, 상수항은 c−nc-n 이에요.
  3. 3
    정리한 식의 계수로 판별식을 계산해요.
    xx 의 계수가 짝수이면 D4\frac{D}{4} 를 써요.
  4. 4
    DD 의 부호로 판정해요.
세 가지 경우
y=x2+3x+2,y=x+1y=x^2+3x+2,\quad y=x+1
↳①
x2+2x+1=0,  D4=0x^2+2x+1=0,\ \ \frac{D}{4}=0
↳접해요, 접점 (−1, 0)(-1,\ 0)
y=x2,y=2x−3y=x^2,\quad y=2x-3
↳②
x2−2x+3=0,  D4=−2<0x^2-2x+3=0,\ \ \frac{D}{4}=-2<0
↳만나지 않아요
y=x2+x−1,y=2x+1y=x^2+x-1,\quad y=2x+1
↳③
x2−x−2=0,  D=9>0x^2-x-2=0,\ \ D=9>0
↳두 점에서 만나요
이차식에서 직선의 식을 빼서 정리한 식의 판별식으로 판정해요.

3접할 조건으로 미정계수 구하기

「접한다」는 조건이 주어지면 정리한 식의 판별식에 대해 D=0D=0 이라는 방정식을 세워요. 이 방정식을 풀어 모르는 계수를 구해요.

yy 절편이 미지수
y=x2+2x+3y=x^2+2x+3 과 y=2x+ky=2x+k 가 접할 때
x2+2x+3=2x+kx^2+2x+3=2x+k
↳yy 를 소거해요
x2+3−k=0x^2+3-k=0
↳정리해요
D=02−4(3−k)=4k−12=0D=0^2-4(3-k)=4k-12=0
↳접하므로 D=0D=0
k=3k=3
↳중근 x=0x=0, 접점 (0, 3)(0,\ 3)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2+3y=x^2+3 과 y=2x+ky=2x+k 가 접할 때 kk 의 값은?
⚠ 주의「만난다」와 「서로 다른 두 점에서 만난다」
「만난다」는 접하는 경우까지 포함하므로 D≥0D\ge0, 「서로 다른 두 점에서 만난다」는 D>0D>0 이에요.
「만나지 않는다」는 D<0D<0 이에요.
학생
기울기가 미지수이면요?
쌤
y=mxy=mx 처럼 기울기가 미지수이면 D=0D=0 이 mm 에 대한 이차방정식이 되어 접선이 두 개 나올 수 있어요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

접점의 xx 좌표는 중근이므로 x=−b−m2ax=-\frac{b-m}{2a}(접선의 방정식은 미분으로도 구할 수 있어요.)

기울기가 미지수
원점을 지나는 직선 y=mxy=mx 가 y=x2+4y=x^2+4 에 접할 때
x2+4=mx ⇒ x2−mx+4=0x^2+4=mx\ \Rightarrow\ x^2-mx+4=0
↳yy 를 소거해요
D=m2−16=0D=m^2-16=0
↳접하므로 D=0D=0
m=4: x=2, 접점 (2, 8)m=4:\ x=2,\ \text{접점}\ (2,\ 8)
m=−4: x=−2, 접점 (−2, 8)m=-4:\ x=-2,\ \text{접점}\ (-2,\ 8)

4두 교점의 xx 좌표의 합과 곱

성질두 교점의 xx 좌표의 합과 곱
두 교점의 xx 좌표 α, β\alpha,\ \beta 는 정리한 방정식 ax2+(b−m)x+(c−n)=0ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 의 두 근이다.
따라서 교점을 직접 구하지 않아도 근과 계수의 관계로 구한다.α+β=−b−ma,αβ=c−na\alpha+\beta=-\frac{b-m}{a},\qquad \alpha\beta=\frac{c-n}{a}
y=x2−5x+2y=x^2-5x+2 와 y=x+ky=x+k 의 두 교점
x2−6x+2−k=0x^2-6x+2-k=0
↳직선의 식을 빼요
D4=9−(2−k)=7+k>0\frac{D}{4}=9-(2-k)=7+k>0
↳두 점에서 만나려면
k>−7k>-7
α+β=6,αβ=2−k\alpha+\beta=6,\quad \alpha\beta=2-k
↳근과 계수의 관계
합과 곱을 쓰기 전에 두 점에서 만나는지(D>0D>0) 먼저 확인해요. 만나지 않으면 교점 α, β\alpha,\ \beta 가 없어요.
학생
이차함수의 식만 보고 합을 구하면 안 돼요?
쌤
안 돼요. 두 교점의 xx 좌표는 직선의 식을 뺀 이차방정식의 두 근이라서, 그 식에서 합을 구해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2+3xy=x^2+3x 와 y=x+5y=x+5 의 두 교점의 xx 좌표의 합은?
합은 정리한 식에서
✗ 틀린 풀이
y=x2−5x+2y=x^2-5x+2 의 xx 의 계수로
α+β=5\alpha+\beta=5
왜 틀렸나 교점의 xx 좌표는 두 식을 같게 놓고 정리한 방정식의 근이므로 그 식의 계수로 합을 구한다.
✓ 바른 풀이
x2−6x+2−k=0x^2-6x+2-k=0 에서
α+β=6\alpha+\beta=6
x2−5x+2=0x^2-5x+2=0 의 두 근은 xx 축과의 교점이에요. 직선과의 교점은 직선의 식을 뺀 방정식의 근이에요.
자세히 보기펼치기예제
거꾸로
교점의 xx 좌표가 1, 31,\ 3 일 때
x2+(a−2)x+b−1=0x^2+(a-2)x+b-1=0
↳직선 y=2x+1y=2x+1 의 식을 빼요
−(a−2)=1+3 ⇒ a=−2-(a-2)=1+3\ \Rightarrow\ a=-2
↳두 근의 합
b−1=1⋅3 ⇒ b=4b-1=1\cdot3\ \Rightarrow\ b=4
↳두 근의 곱
x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
↳검산 ✓
y=x2+ax+by=x^2+ax+b 와 y=2x+1y=2x+1 의 두 교점의 xx 좌표가 1, 31,\ 3 이에요.

5나란히 비교하기

공식xx 축과의 관계 · 직선과의 관계
xx 축 (y=0y=0)
ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0
판별식 D=b2−4acD=b^2-4ac
직선 y=mx+ny=mx+n
ax2+(b−m)x+(c−n)=0\displaystyle ax^2+(b-m)x+(c-n)=0
판별식 D=(b−m)2−4a(c−n)D=(b-m)^2-4a(c-n)
공통
D>0, D=0, D<0\displaystyle D>0,\ D=0,\ D<0
두 점에서 만남 / 접함 / 만나지 않음
학생
xx 축과의 관계와 직선과의 관계는 뭐가 같아요?
쌤
xx 축은 직선 y=0y=0 이에요.
둘 다 「이차식 −- 직선의 식 =0=0」의 판별식으로 판정하는 같은 방법이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2+x+1y=x^2+x+1 과 직선 y=xy=x 의 위치 관계를 볼 때 판별식을 계산할 식은?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 와 y=mx+ny=mx+n 의 교점의 xx 좌표는 ax2+bx+c=mx+nax^2+bx+c=mx+n 의 실근이다.
  2. 2한쪽으로 모아 ax2+(b−m)x+(c−n)=0ax^2+(b-m)x+(c-n)=0 으로 정리한 뒤, 이 식의 판별식 DD 로 판정한다.
  3. 3D>0D>0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D=0D=0 이면 접하고, D<0D<0 이면 만나지 않는다.
  4. 4접한다는 조건은 D=0D=0 이라는 방정식이 되어 미정계수를 구하게 해 준다. 두 교점의 xx 좌표의 합과 곱은 정리한 식에서 근과 계수의 관계로 구한다.
✗ 자주 하는 실수
  • f(x)=mx+nf(x)=mx+n 을 정리하지 않고 이차함수 쪽 식의 판별식으로 판정해요.
  • 직선의 식을 이항할 때 부호를 바꾸지 않아 b+mb+m, c+nc+n 으로 계산해요.
  • 두 교점의 xx 좌표의 합을 처음 이차식의 계수 −ba-\frac{b}{a} 로 구해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    이차함수 y=x2−x+1y=x^2-x+1 의 그래프와 직선 y=x+4y=x+4 의 교점의 좌표를 구하시오.
  2. 예제 2
    이차함수 y=x2+3x+ky=x^2+3x+k 의 그래프와 직선 y=x+2y=x+2 가 접할 때, 상수 kk 의 값과 접점의 좌표를 구하시오.
  3. 예제 3
    이차함수 y=−x2+2x+1y=-x^2+2x+1 의 그래프와 직선 y=mx+2y=mx+2 가 만나지 않도록 하는 실수 mm 의 값의 범위를 구하시오.

다음 공부

이전 개념: 이차방정식과 이차함수의 관계설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 일차함수의 식과 일차방정식, 공통수학2 원과 직선의 위치 관계 (나중에), 중2 일차함수와 그래프, 미적분Ⅰ 접선의 방정식 (나중에)공통수학1 목차
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