일차함수의 식과 일차방정식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

기울기와 한 점이 주어지면

y=ax+b

에 대입하여

b

를, 두 점이 주어지면 기울기를 먼저 구해요. 일차방정식

ax+by+c=0

의 그래프는 직선이고,

x=p

는

y

축에,

y=q

는

x

축에 평행하며, 연립방정식의 해는 두 그래프의 교점의 좌표예요.

1일차함수의 식 구하기
2일차방정식의 그래프
3좌표축에 평행한 직선
4연립방정식의 해와 그래프
5일차함수의 활용
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1일차함수의 식 구하기

공식주어진 조건과 식 세우기

기울기

a

y

절편

b

\displaystyle y=ax+b

바로 쓴다.

기울기

a

, 한 점

(x_1,\ y_1)

\displaystyle y_1=ax_1+b

y=ax+b

에 대입하여

b

를 구한다.

두 점

(x_1,\ y_1)

(x_2,\ y_2)

\displaystyle a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

기울기를 구한 뒤 한 점을 대입한다.

x

절편

m

y

절편

n

\displaystyle y=-\frac{n}{m}x+n

두 점

(m,\ 0)

(0,\ n)

을 지난다.

학생

조건이 여러 가지인데 다 따로 외워야 해요?

쌤

아니요. 결국 기울기

a

와

y

절편

b

를 찾는 문제예요. 둘 중 모르는 것은 지나는 점을 대입해 구하면 돼요.

기울기와 한 점이 주어질 때

기울기

3

, 점

(-1,\ 2)

y=3x+b

↳◀

y=ax+b

에 기울기를 넣어요

2=3\times(-1)+b

↳◀지나는 점을 대입

b=5\ \to\ y=3x+5

두 점이 주어질 때

(1,\ 3)

(3,\ 7)

a=\frac{7-3}{3-1}=2

↳◀기울기를 먼저

3=2\times1+b

↳◀한 점을 대입

b=1\ \to\ y=2x+1

두 점이 주어지면 먼저 기울기를 구하고, 그다음 한 점을 대입해요. 구한 식에 나머지 한 점을 넣어 성립하면 검산이 돼요. 위의 예에서 $x=3$ 을 넣으면 $y=7$ 이 나와요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

기울기가

2

이고 점

(1,\ 5)

를 지나는 직선의 식은?

두 점으로 식을 세울 때

✗ 틀린 풀이

두 점

(1,\ 3)

(3,\ 7)

을 지나는 직선은
기울기가

2

이므로

y=2x+3

왜 틀렸나

y

절편은

x=0

일 때의

y

의 값이므로 지나는 점을

y=2x+b

에 넣어

b

를 구해야 한다.

✓ 바른 풀이

두 점

(1,\ 3)

(3,\ 7)

을 지나는 직선은

3=2\times1+b

에서

b=1

이므로

y=2x+1

검산:

y=2x+1

에

(3,\ 7)

을 넣으면

7=6+1

로 두 점을 모두 지난다.

평행한 직선의 식

✗ 틀린 풀이

y=3x+1

과 평행하고 점

(2,\ 1)

을 지나는 직선은

y=3x+1

왜 틀렸나 평행한 직선은 기울기만 같으므로

y

절편은 지나는 점을 넣어 새로 구해야 한다.

✓ 바른 풀이

y=3x+1

과 평행하고 점

(2,\ 1)

을 지나는 직선은

1=3\times2+b

에서

b=-5

이므로

y=3x-5

검산:

y=3x-5

에

(2,\ 1)

을 넣으면

1=6-5

로 성립한다.

자세히 보기펼치기예제 2

예기울기와

y

절편

기울기가

3

이고

y

절편이

-2

인 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식은

y=3x-2

예두 절편이 주어질 때

x

절편이

3

y

절편이

6

인 직선은 두 점

(3,\ 0)

(0,\ 6)

을 지나요.
기울기는

\frac{6-0}{0-3}=-2

y

절편이

6

이므로

y=-2x+6

2일차방정식의 그래프

정의직선의 방정식

미지수가

2

개인 일차방정식

ax+by+c=0

(단,

a

b

c

는 상수,

a\ne0

또는

b\ne0

)
의 해를 좌표평면 위에 나타내면 직선이 된다. 이 방정식을 직선의 방정식이라 한다.

x+2y-4=0

의 해

해

(0,\ 2),\ (2,\ 1),\ (4,\ 0),\ (-2,\ 3)

이 모두 한 직선 위에 있어요.

y

에 대하여 풀면

y=-\frac{1}{2}x+2

예요.

학생

일차방정식의 그래프와 일차함수의 그래프는 뭐가 달라요?

쌤

y

의 계수가

0

이 아니면

y

에 대하여 풀어 일차함수로 바꿀 수 있어서 같은 직선이에요.

x+2y-4=0

은

y=-\frac{1}{2}x+2

의 그래프와 같아요.

성질일차방정식과 일차함수

ax+by+c=0

에서

b\ne0

이면

y

에 대하여 풀어

y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}

따라서 기울기는

-\frac{a}{b}

y

절편은

-\frac{c}{b}

이다.
공식을 외우기보다 매번

y=\cdots

꼴로 고쳐서 읽는다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

2x+y-6=0

의 그래프의 기울기는?

이항할 때 부호

✗ 틀린 풀이

3x-2y+6=0

에서

-2y=3x+6

y=-\frac{3}{2}x-3

왜 틀렸나 항을 등호의 반대쪽으로 옮길 때는 부호를 바꾸어야 하므로

3x

와

6

모두 부호가 바뀐다.

✓ 바른 풀이

3x-2y+6=0

에서

-2y=-3x-6

y=\frac{3}{2}x+3

검산:

y=\frac{3}{2}x+3

위의 점

(0,\ 3)

을 처음 식에 넣으면

0-6+6=0

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

예를 들어 미지수가 $2$ 개인 일차방정식 $x+2y-4=0$ 의 해 $(x,\ y)$ 는 무수히 많아요. $x$ , $y$ 의 값의 범위가 수 전체일 때 해를 모두 좌표평면에 나타내면 직선이 돼요.

예일차방정식을

y=ax+b

꼴로

3x-2y+6=0

에서

y

를 포함한 항만 남기고 이항하면

-2y=-3x-6

양변을

-2

로 나누면

y=\frac{3}{2}x+3

기울기는

\frac{3}{2}

y

절편은

3

이에요.

y=0

을 넣으면

x=-2

이므로

x

절편은

-2

이에요.

3좌표축에 평행한 직선

정의

x=p

y=q

의 그래프

방정식

x=p

(

p

는 상수) 의 그래프는 점

(p,\ 0)

을 지나고 y축에 평행한 직선이다. (

x

축에 수직)
방정식

y=q

(

q

는 상수) 의 그래프는 점

(0,\ q)

를 지나고

x

축에 평행한 직선이다. (

y

축에 수직)
특히

x=0

의 그래프는

y

축,

y=0

의 그래프는

x

축이다.

x=2

와

y=-1

의 그래프

$x=2$ 세로선: $x$ 좌표가 모두 $2$ 인 점들, 일차함수가 아니에요.
$y=-1$ 가로선: $y$ 좌표가 모두 $-1$ 인 점들, 기울기가 $0$ 이에요.

x=p

는 세로선,

y=q

는 가로선이에요.

학생

x=2

는 왜 세로선이에요?

x

축과 자꾸 헷갈려요.

쌤

x=2

는

y

가 무엇이든

x

좌표가

2

인 점들이에요.

(2,\ 0)

(2,\ 1)

(2,\ 3)

처럼 위아래로 늘어서니 세로선, 곧

y

축에 평행한 직선이에요.

⚠ 주의

x=p

는 함수가 아니다

x=2

에서

x

의 값

2

에

y

의 값이 무수히 많이 대응하므로

y

는

x

의 함수가 아니에요.

y=3

은 모든

x

에

y=3

하나가 대응하므로 함수이지만,

x

의 계수가

0

이므로 일차함수는 아니에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

점

(-1,\ 4)

를 지나고

y

축에 평행한 직선은?

평행한 축

✗ 틀린 풀이

점

(3,\ -2)

를 지나고

x

축에 평행한 직선은

x=3

왜 틀렸나

x

축에 평행한 직선은 가로로 놓인 선이므로 그 위의 모든 점은

y

좌표가 같다.

✓ 바른 풀이

점

(3,\ -2)

를 지나고

x

축에 평행한 직선은

y=-2

기억 요령:

x

축 자체의 식이

y=0

이므로

x

축에 평행한 직선도

y=

(수) 꼴이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가요? 방정식 $x=2$ 는 $0\times y+x-2=0$ 으로 볼 수 있어요. $y$ 의 값에 관계없이 $x$ 는 항상 $2$ 예요.
$ax+by+c=0$ 에서 $b=0$ 이면 $x=-\frac{c}{a}$ 꼴, $a=0$ 이면 $y=-\frac{c}{b}$ 꼴이 돼요.

예

x

좌표가 같은 두 점

두 점

(1,\ 4)

(1,\ -3)

은

x

좌표가 같으므로 두 점을 지나는 직선은

y

축에 평행해요.
따라서 직선의 방정식은

x=1

이때는 기울기를

\frac{-3-4}{1-1}

로 구할 수 없어요.

4연립방정식의 해와 그래프

성질연립방정식의 해와 교점

연립방정식의 해는 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표와 같다.

x+y=3

과

2x-y=0

의 그래프

두 직선은 점

(1,\ 2)

에서 만나요. 교점은 두 직선 위에 모두 있으므로 두 방정식을 동시에 만족해요. 그래서 해와 교점이 같아요.

학생

왜 교점의 좌표가 연립방정식의 해예요?

쌤

교점은 두 직선 위에 모두 있는 점이에요. 그래서 그 좌표는 두 방정식을 동시에 만족해요.

공식두 그래프의 위치와 해의 개수

한 점에서 만남

\displaystyle \text{해가 하나}

기울기가 다르다.

평행

\displaystyle \text{해가 없다}

기울기는 같고

y

절편이 다르다.

일치

\displaystyle \text{해가 무수히 많다}

기울기와

y

절편이 모두 같다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

두 직선

x+y=5

x-y=1

의 교점의 좌표는?

자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제 2

이유를 예로 확인해 봐요. 두 식 $x+y=3$ , $2x-y=0$ 을 연립하면 두 식을 더해 $3x=3$ , 곧 $x=1$ 이에요. 이것을 $x+y=3$ 에 넣으면 $y=2$ 예요.

예그래프로 해의 개수 판단

두 식을 연립하면

\begin{cases} x+2y=3 \\ 2x+4y=5 \end{cases}

각각

y

에 대하여 풀면

y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}

y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}

기울기는 같고

y

절편이 다르므로 두 그래프는 평행해요.
따라서 해가 없어요.

두 직선

x+y=4

2x-y=5

의 교점을

y=ax-2

가 지날 때

3x=9\ \to\ x=3

↳◀두 식을 더해요

y=4-3=1

↳◀교점

(3,\ 1)

1=3a-2\ \to\ a=1

↳◀

y=ax-2

에 대입

5일차함수의 활용

활용 문제에서는 처음의 양( $x=0$ 일 때의 값)이 $y$ 절편, $x$ 가 $1$ 늘 때마다 변하는 양이 기울기예요.

예물 넣기

10

L 의 물이 들어 있는 물통에

1

분에

3

L 씩 물을 넣어요.

x

분 후의 물의 양을

y

L 라 하면

y=3x+10

20

분 후에는

y=3\times20+10=70

이므로

70

학생

양이 줄어들면 기울기는 어떻게 써요?

쌤

x

가

1

늘 때

y

가 줄어들면 기울기는 음수예요.

1

분에

3

L 씩 물이 빠지면 기울기는

-3

이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

길이

30

cm 인 양초가

1

분에

2

cm 씩 탈 때,

x

분 후 양초의 길이

y

cm 의 식은?

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

활용 문제 풀기

1
변하는 두 양을 $x$ , $y$ 로 놓아요.
2
처음의 양( $x=0$ 일 때의 값)과 일정하게 변하는 양을 찾아요.
처음의 양이 $y$ 절편, $x$ 가 $1$ 증가할 때의 변화량이 기울기예요.
3
$y=ax+b$ 꼴의 식을 세워요.
4
주어진 $x$ 또는 $y$ 의 값을 대입하여 답을 구하고, 뜻에 맞는지 확인해요.

지면의 기온이 $20$ °C 이고, 높이가 $1$ km 높아질 때마다 기온이 $6$ °C 씩 내려가요. 높이 $x$ km 인 곳의 기온을 $y$ °C 라 해요.

높이와 기온

y=-6x+20

↳◀처음

20

1

km 마다

-6

-4=-6x+20

↳◀기온

-4

°C 를 대입

x=4

↳◀높이

4

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1기울기 $a$ 와 $y$ 절편 $b$ 를 알면 $y=ax+b$ 이다. 기울기와 한 점을 알면 $y=ax+b$ 에 그 점을 대입하여 $b$ 를 구하고, 두 점을 알면 기울기를 먼저 구한다.
2미지수가 $2$ 개인 일차방정식 $ax+by+c=0$ 의 그래프는 직선이다. $b\ne0$ 이면 일차함수 $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$ 의 그래프와 같다.
3 $x=p$ 의 그래프는 $y$ 축에 평행한 직선, $y=q$ 의 그래프는 $x$ 축에 평행한 직선이다.
4연립방정식의 해는 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표이다. 두 그래프가 평행하면 해가 없고, 일치하면 해가 무수히 많다.

✗ 자주 하는 실수

두 점으로 식을 구할 때 한 점의 $y$ 좌표를 그대로 $y$ 절편으로 써요.
$x=p$ 의 그래프를 $x$ 축에 평행한 직선이라고 생각해요.
$ax+by+c=0$ 을 $y=\cdots$ 꼴로 고칠 때 이항하는 항의 부호를 바꾸지 않아요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
기울기가 $-2$ 이고 점 $(3,\ 1)$ 을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.
예제 2
두 점 $(-2,\ 4)$ , $(4,\ 1)$ 을 지나는 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.
예제 3
두 일차방정식 $ax+y=5$ , $x-y=1$ 의 그래프의 교점의 $x$ 좌표가 $2$ 일 때, 상수 $a$ 의 값을 구하시오.

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