수학 개념 노트전체 과목

다항식의 덧셈과 뺄셈

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
괄호를 풀고 동류항끼리 계산해요. 뺄셈은 빼는 식의 모든 항의 부호를 바꾸어 더해요.
  1. 1덧셈과 뺄셈의 방법
  2. 2덧셈의 교환법칙·결합법칙
  3. 3여러 겹 괄호 풀기
  4. 4식을 대입하여 계산하기
  5. 5조건을 만족하는 다항식 구하기
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1덧셈과 뺄셈의 방법

정의다항식의 덧셈
두 다항식을 더할 때는 괄호를 풀고 동류항 끼리 모아 계수를 더한다. 보통 결과를 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리해 쓴다.
정의다항식의 뺄셈
A−BA-B 는 BB의 각 항의 부호을 바꾼 식 −B-B 를 AA에 더한 것과 같다.A−B=A+(−B)A-B=A+(-B)
학생
다항식을 뺄 때 왜 모든 항의 부호를 바꿔요?
쌤
−B-B 는 (−1)×B(-1)\times B 예요.
분배법칙에 따라 −1-1 이 BB 의 항 하나하나에 모두 곱해지니까, 첫째 항만이 아니라 모든 항의 부호가 바뀌어요.
공식괄호 풀기 규칙
앞이 ++
+(a−b+c)=a−b+c\displaystyle +(a-b+c)=a-b+c
부호를 그대로 두고 괄호만 없앤다.
앞이 −-
−(a−b+c)=−a+b−c\displaystyle -(a-b+c)=-a+b-c
모든 항의 부호가 바뀐다.
앞이 수 kk
k(a−b)=ka−kb\displaystyle k(a-b)=ka-kb
kk 를 모든 항에 곱한다.
앞이 −k-k
−k(a−b)=−ka+kb\displaystyle -k(a-b)=-ka+kb
−k-k 전체(부호 포함)를 모든 항에 곱한다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−(2x2−x+3)-(2x^2-x+3) 의 괄호를 풀면?
괄호 앞이 −- 일 때
✗ 틀린 풀이
−(3x2−2x+1)=−3x2−2x+1-(3x^2-2x+1)=-3x^2-2x+1
왜 틀렸나 괄호 앞의 −- 는 −1-1 을 곱하는 것이므로 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾸어야 한다.
✓ 바른 풀이
−(3x2−2x+1)=−3x2+2x−1-(3x^2-2x+1)=-3x^2+2x-1
확인: x=1x=1 을 넣으면 −(3−2+1)=−2-(3-2+1)=-2 이고, 바른 결과 −3+2−1-3+2-1 도 −2-2 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

항이 많으면 동류항끼리 세로로 줄을 맞추어 계산해도 돼요. 빠진 차수가 있으면 그 자리를 비워 두어 다른 차수의 항과 섞이지 않게 해요. 뺄셈은 아랫줄의 부호를 모두 바꾸어 더하는 것과 같아요. 다항식의 나눗셈도 이렇게 세로로 줄을 맞춰 계산해요.

예세로로 계산하기
덧셈 (2x2−3x+1)+(x2+4x−5)(2x^2-3x+1)+(x^2+4x-5) 와 뺄셈 (x3+2x−1)−(3x2−x+4)(x^3+2x-1)-(3x^2-x+4) 를 세로로 쓰면2x2−3x+1+ )x2+4x−53x2+x−4x3+2x−1− )3x2−x+4x3−3x2+3x−5\begin{array}{rrrr} & 2x^2 & -3x & +1\\ +\,) & x^2 & +4x & -5\\ \hline & 3x^2 & +x & -4\end{array}\qquad\begin{array}{rrrrr} & x^3 & & +2x & -1\\ -\,) & & 3x^2 & -x & +4\\ \hline & x^3 & -3x^2 & +3x & -5\end{array}오른쪽은 x2x^2 항이 없는 자리를 비워 두었어요.
뺄 때 −x-x 를 빼면 +x+x 가 돼요.
+4+4 를 빼면 −4-4 가 돼요.

2덧셈의 교환법칙·결합법칙

성질덧셈의 교환법칙·결합법칙
세 다항식 A,B,CA, B, C 에 대하여A+B=B+AA+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)그래서 여러 식을 더할 때는 순서와 괄호에 상관없이 동류항끼리 모으면 되고, (A+B)+C(A+B)+C 를 그냥 A+B+CA+B+C 로 쓴다.
학생
왜 순서를 바꿔도 돼요?
쌤
결국 계수(수)끼리 더하는 거라서 수의 교환법칙·결합법칙이 그대로 성립하거든요.
다만 뺄셈은 순서를 바꾸면 모든 항의 부호가 반대가 돼요.
공식덧셈과 뺄셈 나란히 보기
덧셈
A+B=B+A\displaystyle A+B=B+A
순서를 바꾸어도 같다.
뺄셈
A−B=−(B−A)\displaystyle A-B=-(B-A)
순서를 바꾸면 모든 항의 부호가 반대가 된다. 뺄셈에는 교환법칙이 성립하지 않는다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A−B=x2−7x+6A-B=x^2-7x+6 일 때 B−AB-A 는?
예A=2x2−3x+1, B=x2+4x−5A=2x^2-3x+1,\ B=x^2+4x-5
A−B=x2−7x+6A-B=x^2-7x+6
B−A=−x2+7x−6B-A=-x^2+7x-6
두 결과는 모든 항의 부호만 반대예요.
뺄셈도 A+(−B)A+(-B) 처럼 덧셈으로 바꾸어 쓰면 교환법칙·결합법칙을 쓸 수 있어요.

3여러 겹 괄호 풀기

성질괄호를 푸는 순서
괄호가 겹쳐 있으면 가장 안쪽 괄호부터 푼다.
소괄호 ( )(\ ) → 중괄호 { }\{\ \} → 대괄호 [ ][\ ] 의 순서이다.
안쪽 괄호부터
3x2−[2x−{x2−(4x−1)}]3x^2-[2x-\{x^2-(4x-1)\}]
3x2−[2x−{x2−(4x−1)}]3x^2-[2x-\{x^2-(4x-1)\}]
↳주어진 식
=3x2−[2x−{x2−4x+1}]=3x^2-[2x-\{x^2-4x+1\}]
↳소괄호를 풀어요
=3x2−[−x2+6x−1]=3x^2-[-x^2+6x-1]
↳중괄호를 풀어요
=4x2−6x+1=4x^2-6x+1
↳대괄호를 풀어요
앞이 −- 인 괄호를 풀 때마다 안의 모든 항의 부호가 바뀌어요.
x=1x=1 을 넣으면 풀기 전 식과 결과식이 모두 −1-1 이에요.
학생
괄호 하나 풀 때마다 정리해야 해요?
쌤
꼭 그래야 하는 건 아니지만, 정리해 두면 식이 짧아져 다음 괄호의 부호 처리가 쉬워요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x−{2x−(x−1)}x-\{2x-(x-1)\} 을 간단히 하면?
⚠ 주의−- 가 겹치면
−- 를 두 번 지나면 원래 부호, 세 번 지나면 반대 부호예요.
위 식에서 −1-1 은 −- 를 세 번(( ), { }, [ ]( \ ),\ \{\ \},\ [\ ] 앞) 지나 최종 +1+1 이 되었어요.
바깥 괄호부터 풀어도 결과는 같지만, 안쪽부터 풀면 한 번에 부호 하나만 생각하면 되어 실수가 적어요.

4식을 대입하여 계산하기

A, B, CA,\ B,\ C 가 다항식으로 주어지고 2A−3B2A-3B 같은 식을 계산할 때, A, BA,\ B 는 「다항식 하나 전체」를 가리키는 이름이에요. 그래서 식을 넣을 때는 반드시 괄호째 넣어요.

2A−3B2A-3B 와 검산
2A−3B2A-3B
↳주어진 식
=2(2x2−3x+1)−3(x2+4x−5)=2(2x^2-3x+1)-3(x^2+4x-5)
↳괄호째 대입
=4x2−6x+2−3x2−12x+15=4x^2-6x+2-3x^2-12x+15
↳괄호를 풀어요
=x2−18x+17=x^2-18x+17
↳동류항 정리
x=2x=2 이면 A=3, B=7A=3,\ B=7 이라 2⋅3−3⋅7=−152\cdot3-3\cdot7=-15, 결과식도 4−36+17=−154-36+17=-15 예요.
x=1x=1 은 A, BA,\ B 가 모두 00 이라 검산에 알맞지 않아요.
학생
식을 넣기 전에 먼저 할 수 있는 일이 있어요?
쌤
2(A−B)−(A−3B)2(A-B)-(A-3B) 처럼 복잡하면 A, BA,\ B 에 대하여 먼저 간단히 한 뒤 넣어요.
그러면 계산이 줄어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=x+1, B=x−2A=x+1,\ B=x-2 일 때 A−2BA-2B 는?
괄호 없이 대입하기
✗ 틀린 풀이
2A−3B=2(2x2−3x+1)−3x2+4x−52A-3B=2(2x^2-3x+1)-3x^2+4x-5
왜 틀렸나 다항식 BB 를 대입할 때는 괄호로 묶어 넣어야 −3-3 이 BB 의 모든 항에 곱해진다.
✓ 바른 풀이
2A−3B=2(2x2−3x+1)−3(x2+4x−5)2A-3B=2(2x^2-3x+1)-3(x^2+4x-5)
바른 계산은 −3(x2+4x−5)=−3x2−12x+15-3(x^2+4x-5)=-3x^2-12x+15 이다. 식을 대입할 때는 항상 괄호부터 씌운다.
계수를 모든 항에
✗ 틀린 풀이
2A=2(2x2−3x+1)=4x2−3x+12A=2(2x^2-3x+1)=4x^2-3x+1
왜 틀렸나 분배법칙에 따라 괄호 앞의 22 는 괄호 안의 세 항에 모두 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
2A=2(2x2−3x+1)=4x2−6x+22A=2(2x^2-3x+1)=4x^2-6x+2
확인: 결과의 각 항이 처음 식의 각 항의 22 배인지 하나씩 맞추어 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
계산 순서
  1. 1
    A, B, CA,\ B,\ C 에 대한 식을 먼저 간단히 해요.
    문자 A, BA,\ B 를 동류항처럼 보고 괄호를 풀어요.
  2. 2
    각 식을 괄호째 대입해요.
    −3B=−3(x2+4x−5)-3B=-3(x^2+4x-5) 처럼 괄호를 씌워요.
  3. 3
    괄호를 풀고(계수·부호를 모든 항에) 동류항을 정리해요.
  4. 4
    검산: 특정한 xx 의 값에서 A, BA,\ B 의 값을 먼저 구해 넣은 값과 결과식의 값을 비교해요.
먼저 간단히 하면
2(A−B)−(A−3B)2(A-B)-(A-3B)
2(A−B)−(A−3B)2(A-B)-(A-3B)
↳주어진 식
=2A−2B−A+3B=2A-2B-A+3B
↳괄호를 풀어요
=A+B=A+B
↳A, BA,\ B 끼리 정리
=3x2+x−4=3x^2+x-4
↳그때 대입해요
A=2x2−3x+1, B=x2+4x−5A=2x^2-3x+1,\ B=x^2+4x-5
처음부터 대입하면 괄호가 네 겹 생겨 부호 실수가 생기기 쉬워요.

5조건을 만족하는 다항식 구하기

X−2A=BX-2A=B 처럼 모르는 다항식 XX 가 들어 있는 등식은 일차방정식을 풀 듯이 이항하여 XX 를 A, BA,\ B 로 먼저 나타낸 뒤 대입해요. 다항식의 덧셈과 뺄셈은 수의 덧셈과 뺄셈과 같은 법칙을 따르므로, 양변에 같은 식을 더하거나 빼도 등식이 성립해요.

X−2A=BX-2A=B 를 만족하는 XX
X−2A=BX-2A=B
↳주어진 식
X=2A+BX=2A+B
↳양변에 2A2A 를 더해요
=2(2x2−3x+1)+(x2+4x−5)=2(2x^2-3x+1)+(x^2+4x-5)
↳괄호째 대입
=5x2−2x−3=5x^2-2x-3
↳동류항 정리
검산: X−2A=5x2−2x−3−(4x2−6x+2)=x2+4x−5=BX-2A=5x^2-2x-3-(4x^2-6x+2)=x^2+4x-5=B
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
X+A=BX+A=B 일 때 XX 를 A, BA,\ B 로 나타내면?
A−X=BA-X=B 에서 XX 구하기
✗ 틀린 풀이
X=B−AX=B-A
왜 틀렸나 A−X=BA-X=B 의 양변에 XX 를 더하고 BB 를 빼면 X=A−BX=A-B 가 된다.
✓ 바른 풀이
X=A−BX=A-B
위 A, BA,\ B 로는 X=x2−7x+6X=x^2-7x+6 이다.
구한 XX 를 다시 넣어 A−X=BA-X=B 가 되는지 확인한다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1다항식의 덧셈은 괄호를 풀고 동류항끼리 계수를 더하는 것이다.
  2. 2뺄셈 A−BA-B 는 BB의 모든 항의 부호를 바꾸어 더한다. 괄호 앞의 −- 는 괄호 안 모든 항에 곱해지는 −1-1 이다.
  3. 3괄호가 여러 겹이면 안쪽부터 소괄호 → 중괄호 → 대괄호 순서로 푼다.
  4. 4A, B, CA,\ B,\ C 로 주어진 계산은 먼저 A, B, CA,\ B,\ C 에 대한 식을 간단히 한 뒤, 식을 괄호째 대입한다.
✗ 자주 하는 실수
  • A−BA-B 에서 BB의 첫째 항만 부호를 바꿔요.
  • 「어떤 식에 AA를 더해야 할 것을 잘못하여 뺐더니」 유형에서 어떤 식을 구하지 않고 바로 답을 써요.
  • 2A−3B2A-3B 에서 계수 3을 BB의 첫째 항에만 곱해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    A=2x2−3x+1A=2x^2-3x+1, B=x2+4x−5B=x^2+4x-5 일 때 A−BA-B 를 계산하시오.
  2. 예제 2
    A=x2+xy−2y2A=x^2+xy-2y^2, B=2x2−3xy+y2B=2x^2-3xy+y^2, C=−x2+2xy+3y2C=-x^2+2xy+3y^2 일 때 3A−{2B−(A−C)}3A-\{2B-(A-C)\} 를 계산하시오.
  3. 예제 3
    어떤 다항식에서 x2−2x+3x^2-2x+3 을 빼야 할 것을 잘못하여 더했더니 3x2+x−13x^2+x-1 이 되었다. 바르게 계산한 결과를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 다항식의 곱셈과 곱셈공식 →
이전 개념: 다항식의 정리설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 일차식의 계산, 중1 정수와 유리수의 덧셈과 뺄셈, 중1 일차방정식공통수학1 목차
← 다항식의 정리다항식의 곱셈과 곱셈공식 →
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