수학 개념 노트전체 과목

소수와 거듭제곱

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
약수가 11 과 자기 자신뿐인 11 보다 큰 자연수가 소수이고, 약수가 33 개 이상인 자연수가 합성수예요. 같은 수를 거듭 곱한 것은 232^3 처럼 밑과 지수로 나타내요.
  1. 1약수의 개수로 자연수 나누기
  2. 2에라토스테네스의 체
  3. 3거듭제곱
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1약수의 개수로 자연수 나누기

먼저 11 부터 1010 까지 자연수의 약수를 모두 적어 봐요. 약수가 몇 개인지 세어 보면 세 무리로 나뉘어요.

11 부터 1010 까지를 약수의 개수로 나누면
11
2, 3, 5, 72,\ 3,\ 5,\ 7
4, 6, 8, 9, 104,\ 6,\ 8,\ 9,\ 10
1∼101\sim10
약수 11 개
약수 22 개
약수 33 개 이상
가운데 무리가 소수, 아래 무리가 합성수예요. 11 은 어느 쪽도 아니에요.
정의소수와 합성수
11 보다 큰 자연수 중에서 11 과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 소수 라 한다.
11 보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수, 곧 약수가 33 개 이상인 수를 합성수 라 한다.
성질11 은 소수도 합성수도 아니다
11 의 약수는 11 하나뿐이다.
약수가 22 개가 아니므로 소수가 아니고, 33 개 이상도 아니므로 합성수도 아니다.
따라서 자연수는 다음 세 가지로 나뉜다.
11
소수 (약수 22 개)
합성수 (약수 33 개 이상)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 소수는?
「소수는 모두 홀수」?
✗ 틀린 풀이
모든 소수는 홀수이다.
왜 틀렸나 소수는 약수가 11 과 자기 자신뿐인 수이고, 짝수 22 도 약수가 1, 21,\ 2 뿐이므로 소수이다.
✓ 바른 풀이
22 는 짝수인 소수이다.
22 를 뺀 소수는 모두 홀수이다.
기억 요령: 짝수인 소수는 22 하나뿐이다.
4, 6, 84,\ 6,\ 8 처럼 22 보다 큰 짝수는 22 로 나누어떨어지므로 소수가 아니다.
11 의 분류
✗ 틀린 풀이
11 은 약수가 자기 자신뿐이므로 소수이다.
왜 틀렸나 소수는 약수가 정확히 22 개인 수인데, 11 은 약수가 11 하나뿐이므로 소수가 아니다.
✓ 바른 풀이
11 은 소수도 합성수도 아니다.
기억 요령: 11 은 소수도 합성수도 아닌 특별한 수이다.
가장 작은 소수는 22 이다.
자세히 보기펼치기공식 더 보기성질 더 보기
공식11 부터 1010 까지의 약수
11
1\displaystyle 1
약수 11 개
22
1, 2\displaystyle 1,\ 2
약수 22 개 →\to 소수
33
1, 3\displaystyle 1,\ 3
약수 22 개 →\to 소수
44
1, 2, 4\displaystyle 1,\ 2,\ 4
약수 33 개 →\to 합성수
55
1, 5\displaystyle 1,\ 5
약수 22 개 →\to 소수
66
1, 2, 3, 6\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 6
약수 44 개 →\to 합성수
77
1, 7\displaystyle 1,\ 7
약수 22 개 →\to 소수
88
1, 2, 4, 8\displaystyle 1,\ 2,\ 4,\ 8
약수 44 개 →\to 합성수
99
1, 3, 9\displaystyle 1,\ 3,\ 9
약수 33 개 →\to 합성수
1010
1, 2, 5, 10\displaystyle 1,\ 2,\ 5,\ 10
약수 44 개 →\to 합성수
성질소수와 합성수의 성질
가장 작은 소수는 22 이다.
22 는 짝수인 소수이고, 짝수인 소수는 22 하나뿐이다.
44 이상의 짝수는 모두 11, 22, 자기 자신을 약수로 가지므로(약수 33 개 이상) 합성수이다.
그러나 홀수라고 모두 소수인 것은 아니다.
9=3×39=3\times3
21=3×721=3\times7
51=3×1751=3\times17
합성수는 11 과 자기 자신 말고도 약수가 있으므로 11 보다 큰 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있다.

2에라토스테네스의 체

어떤 수가 소수인지 알아보려면 약수를 모두 찾아야 해요. 수가 많을 때는 거꾸로 「소수가 아닌 수」를 지워 나가는 것이 빨라요. 이 방법을 에라토스테네스의 체라 해요.

11 부터 100100 까지의 소수 찾기
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100
2의 배수3의 배수5의 배수7의 배수남은 수 = 소수
  • ①11 을 지워요(소수가 아님).
  • ②22 는 남기고 22 의 배수를 모두 지워요.
  • ③33 은 남기고 33 의 배수를 지워요(이미 지운 66 등은 그대로).
  • ④55, 77 도 같은 방법으로: 49=7×749=7\times7, 91=7×1391=7\times13 등이 지워져요.
  • ⑤남은 수가 모두 소수예요. 11×11=121>10011\times11=121>100 이므로 100100 이하의 합성수는 2, 3, 5, 72,\ 3,\ 5,\ 7 의 배수로 이미 지워져 있어요.
학생
지우지 않고 남긴 수는 왜 꼭 소수예요?
쌤
남긴 수는 자기보다 작은 어떤 소수로도 나누어떨어지지 않아서 지워지지 않은 거예요. 그래서 11 과 자기 자신 말고는 약수가 없어요.
성질100100 이하의 소수 (2525 개)
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 292,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 7131,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71
73, 79, 83, 89, 9773,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97
5050 이하의 소수는 앞의 1515 개이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 합성수는?
⚠ 주의검산
어떤 수 nn 이 소수인지 확인할 때는 2,3,5,7,…2, 3, 5, 7, \dots 로 차례로 나누어 봐요.
예) 9191 은 77 로 나누어떨어져요.
91=7×1391=7\times13 이므로 합성수예요.
홀수이고 33 의 배수가 아니라고 바로 소수라고 하면 안 돼요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 이 방법으로 소수만 남을까요?
남기는 수는 자기보다 작은 어떤 소수의 배수도 아니므로 11 과 자기 자신 말고는 약수가 없어요. 곧 소수예요.
지우는 수는 어떤 소수의 배수이므로 11 과 자기 자신 말고 약수를 하나 더 가져요. 곧 합성수예요.
소수로 차례로 나누어 보는 방법은 소인수분해에서 그대로 써요.

3거듭제곱

정의거듭제곱, 밑, 지수
같은 수나 문자를 여러 번 곱한 것을 거듭제곱이라 한다.2×2×2=232\times2\times2=2^3232^3 에서 거듭하여 곱한 수 22 를 거듭제곱의 밑, 곱한 횟수 33 을 거듭제곱의 지수 라 한다.
공식거듭제곱 읽기
제곱
32=3×3=9\displaystyle 3^2=3\times3=9
33 의 제곱
세제곱
33=3×3×3=27\displaystyle 3^3=3\times3\times3=27
33 의 세제곱
네제곱
34=3×3×3×3=81\displaystyle 3^4=3\times3\times3\times3=81
33 의 네제곱
11 제곱
51=5\displaystyle 5^1=5
55 를 한 번 곱한 것은 55 자신이다.
학생
지수가 11 이면 어떻게 써요?
쌤
21=22^1=2 라서 지수 11 은 보통 생략해요. 그래서 23×32^3\times3 의 33 은 313^1 과 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
343^4 의 값은?
거듭제곱은 곱셈
✗ 틀린 풀이
23=2×3=62^3=2\times3=6
왜 틀렸나 거듭제곱 232^3 은 밑 22 를 지수 33 만큼, 곧 세 번 거듭하여 곱한 것이다.
✓ 바른 풀이
23=2×2×2=82^3=2\times2\times2=8
확인 방법: 2×2=42\times2=4, 4×2=84\times2=8 처럼 한 번씩 곱해 나가면 값을 확인할 수 있다.
분수의 거듭제곱에는 괄호
✗ 틀린 풀이
23×23=223\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{2^2}{3}
왜 틀렸나 분수를 거듭제곱할 때는 괄호로 묶어 분자와 분모를 모두 같은 횟수만큼 곱한다.
✓ 바른 풀이
23×23=(23)2=2232=49\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}
확인 방법: 23×23\frac{2}{3}\times\frac{2}{3} 을 직접 곱하면 분자는 2×2=42\times2=4, 분모는 3×3=93\times3=9 이다.
밑이 다르면 합칠 수 없다
✗ 틀린 풀이
23×32=652^3\times3^2=6^5
왜 틀렸나 밑이 다른 거듭제곱은 하나로 합칠 수 없으므로 각각 계산하여 곱하거나 그대로 둔다.
✓ 바른 풀이
23×32=8×9=722^3\times3^2=8\times9=72
바른 계산은 23=82^3=8, 32=93^2=9 를 각각 구해 곱한다.
거듭제곱으로 나타낼 때는 23×322^3\times3^2 그대로 둔다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기예제

232^3 은 「22 의 세제곱」이라고 읽어요. 같은 수를 여러 번 곱할 때 곱하는 수와 횟수만 적어 간단히 나타낸 거예요.

성질□ 와 △ 의 틀
□×□×⋯×□⏟△개=□△\underbrace{\square\times\square\times\cdots\times\square}_{\triangle\text{개}}=\square^{\triangle}□ 자리(밑)에는 자연수뿐 아니라 분수도 들어간다.
△ 자리(지수)는 곱한 횟수이다.
예밑이 여러 개이거나 분수일 때
서로 다른 수가 섞여 있으면 같은 수끼리 모아 각각 거듭제곱으로 나타내요.
2×2×3×3×3=22×332\times2\times3\times3\times3=2^2\times3^3
분수를 거듭 곱할 때는 분수 전체에 괄호를 씌워요.
13×13×13=(13)3\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{3}\right)^3
이 값은 127\frac{1}{27} 이에요.
성질헷갈리는 두 식
밑과 지수를 바꾸면
23=82^3=8
32=93^2=9
밑과 지수를 바꾸면 값이 달라진다.
232^3 은 22 를 33 번, 323^2 은 33 을 22 번 곱한 것이다.
자주 쓰는 거듭제곱 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 22, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 10242,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ 512,\ 1024
210=25=□2^{10}=2^5=\square
단계 1 / 23, 9, 27, 81, 2433,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243
34=33=□3^4=3^3=\square
단계 1 / 2
53=52=□5^3=5^2=\square
성질거꾸로
수를 거듭제곱으로 나타내기
6464 를 거듭제곱으로 나타내 보자.
22 로 계속 나누면 64→32→16→8→4→2→164\to32\to16\to8\to4\to2\to1 로 66 번 만에 11 이 된다. 즉 22 를 66 번 곱한 수이다.
따라서 64=2664=2^6
같은 수를 밑을 바꾸어 나타낼 수도 있다.
64=4364=4^3
64=8264=8^2
검산은 다시 곱해 본다.
4×4×4=644\times4\times4=64 ✓
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 111 보다 큰 자연수 중 약수가 11 과 자기 자신뿐인 수를 소수, 약수가 33 개 이상인 수를 합성수라 한다.
  2. 211 은 약수가 11 개뿐이므로 소수도 아니고 합성수도 아니다. 따라서 자연수는 11, 소수, 합성수로 나뉜다.
  3. 3에라토스테네스의 체: 11 을 지우고, 남은 수 중 가장 작은 수는 남기고 그 배수를 지우는 일을 되풀이하면 소수만 남는다.
  4. 4같은 수를 거듭 곱한 것을 거듭제곱이라 한다. 2×2×2=232\times2\times2=2^3 에서 22 를 밑, 33 을 지수라 한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 11 을 소수라고 생각해요(11 은 소수도 합성수도 아니에요).
  • 홀수는 모두 소수, 짝수는 모두 합성수라고 생각해요(99 는 합성수, 22 는 소수예요).
  • 232^3 을 2×3=62\times3=6 으로 계산하거나, 23×23\frac{2}{3}\times\frac{2}{3} 을 괄호 없이 223\frac{2^2}{3} 으로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다음 수 중에서 소수와 합성수를 각각 모두 고르시오.1,2,9,13,21,29,511,\quad 2,\quad 9,\quad 13,\quad 21,\quad 29,\quad 51
  2. 예제 2
    다음을 거듭제곱을 사용하여 나타내시오.
    (1) 2×2×2×5×5×72\times2\times2\times5\times5\times7
    (2) 13×13×13\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}
  3. 예제 3
    3a=813^a=81, 2b=322^b=32 일 때, 자연수 aa, bb 에 대하여 a+ba+b 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 소인수분해 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 지수법칙과 단항식의 계산 (나중에)중학교 1학년 목차
소인수분해 →
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