집합의 연산 법칙과 원소의 개수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

합집합과 교집합에 대하여 교환·결합·분배법칙과 드모르간 법칙

(A\cup B)^C=A^C\cap B^C

(A\cap B)^C=A^C\cup B^C

가 성립하고, 유한집합에서

n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

이에요.

1교환법칙과 결합법칙
2분배법칙
3드모르간 법칙
4차집합의 성질과 식 간단히 하기
5포함 관계와 같은 표현
6유한집합의 원소의 개수
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1교환법칙과 결합법칙

성질교환법칙

「

A

또는

B

」와 「

B

또는

A

」는 같은 뜻이고, 「그리고」도 마찬가지이므로 연산하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다. 이것을 교환법칙이라 한다.

A\cup B=B\cup A

A\cap B=B\cap A

성질결합법칙

세 집합을 합하거나 공통인 원소를 고를 때 어느 두 집합을 먼저 연산해도 결과가 같다.

(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)

(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)

그래서 괄호 없이

A\cup B\cup C

A\cap B\cap C

로 쓴다.

학생

그럼 집합의 연산은 모두 순서를 바꿔도 돼요?

쌤

아니요. 차집합

A-B

는

A

에만 있는 원소,

B-A

는

B

에만 있는 원소라서 보통 달라요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

다음 중 항상 성립하는 것은?

⚠ 주의차집합에는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다

A=\{1,\ 2,\ 3\},\ B=\{2,\ 3\},\ C=\{3\}

이면

(A-B)-C=\{1\}-\{3\}=\{1\}

A-(B-C)=\{1,\ 2,\ 3\}-\{2\}=\{1,\ 3\}

차집합은

A\cap B^C

로 바꾼 뒤에 법칙을 써요.

자세히 보기펼치기예제

예

A=\{1,\ 2\},\ B=\{2,\ 3\},\ C=\{3,\ 4\}

로 결합법칙 확인하기

A\cup B=\{1,\ 2,\ 3\}

이므로

(A\cup B)\cup C=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}

B\cup C=\{2,\ 3,\ 4\}

이므로

A\cup(B\cup C)=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}

2분배법칙

성질분배법칙

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)

A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)

괄호 밖의 집합과 연산을 괄호 안의 두 집합에 각각 나누어 준다. 이것을 분배법칙이라 한다.

학생

분배법칙은 수에서와 같아요?

쌤

비슷해요. 수에서는 곱셈만 덧셈에 분배되지만, 집합에서는

\cap

가

\cup

에,

\cup

가

\cap

에 모두 분배돼요.

분배법칙

A\cap(B\cup C)

$A$ ①, ④, ⑥, ⑦
$B\cup C$ ②, ③, ④, ⑤, ⑥, ⑦
$A\cap(B\cup C)$ 공통인 ④, ⑥, ⑦ (칠한 곳)
$(A\cap B)\cup(A\cap C)$ $A\cap B$ 는 ④, ⑦, $A\cap C$ 는 ⑥, ⑦ 이므로 모으면 ④, ⑥, ⑦

①②③ 은 한 집합에만, ④⑤⑥ 은 두 집합에만, ⑦ 은 세 집합 모두, ⑧ 은 어디에도 없는 영역이에요. 두 식의 영역이 같아요.

예

A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\},\ B=\{2,\ 4,\ 6\},\ C=\{3,\ 6,\ 9\}

로 분배법칙 확인하기

B\cup C=\{2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9\}

이므로

A\cap(B\cup C)=\{2,\ 3,\ 4\}

A\cap B=\{2,\ 4\}

A\cap C=\{3\}

이므로

(A\cap B)\cup(A\cap C)=\{2,\ 3,\ 4\}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

A\cup(B\cap C)

와 같은 것은?

나누어 주기를 빠뜨리기

✗ 틀린 풀이

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup C

왜 틀렸나 분배법칙에서는

A\cap

를 괄호 안의

B

와

C

모두에 나누어 주어야 한다.

✓ 바른 풀이

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)

검산:

A=\{1\},\ B=\{2\},\ C=\{3\}

이면

A\cap(B\cup C)=\varnothing

이고,

(A\cap B)\cup(A\cap C)=\varnothing

으로 같다.

자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기

첫째 법칙이 성립하는 이유를 원소로 확인해 봐요.
$x\in A\cap(B\cup C)$ 는 「 $x\in A$ 그리고 ( $x\in B$ 또는 $x\in C$ )」이에요.
$B$ , $C$ 중 어느 쪽에 있는지로 나누어 말하면 「( $x\in A$ 그리고 $x\in B$ ) 또는 ( $x\in A$ 그리고 $x\in C$ )」예요.
따라서 $x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$ 이에요.

성질수의 분배법칙과 비교하기

수에서는

a\times(b+c)=a\times b+a\times c

만 성립하고,

a+(b\times c)=(a+b)\times(a+c)

는 성립하지 않는다.
집합에서는

\cap

가

\cup

에 대하여,

\cup

가

\cap

에 대하여 모두 분배된다.
두 법칙은

\cup

와

\cap

를 서로 바꾼 모양이다.

3드모르간 법칙

성질드모르간 법칙

전체집합

U

의 두 부분집합

A,\ B

에 대하여 다음이 성립한다. 이것을 드모르간 법칙이라 한다.

(A\cup B)^C=A^C\cap B^C

(A\cap B)^C=A^C\cup B^C

여집합을 괄호 안으로 나누어 주면

\cup

와

\cap

가 서로 바뀐다.

(A\cup B)^C=A^C\cap B^C

A^C

(③, ④)와

B^C

(①, ④)의 공통은 ④ 로,

A\cup B

밖(칠한 곳)과 같아요.

학생

괄호를 풀 때

\cup

를 그대로 두면 안 돼요?

쌤

안 돼요.

(A\cup B)^C

는

A

에도

B

에도 속하지 않는 원소라서

A^C

와

B^C

의 공통부분이에요. 그래서

\cup

가

\cap

로 바뀌어요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(A\cap B)^C

와 같은 것은?

드모르간 법칙에서 기호 바꾸기

✗ 틀린 풀이

(A\cup B)^C=A^C\cup B^C

왜 틀렸나 드모르간 법칙에서는 여집합을 나누어 줄 때

\cup

와

\cap

를 서로 바꾸어야 한다.

✓ 바른 풀이

(A\cup B)^C=A^C\cap B^C

검산:

U=\{1,\ 2,\ 3\},\ A=\{1\},\ B=\{2\}

이면

(A\cup B)^C=\{3\}

이고,

A^C\cap B^C=\{2,\ 3\}\cap\{1,\ 3\}=\{3\}

으로 같다.

자세히 보기펼치기왜 그런지그림외우기 카드

첫째 법칙이 성립하는 이유는 다음과 같아요.
$x\in(A\cup B)^C$ 는 $x\notin A\cup B$ , 즉 $x$ 가 $A$ 에도 $B$ 에도 속하지 않는다는 뜻이에요.
이것은 「 $x\in A^C$ 그리고 $x\in B^C$ 」이므로 $x\in A^C\cap B^C$ 이에요.
이 법칙이 조건의 부정에서 「또는」과 「그리고」를 바꾸는 규칙이 돼요.

(A\cap B)^C=A^C\cup B^C

② 만 빼고 모두 칠해져요.

A^C\cup B^C

도 ③, ④ 와 ①, ④ 를 모은 ①, ③, ④ 예요.

법칙 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2괄호를 풀면 연산 기호가 바뀐다

(A\cup B)^C=A^C\,\square\,B^C

단계 1 / 2

(A\cap B)^C=A^C\,\square\,B^C

단계 1 / 2

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(\square)

단계 1 / 2

A-B=A\cap\square

4차집합의 성질과 식 간단히 하기

공식차집합의 성질

여집합으로 바꾸기

\displaystyle A-B=A\cap B^C

교집합을 빼기

\displaystyle A-B=A-(A\cap B)=(A\cup B)-B

A-B

는 영역 ① 이고, 세 식이 모두 영역 ① 이다.

차집합의 여집합

\displaystyle (A-B)^C=A^C\cup B

(A\cap B^C)^C=A^C\cup(B^C)^C

이므로

합집합을 빼기

\displaystyle A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)

교집합을 빼기

\displaystyle A-(B\cap C)=(A-B)\cup(A-C)

학생

복잡한 집합 식은 어떻게 간단히 해요?

쌤

차집합은

A\cap B^C

로 바꾸고, 괄호 밖의 여집합은 드모르간 법칙으로 풀어요. 그다음 분배법칙으로 묶어서

A\cup A^C=U

A\cap A^C=\varnothing

을 써요.

예

(A\cap B)\cup(A\cap B^C)

간단히 하기

분배법칙을 거꾸로 써서

A

로 묶어요.

(A\cap B)\cup(A\cap B^C)=A\cap(B\cup B^C)

B\cup B^C=U

이므로

A\cap U=A

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

(A\cup B)\cap(A\cup B^C)

를 간단히 하면?

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

연산 법칙으로 식 간단히 하기

1
차집합은 $A-B=A\cap B^C$ 로 바꿔요.
$\cup,\ \cap$ , 여집합만 남겨요.
2
괄호 밖의 여집합은 드모르간 법칙으로 풀어요.
3
분배법칙으로 같은 집합끼리 모으거나, 거꾸로 공통인 집합으로 묶어요.
4
$A\cup A^C=U$ , $A\cap A^C=\varnothing$ , $A\cap U=A$ , $A\cup\varnothing=A$ 로 정리해요.

예응용

(A\cup B)\cap(A^C\cup B)

간단히 하기

두 괄호에 공통인

B

로 묶어요(분배법칙을 거꾸로 써요).

(B\cup A)\cap(B\cup A^C)=B\cup(A\cap A^C)

A\cap A^C=\varnothing

이므로

B\cup\varnothing=B

5포함 관계와 같은 표현

A\subset B

의 모양

U

B

A

A

가

B

안에 통째로 들어 있어요. 아래 표현은 모두 이 그림을 다르게 읽은 거예요. 겹친 곳은

A

전체, 합친 곳은

B

전체,

A

에서

B

를 빼면 남는 것이 없어요.

학생

A\subset B

이면

A\cap B

와

A\cup B

는 어떻게 돼요?

쌤

그림처럼

A

가

B

안에 들어 있으면 겹친 곳은

A

, 합친 곳은

B

예요. 그래서

A\cap B=A

A\cup B=B

예요.

공식

A\subset B

와 같은 뜻인 표현

교집합

\displaystyle A\cap B=A

A

의 원소가 모두

B

에 있으므로 겹치는 부분이

A

전체이다.

합집합

\displaystyle A\cup B=B

A

를 더해도

B

밖의 원소가 생기지 않는다.

차집합

\displaystyle A-B=\varnothing

A

에서

B

의 원소를 빼면 남는 것이 없다.

여집합과 교집합

\displaystyle A\cap B^C=\varnothing

A-B=A\cap B^C

이므로

여집합의 포함

\displaystyle B^C\subset A^C

B

밖의 원소는

A

밖에도 있다.

여집합과 합집합

\displaystyle A^C\cup B=U

A^C\cup B=(A\cap B^C)^C=\varnothing^C

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

A\cap B=B

와 같은 뜻인 것은?

합집합 조건 읽기

✗ 틀린 풀이

A\cup B=A

이면

A\subset B

왜 틀렸나

A\cup B=A

는

B

를 더해도

A

가 늘지 않는다는 뜻이므로

B

의 원소가 모두

A

에 있다.

✓ 바른 풀이

A\cup B=A

이면

B\subset A

검산:

A=\{1,\ 2\},\ B=\{1\}

이면

A\cup B=\{1,\ 2\}=A

이고

B\subset A

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지공식 더 보기

위의 표현들은 거꾸로도 성립하므로 모두 $A\subset B$ 와 같은 뜻이에요.
예를 들어 $A\cap B=A$ 이면 $A$ 의 원소는 모두 $A\cap B$ 의 원소, 즉 $B$ 의 원소이므로 $A\subset B$ 이에요.

공식

A

와

B

가 서로소일 때 같은 뜻인 표현

서로소

\displaystyle A\cap B=\varnothing

차집합

\displaystyle A-B=A,\quad B-A=B

뺄 원소가 없다.

여집합

\displaystyle A\subset B^C,\quad B\subset A^C

A

의 원소는 모두

B

밖에 있다.

6유한집합의 원소의 개수

성질합집합의 원소의 개수

두 집합의 영역 ①, ②, ③ 의 원소의 개수를 생각하자.

n(A)

는 ①과 ②,

n(B)

는 ②와 ③ 의 원소의 개수이다.

n(A)+n(B)

에서는 ② 가 두 번 세어지므로, 두 번 세어진 교집합의 원소의 개수를 한 번 뺀다.

n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

특히

A

와

B

가 서로소이면

n(A\cap B)=0

이므로

n(A\cup B)=n(A)+n(B)

확률에서도 같은 꼴의 확률의 덧셈정리가 성립한다.

n(A)+n(B)

에서 ② 는 두 번

n(A)

에 ①, ②,

n(B)

에 ②, ③ 이 들어가 칠한 ② 가 두 번 세어져요. 그래서

n(A\cap B)

를 한 번 빼요.

공식여집합과 차집합의 원소의 개수

여집합

\displaystyle n(A^C)=n(U)-n(A)

차집합

\displaystyle n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)=n(A\cup B)-n(B)

A-B

는 영역 ① 이다.

B\subset A

일 때

\displaystyle n(A-B)=n(A)-n(B)

이때는

A\cap B=B

이다.

드모르간 법칙과 함께

\displaystyle n(A^C\cap B^C)=n((A\cup B)^C)=n(U)-n(A\cup B)

학생

n(A-B)

는 왜

n(A)-n(B)

가 아니에요?

쌤

B

에는

A

와 겹치지 않는 원소도 있어서 그만큼 너무 많이 빼게 돼요.

A

에서 겹친 부분

A\cap B

만 빼야 해요.

n(A)-n(B)

는

B\subset A

일 때만 맞아요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

n(A)=10

n(B)=7

n(A\cap B)=3

일 때

n(A\cup B)

의 값은?

차집합의 원소의 개수

✗ 틀린 풀이

A=\{1,\ 2,\ 3\},\ B=\{3,\ 4,\ 5\}

일 때

n(A-B)=n(A)-n(B)=0

왜 틀렸나

A-B

에서 빠지는 것은

A

와

B

에 함께 있는 원소이므로

n(A\cap B)

를 빼야 한다.

✓ 바른 풀이

A=\{1,\ 2,\ 3\},\ B=\{3,\ 4,\ 5\}

일 때

n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)=3-1=2

확인 방법:

A-B=\{1,\ 2\}

를 직접 써서 원소를 세면

2

개이다.

자세히 보기펼치기성질 더 보기예제그림

성질세 집합의 합집합의 원소의 개수

n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)

각 영역이 몇 번 세어지는지 확인해 보자.
세 집합 모두에 속하는 영역은

n(A),\ n(B),\ n(C)

에서

3

번 더해지고, 두 집합씩의 교집합에서

3

번 빠진 뒤,

n(A\cap B\cap C)

에서

1

번 더해진다.

3-3+1=1

두 집합에만 속하는 영역은

2

번 더해지고

1

번 빠진다.

2-1=1

한 집합에만 속하는 영역은

1

번 더해진다.
따라서 모든 영역이 정확히 한 번씩 세어진다.

예응용

1

부터

100

까지의 자연수 중 배수의 개수

2

의 배수의 집합을

A

3

의 배수의 집합을

B

라 하면

A\cap B

는

6

의 배수의 집합이에요.

n(A)=50

n(B)=33

n(A\cap B)=16

따라서

2

의 배수 또는

3

의 배수의 개수는

n(A\cup B)=50+33-16=67

5

의 배수의 집합

C

까지 생각하면

n(C)=20

n(B\cap C)=6

n(C\cap A)=10

n(A\cap B\cap C)=3

이므로

n(A\cup B\cup C)=50+33+20-16-6-10+3=74

영역마다 개수 적기

A

2

의 배수,

B

3

의 배수,

C

5

의 배수예요. 일곱 영역을 더하면

27+14+7+13+7+3+3=74

로 공식의 값과 같아요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1합집합과 교집합에 대하여 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다.
2드모르간 법칙: $(A\cup B)^C=A^C\cap B^C$ , $(A\cap B)^C=A^C\cup B^C$
3 $A\subset B\iff A\cap B=A\iff A\cup B=B\iff A-B=\varnothing\iff B^C\subset A^C$
4 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

✗ 자주 하는 실수

드모르간 법칙을 쓸 때 $\cup$ 와 $\cap$ 를 바꾸지 않고 $(A\cup B)^C=A^C\cup B^C$ 로 써요.
$n(A\cup B)$ 를 $n(A)+n(B)$ 로 계산하여 교집합을 두 번 세거나, $n(A-B)$ 를 항상 $n(A)-n(B)$ 로 계산해요.
$A\cup B=A$ 를 $A\subset B$ 로 읽거나, 배수의 개수를 셀 때 두 수의 공배수를 최소공배수가 아닌 곱의 배수로 세요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
전체집합 $U$ 의 두 부분집합 $A,\ B$ 에 대하여 $n(U)=30$ , $n(A)=15$ , $n(B)=12$ , $n(A\cap B)=5$ 일 때, $n(A\cup B)$ 와 $n(A^C\cap B^C)$ 를 구하시오.
예제 2
$1$ 부터 $200$ 까지의 자연수 중에서 $4$ 의 배수 또는 $6$ 의 배수의 개수를 구하시오.
예제 3
전체집합 $U$ 의 두 부분집합 $A,\ B$ 에 대하여 $(A-B)^C\cap A$ 를 간단히 하시오.

다음 공부

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