소인수분해

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

자연수를 소수인 인수(소인수)만의 곱으로 나타내는 것이 소인수분해예요.

72=2^3\times3^2

처럼 나타내면 약수와 약수의 개수

(3+1)\times(2+1)

을 바로 구할 수 있어요.

1인수와 소인수
2소인수분해하는 방법
3소인수분해를 이용하여 약수 구하기
4제곱인 수 만들기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1인수와 소인수

정의소인수와 소인수분해

자연수

a

b

c

에 대하여

a=b\times c

일 때

b

c

를

a

의 인수라 한다. 인수는 약수와 같은 말이다.
자연수의 인수 중에서 소수인 것을 그 수의 소인수 라 한다.

1

보다 큰 자연수를 소인수만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해 한다고 한다.

학생

1

은 소인수가 아니에요?

쌤

아니에요.

1

은 소수가 아니라서 어떤 수의 인수이긴 해도 소인수는 될 수 없어요. 그래서 소인수분해에도

1

은 쓰지 않아요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

18

의 소인수를 모두 고르면?

소인수는 소수만

✗ 틀린 풀이

12

의 소인수는

2,\ 3,\ 4,\ 6

왜 틀렸나 소인수는 인수 가운데 소수인 것만이므로

12=2^2\times3

의 소인수는

2

와

3

이다.

✓ 바른 풀이

12

의 소인수는

2,\ 3

4

와

6

은

12

의 인수이지만 소수가 아니에요.
또

12=2^2\times3

이라고 해서

2^2

이 소인수인 것은 아니에요. 소인수는

2

이에요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

$12=1\times12=2\times6=3\times4$ 이므로 $12$ 의 인수는 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ 예요.
이 중 소수인 것은 $2$ 와 $3$ 뿐이므로 $12$ 의 소인수는 $2$ , $3$ 이에요.

2소인수분해하는 방법

소인수분해는 「소수로 나누기」를 더 나눌 수 없을 때까지 되풀이하는 거예요. 두 가지로 적을 수 있어요.

방법 ① 가지치기

60

2

2

4

3

5

15

60

소수가 아닌 수는 두 수의 곱으로 계속 나눠요. 가지 끝의 소수를 모두 곱하면

60=2^2\times3\times5

예요.

방법 ② 나눗셈

60

260

230

315

60=2^{2}\times 3\times 5

가장 작은 소수부터 나누고, 몫이 소수가 되면 멈춰요. 왼쪽에 나눈 소수와 마지막 몫을 모두 곱하면

60=2^2\times3\times5

예요.

학생

가지치기와 나눗셈은 결과가 달라질 수도 있어요?

쌤

아니요. 어떤 방법으로, 어떤 순서로 나누어도 소인수분해 결과는 한 가지예요. 곱하는 순서만 달라 보일 뿐이라 작은 소수부터 거듭제곱으로 정리해 써요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

48

을 소인수분해하면?

끝까지 소수로

✗ 틀린 풀이

60=4\times15

왜 틀렸나

60

을 소인수분해할 때는 곱하는 수가 모두 소수가 될 때까지 계속 나누어야 한다.

✓ 바른 풀이

60=2^2\times3\times5

확인 방법:

2^2\times3\times5

를 다시 곱하면

60

이 되고, 곱한 수

2,\ 3,\ 5

가 모두 소수이다.

거듭제곱으로 정리

✗ 틀린 풀이

72=2^3\times9

왜 틀렸나 소인수분해는 소수의 거듭제곱의 곱으로 나타내야 하므로

9

도

3^2

으로 바꾼다.

✓ 바른 풀이

72=2^3\times3^2

확인 방법: 거듭제곱의 밑이 모두 소수인지 하나씩 살펴본다.

⚠ 주의검산

소인수분해한 결과를 다시 곱해 처음 수가 나오는지 확인해요.

2^2\times3\times5=4\times15=60

✓
곱하는 수가 모두 소수인지도 확인해요.

자세히 보기펼치기성질 더 보기

성질어떻게 나누어도 결과는 하나

곱하는 순서만 다를 뿐, 소인수분해 결과는 오직 한 가지이다.
예:

60=6\times10

으로 시작해도

6=2\times3

10=2\times5

따라서

60=2\times3\times2\times5=2^2\times3\times5

3소인수분해를 이용하여 약수 구하기

$72=2^3\times3^2$ 의 약수는 $2^3$ 의 약수 하나와 $3^2$ 의 약수 하나를 골라 곱한 수예요. 표로 모두 적어 봐요.
공약수·공배수도 같은 방법으로 구해요.

72=2^3\times3^2

의 약수 표

$\times$	$1$	$2$	$2^2$	$2^3$
$1$	$1$	$2$	$4$	$8$
$3$	$3$	$6$	$12$	$24$
$3^2$	$9$	$18$	$36$	$72$

가로는

2^3

의 약수

4

개, 세로는

3^2

의 약수

3

개예요. 칸의 수가 약수의 개수

4\times3=12

예요.

성질약수의 개수

자연수

A

가

A=a^m\times b^n

(

a

b

는 서로 다른 소수)으로 소인수분해될 때

A

의 약수는 (

a^m

의 약수)

\times

(

b^n

의 약수)

A

의 약수의 개수는

(m+1)\times(n+1)

소인수가 세 개이면

a^m\times b^n\times c^l

의 약수의 개수는

(m+1)\times(n+1)\times(l+1)

$2^3$ 의 약수는 $1, 2, 2^2, 2^3$ 이에요. $1$ 까지 세므로 $3$ 개가 아니라 4 개예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

2^2\times3^3

의 약수의 개수는?

지수에

1

을 더한다

✗ 틀린 풀이

2^3\times3^2

의 약수의 개수는

3\times2=6

왜 틀렸나 약수는 각 소인수를

0

번부터 지수만큼까지 고르므로 지수마다

1

을 더해 곱한다.

✓ 바른 풀이

2^3\times3^2

의 약수의 개수는

(3+1)\times(2+1)=12

확인 방법:

2^3

쪽에서

1,\ 2,\ 4,\ 8

의

4

가지,

3^2

쪽에서

1,\ 3,\ 9

의

3

가지를 고르므로

4\times3=12

이다.

소인수분해부터

✗ 틀린 풀이

2^3\times6

의 약수의 개수는

(3+1)\times(1+1)=8

왜 틀렸나 약수의 개수 공식은 소인수분해한 꼴에서만 쓸 수 있으므로

6=2\times3

으로 먼저 나눈다.

✓ 바른 풀이

2^3\times6=2^4\times3

이므로

(4+1)\times(1+1)=10

바른 계산은

2^3\times2\times3=2^4\times3

으로 같은 소인수끼리 모은 뒤 지수에

1

씩 더해 곱한다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

학생

왜 지수에

1

을 더해요?

쌤

약수를 만들 때 그 소인수를 아예 곱하지 않는 경우, 즉

1

도 세야 하기 때문이에요.

예소인수가 세 개일 때

60=2^2\times3\times5

약수의 개수는

(2+1)\times(1+1)\times(1+1)=12

지수가 쓰여 있지 않은

3

5

는 지수가

1

이에요.
실제로

60

의 약수는

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

으로

12

개예요.

4제곱인 수 만들기

$36=6\times6=6^2$ 처럼 어떤 자연수의 제곱인 수를 소인수분해하면
$36=2^2\times3^2=(2\times3)^2$
모든 지수가 짝수예요. 지수가 짝수이면 소인수를 똑같이 둘로 나눌 수 있기 때문이에요.
이런 수는 제곱근이 자연수가 돼요.

성질제곱인 수의 조건

어떤 자연수의 제곱인 수를 소인수분해하면 모든 소인수의 지수가 짝수이다.
거꾸로 모든 지수가 짝수이면 그 수는 어떤 자연수의 제곱이다.
예)

2^2\times3^4=(2\times3^2)^2=18^2

72

에 가장 작은 자연수를 곱하여 제곱인 수 만들기

72=2^3\times3^2

↳◀먼저 소인수분해

2^3\ \to\ \text{지수 홀수}

↳◀

3^2

은 이미 짝수,

2

를 하나 더 곱하면 짝수

72\times2=2^4\times3^2

↳◀

2

를 곱해요

=144=12^2

↳◀곱할 수는

2

학생

곱할 수는 왜 「가장 작은」 자연수를 물어요?

쌤

지수가 홀수인 소인수를 하나씩만 곱해도 지수가 모두 짝수가 돼요.

72\times8=576=24^2

처럼 더 큰 수를 곱해도 제곱인 수가 되지만, 문제는 그중 가장 작은 수를 묻는 거예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

50

에 가장 작은 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 곱할 수는?

지수가 홀수인 소인수를 찾기

✗ 틀린 풀이

72

에 곱할 가장 작은 수는

3

왜 틀렸나 제곱인 수는 소인수분해했을 때 지수가 모두 짝수이므로

72=2^3\times3^2

에서 지수가 홀수인

2

를 곱한다.

✓ 바른 풀이

72

에 곱할 가장 작은 수는

2

확인 방법:

72\times2=144=12^2

이므로 제곱인 수이다.

자세히 보기펼치기성질 더 보기

성질나누어서 만들 때도 같다

72=2^3\times3^2

을

2

로 나누면

2^2\times3^2=36=6^2

곱하든 나누든, 지수가 홀수인 소인수를 하나씩 곱하거나 나누면 된다.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1자연수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여 $a=b\times c$ 일 때 $b$ , $c$ 를 $a$ 의 인수라 하고, 인수 중 소수인 것을 소인수라 한다.
2 $1$ 보다 큰 자연수를 소인수만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라 한다. 결과는 작은 소인수부터 거듭제곱으로 쓴다. 예) $60=2^2\times3\times5$
3 $a^m\times b^n$ ( $a$ , $b$ 는 서로 다른 소수)의 약수는 ( $a^m$ 의 약수) $\times$ ( $b^n$ 의 약수)이고, 그 개수는 $(m+1)\times(n+1)$ 이다.
4소인수분해했을 때 모든 지수가 짝수인 수는 어떤 자연수의 제곱인 수이다.

✗ 자주 하는 실수

소인수분해를 $60=4\times15$ 처럼 소수가 아닌 수에서 멈추거나, $72=2^3\times9$ 처럼 거듭제곱 정리를 덜 해요.
약수의 개수를 지수끼리 곱해 $2^3\times3^2 \to 3\times2=6$ 으로 구해요(정답은 $4\times3=12$ 예요).
$2^3\times6$ 처럼 소인수분해되지 않은 꼴에 약수의 개수 공식을 바로 써요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
$180$ 을 소인수분해하고, $180$ 의 소인수를 모두 구하시오.
예제 2
$2^3\times9$ 의 약수의 개수를 구하시오.
예제 3
$84$ 에 가장 작은 자연수 $x$ 를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려고 한다. $x$ 의 값과 그때의 제곱인 수를 구하시오.

다음 공부

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