수학 개념 노트전체 과목

수열의 수렴과 발산

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
수열 {an}\{a_n\} 에서 nn 이 한없이 커질 때 ana_n 이 일정한 값 α\alpha 에 한없이 가까워지면 수렴한다고 하고 lim⁡n→∞an=α\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha 로 나타내요. 수렴하지 않는 수열은 발산하며, 양의 무한대로 발산, 음의 무한대로 발산, 진동으로 나뉘어요.
  1. 1수열의 수렴
  2. 2수열의 발산
  3. 3일반항으로 수렴·발산 판정하기
  4. 4그래프로 판정하기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1수열의 수렴

정의수열의 수렴과 극한값
수열 {an}\{a_n\} 에서 nn 이 한없이 커질 때 ana_n 의 값이 일정한 값 α\alpha 에 한없이 가까워지면, 수열 {an}\{a_n\} 은 α\alpha 에 수렴 한다고 한다.
이때 α\alpha 를 수열 {an}\{a_n\} 의 극한값 또는 극한이라 하고, 기호로 다음과 같이 나타낸다.lim⁡n→∞an=α\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha또는 「n→∞n\to\infty 일 때 an→αa_n\to\alpha」로 나타낸다.
an=1na_n=\dfrac{1}{n} 의 항
01
11
12\frac{1}{2}
13\frac{1}{3}
항 1, 12, 13, ⋯1,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3},\ \cdots 이 00 쪽으로 몰려가요. 따라서 lim⁡n→∞1n=0\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0
학생
1n\dfrac{1}{n} 은 00 이 되지 않는데 왜 00 에 수렴해요?
쌤
수렴은 그 값이 되는 게 아니라 한없이 가까워지는 거예요. 1n\dfrac{1}{n} 은 00 이 되지는 않지만 00 과의 차가 얼마든지 작아지니 00 에 수렴해요.
an=2n+1na_n=\dfrac{2n+1}{n} 의 극한
an=2n+1n=2+1na_n=\dfrac{2n+1}{n}=2+\dfrac{1}{n}
↳나누어 쓰기
3, 52, 73, 94, ⋯3,\ \dfrac{5}{2},\ \dfrac{7}{3},\ \dfrac{9}{4},\ \cdots
↳항을 나열
lim⁡n→∞2n+1n=2\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{n}=2
↳1n→0\dfrac{1}{n}\to0
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡n→∞(5−3n)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(5-\frac{3}{n}\right) 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기그림

수열 {an}\{a_n\} 에서 nn 이 한없이 커지는 것을 기호로 n→∞n\to\infty 로 나타내요.
∞\infty 는 「무한대」라 읽고, 한없이 커지는 상태를 나타내는 기호예요. ∞\infty 는 수가 아니에요.
수열의 극한은 급수의 합을 정할 때 쓰여요.

성질수렴하는 여러 모양
① 상수수열 an=ca_n=c 는 모든 항이 cc 이므로 lim⁡n→∞c=c\lim_{n\to\infty}c=c 이다.
② 한쪽에서 다가가는 경우
3−1n3-\dfrac{1}{n} 은 33 보다 작은 쪽에서, 3+1n3+\dfrac{1}{n} 은 33 보다 큰 쪽에서 33 에 가까워진다.
③ 양쪽을 번갈아 오가며 다가가는 경우
an=(−1)nna_n=\dfrac{(-1)^n}{n} 의 항은 −1, 12, −13, 14, ⋯-1,\ \dfrac{1}{2},\ -\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{4},\ \cdots 이고 00 에 수렴한다.
극한값과 같아지는 항이 하나도 없어도, 한없이 가까워지기만 하면 수렴한다.

2수열의 발산

정의수열의 발산
수열 {an}\{a_n\} 이 수렴하지 않을 때, 수열 {an}\{a_n\} 은 발산 한다고 한다.
수열이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않을 때, 수열은 진동 한다고 한다.
공식발산의 세 가지 경우
양의 무한대로 발산
lim⁡n→∞an=∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\infty
ana_n 의 값이 한없이 커진다. 예: 2n2n, n2n^2, n\sqrt{n}
음의 무한대로 발산
lim⁡n→∞an=−∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty
ana_n 이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커진다. 예: 1−n1-n, −n2-n^2
진동
수렴하지도, 무한대로 발산하지도 않는다\displaystyle \text{수렴하지도, 무한대로 발산하지도 않는다}
예: (−1)n(-1)^n, (−1)nn(-1)^n n
학생
(−1)nn(-1)^n n 은 크기가 커지는데 왜 양의 무한대로 발산이 아니에요?
쌤
부호가 번갈아 바뀌어서 위로도 아래로도 한없이 가요. 한쪽으로만 가는 게 아니니 진동이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
수열 1, −1, 1, −1, ⋯1,\ -1,\ 1,\ -1,\ \cdots 은?
⚠ 주의∞\infty 는 극한값이 아니다
lim⁡n→∞n2=∞\lim_{n\to\infty}n^2=\infty 로 쓰지만 이 수열은 수렴하지 않아요.
「극한값이 ∞\infty 이다」라고 하지 않고 「양의 무한대로 발산한다」고 해요.
극한값은 언제나 실수예요.
절댓값이 커진다고 양의 무한대로 발산하는 것은 아니다
✗ 틀린 풀이
an=(−1)nna_n=(-1)^n n 은 ∣an∣|a_n| 이 한없이 커지므로
lim⁡n→∞an=∞\lim_{n\to\infty}a_n=\infty
왜 틀렸나 양의 무한대로 발산하려면 ∣an∣|a_n| 이 아니라 ana_n 의 값 자체가 한없이 커져야 한다.
✓ 바른 풀이
an=(−1)nna_n=(-1)^n n 의 항은 −1, 2, −3, 4, ⋯-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ \cdots
부호가 번갈아 바뀌므로 진동한다.
바른 판단은 홀수 번째 항과 짝수 번째 항을 나누어 보는 것이다.
홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수로 번갈아 나오므로 진동한다.

3일반항으로 수렴·발산 판정하기

일반항에 n=1, 2, 3, ⋯n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots 을 넣어 처음 몇 항을 나열하고, nn 이 커질 때 항이 어떻게 변하는지 봐요.

판정 예
3−2n: 1, 2, 73, 52, ⋯3-\dfrac{2}{n}:\ 1,\ 2,\ \dfrac{7}{3},\ \dfrac{5}{2},\ \cdots
↳33 에 수렴
n2−1: 0, 3, 8, 15, ⋯n^2-1:\ 0,\ 3,\ 8,\ 15,\ \cdots
↳양의 무한대로 발산
5−2n: 3, 1, −1, −3, ⋯5-2n:\ 3,\ 1,\ -1,\ -3,\ \cdots
↳음의 무한대로 발산
1+(−1)n: 0, 2, 0, 2, ⋯1+(-1)^n:\ 0,\ 2,\ 0,\ 2,\ \cdots
↳진동
학생
항을 나열해도 잘 모르겠으면요?
쌤
n=100n=100, n=1000n=1000 처럼 큰 수를 넣어 보면 경향이 잘 보여요. 분자가 일정하고 분모만 커지는 분수는 00 으로 가요.
성질분모가 한없이 커지는 분수
cc 가 상수, kk 가 자연수일 때
lim⁡n→∞cnk=0\lim_{n\to\infty}\dfrac{c}{n^k}=0
lim⁡n→∞cn=0\lim_{n\to\infty}\dfrac{c}{\sqrt{n}}=0
분자는 일정하고 분모만 한없이 커지면 분수의 값은 00 에 가까워진다.
이 사실은 수열의 극한을 계산할 때 바탕이 된다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡n→∞(4n2+1)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4}{n^2}+1\right) 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
수렴·발산 판정 순서
  1. 1
    일반항에 n=1, 2, 3, ⋯n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots 을 넣어 처음 몇 항을 나열해요.
  2. 2
    nn 이 커질 때 항이 어떻게 변하는지 봐요.
    n=100n=100, n=1000n=1000 처럼 큰 수를 넣어 보면 경향이 잘 보여요.
  3. 3
    일정한 값에 가까워지면 수렴, 한없이 커지면 양의 무한대로 발산, 음수이면서 절댓값이 한없이 커지면 음의 무한대로 발산, 어느 것도 아니면 진동이에요.
nn 으로 묶어 판정하기
an=n2−3na_n=n^2-3n
−2, −2, 0, 4, ⋯-2,\ -2,\ 0,\ 4,\ \cdots
↳처음 몇 항
n2−3n=n(n−3)n^2-3n=n(n-3)
↳nn 으로 묶기
lim⁡n→∞(n2−3n)=∞\lim_{n\to\infty}(n^2-3n)=\infty
↳두 인수가 모두 한없이 커져요

4그래프로 판정하기

수열은 좌표평면 위의 점 (n, an)(n,\ a_n) 으로 나타낼 수 있어요. 점들이 직선 y=αy=\alpha 에 한없이 가까워지면 α\alpha 에 수렴해요.

학생
발산하는 수열은 그래프에서 어떻게 보여요?
쌤
점들이 위로 한없이 올라가면 양의 무한대로 발산, 아래로 한없이 내려가면 음의 무한대로 발산, 위아래로 오가면 진동이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (n, an)(n,\ a_n) 이 nn 이 커질수록 직선 y=−1y=-1 에 한없이 가까워질 때 lim⁡n→∞an\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

수열은 자연수 nn 에 ana_n 을 대응시킨 함수이므로, 좌표평면 위의 점 (n, an)(n,\ a_n) 으로 나타낼 수 있어요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1nn 이 한없이 커질 때 ana_n 이 일정한 값 α\alpha 에 한없이 가까워지면 수열 {an}\{a_n\} 은 α\alpha 에 수렴하고, lim⁡n→∞an=α\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha 로 나타낸다.
  2. 2수렴하지 않는 수열은 발산한다. 발산에는 양의 무한대로 발산(lim⁡n→∞an=∞\lim_{n\to\infty}a_n=\infty), 음의 무한대로 발산(lim⁡n→∞an=−∞\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty), 진동이 있다.
  3. 3∞\infty 는 수가 아니다. 극한값은 언제나 실수이다.
  4. 4일반항에 n=1, 2, 3, ⋯n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots 을 넣어 항을 나열하거나, 점 (n, an)(n,\ a_n) 을 찍어 보고 판정한다.
✗ 자주 하는 실수
  • lim⁡n→∞an=∞\lim_{n\to\infty}a_n=\infty 인 수열을 「극한값이 ∞\infty 이다」 또는 「수렴한다」고 말해요.
  • (−1)nn(-1)^n n 처럼 절댓값만 한없이 커지는 수열을 양의 무한대로 발산한다고 판정해요.
  • 1n\dfrac{1}{n} 처럼 극한값 00 과 같아지는 항이 없다는 이유로 수렴하지 않는다고 생각해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    수열 {3n−1n}\left\{\dfrac{3n-1}{n}\right\} 의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 극한값을 구하시오.
  2. 예제 2
    수열 {2−n2}\{2-n^2\} 의 수렴, 발산을 조사하시오.
  3. 예제 3
    수열 {(−1)n(1+1n)}\left\{(-1)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\right\} 의 수렴, 발산을 조사하시오.

다음 공부

다음 개념: 수열의 극한에 대한 기본 성질 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 미적분Ⅰ 함수의 극한, 대수 등차수열, 공통수학2 함수의 뜻과 그래프미적분Ⅱ 목차
수열의 극한에 대한 기본 성질 →
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