수학 개념 노트전체 과목

등비수열

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
첫째항부터 차례로 일정한 수(공비) rr 를 곱하여 만든 수열이 등비수열이고, 일반항은 an=arn−1a_n=ar^{n-1} 이에요. 00 이 아닌 세 수 a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서로 등비수열이면 b2=acb^2=ac 이에요.
  1. 1등비수열과 공비
  2. 2등비수열의 일반항
  3. 3첫째항과 공비 구하기
  4. 4등비중항
  5. 5처음으로 어떤 수보다 커지는 항
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1등비수열과 공비

수열 2, 6, 18, 54, ⋯2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \cdots 은 첫째항 22 에 차례로 33 을 곱하여 만든 수열이에요.
이처럼 이웃한 두 항의 비가 늘 같은 수열을 생각해요.

정의등비수열
첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비 라 한다.
공비가 rr 인 등비수열 {an}\{a_n\} 에서 모든 자연수 nn 에 대하여
an+1=rana_{n+1}=ra_n
첫째항과 공비가 00 이 아니면
an+1an=r\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r
학생
등비수열은 등차수열과 뭐가 달라요?
쌤
등차수열은 같은 수를 더하고, 등비수열은 같은 수를 곱해요. 곱하는 수가 공비이고, (뒤의 항)÷\div(바로 앞의 항)으로 구해요.
공비 구하기
(뒤의 항)÷\div(바로 앞의 항)
2, 6, 18, 54, ⋯2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \cdots
↳공비 62=3\frac{6}{2}=3
16, 8, 4, 2, ⋯16,\ 8,\ 4,\ 2,\ \cdots
↳공비 816=12\frac{8}{16}=\frac{1}{2}
3, −6, 12, −24, ⋯3,\ -6,\ 12,\ -24,\ \cdots
↳공비 −63=−2\frac{-6}{3}=-2
5, 5, 5, ⋯5,\ 5,\ 5,\ \cdots
↳공비 11
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
등비수열 27, 9, 3, ⋯27,\ 9,\ 3,\ \cdots 의 공비는?
공비는 뒤 ÷ 앞
✗ 틀린 풀이
16, 8, 4, ⋯16,\ 8,\ 4,\ \cdots 의 공비는 168=2\dfrac{16}{8}=2
왜 틀렸나 공비는 앞의 항에 곱하는 수이므로 뒤의 항을 앞의 항으로 나누어 구한다.
✓ 바른 풀이
16, 8, 4, ⋯16,\ 8,\ 4,\ \cdots 의 공비는 816=12\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}
공비는 앞의 항에 「곱하는」 수예요.
검산: 16×12=816\times\dfrac{1}{2}=8
성질공비에 따른 항의 모양
a>0a>0 일 때
r>1r>1 이면 항이 점점 커진다.
0<r<10<r<1 이면 항이 점점 작아져 00 에 가까워진다.
r<0r<0 이면 항의 부호가 번갈아 바뀐다.
r=1r=1 이면 모든 항이 같다.
자세히 보기펼치기공식 더 보기
공식등차수열과 등비수열 나란히 보기
이웃한 두 항
an+1−an=d/an+1an=r\displaystyle a_{n+1}-a_n=d \quad / \quad \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r
등차는 차가 일정, 등비는 비가 일정
일반항
an=a+(n−1)d/an=arn−1\displaystyle a_n=a+(n-1)d \quad / \quad a_n=ar^{n-1}
공차를 n−1n-1 번 더함 / 공비를 n−1n-1 번 곱함
세 수
2b=a+c/b2=ac\displaystyle 2b=a+c \quad / \quad b^2=ac
등차중항 / 등비중항

2등비수열의 일반항

공식등비수열의 일반항
일반항
an=arn−1\displaystyle a_n=ar^{n-1}
aa 는 첫째항, rr 는 공비
틀로 쓰기
a□=a1 r□−1\displaystyle a_{\square}=a_1\,r^{\square-1}
번호에서 11 을 뺀 만큼 공비를 곱한다.
두 항 사이
am=ak rm−k\displaystyle a_m=a_k\,r^{m-k}
예: a10=a4r6a_{10}=a_4r^6

제nn항은 첫째항에 공비 rr 를 n−1n-1 번 곱한 거예요.

학생
arn−1ar^{n-1} 을 (ar)n−1(ar)^{n-1} 로 계산하면 안 돼요?
쌤
안 돼요. 거듭제곱은 rr 에만 붙어요. 첫째항 55, 공비 22 이면 a3=5×22=20a_3=5\times2^2=20 이고, (5×2)2=100(5\times2)^2=100 은 틀려요.
응용하기
a=3, r=2:an=3×2n−1a=3,\ r=2:\quad a_n=3\times2^{n-1}
a=5, r=−2:an=5×(−2)n−1a=5,\ r=-2:\quad a_n=5\times(-2)^{n-1}
↳항은 5, −10, 20, −40, ⋯5,\ -10,\ 20,\ -40,\ \cdots
a=81, r=13:an=81×(13)n−1=35−na=81,\ r=\dfrac{1}{3}:\quad a_n=81\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=3^{5-n}
↳항은 81, 27, 9, 3, 1, ⋯81,\ 27,\ 9,\ 3,\ 1,\ \cdots
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
첫째항이 22, 공비가 33 인 등비수열의 제44항은?
곱을 먼저 묶지 않는다
✗ 틀린 풀이
a=3, r=2a=3,\ r=2 이면 an=(3×2)n−1=6n−1a_n=(3\times2)^{n-1}=6^{n-1}
왜 틀렸나 일반항 arn−1ar^{n-1} 에서 지수 n−1n-1 은 공비에만 붙고 첫째항은 그대로 곱한다.
✓ 바른 풀이
an=3×2n−1a_n=3\times2^{n-1}
공비 22 만 n−1n-1 번 거듭제곱하고 첫째항 33 은 한 번 곱한다.
검산: n=1n=1 을 넣으면 3×20=33\times2^0=3 으로 첫째항과 같다.
음수 공비의 괄호
✗ 틀린 풀이
a=5, r=−2a=5,\ r=-2 이면 an=5×(−2n−1)a_n=5\times(-2^{n-1}) 이고 a3=−20a_3=-20
왜 틀렸나 공비가 음수이면 일반항에서 괄호를 쳐서 공비 (−2)(-2) 전체를 거듭제곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
an=5×(−2)n−1a_n=5\times(-2)^{n-1} 이고 a3=5×4=20a_3=5\times4=20
공비 −2-2 는 괄호째 (−2)n−1(-2)^{n-1} 로 쓴다.
검산: 5, −10, 205,\ -10,\ 20 이므로 a3=20a_3=20 이다.
r^n 이 아니라 r^(n-1)
✗ 틀린 풀이
a=3, r=2a=3,\ r=2 이면 an=3×2na_n=3\times2^n
왜 틀렸나 첫째항에는 공비를 한 번도 곱하지 않으므로 등비수열의 일반항의 지수는 n−1n-1 이다.
✓ 바른 풀이
an=3×2n−1a_n=3\times2^{n-1}
제nn항까지 공비는 n−1n-1 번 곱해진다.
검산: n=1n=1 을 넣으면 3×20=33\times2^0=3 으로 첫째항과 같다.
성질일반항이 지수 꼴이면 등비수열
일반항이 an=pqna_n=pq^n (p≠0, q≠0p\ne0,\ q\ne0) 꼴이면
an+1an=pqn+1pqn=q\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{pq^{n+1}}{pq^n}=q
이므로 첫째항이 pqpq, 공비가 qq 인 등비수열이다.
예: an=3×2na_n=3\times2^n 은 첫째항 66, 공비 22 인 등비수열이다.
3×2n=6×2n−13\times2^n=6\times2^{n-1}
자세히 보기펼치기예제외우기 카드왜 그런지
왜 그런가
a1=aa_1=a
↳첫째항
a2=ara_2=ar
↳rr 를 11 번
a3=ar2a_3=ar^2
↳rr 를 22 번
a4=ar3a_4=ar^3
↳rr 를 33 번
일반항 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2첫째항에 공비를 몇 번 곱하는가
an=ar□a_n=ar^{\square}
단계 1 / 2
amak=r□\dfrac{a_m}{a_k}=r^{\square}
일반항을 구하는 순서
  1. 1
    첫째항 aa 와 공비 rr 를 찾아요.
    공비는 (뒤의 항)÷\div(앞의 항)
  2. 2
    arn−1ar^{n-1} 의 a, ra,\ r 자리에 값을 넣어요.
    음수나 분수인 공비는 괄호를 쳐서 넣어요.
  3. 3
    n=1, 2n=1,\ 2 를 넣어 첫째항, 둘째항이 나오는지 확인해요.
    검산

3첫째항과 공비 구하기

두 항의 값이 주어지면 각각을 arn−1ar^{n-1} 꼴로 써요.
등비수열에서는 두 식을 「나누면」 aa 가 지워져 공비만 남아요.
(등차수열에서는 두 식을 「빼서」 aa 를 지워요.)
r3=27r^3=27 처럼 남은 식은 거듭제곱근으로 풀어요.

a2=6, a5=162a_2=6,\ a_5=162 인 등비수열
ar=6ar=6
↳a2a_2
ar4=162ar^4=162
↳a5a_5
r3=27,r=3r^3=27,\quad r=3
↳아래 식을 위 식으로 나눠요 (rr 는 실수)
a=2a=2
↳ar=6ar=6 에 넣어요
an=2×3n−1a_n=2\times3^{n-1}
↳일반항
학생
r2=4r^2=4 처럼 짝수 번 거듭제곱이 나오면 공비가 하나예요?
쌤
아니에요. 실수 rr 는 22 와 −2-2 두 개예요. 문제에 공비가 양수라는 조건이 있는지 꼭 봐요.
짝수 번 곱한 경우
a3=12, a5=48a_3=12,\ a_5=48
a5a3=r2=4\dfrac{a_5}{a_3}=r^2=4
r=2 또는 r=−2r=2\ \text{또는}\ r=-2
↳제곱근은 두 개
ar2=12 ⇒ a=3ar^2=12\ \Rightarrow\ a=3
an=3×2n−1 또는 an=3×(−2)n−1a_n=3\times2^{n-1}\ \text{또는}\ a_n=3\times(-2)^{n-1}
↳두 가지예요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
등비수열에서 a2=4a_2=4, a5=32a_5=32 일 때 공비는? (단, 공비는 실수)
제곱근은 두 개
✗ 틀린 풀이
r2=4r^2=4 이므로 r=2r=2
왜 틀렸나 r2=4r^2=4 를 만족하는 실수는 22 와 −2-2 두 개이므로 둘 다 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
r2=4r^2=4 이므로 r=2r=2 또는 r=−2r=-2
검산: a=3, r=−2a=3,\ r=-2 이어도 a3=12a_3=12, a5=48a_5=48 이에요.
조건에 「공비가 양수」가 있을 때만 하나를 버려요.

4등비중항

정의등비중항
00 이 아닌 세 수 a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, bb 를 aa 와 cc 의 등비중항이라 한다.
성질등비중항의 성질
00 이 아닌 세 수 a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서로 등비수열을 이루면 가운데 수의 제곱은 양 끝 두 수의 곱 acac 와 같다.b2=acb^2=ac거꾸로 00 이 아닌 세 수가 b2=acb^2=ac 를 만족하면 이 순서로 등비수열이다.
학생
4, b, 94,\ b,\ 9 이면 bb 는 하나예요?
쌤
b2=4×9=36b^2=4\times9=36 이니까 b=6b=6 또는 b=−6b=-6 으로 두 개예요. 등차중항과 달리 부호가 다른 두 값이 나올 수 있어요.
등비중항 구하기
b2=4×9=36,b=±6b^2=4\times9=36,\quad b=\pm6
↳44 와 99 의 등비중항
(x+1)2=(x−1)(x+7)(x+1)^2=(x-1)(x+7)
↳x−1, x+1, x+7x-1,\ x+1,\ x+7 이 등비수열
x2+2x+1=x2+6x−7x^2+2x+1=x^2+6x-7
4x=8,x=24x=8,\quad x=2
1, 3, 91,\ 3,\ 9
↳검산: 공비 33
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
22 와 1818 의 등비중항은?
등차중항과 헷갈리지 않는다
✗ 틀린 풀이
4, b, 94,\ b,\ 9 가 등비수열이면 b=4+92b=\dfrac{4+9}{2}
왜 틀렸나 세 수 aa, bb, cc 가 이 순서로 등비수열이면 가운데 수의 제곱이 양 끝 수의 곱이다.
✓ 바른 풀이
b2=4×9b^2=4\times9 이므로 b=±6b=\pm6
평균 a+c2\dfrac{a+c}{2} 는 등차중항이에요.
등비중항은 곱으로 정해요.
성질등비수열의 이웃한 세 항
등비수열 {an}\{a_n\} 의 이웃한 세 항에서 가운데 항은 등비중항이다.
an+12=anan+2a_{n+1}^2=a_na_{n+2}
번호가 같은 간격으로 떨어진 두 항의 곱도 가운데 항의 제곱이다.
a2a8=a52a_2a_8=a_5^2
자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지
왜 그런가
ba=cb\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}
↳이웃한 두 수의 비(공비)가 같아요
b2=acb^2=ac
↳양변에 abab 를 곱해요

세 수가 등비수열이면 가운데 수를 aa, 공비를 rr 로 하여 ar, a, ar\dfrac{a}{r},\ a,\ ar 로 놓아요. 세 수의 곱이 a3a^3 으로 간단해지고, 남은 식은 이차방정식이 돼요.

예
곱이 216216, 합이 1919
a3=216,a=6a^3=216,\quad a=6
↳곱
6r+6+6r=19\dfrac{6}{r}+6+6r=19
↳합
6r2−13r+6=06r^2-13r+6=0
↳양변에 rr 를 곱해 정리
r=32 또는 r=23r=\dfrac{3}{2}\ \text{또는}\ r=\dfrac{2}{3}
4, 6, 94,\ 6,\ 9
↳어느 경우든 세 수는 같아요

5처음으로 어떤 수보다 커지는 항

공비가 11 보다 큰 양수이고 첫째항이 양수인 등비수열은 항이 한없이 커져요.
처음으로 어떤 수 KK 보다 커지는 항은 an>Ka_n>K 를 만족하는 가장 작은 자연수 nn 이에요.
rn−1r^{n-1} 의 값을 차례로 계산하여 비교해요.

첫째항 33, 공비 22
처음으로 10001000 보다 커지는 항
an=3×2n−1>1000a_n=3\times2^{n-1}>1000
2n−1>10003=333.3⋯2^{n-1}>\dfrac{1000}{3}=333.3\cdots
28=256,29=5122^8=256,\quad 2^9=512
n−1=9,n=10n-1=9,\quad n=10
a9=768,a10=1536a_9=768,\quad a_{10}=1536
↳검산
학생
찾은 지수가 99 이면 답은 제99항이에요?
쌤
아니에요. 거듭제곱의 지수는 n−1n-1 이니까 n−1=9n-1=9 이면 제1010항이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
첫째항 55, 공비 33 인 등비수열에서 처음으로 10001000 보다 커지는 항은?
지수는 n-1
✗ 틀린 풀이
2n−1>333.3⋯2^{n-1}>333.3\cdots 에서 29=5122^9=512 이므로 n=9n=9
왜 틀렸나 2n−12^{n-1} 에서 구한 지수 99 는 n−1n-1 의 값이므로 n=9+1n=9+1 이다.
✓ 바른 풀이
n−1=9n-1=9 이므로 n=10n=10
구한 지수는 nn 이 아니라 n−1n-1 이에요.
검산: a9=3×28=768a_9=3\times2^8=768 은 10001000 보다 작아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
처음으로 K 보다 커지는 항 찾기
  1. 1
    일반항 an=arn−1a_n=ar^{n-1} 을 써요.
  2. 2
    arn−1>Kar^{n-1}>K 를 rn−1>Kar^{n-1}>\dfrac{K}{a} 로 바꿔요.
    양변을 양수 aa 로 나눠요.
  3. 3
    rr 의 거듭제곱을 차례로 계산하여 처음으로 Ka\dfrac{K}{a} 보다 큰 지수를 찾아요.
  4. 4
    그 지수가 n−1n-1 이므로 11 을 더하여 nn 을 구해요.
  5. 5
    바로 앞 항은 KK 이하이고 그 항은 KK 보다 큰지 확인해요.
    검산
처음으로 작아지는 항
첫째항 6464, 공비 12\frac{1}{2}, 0.10.1 보다 작아지는 항
64×(12)n−1<11064\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}<\dfrac{1}{10}
2n−1>6402^{n-1}>640
29=512,210=10242^9=512,\quad 2^{10}=1024
n−1=10,n=11n-1=10,\quad n=11
a10=0.125,a11=0.0625a_{10}=0.125,\quad a_{11}=0.0625
↳검산
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1첫째항부터 차례로 일정한 수 rr 를 곱하여 만든 수열이 등비수열이고, rr 가 공비이다.
    an+1=rana_{n+1}=ra_n
  2. 2첫째항이 aa, 공비가 rr 인 등비수열의 일반항
    an=arn−1a_n=ar^{n-1}
  3. 30 이 아닌 세 수 a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서로 등비수열을 이루면 bb 는 등비중항이다.
    b2=acb^2=ac
  4. 4등차수열은 「더하고」, 등비수열은 「곱한다」. 첫째항에는 아무것도 하지 않으므로 지수는 n−1n-1 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 일반항을 arnar^n 이나 (ar)n−1(ar)^{n-1} 로 써요.
  • 음수 공비를 괄호 없이 −2n−1-2^{n-1} 로 쓰거나, 공비를 (앞의 항)÷\div(뒤의 항)으로 구해요.
  • r2=4r^2=4 에서 r=−2r=-2 를 빠뜨리거나, 등비중항을 b=a+c2b=\dfrac{a+c}{2} 로 구해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    등비수열 2, −6, 18, ⋯2,\ -6,\ 18,\ \cdots 의 일반항 ana_n 과 제66항을 구하시오.
  2. 예제 2
    a2=−6, a5=48a_2=-6,\ a_5=48 인 등비수열 {an}\{a_n\} 의 일반항을 구하시오. (단, 공비는 실수이다.)
  3. 예제 3
    첫째항이 55, 공비가 33 인 등비수열에서 처음으로 10001000 보다 커지는 항은 제몇 항인지 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 등비수열의 합 →다음 개념: 수열의 귀납적 정의 →
이전 개념: 등차수열설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중3 이차방정식대수 목차
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