수학 개념 노트전체 과목

유리수와 순환소수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
소수를 유한소수와 무한소수로, 무한소수 중 일부를 순환소수로 구분하고 순환마디를 0.1˙2˙0.\dot{1}\dot{2} 처럼 나타내요. 기약분수의 분모의 소인수가 22, 55 뿐이면 유한소수이고, 순환소수는 1010 의 거듭제곱을 곱해 빼서 분수로 고쳐요.
  1. 1유한소수와 무한소수
  2. 2순환소수와 순환마디
  3. 3유한소수로 나타낼 수 있는 분수
  4. 4분수가 순환소수가 되는 이유
  5. 5순환소수를 분수로 나타내기
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1유한소수와 무한소수

분수를 소수로 나타내 봐요.
14=0.25\frac{1}{4}=0.25
13=0.333⋯\frac{1}{3}=0.333\cdots
411=0.3636⋯\frac{4}{11}=0.3636\cdots
14\frac{1}{4} 은 소수점 아래 숫자가 두 개에서 끝나지만, 13\frac{1}{3} 과 411\frac{4}{11} 은 끝없이 계속돼요.
되풀이되지 않고 끝없이 계속되는 소수는 무리수예요.

정의유리수
분수 ab\frac{a}{b} (aa, bb 는 정수, b≠0b\ne0) 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수 라 한다.
정수 3=313=\frac{3}{1} 도 유리수이다.
정의유한소수와 무한소수
소수점 아래의 00 이 아닌 숫자가 유한개인 소수를 유한소수 라 한다.
예: 0.250.25, 1.61.6, 0.0750.075
소수점 아래의 00 이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수를 무한소수라 한다.
예: 0.333⋯0.333\cdots, 3.141592⋯3.141592\cdots
학생
13=0.333⋯\frac{1}{3}=0.333\cdots 은 끝이 없는데, 그래도 유리수예요?
쌤
네, 유리수예요. 분수로 나타낼 수 있으면 소수가 끝나든 끝나지 않든 유리수예요. 유한소수와 무한소수는 소수로 썼을 때의 모양으로 나눈 거예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 유한소수는?
자세히 보기펼치기왜 그런지

분수를 소수로 나타내 봐요.
14=0.25\frac{1}{4}=0.25
13=0.333⋯\frac{1}{3}=0.333\cdots
411=0.3636⋯\frac{4}{11}=0.3636\cdots
되풀이되지 않고 끝없이 계속되는 소수는 무리수예요.

2순환소수와 순환마디

정의순환소수
무한소수 중에서 소수점 아래의 어떤 자리부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 소수를 순환소수 라 한다.
되풀이되는 가장 짧은 한 부분을 순환마디 라 한다.
예: 0.3636⋯0.3636\cdots 의 순환마디는 3636 이다.
학생
순환소수도 무한소수예요?
쌤
네. 끝없이 계속되니 무한소수예요. 다만 무한소수 중에는 3.141592⋯3.141592\cdots 처럼 되풀이되지 않는 것도 있어서, 되풀이되는 것만 순환소수라고 불러요.
성질순환소수의 표기
순환마디의 양 끝 숫자 위에 점을 찍어 간단히 나타낸다.
순환마디의 숫자가 하나이면 그 숫자 위에만 점을 찍는다.
0.333⋯=0.3˙0.333\cdots=0.\dot{3}
0.1212⋯=0.1˙2˙0.1212\cdots=0.\dot{1}\dot{2}
0.2353535⋯=0.23˙5˙0.2353535\cdots=0.2\dot{3}\dot{5}
1.234234⋯=1.2˙34˙1.234234\cdots=1.\dot{2}3\dot{4}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
0.2353535⋯0.2353535\cdots 를 바르게 나타낸 것은?
순환마디의 점
✗ 틀린 풀이
1.234234⋯=1.2˙3˙4˙1.234234\cdots=1.\dot{2}\dot{3}\dot{4}
왜 틀렸나 순환마디가 세 자리 이상이면 점은 순환마디의 처음 숫자와 끝 숫자 위에만 찍는다.
✓ 바른 풀이
1.234234⋯=1.2˙34˙1.234234\cdots=1.\dot{2}3\dot{4}
확인 방법: 점 두 개와 그 사이의 숫자들이 한 묶음으로 되풀이되는지 다시 풀어 써 본다.
순환이 시작되는 자리
✗ 틀린 풀이
0.2353535⋯=0.2˙35˙0.2353535\cdots=0.\dot{2}3\dot{5}
왜 틀렸나 순환마디는 소수점 아래에서 처음으로 되풀이되기 시작하는 숫자부터 잡아야 한다.
✓ 바른 풀이
0.2353535⋯=0.23˙5˙0.2353535\cdots=0.2\dot{3}\dot{5}
22 는 한 번만 나오고 되풀이되지 않아요.
되풀이되는 것은 3535 이므로 순환마디는 3535 이에요.
가장 짧은 순환마디
✗ 틀린 풀이
0.555⋯=0.5˙5˙0.555\cdots=0.\dot{5}\dot{5}
왜 틀렸나 순환마디는 되풀이되는 가장 짧은 부분이므로 한 숫자만 되풀이되면 점도 하나만 찍는다.
✓ 바른 풀이
0.555⋯=0.5˙0.555\cdots=0.\dot{5}
확인 방법: 0.5˙0.\dot{5} 를 다시 풀어 써서 0.555⋯0.555\cdots 가 되는지 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지
순환소수를 점으로 나타내는 순서
  1. 1
    소수점 아래에서 처음으로 되풀이되기 시작하는 자리를 찾아요.
    0.2353535⋯0.2353535\cdots 는 둘째 자리부터 되풀이돼요.
  2. 2
    되풀이되는 가장 짧은 부분(순환마디)을 정해요.
    3535
  3. 3
    순환마디의 첫 숫자와 끝 숫자 위에만 점을 찍어요.
    0.23˙5˙0.2\dot{3}\dot{5}

3유한소수로 나타낼 수 있는 분수

성질유한소수로 나타낼 수 있는 분수
분수를 기약분수로 나타내었을 때
분모의 소인수가 22 나 55 뿐이면 그 분수는 유한소수로 나타낼 수 있다.
분모에 22 나 55 이외의 소인수가 있으면 그 분수는 유한소수로 나타낼 수 없고 순환소수가 된다.
학생
왜 하필 22 와 55 예요?
쌤
10=2×510=2\times5 라서 분모의 소인수가 22 나 55 뿐이면 분모와 분자에 알맞은 수를 곱해 분모를 10, 100, 1000, ⋯10,\ 100,\ 1000,\ \cdots 으로 만들 수 있어요.
340\frac{3}{40} 을 유한소수로 나타내기
40=23×540=2^3\times5
↳분모를 소인수분해
340=3×5223×53\frac{3}{40}=\frac{3\times5^2}{2^3\times5^3}
↳22 와 55 의 지수를 같게(분모 10310^3) 525^2 을 곱해요
=751000=0.075=\frac{75}{1000}=0.075
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 유한소수로 나타낼 수 있는 것은?
기약분수로 먼저 고치기
✗ 틀린 풀이
312\frac{3}{12} 의 분모 12=22×312=2^2\times3 에 33 이 있으므로 유한소수가 아니다.
왜 틀렸나 유한소수인지는 기약분수로 고친 뒤 분모의 소인수가 22 나 55 뿐인지로 판별한다.
✓ 바른 풀이
312=14\frac{3}{12}=\frac{1}{4} 이고 4=224=2^2 이므로 유한소수이다.
14=0.25\frac{1}{4}=0.25
검산: 3÷12=0.253\div12=0.25 로 실제로 나누어떨어진다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가요? 유한소수는 분모가 1010, 100100, 10001000, ⋯\cdots 인 분수로 나타낼 수 있어요.
0.075=7510000.075=\frac{75}{1000}
10=2×510=2\times5 이므로 1010 의 거듭제곱의 소인수는 22 와 55 뿐이에요.
거꾸로 분모의 소인수가 22 나 55 뿐이면, 분모와 분자에 알맞은 수를 곱하여 분모를 1010 의 거듭제곱으로 만들 수 있어요.

유한소수인지 판별하는 순서
  1. 1
    분수를 기약분수로 고쳐요.
    약분할 수 있으면 먼저 약분해요.
  2. 2
    분모를 소인수분해해요.
  3. 3
    분모의 소인수가 22, 55 뿐인지 확인해요.
    22, 55 뿐이면 유한소수, 다른 소인수가 있으면 순환소수
예여러 분수 판별
615=25\frac{6}{15}=\frac{2}{5} 이므로 유한소수예요.
730\frac{7}{30} 은 기약분수이고 30=2×3×530=2\times3\times5 이므로 순환소수예요.
92×32×5=12×5=110\frac{9}{2\times3^2\times5}=\frac{1}{2\times5}=\frac{1}{10} 이므로 유한소수예요.

4분수가 순환소수가 되는 이유

56\frac{5}{6} 을 나눗셈으로 계산하기
08•333650000482018201820182
5÷6=0.8333⋯5\div 6=0.8333\cdots순환마디 3
  • ①50÷650\div6 : 몫 88, 나머지 22
  • ②20÷620\div6 : 몫 33, 나머지 22 — 나머지 22 가 다시 나와요.
  • ③같은 나머지에서 같은 계산이 되풀이되므로 몫 33 이 끝없이 이어져요: 56=0.83˙\frac56=0.8\dot{3}
학생
나눗셈을 계속하면 왜 같은 몫이 되풀이돼요?
쌤
66 으로 나누면 나머지는 00 부터 55 까지만 나와요. 나누어떨어지지 않으면 언젠가 같은 나머지가 다시 나오고, 그때부터 같은 계산이 되풀이돼요.
성질유리수와 소수의 관계
nn 으로 나눈 나머지는 0, 1, ⋯ , n−10,\ 1,\ \cdots,\ n-1 중 하나이므로, 나누어떨어지지 않으면 언젠가 같은 나머지가 다시 나오고 그때부터 몫이 되풀이된다.
따라서 정수가 아닌 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있다.
거꾸로 유한소수와 순환소수는 모두 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이다.
3.141592⋯3.141592\cdots 처럼 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
정수가 아닌 유리수를 소수로 나타내면?

5순환소수를 분수로 나타내기

x=0.3˙6˙x=0.\dot{3}\dot{6} 이라 해요. 순환마디가 두 자리이므로 양변에 100100 을 곱하면 소수점 아래 부분이 똑같은 수가 돼요.

0.3˙6˙0.\dot{3}\dot{6} 을 분수로
100x=36.3636⋯100x=36.3636\cdots
↳양변에 100100 을 곱해요
x=30.3636⋯x=\phantom{3}0.3636\cdots
↳소수점 아래가 같아요
99x=3699x=36
↳위 식에서 아래 식을 빼요
x=3699=411x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}
학생
왜 100100 을 곱해요? 1010 을 곱하면 안 돼요?
쌤
10x=3.6363⋯10x=3.6363\cdots 은 소수점 아래가 x=0.3636⋯x=0.3636\cdots 과 달라서 빼도 끝없는 부분이 남아요. 순환마디가 두 자리라 100100 을 곱해야 소수점 아래가 똑같아져요.
공식순환소수를 분수로 고치는 공식
순환마디만
0.a˙b˙=ab99\displaystyle 0.\dot{a}\dot{b}=\frac{ab}{99}
0.1˙2˙=1299=4330.\dot{1}\dot{2}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}
순환하지 않는 부분이 있음
0.ab˙=ab−a90\displaystyle 0.a\dot{b}=\frac{ab-a}{90}
0.15˙=15−190=7450.1\dot{5}=\frac{15-1}{90}=\frac{7}{45}
순환마디 두 자리
0.ab˙c˙=abc−a990\displaystyle 0.a\dot{b}\dot{c}=\frac{abc-a}{990}
0.23˙5˙=235−2990=2339900.2\dot{3}\dot{5}=\frac{235-2}{990}=\frac{233}{990}
정수 부분이 있음
a.b˙c˙d˙=abcd−a999\displaystyle a.\dot{b}\dot{c}\dot{d}=\frac{abcd-a}{999}
1.2˙34˙=1234−1999=1371111.\dot{2}3\dot{4}=\frac{1234-1}{999}=\frac{137}{111}
성질공식을 외우는 규칙
분모: 순환마디의 숫자 개수만큼 99 를 쓰고, 그 뒤에 소수점 아래 순환하지 않는 숫자의 개수만큼 00 을 쓴다.
분자: (전체의 수) −- (순환하지 않는 부분의 수)
여기서 abab, abcabc 는 곱이 아니라 각 자리 숫자를 나란히 쓴 수이다.
예: 2.5˙=25−29=2392.\dot{5}=\frac{25-2}{9}=\frac{23}{9}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
0.4˙5˙0.\dot{4}\dot{5} 를 기약분수로 나타내면?
분자에서 빼는 수
✗ 틀린 풀이
0.15˙=1590=160.1\dot{5}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}
왜 틀렸나 순환소수를 분수로 고칠 때 분자는 전체 수에서 순환하지 않는 부분을 뺀 값이다.
✓ 바른 풀이
0.15˙=15−190=1490=7450.1\dot{5}=\frac{15-1}{90}=\frac{14}{90}=\frac{7}{45}
검산: 745=7÷45=0.1555⋯\frac{7}{45}=7\div45=0.1555\cdots 이므로 0.15˙0.1\dot{5} 와 같다.
자세히 보기펼치기예제왜 그런지외우기 카드
순환하지 않는 부분이 있을 때
x=0.15˙x=0.1\dot{5}
100x=15.555⋯100x=15.555\cdots
↳소수점을 순환마디 뒤로
10x=11.555⋯10x=\phantom{1}1.555\cdots
↳순환마디 바로 앞으로
90x=1490x=14
↳위 식에서 아래 식을 빼요
x=1490=745x=\frac{14}{90}=\frac{7}{45}
↳기약분수로

두 식의 소수점 아래 부분이 똑같아지도록 1010 의 거듭제곱을 고르는 것이 핵심이에요.
0.3˙6˙0.\dot{3}\dot{6} 은 100x100x 와 xx 를 뺐고, 0.15˙0.1\dot{5} 는 100x100x 와 10x10x 를 뺐어요.

순환소수 → 분수

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
0.a˙b˙=ab□0.\dot{a}\dot{b}=\frac{ab}{\square}
단계 1 / 3
0.ab˙=ab−□900.a\dot{b}=\frac{ab-\square}{90}
단계 1 / 2순환마디 2자리 → 9 두 개, 순환하지 않는 1자리 → 0 하나
0.ab˙c˙=abc−a□0.a\dot{b}\dot{c}=\frac{abc-a}{\square}
성질검산과 0.9˙0.\dot{9}
구한 분수를 다시 나눗셈하여 처음 순환소수가 나오는지 확인한다.
745=0.1555⋯\frac{7}{45}=0.1555\cdots 이므로 맞다.
같은 방법으로 x=0.9˙x=0.\dot{9} 를 고치면
10x−x=9.999⋯−0.999⋯=910x-x=9.999\cdots-0.999\cdots=9
9x=99x=9
따라서 0.9˙=10.\dot{9}=1 이다. 순환소수는 정수가 될 수도 있다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1소수점 아래의 0 이 아닌 숫자가 유한개인 소수를 유한소수, 무한히 계속되는 소수를 무한소수라 한다. 소수점 아래 어떤 자리부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 무한소수를 순환소수라 한다.
  2. 2되풀이되는 부분을 순환마디라 하고, 순환마디의 처음과 끝 숫자 위에 점을 찍어 나타낸다. 예: 0.3˙0.\dot{3}, 0.1˙2˙0.\dot{1}\dot{2}, 1.2˙34˙1.\dot{2}3\dot{4}
  3. 3기약분수의 분모의 소인수가 22 나 55 뿐이면 유한소수로, 그 밖의 소인수가 있으면 순환소수로 나타낼 수 있다.
  4. 4순환소수를 xx 로 놓고 1010 의 거듭제곱을 곱해 소수점 아래 부분이 같은 두 식을 만든 뒤, 빼어서 분수로 고친다. 따라서 순환소수는 유리수이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 분수를 기약분수로 고치지 않고 분모의 소인수만 보고 유한소수가 아니라고 판단해요(예: 312\frac{3}{12}).
  • 순환마디의 모든 숫자 위에 점을 찍거나, 되풀이되지 않는 숫자부터 점을 찍어요(0.2353535⋯0.2353535\cdots 를 0.2˙35˙0.\dot{2}3\dot{5} 로).
  • 순환소수를 분수로 고칠 때 분자에서 순환하지 않는 부분을 빼지 않거나, 분모의 99 와 00 의 개수를 틀려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    분수 2122×3×52\frac{21}{2^2\times3\times5^2} 을 유한소수로 나타낼 수 있는지 판별하고, 나타낼 수 있으면 소수로 나타내시오.
  2. 예제 2
    순환소수 1.23˙6˙1.2\dot{3}\dot{6} 을 기약분수로 나타내시오.
  3. 예제 3
    분수 x84\frac{x}{84} 를 유한소수로 나타낼 수 있을 때, xx 가 될 수 있는 가장 작은 자연수를 구하시오.

다음 공부

설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 소인수분해, 중3 제곱근과 실수 (나중에), 중1 정수와 유리수중학교 2학년 목차
지수법칙과 단항식의 계산 →
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