수학 개념 노트전체 과목

등비수열의 합

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
첫째항이 aa, 공비가 rr 인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합은 r≠1r\ne1 일 때 Sn=a(rn−1)r−1S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}, r=1r=1 일 때 Sn=naS_n=na 이에요. Sn−rSnS_n-rS_n 으로 유도하며, 적금의 원리합계도 이 공식으로 구해요.
  1. 1등비수열의 합 공식
  2. 2응용하기
  3. 3조건으로 첫째항과 공비 구하기
  4. 4원리합계 — 적금
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1등비수열의 합 공식

공식등비수열의 합 (첫째항 aa, 공비 rr)
r≠1r\ne1
Sn=a(rn−1)r−1=a(1−rn)1−r\displaystyle S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
r>1r>1 이면 앞의 꼴, r<1r<1 이면 뒤의 꼴이 분모가 양수라서 계산이 편하다.
r=1r=1
Sn=a+a+⋯+a=na\displaystyle S_n=a+a+\cdots+a=na
공식의 분모가 00 이 되므로 따로 구한다.
정의공비가 11 인 경우
r=1r=1 이면 수열은 a, a, a, ⋯a,\ a,\ a,\ \cdots 이므로 Sn=S_n= nana 이다.
예: 5+5+⋯+55+5+\cdots+5 (1010 개) =5×10=50=5\times10=50
이때 공식 a(rn−1)r−1\dfrac{a(r^n-1)}{r-1} 에 r=1r=1 을 넣으면 분모가 00 이 되어 쓸 수 없다.
SnS_n 과 rSnrS_n 을 빼서 유도하기
SnS_naa+ar+ar+⋯+\cdots+arn−1+ar^{n-1}
rSnrS_narar+⋯+\cdots+arn−1+ar^{n-1}+arn+ar^n
Sn−rSnS_n-rS_naa000000−arn-ar^n
rr 를 곱하면 항이 한 칸씩 오른쪽으로 밀려요. 위아래로 같은 항끼리 빼면 가운데가 모두 지워지고 aa 와 −arn-ar^n 만 남아요.

위아래로 맞춰 빼면 가운데 항이 모두 지워진다. 이것이 등비수열의 합 공식의 핵심이에요.
분자와 분모에 각각 −1-1 을 곱하면 a(1−rn)1−r=a(rn−1)r−1\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1} 이므로 두 꼴은 같은 식이에요.

학생
공식이 두 가지인데 언제 어느 쪽을 써요?
쌤
같은 식이라 어느 쪽을 써도 돼요. 보통 r>1r>1 이면 a(rn−1)r−1\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}, r<1r<1 이면 a(1−rn)1−r\dfrac{a(1-r^n)}{1-r} 을 쓰면 분모가 양수라 계산이 편해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
1+3+32+331+3+3^2+3^3 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제외우기 카드

왜 그런가
등차수열의 합은 거꾸로 더해서 구했지만, 등비수열의 합은 양변에 공비 rr 를 곱해서 구해요.

Sn−rSn=a−arnS_n-rS_n=a-ar^n
↳가운데 항이 모두 지워져요
(1−r)Sn=a(1−rn)(1-r)S_n=a(1-r^n)
↳SnS_n 으로 묶어요
Sn=a(1−rn)1−rS_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
↳r≠1r\ne1 이어야 나눌 수 있어요
공식 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 3Sn−rSn=a−arnS_n-rS_n=a-ar^n
Sn (r≠1)=a(r□−1)r−1S_n\ (r\ne1)=\dfrac{a(r^{\square}-1)}{r-1}
단계 1 / 1
Sn (r=1)=□S_n\ (r=1)=\square

2응용하기

공식을 틀로 쓰면 다음과 같아요.S=(첫째항)×{(공비)(항의 개수)−1}(공비)−1S=\frac{(\text{첫째항})\times\{(\text{공비})^{(\text{항의 개수})}-1\}}{(\text{공비})-1}첫째항이 a1a_1 이 아닌 경우(중간부터 더하는 경우)에도 맨 앞에 오는 항을 첫째항으로 봐요.

지수 nn 자리에는 마지막 항의 지수가 아니라 항의 개수를 넣어요.

학생
공비가 음수이면 주의할 게 있어요?
쌤
공비를 괄호째 거듭제곱해요. 공비가 −2-2 이면 (−2)n(-2)^n 이고, −2n-2^n 으로 쓰면 부호가 틀려요.
공비가 음수·분수이거나 중간부터 더하는 꼴
1+12+⋯+132=1×{1−(12)6}1−12=63321+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{32}=\dfrac{1\times\{1-(\frac{1}{2})^6\}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{63}{32}
↳공비 12\frac{1}{2}, 66 개
3−6+12−⋯=3{(−2)6−1}−2−1=3×63−3=−633-6+12-\cdots=\dfrac{3\{(-2)^6-1\}}{-2-1}=\dfrac{3\times63}{-3}=-63
↳공비 −2-2, 제66항까지
23+24+⋯+210=8(28−1)2−1=20402^3+2^4+\cdots+2^{10}=\dfrac{8(2^8-1)}{2-1}=2040
↳첫째항 88, 10−3+1=810-3+1=8 개
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
2+22+23+⋯+282+2^2+2^3+\cdots+2^8 의 값은?
항의 개수 세기
✗ 틀린 풀이
1+2+22+⋯+210=210−12−1=10231+2+2^2+\cdots+2^{10}=\dfrac{2^{10}-1}{2-1}=1023
왜 틀렸나 202^0 부터 2102^{10} 까지는 1111 개의 항이므로 공식의 nn 에 1111 을 넣어야 한다.
✓ 바른 풀이
1+2+22+⋯+210=211−12−1=20471+2+2^2+\cdots+2^{10}=\dfrac{2^{11}-1}{2-1}=2047
1=201=2^0 부터 2102^{10} 까지이므로 항은 10−0+1=1110-0+1=11 개이다.
검산: 1+2+4=7=23−11+2+4=7=2^3-1 처럼 지수가 22 까지이면 n=3n=3 이다.
음수 공비의 거듭제곱
✗ 틀린 풀이
3{(−2)6−1}−2−1=3(−64−1)−3=65\dfrac{3\{(-2)^6-1\}}{-2-1}=\dfrac{3(-64-1)}{-3}=65
왜 틀렸나 음수를 짝수 번 곱하면 양수이므로 공식 안의 (−2)6(-2)^6 은 6464 로 계산해야 한다.
✓ 바른 풀이
3{(−2)6−1}−2−1=3(64−1)−3=−63\dfrac{3\{(-2)^6-1\}}{-2-1}=\dfrac{3(64-1)}{-3}=-63
(−2)6(-2)^6 은 짝수 번 곱하므로 양수 6464 이에요.
검산: 3−6+12−24+48−96=−633-6+12-24+48-96=-63
공비가 11 일 때
✗ 틀린 풀이
5+5+⋯+5=5(110−1)1−15+5+\cdots+5=\dfrac{5(1^{10}-1)}{1-1}
왜 틀렸나 공비가 11 이면 공식의 분모가 00 이므로 공식을 쓰지 않고 첫째항에 항의 개수를 곱한다.
✓ 바른 풀이
5+5+⋯+5=5×10=505+5+\cdots+5=5\times10=50
r=1r=1 이면 공식의 분모가 00 이에요. 공비가 문자 rr 로 주어지면 r=1r=1 인 경우와 r≠1r\ne1 인 경우로 나누어 구해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지공식 더 보기
적용 절차
  1. 1
    맨 앞의 항을 찾아 첫째항으로 정해요.
    중간부터 더하면 그 항이 첫째항이에요.
  2. 2
    이웃한 두 항의 비로 공비를 구해요.
    (뒤의 항)÷\div(앞의 항). 음수, 분수도 그대로 써요.
  3. 3
    항의 개수를 세요.
    (끝 번호)−-(시작 번호)+1+1
  4. 4
    rr 가 11 인지 확인하고 공식에 괄호를 씌워 넣어요.
    음수 공비는 (−2)6(-2)^6 처럼 괄호째 거듭제곱해요.
  5. 5
    n=1, 2n=1,\ 2 를 넣어 첫째항, (첫째항)++(둘째항) 이 나오는지 확인해요.
    검산
공식등차수열의 합과 나란히 비교
등차수열
Sn=n{2a+(n−1)d}2=n(a+l)2\displaystyle S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}=\dfrac{n(a+l)}{2}
거꾸로 더해서 유도한다. (ll 은 끝항)
등비수열
Sn=a(rn−1)r−1 (r≠1)\displaystyle S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\ (r\ne1)
rr 를 곱해서 빼서 유도한다. nn 은 지수 자리에 들어간다.

3조건으로 첫째항과 공비 구하기

두 합 S3S_3, S6S_6 이 주어지면 공식을 두 번 쓰고 나누어서 aa 를 없애요.
또는 S6S_6 을 앞의 세 항과 뒤의 세 항으로 나누어 볼 수 있어요.

학생
뒤의 세 항은 앞의 세 항과 어떤 관계예요?
쌤
뒤의 세 항은 앞의 세 항에 각각 r3r^3 을 곱한 거예요. 그래서 S6=S3+r3S3=S3(1+r3)S_6=S_3+r^3S_3=S_3(1+r^3) 이에요.
a4+a5+a6=ar3+ar4+ar5=r3(a+ar+ar2)a_4+a_5+a_6=ar^3+ar^4+ar^5=r^3(a+ar+ar^2)
↳뒤의 세 항
S6=S3+r3S3=S3(1+r3)S_6=S_3+r^3S_3=S_3(1+r^3)
↳앞의 세 항 ++ 뒤의 세 항
S3=7S_3=7, S6=63S_6=63 인 등비수열 (공비는 실수)
63=7(1+r3)63=7(1+r^3)
↳S6=S3(1+r3)S_6=S_3(1+r^3)
r3=8,r=2r^3=8,\quad r=2
S3=a(23−1)2−1=7a=7,a=1S_3=\dfrac{a(2^3-1)}{2-1}=7a=7,\quad a=1
S6=26−12−1=63S_6=\dfrac{2^6-1}{2-1}=63
↳검산
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
등비수열에서 S2=3S_2=3, S4=15S_4=15 일 때 공비는? (단, 공비는 양수)

4원리합계 — 적금

정의복리와 원리합계
원금 aa 원을 연이율 rr 로 예금할 때, 이자를 원금에 더한 금액에 다시 이자가 붙는 방식을 복리 라 한다.
11 년마다 복리로 계산하면 nn 년 후의 원리합계(원금과 이자의 합)는a(1+r)na(1+r)^n이다.
nn 년 말에 각 적립금의 원리합계
a(1+r)na(1+r)^n
↳첫해 초에 넣은 돈: nn 년
a(1+r)n−1a(1+r)^{n-1}
↳둘째 해 초: n−1n-1 년
⋮\vdots
a(1+r)a(1+r)
↳마지막 해 초: 11 년
이 금액들은 첫째항 a(1+r)a(1+r), 공비 1+r1+r 인 등비수열이에요.
학생
적금 문제는 왜 등비수열의 합이에요?
쌤
매년 넣은 돈마다 이자가 붙는 기간이 11 년씩 달라서, 각 돈의 원리합계가 공비 1+r1+r 인 등비수열을 이뤄요. 그 합이 원리합계예요.
공식적립금 aa 원, 연이율 rr, 11 년마다 복리, nn 년 말의 원리합계
매년 초 적립
a(1+r)+a(1+r)2+⋯+a(1+r)n=a(1+r){(1+r)n−1}r\displaystyle a(1+r)+a(1+r)^2+\cdots+a(1+r)^n=\dfrac{a(1+r)\{(1+r)^n-1\}}{r}
마지막 적립금도 11 년 이자가 붙는다.
매년 말 적립
a+a(1+r)+⋯+a(1+r)n−1=a{(1+r)n−1}r\displaystyle a+a(1+r)+\cdots+a(1+r)^{n-1}=\dfrac{a\{(1+r)^n-1\}}{r}
마지막 적립금은 이자가 붙지 않는다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
연이율 rr, 11 년마다 복리로 원금 aa 원을 예금할 때 33 년 후의 원리합계는?
⚠ 주의공비는 1+r1+r 이다
연이율 2%2\% 이면 공비는 0.020.02 가 아니라 1.021.02 이에요.
따라서 공식의 분모 (공비)−1-1 은 1.02−1=0.021.02-1=0.02 가 돼요.
적립 시점이 매년 초인지 말인지에 따라 첫째항이 a(1+r)a(1+r) 와 aa 로 달라져요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

매년 초에 aa 원씩 nn 년 동안 적립하면, 각 적립금은 nn 년 말까지 이자가 붙는 기간이 달라요.

연이율 2%2\%, 1.0210=1.221.02^{10}=1.22 로 계산 (100100 만 원씩 1010 년)
100×1.02×(1.0210−1)0.02=100×1.02×0.220.02=1122\dfrac{100\times1.02\times(1.02^{10}-1)}{0.02}=\dfrac{100\times1.02\times0.22}{0.02}=1122
↳매년 초 적립 (만 원)
100×(1.0210−1)0.02=100×0.220.02=1100\dfrac{100\times(1.02^{10}-1)}{0.02}=\dfrac{100\times0.22}{0.02}=1100
↳매년 말 적립 (만 원)
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1첫째항이 aa, 공비가 rr 인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합 SnS_n 은
    r≠1r\ne1 일 때 Sn=a(rn−1)r−1=a(1−rn)1−rS_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
  2. 2r=1r=1 일 때 모든 항이 aa 이므로 Sn=naS_n=na
  3. 3유도: SnS_n 에서 rSnrS_n 을 빼면 가운데 항이 모두 없어진다.
  4. 4적금의 원리합계는 각 적립금의 원리합계가 등비수열을 이루므로 이 공식으로 구한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 1+2+⋯+2101+2+\cdots+2^{10} 에서 마지막 항의 지수 1010 을 항의 개수로 써서 210−12^{10}-1 로 계산해요. (항은 1111 개)
  • 공비가 음수일 때 (−2)6(-2)^6 을 −64-64 로 계산하거나, r=1r=1 인데 공식 a(rn−1)r−1\dfrac{a(r^n-1)}{r-1} 을 그대로 써요.
  • 적금에서 공비를 연이율 rr 로 쓰거나, 매년 초 적립과 매년 말 적립의 첫째항을 구분하지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    첫째항이 33, 공비가 22 인 등비수열의 첫째항부터 제88항까지의 합을 구하시오.
  2. 예제 2
    등비수열 16, −8, 4, ⋯16,\ -8,\ 4,\ \cdots 의 첫째항부터 제88항까지의 합을 구하시오.
  3. 예제 3
    첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS_n 이라 할 때, S3=7S_3=7, S6=63S_6=63 인 등비수열의 첫째항과 공비를 구하시오. (단, 공비는 실수)

다음 공부

다음 개념: 수열의 합과 일반항의 관계 →
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