수학 개념 노트전체 과목

일반각과 호도법

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
동경 OPOP 가 나타내는 각은 360∘×n+α∘360^\circ\times n+\alpha^\circ (nn 은 정수) 꼴의 일반각으로 나타내요. 호도법에서는 180∘=π180^\circ=\pi (라디안)이고, 반지름의 길이가 rr, 중심각의 크기가 θ\theta 인 부채꼴의 호의 길이는 l=rθl=r\theta, 넓이는 S=12r2θ=12rlS=\dfrac{1}{2}r^2\theta=\dfrac{1}{2}rl 이에요.
  1. 1시초선과 동경
  2. 2일반각
  3. 3사분면의 각
  4. 4호도법
  5. 5부채꼴의 호의 길이와 넓이
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1시초선과 동경

정의시초선과 동경
두 반직선 OXOX 와 OPOP 에 의하여 ∠XOP\angle XOP 가 정해질 때, ∠XOP\angle XOP 의 크기는 반직선 OPOP 가 점 OO 를 중심으로 반직선 OXOX 의 위치에서 OPOP 의 위치까지 회전한 양이다.
이때 처음 위치의 반직선 OXOX 를 시초선, 회전한 반직선 OPOP 를 동경이라 한다.
학생
각에도 방향이 있어요?
쌤
네. 동경이 시곗바늘이 도는 방향과 반대로 돌면 양의 각, 시곗바늘 방향으로 돌면 음의 각이에요. 회전한 양으로 보니까 360∘360^\circ 보다 큰 각도 생겨요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
시곗바늘이 도는 방향으로 60∘60^\circ 회전한 각은?

보통 시초선은 좌표평면의 xx 축의 양의 부분에 둬요.
그러면 각은 원점 OO 를 중심으로 회전한 동경의 위치로 나타나요.

자세히 보기펼치기왜 그런지

동경이 시곗바늘이 도는 방향과 반대 방향으로 회전하면 양의 방향, 시곗바늘이 도는 방향으로 회전하면 음의 방향이라 해요.
양의 방향으로 회전한 각은 양의 부호 ++ 를, 음의 방향으로 회전한 각은 음의 부호 −- 를 붙여 나타내요.
예를 들어 양의 방향으로 한 바퀴 돌고 60∘60^\circ 더 돌면 420∘420^\circ 이고, 음의 방향으로 60∘60^\circ 돌면 −60∘-60^\circ 이에요.
각을 회전한 양으로 보면 360∘360^\circ 보다 큰 각이나 음의 각도 생각할 수 있어요.

2일반각

420∘420^\circ 와 60∘60^\circ 와 −300∘-300^\circ 는 서로 다른 각이지만, 동경의 위치는 모두 같아요.
동경이 한 바퀴(360∘360^\circ) 돌 때마다 같은 위치로 돌아오기 때문이에요.

동경의 위치가 같은 세 각
시초선
60∘60^\circ
420∘420^\circ
−300∘-300^\circ
OP
60∘60^\circ 는 바로, 420∘420^\circ 는 한 바퀴 더 돌아서, −300∘-300^\circ 는 시곗바늘 방향으로 돌아서 같은 동경 OPOP 에 와요.
성질일반각
시초선 OXOX 와 동경 OPOP 가 나타내는 한 각의 크기를 α∘\alpha^\circ 라 하면, 동경 OPOP 가 나타내는 각의 크기는 360∘×n+α∘(n 은 정수)360^\circ\times n+\alpha^\circ\quad(n\text{ 은 정수})이것을 동경 OPOP 가 나타내는 일반각이라 한다.
보통 α∘\alpha^\circ 는 0∘≤α∘<360∘0^\circ\le\alpha^\circ<360^\circ 인 것을 택한다.
학생
α∘\alpha^\circ 는 아무 각이나 써도 돼요?
쌤
같은 동경이면 어느 각을 써도 일반각은 같아요. 다만 보통 0∘≤α∘<360∘0^\circ\le\alpha^\circ<360^\circ 인 것을 써요. −300∘-300^\circ 는 360∘×(−1)+60∘360^\circ\times(-1)+60^\circ 로 나타내요.
일반각으로 나타내기
760∘=360∘×2+40∘760^\circ=360^\circ\times2+40^\circ
↳40∘40^\circ 의 동경과 같아요
−500∘+360∘×2=220∘-500^\circ+360^\circ\times2=220^\circ
↳0∘0^\circ 이상 360∘360^\circ 미만이 될 때까지 더해요
−500∘=360∘×(−2)+220∘-500^\circ=360^\circ\times(-2)+220^\circ
↳220∘220^\circ 의 동경과 같아요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−400∘-400^\circ 를 360∘×n+α∘ (0∘≤α∘<360∘)360^\circ\times n+\alpha^\circ\ (0^\circ\le\alpha^\circ<360^\circ) 꼴로 나타낼 때 α\alpha 의 값은?
음의 각의 α\alpha
✗ 틀린 풀이
−500∘=360∘×(−1)−140∘-500^\circ=360^\circ\times(-1)-140^\circ
따라서 α=−140\alpha=-140
왜 틀렸나 일반각 360∘×n+α∘360^\circ\times n+\alpha^\circ 에서 α∘\alpha^\circ 는 0∘0^\circ 이상 360∘360^\circ 미만으로 잡아야 한다.
✓ 바른 풀이
−500∘=360∘×(−2)+220∘-500^\circ=360^\circ\times(-2)+220^\circ
따라서 α=220\alpha=220
왼쪽 등식도 계산은 맞지만, α∘\alpha^\circ 는 0∘≤α∘<360∘0^\circ\le\alpha^\circ<360^\circ 에서 택해요.
−140∘-140^\circ 에 360∘360^\circ 를 더하면 220∘220^\circ 이고, 그만큼 nn 이 11 줄어들어요.
자세히 보기펼치기왜 그런지
각을 360∘×n+α∘ (0∘≤α∘<360∘)360^\circ\times n+\alpha^\circ\ (0^\circ\le\alpha^\circ<360^\circ) 꼴로 나타내기
  1. 1
    주어진 각을 360360 으로 나눈 몫과 나머지를 구해요.
    나머지는 00 이상 360360 미만이어야 해요.
  2. 2
    음의 각이면 360∘360^\circ 의 정수배를 더하여 0∘0^\circ 이상 360∘360^\circ 미만이 되게 해요.
    더한 횟수만큼 nn 이 음수가 돼요.
  3. 3
    거꾸로 360∘×n+α∘360^\circ\times n+\alpha^\circ 를 계산하여 처음 각과 같은지 확인해요.
    검산

3사분면의 각

시초선을 xx 축의 양의 부분에 둘 때, 동경 OPOP 가 제11사분면, 제22사분면, 제33사분면, 제44사분면에 있으면 각각 제11사분면의 각, 제22사분면의 각, 제33사분면의 각, 제44사분면의 각이라 해요.
동경이 좌표축 위에 있으면 어느 사분면의 각도 아니에요.

학생
어떤 각이 몇 사분면의 각인지 어떻게 알아요?
쌤
360∘×n+α∘360^\circ\times n+\alpha^\circ 꼴로 바꾼 뒤 α∘\alpha^\circ 의 동경이 어느 사분면에 있는지 보면 돼요. 예를 들어 400∘=360∘+40∘400^\circ=360^\circ+40^\circ 는 제11사분면의 각이에요.
공식사분면의 각 (nn 은 정수)
제11사분면
360∘×n<θ<360∘×n+90∘\displaystyle 360^\circ\times n<\theta<360^\circ\times n+90^\circ
제22사분면
360∘×n+90∘<θ<360∘×n+180∘\displaystyle 360^\circ\times n+90^\circ<\theta<360^\circ\times n+180^\circ
제33사분면
360∘×n+180∘<θ<360∘×n+270∘\displaystyle 360^\circ\times n+180^\circ<\theta<360^\circ\times n+270^\circ
제44사분면
360∘×n+270∘<θ<360∘×n+360∘\displaystyle 360^\circ\times n+270^\circ<\theta<360^\circ\times n+360^\circ
몇 사분면의 각인가
−1000∘=360∘×(−3)+80∘-1000^\circ=360^\circ\times(-3)+80^\circ
↳제11사분면의 각
1170∘=360∘×3+90∘1170^\circ=360^\circ\times3+90^\circ
↳yy 축 위: 어느 사분면도 아니에요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−200∘-200^\circ 는 제몇사분면의 각인가?
부호를 떼고 보지 않는다
✗ 틀린 풀이
−100∘-100^\circ 는 100∘100^\circ 처럼 제22사분면의 각이다.
왜 틀렸나 음의 각은 시곗바늘 방향으로 회전한 것이므로 360∘360^\circ 를 더해 양의 각으로 바꾼 뒤 사분면을 정한다.
✓ 바른 풀이
−100∘=360∘×(−1)+260∘-100^\circ=360^\circ\times(-1)+260^\circ
따라서 −100∘-100^\circ 는 제33사분면의 각이다.
−100∘-100^\circ 는 시곗바늘 방향으로 100∘100^\circ 회전한 것이므로 동경이 xx 축 아래쪽에 있어요.

4호도법

정의라디안과 호도법
반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각의 크기를 1라디안이라 하고, 이것을 단위로 각의 크기를 나타내는 방법을 호도법이라 한다.
지금까지처럼 1∘1^\circ 를 단위로 나타내는 방법은 육십분법이라 한다.
11 라디안
rr
호의 길이 rr
11 라디안
O
반지름과 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각이 11 라디안 =180∘π≈57.3∘=\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx57.3^\circ 예요.
공식육십분법과 호도법의 관계
기본
180∘=π (라디안)\displaystyle 180^\circ=\pi\ \text{(라디안)}
반원의 중심각이다. 이것 하나만 기억하면 나머지는 비례로 구한다.
11 라디안
1 라디안=180∘π\displaystyle 1\ \text{라디안}=\frac{180^\circ}{\pi}
약 57.3∘57.3^\circ 이다.
1∘1^\circ
1∘=π180 라디안\displaystyle 1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{라디안}
육십분법 → 호도법
x∘=x×π180\displaystyle x^\circ=x\times\frac{\pi}{180}
π180\dfrac{\pi}{180} 를 곱한다.
호도법 → 육십분법
θ=θ×180∘π\displaystyle \theta=\theta\times\frac{180^\circ}{\pi}
180∘π\dfrac{180^\circ}{\pi} 를 곱한다. π\pi 자리에 180∘180^\circ 를 넣는 것과 같다.
학생
라디안은 왜 써요?
쌤
부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식이 아주 간단해지기 때문이에요. 바꿀 때는 180∘=π180^\circ=\pi 하나만 기억하면 나머지는 비례로 바꿔요.

호도법으로 나타낼 때는 보통 단위 「라디안」을 생략하고 π\pi, π3\dfrac{\pi}{3} 처럼 수만 써요.
호도법으로 나타낸 일반각은 2nπ+α2n\pi+\alpha (nn 은 정수)이에요.

공식자주 쓰는 각
30∘, 45∘, 60∘, 90∘30^\circ,\ 45^\circ,\ 60^\circ,\ 90^\circ
π6,π4,π3,π2\displaystyle \frac{\pi}{6},\quad\frac{\pi}{4},\quad\frac{\pi}{3},\quad\frac{\pi}{2}
120∘, 135∘, 150∘, 180∘120^\circ,\ 135^\circ,\ 150^\circ,\ 180^\circ
2π3,3π4,5π6,π\displaystyle \frac{2\pi}{3},\quad\frac{3\pi}{4},\quad\frac{5\pi}{6},\quad\pi
270∘, 360∘270^\circ,\ 360^\circ
3π2,2π\displaystyle \frac{3\pi}{2},\quad2\pi
단위 바꾸기
225∘=225×π180=5π4225^\circ=225\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{4}
↳×π180\times\dfrac{\pi}{180}
5π12=5×180∘12=75∘\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{5\times180^\circ}{12}=75^\circ
↳π\pi 에 180∘180^\circ 를 넣어요
7π3=2π+π3\dfrac{7\pi}{3}=2\pi+\dfrac{\pi}{3}
↳제11사분면의 각
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
135∘135^\circ 를 호도법으로 나타내면?
π\pi 만 붙이지 않는다
✗ 틀린 풀이
210∘=210π210^\circ=210\pi
왜 틀렸나 180∘=π180^\circ=\pi 이므로 육십분법을 호도법으로 바꿀 때는 π180\dfrac{\pi}{180} 를 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
210∘=210×π180=7π6210^\circ=210\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}
1∘=π1801^\circ=\dfrac{\pi}{180} 이다.
검산: 7π6\dfrac{7\pi}{6} 의 π\pi 에 180∘180^\circ 를 넣으면 210∘210^\circ 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

왜 그 크기가 일정한가
한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례해요.
반지름의 길이가 rr 인 원에서 호의 길이가 rr 인 부채꼴의 중심각의 크기를 x∘x^\circ 라 하면, 원 전체(둘레 2πr2\pi r, 중심각 360∘360^\circ)와 비교하여
r:2πr=x∘:360∘r:2\pi r=x^\circ:360^\circ
따라서 x∘=180∘πx^\circ=\dfrac{180^\circ}{\pi}
이 값에는 rr 이 없으므로, 반지름의 길이와 관계없이 일정해요.

호도법 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 1반원
180∘=□180^\circ=\square
단계 1 / 2180∘180^\circ 의 13\dfrac{1}{3}
60∘=π□60^\circ=\frac{\pi}{\square}
단계 1 / 230∘30^\circ 의 55 배
150∘=□π6150^\circ=\frac{\square\pi}{6}

5부채꼴의 호의 길이와 넓이

중심각을 호도법으로 나타내면 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 간단한 식으로 쓸 수 있어요.

공식부채꼴 (반지름 rr, 중심각 θ\theta, 호의 길이 ll)
호의 길이
l=rθ\displaystyle l=r\theta
넓이
S=12r2θ=12rl\displaystyle S=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl
중심각을 모르면 12rl\dfrac{1}{2}rl 을 쓴다.
둘레의 길이
2r+l\displaystyle 2r+l
반지름 두 개와 호 하나
(비교) 육십분법
l=2πr×x360,S=πr2×x360\displaystyle l=2\pi r\times\frac{x}{360},\quad S=\pi r^2\times\frac{x}{360}
중심각을 x∘x^\circ 로 나타낸 식이다. 호도법을 쓰면 l=rθl=r\theta 처럼 간단해진다.
학생
중심각이 육십분법으로 주어지면 그대로 넣어도 돼요?
쌤
안 돼요. 공식의 θ\theta 는 라디안이라서 60∘60^\circ 는 π3\dfrac{\pi}{3} 으로 바꿔 넣어요. 6060 을 그대로 넣으면 값이 엉뚱하게 커져요.
반지름 44, 중심각 3π4\dfrac{3\pi}{4} 인 부채꼴
l=4×3π4=3πl=4\times\dfrac{3\pi}{4}=3\pi
↳호의 길이
S=12×42×3π4=6πS=\dfrac{1}{2}\times4^2\times\dfrac{3\pi}{4}=6\pi
↳넓이
S=12×4×3π=6πS=\dfrac{1}{2}\times4\times3\pi=6\pi
↳12rl\frac{1}{2}rl 로 확인
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
반지름 33, 중심각 2π3\frac{2\pi}{3} 인 부채꼴의 넓이는?
중심각은 라디안으로 넣는다
✗ 틀린 풀이
반지름 66, 중심각 60∘60^\circ
l=6×60=360l=6\times60=360
왜 틀렸나 호의 길이 l=rθl=r\theta 는 θ\theta 가 라디안일 때 성립하므로 중심각을 먼저 호도법으로 바꾼다.
✓ 바른 풀이
60∘=π360^\circ=\dfrac{\pi}{3} 이므로
l=6×π3=2πl=6\times\dfrac{\pi}{3}=2\pi
l=rθl=r\theta 는 θ\theta 가 라디안일 때만 성립해요.
검산: 육십분법 식으로 2π×6×60360=2π2\pi\times6\times\dfrac{60}{360}=2\pi 이에요.
넓이 공식의 12\dfrac{1}{2}
✗ 틀린 풀이
반지름 66, 넓이 12π12\pi
62θ=12π6^2\theta=12\pi 에서 θ=π3\theta=\dfrac{\pi}{3}
왜 틀렸나 부채꼴의 넓이는 S=12r2θS=\dfrac{1}{2}r^2\theta 이므로 계수 12\dfrac{1}{2} 을 함께 써야 한다.
✓ 바른 풀이
12×62×θ=12π\dfrac{1}{2}\times6^2\times\theta=12\pi
따라서 θ=2π3\theta=\dfrac{2\pi}{3}
호의 길이 l=rθl=r\theta 와 넓이 S=12r2θS=\dfrac{1}{2}r^2\theta 를 구별해 기억한다.
검산: 12×36×2π3=12π\dfrac{1}{2}\times36\times\dfrac{2\pi}{3}=12\pi 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제성질 더 보기

왜 그런가
한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 모두 중심각의 크기에 정비례하므로, 원 전체(중심각 2π2\pi)와 비교해요.

l=2πr×θ2π=rθl=2\pi r\times\dfrac{\theta}{2\pi}=r\theta
↳둘레의 θ2π\dfrac{\theta}{2\pi}
S=πr2×θ2π=12r2θS=\pi r^2\times\dfrac{\theta}{2\pi}=\dfrac{1}{2}r^2\theta
↳넓이의 θ2π\dfrac{\theta}{2\pi}
S=12r⋅rθ=12rlS=\dfrac{1}{2}r\cdot r\theta=\dfrac{1}{2}rl
↳rθ=lr\theta=l
성질외우는 장치
넓이 S=12rlS=\dfrac{1}{2}rl 은 삼각형의 넓이 12×(밑변)×(높이)\dfrac{1}{2}\times(\text{밑변})\times(\text{높이}) 와 모양이 같다.
호를 밑변 ll, 반지름을 높이 rr 로 보면 된다.
검산: θ=2π\theta=2\pi 를 넣으면 l=2πrl=2\pi r, S=πr2S=\pi r^2 으로 원의 둘레와 넓이가 나온다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1일반각
    360∘×n+α∘360^\circ\times n+\alpha^\circ (nn 은 정수)
  2. 2호도법
    180∘=π180^\circ=\pi (라디안), 11 라디안 =180∘π=\dfrac{180^\circ}{\pi}
  3. 3부채꼴의 호의 길이와 넓이 (θ\theta 는 라디안)
    l=rθl=r\theta, S=12r2θ=12rlS=\dfrac{1}{2}r^2\theta=\dfrac{1}{2}rl
✗ 자주 하는 실수
  • −500∘-500^\circ 를 360∘×(−1)−140∘360^\circ\times(-1)-140^\circ 로 쓰고 α=−140\alpha=-140 이라 해요. α∘\alpha^\circ 는 0∘0^\circ 이상 360∘360^\circ 미만에서 택해요.
  • 210∘210^\circ 를 210π210\pi 로 쓰는 것처럼, 육십분법의 수에 π\pi 만 붙여요. π180\dfrac{\pi}{180} 를 곱해야 해요.
  • l=rθl=r\theta, S=12r2θS=\dfrac{1}{2}r^2\theta 에 중심각을 육십분법 그대로 넣거나, 넓이 공식의 12\dfrac{1}{2} 을 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    −1000∘-1000^\circ 를 360∘×n+α∘360^\circ\times n+\alpha^\circ (nn 은 정수, 0∘≤α∘<360∘0^\circ\le\alpha^\circ<360^\circ) 꼴로 나타내고, 몇 사분면의 각인지 구하시오.
  2. 예제 2
    호도법으로 나타낸 각 −5π4-\dfrac{5\pi}{4} 를 2nπ+α2n\pi+\alpha (nn 은 정수, 0≤α<2π0\le\alpha<2\pi) 꼴로 나타내고, 몇 사분면의 각인지 구하시오.
  3. 예제 3
    반지름의 길이가 66 이고 둘레의 길이가 2020 인 부채꼴의 중심각의 크기 θ\theta (라디안)와 넓이 SS 를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 삼각함수의 뜻과 관계 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 좌표평면과 그래프, 중1 원과 부채꼴대수 목차
← 로그방정식과 로그부등식삼각함수의 뜻과 관계 →
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