수학 개념 노트전체 과목

사인법칙

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
삼각형 ABCABC 의 외접원의 반지름의 길이를 RR 라 하면 asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R 이에요. 따라서 a:b:c=sin⁡A:sin⁡B:sin⁡Ca:b:c=\sin A:\sin B:\sin C 이에요.
  1. 1삼각형의 변과 각의 표기
  2. 2사인법칙
  3. 3사인법칙의 변형
  4. 4사인법칙의 활용
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1삼각형의 변과 각의 표기

삼각형 ABCABC 에서 ∠A\angle A, ∠B\angle B, ∠C\angle C 의 크기를 각각 AA, BB, CC 로 나타내요.
∠A\angle A 의 대변 인 변 BCBC 의 길이를 aa 로 나타내요. 같은 방법으로 b=CA‾b=\overline{CA}, c=AB‾c=\overline{AB} 이에요.

각과 마주 보는 변
abcABCABC
각 AA 와 마주 보는 파란 변이 a=BC‾a=\overline{BC} 예요. 마찬가지로 b=CA‾b=\overline{CA} 는 각 BB, c=AB‾c=\overline{AB} 는 각 CC 와 마주 봐요. 변의 두 끝점에는 마주 보는 각의 꼭짓점이 없어요. 세 각의 합은 A+B+C=180∘A+B+C=180^\circ 예요.
학생
aa 는 왜 꼭짓점 AA 에 붙은 변이 아니에요?
쌤
꼭짓점 AA 에는 변이 두 개(ABAB, ACAC) 붙어 있어서 하나로 못 정해요. 마주 보는 변은 BCBC 하나뿐이라 그 길이를 aa 로 써요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
삼각형 ABCABC 에서 bb 는 어느 변의 길이인가?
자세히 보기펼치기왜 그런지

같은 문자의 대문자(각)와 소문자(변)가 한 짝이에요.
예를 들어 「A=45∘A=45^\circ, a=4a=4」는 ∠A\angle A 의 크기가 45∘45^\circ 이고, 그 각과 마주 보는 변 BCBC 의 길이가 44 라는 뜻이에요.

2사인법칙

성질사인법칙
삼각형 ABCABC 의 외접원의 반지름의 길이를 RR 라 하면asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R각 변의 길이를 그 대각의 사인값으로 나눈 값은 모두 같고, 그 값은 외접원의 지름의 길이이다.
학생
왜 세 값이 모두 같아요?
쌤
꼭짓점 CC 에서 수선을 내리면 높이를 bsin⁡Ab\sin A 로도, asin⁡Ba\sin B 로도 쓸 수 있어요. 둘이 같으니까 asin⁡A=bsin⁡B\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=30∘A=30^\circ, a=4a=4 인 삼각형 ABCABC 의 외접원의 지름의 길이는?
변과 각의 짝을 맞춘다
✗ 틀린 풀이
asin⁡B=bsin⁡A\dfrac{a}{\sin B}=\dfrac{b}{\sin A}
왜 틀렸나 사인법칙의 한 분수에는 마주 보는 변과 각, 즉 같은 문자의 변과 각이 들어가야 한다.
✓ 바른 풀이
asin⁡A=bsin⁡B\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}
한 분수 안에는 마주 보는 변과 각(같은 문자)이 들어가요.
검산: 정삼각형이 아닌 직각삼각형 A=30∘A=30^\circ, B=60∘B=60^\circ, C=90∘C=90^\circ, a=1a=1, b=3b=\sqrt{3} 에 넣어 봐요.
1sin⁡30∘=2\dfrac{1}{\sin30^\circ}=2 이고 3sin⁡60∘=2\dfrac{\sqrt{3}}{\sin60^\circ}=2 이므로 바른 식만 성립해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

왜 세 비가 같은가 (높이로 보기)
꼭짓점 CC 에서 직선 ABAB 에 내린 수선의 발을 HH 라 하면, 높이 CH‾\overline{CH} 를 두 직각삼각형에서 각각 삼각비로 나타낼 수 있어요.

ba
CH‾\overline{CH}
ABABCH
같은 높이 CH‾\overline{CH} 를 왼쪽 직각삼각형에서는 bb 와 AA 로, 오른쪽에서는 aa 와 BB 로 나타내요.
CH‾=bsin⁡A\overline{CH}=b\sin A
↳직각삼각형 AHCAHC
CH‾=asin⁡B\overline{CH}=a\sin B
↳직각삼각형 BHCBHC
bsin⁡A=asin⁡Bb\sin A=a\sin B
↳같은 높이
asin⁡A=bsin⁡B\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}
↳양변을 sin⁡Asin⁡B\sin A\sin B 로 나눠요
BB 가 둔각이어도 CH‾=asin⁡(180∘−B)=asin⁡B\overline{CH}=a\sin(180^\circ-B)=a\sin B 예요. 꼭짓점 AA 에서 수선을 내리면 같은 방법으로 bsin⁡B=csin⁡C\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} 예요.

왜 그 값이 2R2R 인가 (외접원으로 보기)
외접원의 중심을 OO 라 하고, 점 BB 를 지나는 지름 BA′BA' 을 그어요. 그러면 BA′‾=2R\overline{BA'}=2R 이에요.
지름에 대한 원주각이므로 ∠BCA′=90∘\angle BCA'=90^\circ 이에요.
AA 가 예각이면 ∠A′\angle A' 과 ∠A\angle A 는 같은 호 BCBC 에 대한 원주각이므로 크기가 같아요. 직각삼각형 A′BCA'BC 에서
sin⁡A=sin⁡A′=BC‾BA′‾=a2R\sin A=\sin A'=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{BA'}}=\dfrac{a}{2R}

2RAAOABCA′
지름 BA′BA' 위의 원주각 ∠BCA′=90∘\angle BCA'=90^\circ 이고, 같은 호 BCBC 위의 원주각 ∠A′=∠A\angle A'=\angle A 예요.

A=90∘A=90^\circ 이면 aa 가 지름이므로 a=2Ra=2R 이고 sin⁡A=1\sin A=1 이에요.
AA 가 둔각이면 사각형 ABA′CABA'C 가 원에 내접하므로 A′=180∘−AA'=180^\circ-A 이고
sin⁡A=sin⁡(180∘−A)=sin⁡A′=a2R\sin A=\sin(180^\circ-A)=\sin A'=\dfrac{a}{2R}
어느 경우든 asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2R 이에요.

3사인법칙의 변형

공식사인법칙을 바꿔 쓴 꼴
변을 구할 때
a=2Rsin⁡A,b=2Rsin⁡B,c=2Rsin⁡C\displaystyle a=2R\sin A,\quad b=2R\sin B,\quad c=2R\sin C
사인값을 구할 때
sin⁡A=a2R,sin⁡B=b2R,sin⁡C=c2R\displaystyle \sin A=\frac{a}{2R},\quad \sin B=\frac{b}{2R},\quad \sin C=\frac{c}{2R}
두 쌍만 쓸 때
b=asin⁡Bsin⁡A,sin⁡B=bsin⁡Aa\displaystyle b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad \sin B=\frac{b\sin A}{a}
asin⁡A=bsin⁡B\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} 의 양변에 sin⁡Asin⁡B\sin A\sin B 를 곱해 정리한 것이다.
비
a:b:c=sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C\displaystyle a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C
성질세 변의 비와 세 사인값의 비
a=2Rsin⁡Aa=2R\sin A, b=2Rsin⁡Bb=2R\sin B, c=2Rsin⁡Cc=2R\sin C 이므로
a:b:c=2Rsin⁡A:2Rsin⁡B:2Rsin⁡Ca:b:c=2R\sin A:2R\sin B:2R\sin C
각 항을 2R2R 로 나누면
a:b:c=sin⁡A:sin⁡B:sin⁡Ca:b:c=\sin A:\sin B:\sin C
세 변의 길이의 비는 세 각의 크기의 비가 아니라 세 각의 사인값의 비와 같다.
학생
각의 비가 1:2:31:2:3 이면 변의 비도 1:2:31:2:3 아니에요?
쌤
아니에요. 각은 30∘30^\circ, 60∘60^\circ, 90∘90^\circ 이고, 변의 비는 사인값의 비 12:32:1=1:3:2\dfrac{1}{2}:\dfrac{\sqrt{3}}{2}:1=1:\sqrt{3}:2 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A:B:C=1:1:4A:B:C=1:1:4 일 때 a:b:ca:b:c 는?
각의 비를 변의 비로 쓰지 않는다
✗ 틀린 풀이
A:B:C=1:2:3A:B:C=1:2:3
따라서 a:b:c=1:2:3a:b:c=1:2:3
왜 틀렸나 사인법칙에서 변의 비는 각의 비가 아니라 사인값의 비이므로 각의 크기를 먼저 구해야 한다.
✓ 바른 풀이
A:B:C=1:2:3A:B:C=1:2:3 이면
A=30∘A=30^\circ, B=60∘B=60^\circ, C=90∘C=90^\circ
a:b:c=sin⁡30∘:sin⁡60∘:sin⁡90∘=12:32:1a:b:c=\sin30^\circ:\sin60^\circ:\sin90^\circ=\dfrac{1}{2}:\dfrac{\sqrt{3}}{2}:1
따라서 a:b:c=1:3:2a:b:c=1:\sqrt{3}:2
세 각의 합 180∘180^\circ 를 1:2:31:2:3 으로 나누어 각을 먼저 구해요.
변의 비는 사인값의 비예요.
자세히 보기펼치기외우기 카드성질 더 보기
사인법칙 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
asin⁡A=□R\frac{a}{\sin A}=\square R
단계 1 / 2
b=2Rsin⁡□b=2R\sin\square
단계 1 / 2
sin⁡C=□2R\sin C=\frac{\square}{2R}
성질외우는 장치
「변 나누기 마주 보는 각의 사인은 지름」
분자와 분모의 문자는 항상 같은 문자(소문자 변, 대문자 각)이다.
RR 은 반지름이므로 지름 2R2R 의 22 를 빠뜨리지 않는다.

4사인법칙의 활용

사인법칙은 「한 변과 그 대각」을 알 때 써요. 이 짝 하나와 다른 각이나 다른 변 하나를 알면 나머지를 구할 수 있어요.

B=45∘B=45^\circ, C=75∘C=75^\circ, a=6a=6 일 때 bb 와 RR
A=180∘−45∘−75∘=60∘A=180^\circ-45^\circ-75^\circ=60^\circ
↳모르는 각 먼저
b=6sin⁡45∘sin⁡60∘=6×22÷32=26b=\dfrac{6\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=6\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\div\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}
↳asin⁡A=bsin⁡B\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}
2R=6sin⁡60∘=432R=\dfrac{6}{\sin60^\circ}=4\sqrt{3}
↳asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2R
R=23R=2\sqrt{3}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=45∘A=45^\circ, B=60∘B=60^\circ, a=22a=2\sqrt{2} 일 때 bb 의 값은?
2R2R 과 RR 을 구별한다
✗ 틀린 풀이
A=30∘A=30^\circ, a=5a=5
R=5sin⁡30∘=10R=\dfrac{5}{\sin30^\circ}=10
왜 틀렸나 사인법칙에서 asin⁡A\dfrac{a}{\sin A} 는 외접원의 지름 2R2R 이므로 반지름은 그 절반이다.
✓ 바른 풀이
2R=5sin⁡30∘=102R=\dfrac{5}{\sin30^\circ}=10
따라서 R=5R=5
asin⁡A\dfrac{a}{\sin A} 는 지름이에요. 반지름은 그 절반이에요.
⚠ 주의두 변과 끼인각이 아닌 한 각을 알 때
a=2a=2, b=22b=2\sqrt{2}, A=30∘A=30^\circ 이면
sin⁡B=bsin⁡Aa=22×122=22\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{2\sqrt{2}\times\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
0∘<B<180∘0^\circ<B<180^\circ 에서 사인값이 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 인 각은 B=45∘B=45^\circ 와 B=135∘B=135^\circ 두 개예요.
두 경우 모두 A+B<180∘A+B<180^\circ 이므로 삼각형이 두 개 생겨요.
반면 A=120∘A=120^\circ 에서 sin⁡B=12\sin B=\dfrac{1}{2} 이면 B=150∘B=150^\circ 는 A+B>180∘A+B>180^\circ 이므로 B=30∘B=30^\circ 만 돼요.
사인값으로 각을 구할 때는 예각과 둔각을 모두 따져 보고 세 각의 합으로 확인해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2성질 더 보기
두 각과 한 변을 알 때 다른 변 구하기
  1. 1
    모르는 각이 있으면 A+B+C=180∘A+B+C=180^\circ 로 구해요.
    아는 변의 대각이 필요해요.
  2. 2
    아는 변과 그 대각, 구할 변과 그 대각으로 asin⁡A=bsin⁡B\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B} 를 세워요.
  3. 3
    구할 변에 대하여 풀고 특수각의 사인값을 넣어요.
    분모에 근호가 남으면 유리화해요.
외접원의 반지름
2R=5sin⁡30∘=10,R=52R=\dfrac{5}{\sin30^\circ}=10,\quad R=5
↳A=30∘A=30^\circ, a=5a=5
b=2Rsin⁡B=6×32=33b=2R\sin B=6\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}
↳R=3R=3, B=120∘B=120^\circ
사인값의 비로 변 구하기
sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=2:3:4\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4
a:b:c=2:3:4a:b:c=2:3:4
↳변의 비 == 사인값의 비
a=2k, b=3k, c=4k (k>0)a=2k,\ b=3k,\ c=4k\ (k>0)
9k=18,k=29k=18,\quad k=2
↳둘레의 길이가 1818
a=4, b=6, c=8a=4,\ b=6,\ c=8
성질검산
삼각형에서 큰 각과 마주 보는 변이 더 길다.
구한 변의 길이 순서가 마주 보는 각의 크기 순서와 같은지 확인한다.
외접원의 반지름은 a2sin⁡A\dfrac{a}{2\sin A}, b2sin⁡B\dfrac{b}{2\sin B} 중 어느 것으로 구해도 같아야 한다.

사인법칙과 직각삼각형의 삼각비를 나란히 놓으면 다음과 같아요.
직각삼각형에서 sin⁡A=ac\sin A=\dfrac{a}{c} 는 C=90∘C=90^\circ 일 때만 성립해요. 이때 빗변 cc 가 외접원의 지름 2R2R 이므로 사인법칙 sin⁡A=a2R\sin A=\dfrac{a}{2R} 과 같은 식이에요.
사인법칙은 직각이 없는 삼각형에도 쓸 수 있어요.
세 변만 알거나 두 변과 그 끼인각을 알 때는 사인법칙만으로 풀리지 않고, 코사인법칙을 써요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1삼각형 ABCABC 에서 AA, BB, CC 는 세 각의 크기, aa, bb, cc 는 각각 그 대변의 길이
  2. 2사인법칙 (외접원의 반지름의 길이 RR)
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R
  3. 3변형
    a=2Rsin⁡Aa=2R\sin A
    sin⁡A=a2R\sin A=\dfrac{a}{2R}
  4. 4a:b:c=sin⁡A:sin⁡B:sin⁡Ca:b:c=\sin A:\sin B:\sin C
✗ 자주 하는 실수
  • asin⁡B=bsin⁡A\dfrac{a}{\sin B}=\dfrac{b}{\sin A} 처럼 변과 마주 보지 않는 각을 짝지어 식을 세워요.
  • asin⁡A\dfrac{a}{\sin A} 의 값을 외접원의 반지름 RR 로 써서 지름 2R2R 의 22 를 빠뜨려요.
  • A:B:C=1:2:3A:B:C=1:2:3 에서 a:b:c=1:2:3a:b:c=1:2:3 처럼 각의 크기의 비를 변의 길이의 비로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    삼각형 ABCABC 에서 A=45∘A=45^\circ, B=60∘B=60^\circ, a=4a=4 일 때, bb 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    삼각형 ABCABC 에서 A=105∘A=105^\circ, C=45∘C=45^\circ, b=6b=6 일 때, cc 의 값과 외접원의 반지름의 길이 RR 를 구하시오.
  3. 예제 3
    삼각형 ABCABC 에서 sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=3:5:7\sin A:\sin B:\sin C=3:5:7 이고 둘레의 길이가 4545 일 때, 가장 긴 변의 길이를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 코사인법칙과 삼각형의 넓이 →
이전 개념: 삼각함수의 뜻과 관계설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 삼각형의 외심과 내심, 중3 삼각비, 중3 원주각대수 목차
← 삼각방정식과 삼각부등식코사인법칙과 삼각형의 넓이 →
학원·교습소에서 쓰시나요?

학원용 버전에는 개념별 확인 문제 채점, 1,200여 개 유형별 문제 풀이, 학생 질문 게시판과 진도 관리가 들어 있어요.

학원용 문의하기