정의 주기함수와 주기
함수 f ( x ) f(x) f ( x ) x x x f ( x + p ) = f ( x ) f(x+p)=f(x) f ( x + p ) = f ( x ) 0 0 0 p p p f ( x ) f(x) f ( x ) 주기함수 라 하고, 이러한 p p p 주기 라 한다. 동경이 한 바퀴(2 π 2\pi 2 π sin ( x + 2 π ) = sin x \sin(x+2\pi)=\sin x sin ( x + 2 π ) = sin x cos ( x + 2 π ) = cos x \cos(x+2\pi)=\cos x cos ( x + 2 π ) = cos x y = sin x y=\sin x y = sin x y = cos x y=\cos x y = cos x 2 π 2\pi 2 π
학생 f ( x + p ) = f ( x ) f(x+p)=f(x) f ( x + p ) = f ( x ) p p p 쌤 p p p 2 p 2p 2 p 3 p 3p 3 p y = sin x y=\sin x y = sin x 4 π 4\pi 4 π 2 π 2\pi 2 π 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
모든 실수 x x x f ( x + 2 ) = f ( x ) f(x+2)=f(x) f ( x + 2 ) = f ( x ) f ( 1 ) = 5 f(1)=5 f ( 1 ) = 5 f ( 7 ) f(7) f ( 7 ) + 펼치기 접기 왜 그런지 그래프는 2 π 2\pi 2 π f ( x + p ) = f ( x ) f(x+p)=f(x) f ( x + p ) = f ( x ) f ( x + 2 p ) = f ( x + p ) = f ( x ) f(x+2p)=f(x+p)=f(x) f ( x + 2 p ) = f ( x + p ) = f ( x ) 2 p 2p 2 p 3 p 3p 3 p
단위원 위의 점 P P P O P OP O P x x x P P P ( cos x , sin x ) (\cos x,\ \sin x) ( cos x , sin x ) x x x P P P y y y sin x \sin x sin x y = sin x y=\sin x y = sin x x x x cos x \cos x cos x y = cos x y=\cos x y = cos x 호도법 을 쓰므로 각 x x x
이전 개념 한 주기의 값
sin x \sin x sin x 는 원점에서 출발하여 올라가고,
cos x \cos x cos x 는 최댓값
1 1 1 에서 출발하여 내려가요.
공식 y = sin x y=\sin x y = sin x y = cos x y=\cos x y = cos x 정의역
실수 전체의 집합 \displaystyle \text{실수 전체의 집합} 실수 전체의 집합 치역
{ y ∣ − 1 ≤ y ≤ 1 } \displaystyle \{y\mid -1\le y\le1\} { y ∣ − 1 ≤ y ≤ 1 } 단위원 위의 점의 좌표이므로 − 1 -1 − 1 1 1 1 y = sin x y=\sin x y = sin x 원점에 대하여 대칭 \displaystyle \text{원점에 대하여 대칭} 원점에 대하여 대칭 sin ( − x ) = − sin x \sin(-x)=-\sin x sin ( − x ) = − sin x y = cos x y=\cos x y = cos x y 축에 대하여 대칭 \displaystyle y\text{ 축에 대하여 대칭} y 축에 대하여 대칭 cos ( − x ) = cos x \cos(-x)=\cos x cos ( − x ) = cos x 학생 y = sin x y=\sin x y = sin x y = cos x y=\cos x y = cos x 쌤 모양이 같아요. y = cos x y=\cos x y = cos x y = sin x y=\sin x y = sin x x x x − π 2 -\dfrac{\pi}{2} − 2 π
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = cos x y=\cos x y = cos x 원점에 대하여 대칭이다. y y y 주기는 π \pi π + 펼치기 접기 왜 그런지 그림 두 그래프를 비교하면 y = cos x y=\cos x y = cos x y = sin x y=\sin x y = sin x x x x − π 2 -\dfrac{\pi}{2} − 2 π 평행이동 한 거예요.cos x = sin ( x + π 2 ) \cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right) cos x = sin ( x + 2 π )
이전 개념
x x x π 2 \dfrac{\pi}{2} 2 π x = π 2 x=\dfrac{\pi}{2} x = 2 π 점근선 이라 해요.
공식 y = tan x y=\tan x y = tan x 정의역
{ x | x ≠ n π + π 2 } \displaystyle \left\{x\ \middle|\ x\ne n\pi+\frac{\pi}{2}\right\} { x x = nπ + 2 π } n n n cos x = 0 \cos x=0 cos x = 0 치역
실수 전체의 집합 \displaystyle \text{실수 전체의 집합} 실수 전체의 집합 대칭
원점에 대하여 대칭 \displaystyle \text{원점에 대하여 대칭} 원점에 대하여 대칭 tan ( − x ) = − tan x \tan(-x)=-\tan x tan ( − x ) = − tan x 점근선
x = n π + π 2 \displaystyle x=n\pi+\frac{\pi}{2} x = nπ + 2 π … , x = − π 2 , x = π 2 , x = 3 π 2 , … \dots,\ x=-\dfrac{\pi}{2},\ x=\dfrac{\pi}{2},\ x=\dfrac{3\pi}{2},\ \dots … , x = − 2 π , x = 2 π , x = 2 3 π , …
학생 y = tan x y=\tan x y = tan x 쌤 tan x \tan x tan x x = π 2 x=\dfrac{\pi}{2} x = 2 π y y y π \pi π 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = tan x y=\tan x y = tan x x = π 2 x=\dfrac{\pi}{2} x = 2 π x = − π 2 x=-\dfrac{\pi}{2} x = − 2 π x = π x=\pi x = π ✗ 틀린 풀이
y = tan x y=\tan x y = tan x 2 π 2\pi 2 π 왜 틀렸나 주기는 f ( x + p ) = f ( x ) f(x+p)=f(x) f ( x + p ) = f ( x ) p p p tan x \tan x tan x π \pi π ↓ ✓ 바른 풀이
y = tan x y=\tan x y = tan x π \pi π tan ( x + 2 π ) = tan x \tan(x+2\pi)=\tan x tan ( x + 2 π ) = tan x tan ( x + π ) = tan x \tan(x+\pi)=\tan x tan ( x + π ) = tan x π \pi π + 펼치기 접기 왜 그런지 tan x \tan x tan x O P OP O P 기울기 예요.x x x π 2 \dfrac{\pi}{2} 2 π y y y π \pi π tan ( x + π ) = tan x \tan(x+\pi)=\tan x tan ( x + π ) = tan x
이전 개념 y = a sin ( b x + c ) + d y=a\sin(bx+c)+d y = a sin ( b x + c ) + d a a a b b b d d d
y = a sin ( b x + c ) + d y=a\sin(bx+c)+d y = a sin ( b x + c ) + d 최댓값 ∣ a ∣ + d , 최솟값 − ∣ a ∣ + d , 주기 2 π ∣ b ∣ \displaystyle \text{최댓값 }|a|+d,\quad\text{최솟값 }-|a|+d,\quad\text{주기 }\frac{2\pi}{|b|} 최댓값 ∣ a ∣ + d , 최솟값 − ∣ a ∣ + d , 주기 ∣ b ∣ 2 π 왜? 이유 보기
y = a cos ( b x + c ) + d y=a\cos(bx+c)+d y = a cos ( b x + c ) + d 최댓값 ∣ a ∣ + d , 최솟값 − ∣ a ∣ + d , 주기 2 π ∣ b ∣ \displaystyle \text{최댓값 }|a|+d,\quad\text{최솟값 }-|a|+d,\quad\text{주기 }\frac{2\pi}{|b|} 최댓값 ∣ a ∣ + d , 최솟값 − ∣ a ∣ + d , 주기 ∣ b ∣ 2 π 왜? 이유 보기
y = a tan ( b x + c ) + d y=a\tan(bx+c)+d y = a tan ( b x + c ) + d 최댓값⋅최솟값 없음 , 주기 π ∣ b ∣ \displaystyle \text{최댓값·최솟값 없음},\quad\text{주기 }\frac{\pi}{|b|} 최댓값 ⋅ 최솟값 없음 , 주기 ∣ b ∣ π 왜? 이유 보기
평행이동
x 축 방향 − c b , y 축 방향 d \displaystyle x\text{ 축 방향 }-\frac{c}{b},\quad y\text{ 축 방향 }d x 축 방향 − b c , y 축 방향 d y = a sin b x y=a\sin bx y = a sin b x 쌤 c c c b ( x + c b ) b\left(x+\dfrac{c}{b}\right) b ( x + b c ) y = − 2 sin x 2 + 3 y=-2\sin\dfrac{x}{2}+3 y = − 2 sin 2 x + 3 ∣ a ∣ = 2 , d = 3 |a|=2,\ d=3 ∣ a ∣ = 2 , d = 3 최댓값 2 + 3 = 5 , 최솟값 − 2 + 3 = 1 \text{최댓값 }2+3=5,\quad \text{최솟값 }-2+3=1 최댓값 2 + 3 = 5 , 최솟값 − 2 + 3 = 1 주기 2 π ÷ 1 2 = 4 π \text{주기 }2\pi\div\dfrac{1}{2}=4\pi 주기 2 π ÷ 2 1 = 4 π y = 3 tan ( 2 x + π 2 ) y=3\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right) y = 3 tan ( 2 x + 2 π ) 2 x + π 2 = 2 ( x + π 4 ) 2x+\dfrac{\pi}{2}=2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) 2 x + 2 π = 2 ( x + 4 π ) ↳ ◀ 괄호 안을 묶어요
주기 π 2 \text{주기 }\dfrac{\pi}{2} 주기 2 π ↳ ◀ tan \tan tan π ∣ b ∣ \dfrac{\pi}{|b|} ∣ b ∣ π y = 3 tan 2 x → x 축 방향 − π 4 y=3\tan2x\ \to\ x\text{ 축 방향 }-\dfrac{\pi}{4} y = 3 tan 2 x → x 축 방향 − 4 π ↳ ◀ 평행이동
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = 3 cos 2 x − 1 y=3\cos 2x-1 y = 3 cos 2 x − 1 최댓값 2 2 2 π \pi π 최댓값 3 3 3 π \pi π 최댓값 2 2 2 4 π 4\pi 4 π 평행이동한 양은 묶은 뒤에 읽는다
✗ 틀린 풀이
y = sin ( 2 x − π 3 ) y=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right) y = sin ( 2 x − 3 π ) y = sin 2 x y=\sin2x y = sin 2 x x x x π 3 \dfrac{\pi}{3} 3 π 왜 틀렸나 평행이동한 양은 x x x x − m x-m x − m m m m ↓ ✓ 바른 풀이
2 x − π 3 = 2 ( x − π 6 ) 2x-\dfrac{\pi}{3}=2\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) 2 x − 3 π = 2 ( x − 6 π ) x x x π 6 \dfrac{\pi}{6} 6 π 평행이동은 x x x x − m x-m x − m x x x 2 2 2 m m m x = π 6 x=\dfrac{\pi}{6} x = 6 π sin ( 2 × π 6 − π 3 ) = sin 0 \sin\left(2\times\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin0 sin ( 2 × 6 π − 3 π ) = sin 0 π 6 \dfrac{\pi}{6} 6 π ✗ 틀린 풀이
y = − 2 cos x + 1 y=-2\cos x+1 y = − 2 cos x + 1 − 2 + 1 = − 1 -2+1=-1 − 2 + 1 = − 1 왜 틀렸나 y = a cos x + d y=a\cos x+d y = a cos x + d ∣ a ∣ + d |a|+d ∣ a ∣ + d a a a cos x = − 1 \cos x=-1 cos x = − 1 ↓ ✓ 바른 풀이
y = − 2 cos x + 1 y=-2\cos x+1 y = − 2 cos x + 1 ∣ − 2 ∣ + 1 = 3 |-2|+1=3 ∣ − 2∣ + 1 = 3 cos x = − 1 \cos x=-1 cos x = − 1 y = − 2 × ( − 1 ) + 1 = 3 y=-2\times(-1)+1=3 y = − 2 × ( − 1 ) + 1 = 3 − ∣ − 2 ∣ + 1 = − 1 -|-2|+1=-1 − ∣ − 2∣ + 1 = − 1 a a a ∣ a ∣ |a| ∣ a ∣ 주기는 양수
✗ 틀린 풀이
y = sin ( − 2 x ) y=\sin(-2x) y = sin ( − 2 x ) 2 π − 2 = − π \dfrac{2\pi}{-2}=-\pi − 2 2 π = − π 왜 틀렸나 주기는 양수이므로 y = sin b x y=\sin bx y = sin b x 2 π ∣ b ∣ \dfrac{2\pi}{|b|} ∣ b ∣ 2 π ↓ ✓ 바른 풀이
y = sin ( − 2 x ) y=\sin(-2x) y = sin ( − 2 x ) 2 π ∣ − 2 ∣ = π \dfrac{2\pi}{|-2|}=\pi ∣ − 2∣ 2 π = π 주기는 가장 작은 「양수」 p p p ∣ b ∣ |b| ∣ b ∣ + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 3 외우기 카드 − 1 ≤ sin ( b x + c ) ≤ 1 -1\le\sin(bx+c)\le1 − 1 ≤ sin ( b x + c ) ≤ 1 − ∣ a ∣ ≤ a sin ( b x + c ) ≤ ∣ a ∣ -|a|\le a\sin(bx+c)\le|a| − ∣ a ∣ ≤ a sin ( b x + c ) ≤ ∣ a ∣ − ∣ a ∣ + d ≤ y ≤ ∣ a ∣ + d -|a|+d\le y\le|a|+d − ∣ a ∣ + d ≤ y ≤ ∣ a ∣ + d 왜 그런가 (주기)
sin { b ( x + 2 π b ) } = sin ( b x + 2 π ) = sin b x \sin\left\{b\left(x+\dfrac{2\pi}{b}\right)\right\}=\sin(bx+2\pi)=\sin bx sin { b ( x + b 2 π ) } = sin ( b x + 2 π ) = sin b x ↳ ◀ b > 0 b>0 b > 0 2 π b \frac{2\pi}{b} b 2 π 주기 = 2 π ∣ b ∣ \text{주기}=\dfrac{2\pi}{|b|} 주기 = ∣ b ∣ 2 π 왜 그런가 (평행이동)
b x + c = b ( x + c b ) bx+c=b\left(x+\dfrac{c}{b}\right) b x + c = b ( x + b c ) y = a sin b x → y = a sin ( b x + c ) + d y=a\sin bx\ \to\ y=a\sin(bx+c)+d y = a sin b x → y = a sin ( b x + c ) + d ↳ ◀ x x x − c b -\frac{c}{b} − b c y y y d d d 주기 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2 cos \cos cos y = a sin ( b x + c ) + d 의 주기 = □ ∣ b ∣ y=a\sin(bx+c)+d\ \text{의 주기}=\frac{\square}{|b|} y = a sin ( b x + c ) + d 의 주기 = ∣ b ∣ □ 정답 보기
단계 1 / 2
y = a tan ( b x + c ) + d 의 주기 = □ ∣ b ∣ y=a\tan(bx+c)+d\ \text{의 주기}=\frac{\square}{|b|} y = a tan ( b x + c ) + d 의 주기 = ∣ b ∣ □ 정답 보기
그래프의 성질 읽기
1 b x + c = b ( x + c b ) bx+c=b\left(x+\dfrac{c}{b}\right) b x + c = b ( x + b c ) 2 주기를 구해요.
sin \sin sin cos \cos cos 2 π ∣ b ∣ \dfrac{2\pi}{|b|} ∣ b ∣ 2 π tan \tan tan π ∣ b ∣ \dfrac{\pi}{|b|} ∣ b ∣ π 3 최댓값과 최솟값을 구해요.
∣ a ∣ + d |a|+d ∣ a ∣ + d − ∣ a ∣ + d -|a|+d − ∣ a ∣ + d tan \tan tan 4 평행이동한 양을 읽어요.
x x x − c b -\dfrac{c}{b} − b c y y y d d d 5