수학 개념 노트전체 과목

수열의 귀납적 정의

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
첫째항과 이웃한 항 사이의 관계식으로 수열을 정하는 것이 귀납적 정의예요. an+1=an+da_{n+1}=a_n+d 는 등차수열, an+1=rana_{n+1}=ra_n 은 등비수열이고, an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n) 은 차를 더하여, an+1=anf(n)a_{n+1}=a_nf(n) 은 비를 곱하여 일반항을 구해요.
  1. 1수열의 귀납적 정의
  2. 2등차수열과 등비수열의 귀납적 정의
  3. 3an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n) 꼴
  4. 4an+1=anf(n)a_{n+1}=a_nf(n) 꼴
  5. 5나란히 비교하기
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1수열의 귀납적 정의

정의수열의 귀납적 정의
수열 {an}\{a_n\} 을
(i) 첫째항 a1a_1 의 값
(ii) 이웃하는 항 사이의 관계식 (n=1, 2, 3, ⋯n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
으로 정하는 것을 수열의 귀납적 정의 라 한다.
학생
관계식은 어떻게 읽어요?
쌤
an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1 은 「앞의 항에 22 를 곱하고 11 을 더하면 다음 항」이라는 뜻이에요. nn 에 1, 2, 3, ⋯1,\ 2,\ 3,\ \cdots 을 차례로 넣어 항을 하나씩 구해요.

관계식만으로는 수열이 하나로 정해지지 않아요. 관계식 an+1=2ana_{n+1}=2a_n 을 만족하는 수열은
a1=1a_1=1 이면 1, 2, 4, 8, ⋯1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots
a1=3a_1=3 이면 3, 6, 12, 24, ⋯3,\ 6,\ 12,\ 24,\ \cdots
이므로 첫째항이 주어져야 모든 항이 하나로 정해져요.

a1=1, an+1=2an+1a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1
a2=2a1+1=3a_2=2a_1+1=3
↳n=1n=1
a3=2a2+1=7a_3=2a_2+1=7
↳n=2n=2
a4=2a3+1=15a_4=2a_3+1=15
↳n=3n=3
an=2n−1a_n=2^n-1
↳추측: 1, 3, 7, 151,\ 3,\ 7,\ 15 는 2n−12^n-1
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a1=2, an+1=3an−1a_1=2,\ a_{n+1}=3a_n-1 일 때 a3a_3 의 값은?
몇 번째 항인지 세기
✗ 틀린 풀이
a1=1, an+1=2an+1a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1 에서 관계식을 세 번 써서 얻은 1515 를 a3a_3 이라 한다.
왜 틀렸나 관계식을 한 번 쓸 때마다 번호가 하나 늘므로 a1a_1 에서 세 번 쓰면 a4a_4 가 된다.
✓ 바른 풀이
관계식을 한 번 쓸 때마다 번호가 하나 늘므로 세 번 쓰면 a4=15a_4=15 이다.
nn 에 11 을 넣으면 a2a_2, nn 에 kk 를 넣으면 ak+1a_{k+1} 이 나와요.
공식수열을 나타내는 두 방법
일반항
an=2n−1\displaystyle a_n=2^n-1
nn 을 넣으면 그 항이 바로 나온다.
귀납적 정의
a1=1,an+1=2an+1\displaystyle a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1
앞의 항부터 차례로 구해야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
항을 차례로 구하는 순서
  1. 1
    관계식의 nn 에 11 을 넣어 a2a_2 를 구해요.
    an+1a_{n+1} 의 nn 에 11 을 넣으면 왼쪽은 a2a_2 이에요.
  2. 2
    nn 에 22 를 넣고, 앞에서 구한 a2a_2 를 대입하여 a3a_3 을 구해요.
    관계식은 앞의 항을 알아야 다음 항을 구할 수 있어요.
  3. 3
    같은 방법으로 원하는 항까지 한 줄에 한 항씩 구해요.
    관계식을 한 번 쓸 때마다 항의 번호가 하나 늘어나요.

이 추측이 모든 자연수 nn 에서 맞음은 수학적 귀납법으로 증명해요.

두 항 앞까지 쓰는 관계식
a1=1, a2=1, an+2=an+1+ana_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n
a3=a2+a1=2a_3=a_2+a_1=2
↳처음 두 항이 모두 필요해요
a4=a3+a2=3a_4=a_3+a_2=3
a5=a4+a3=5a_5=a_4+a_3=5
a6=a5+a4=8a_6=a_5+a_4=8

2등차수열과 등비수열의 귀납적 정의

공식등차수열과 등비수열의 귀납적 정의 (n=1, 2, 3, ⋯n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
등차수열
an+1=an+d\displaystyle a_{n+1}=a_n+d
이웃한 두 항의 차 an+1−ana_{n+1}-a_n 이 dd 로 일정하다.
등차중항 꼴
2an+1=an+an+2\displaystyle 2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}
공차는 a2−a1a_2-a_1
등비수열
an+1=ran\displaystyle a_{n+1}=ra_n
이웃한 두 항의 비가 rr 로 일정하다.
등비중항 꼴
an+1 2=anan+2\displaystyle a_{n+1}^{\,2}=a_na_{n+2}
모든 항이 00 이 아닐 때, 공비는 a2a1\dfrac{a_2}{a_1}
학생
an+1−an=3a_{n+1}-a_n=3 이나 an+1an=2\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=2 처럼 써 있어도 같아요?
쌤
네. 이웃한 두 항의 차가 늘 33 이면 공차가 33 인 등차수열, 비가 늘 22 이면 공비가 22 인 등비수열이에요.
응용
a1=5, an+1=an−3:an=5+(n−1)×(−3)=−3n+8a_1=5,\ a_{n+1}=a_n-3:\quad a_n=5+(n-1)\times(-3)=-3n+8
↳공차 −3-3
a1=6, an+1=−12an:an=6(−12)n−1a_1=6,\ a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}a_n:\quad a_n=6\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}
↳공비 −12-\frac{1}{2}
a1=2, a2=7:an=2+(n−1)×5=5n−3a_1=2,\ a_2=7:\quad a_n=2+(n-1)\times5=5n-3
↳중항 꼴, 공차 7−2=57-2=5
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a1=4, an+1=12ana_1=4,\ a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n 일 때 일반항은?
첫째항을 빠뜨리는 실수
✗ 틀린 풀이
a1=3, an+1=2ana_1=3,\ a_{n+1}=2a_n 이므로
an=2na_n=2^n
왜 틀렸나 an+1=rana_{n+1}=ra_n 이면 첫째항이 a1a_1 인 등비수열이므로 일반항은 a1rn−1a_1r^{n-1} 이다.
✓ 바른 풀이
a1=3, an+1=2ana_1=3,\ a_{n+1}=2a_n 이므로
an=3⋅2n−1a_n=3\cdot2^{n-1}
곱하는 수 22 는 공비예요. 첫째항 33 을 곱해야 해요.
검산: n=1n=1 을 넣으면 a1=3a_1=3 이어야 해요.
더하는 수가 nn 에 따라 바뀌는 경우
✗ 틀린 풀이
an+1=an+2na_{n+1}=a_n+2n 은 공차가 2n2n 인 등차수열이다.
왜 틀렸나 등차수열은 이웃한 두 항의 차가 상수일 때이므로 차가 nn 에 따라 바뀌면 등차수열이 아니다.
✓ 바른 풀이
an+1−an=2na_{n+1}-a_n=2n 은 nn 에 따라 달라지므로 등차수열이 아니다.
더하는 수가 상수일 때만 등차수열이에요. 이런 꼴은 다음 방법으로 일반항을 구해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 등차수열·등비수열인가
관계식을 이항하거나 나누어 이웃한 두 항의 차와 비를 비교해요.

2an+1=an+an+22a_{n+1}=a_n+a_{n+2}
↳등차중항 꼴
an+2−an+1=an+1−ana_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n
↳이항: 차가 같아 공차는 a2−a1a_2-a_1
an+1 2=anan+2a_{n+1}^{\,2}=a_na_{n+2}
↳등비중항 꼴
an+2an+1=an+1an\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}
↳anan+1a_na_{n+1} 로 나눔: 공비는 a2a1\dfrac{a_2}{a_1}
귀납적 정의에서 일반항 구하기
  1. 1
    관계식의 꼴을 보고 등차수열인지 등비수열인지 판단해요.
    더하는 수가 상수이면 등차, 곱하는 수가 상수이면 등비예요.
  2. 2
    첫째항과 공차(공비)를 읽어요.
    중항 꼴이면 공차는 a2−a1a_2-a_1, 공비는 a2a1\dfrac{a_2}{a_1} 이에요.
  3. 3
    an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d 또는 an=a1rn−1a_n=a_1r^{n-1} 에 넣어요.
    n=1n=1 을 넣어 첫째항이 나오는지 확인해요.

3an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n) 꼴

성질an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n) 꼴의 일반항
an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n) 이면 n≥2n\ge2 일 때
an=a1+∑k=1n−1f(k)a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)
틀로 쓰면 an+1=an+□a_{n+1}=a_n+\square 일 때 an=a1+∑k=1n−1□a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\square 이다.
□ 안의 nn 을 kk 로 바꾸어 넣는다.
□=d\square=d (상수)이면 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d 가 되어 등차수열의 일반항과 같다.

∑\sum 의 위끝은 n−1n-1 이에요. a1a_1 에서 ana_n 까지 가려면 관계식을 n−1n-1 번 쓰기 때문이에요.

학생
an+1=an+2a_{n+1}=a_n+2 처럼 더하는 수가 상수여도 이 공식을 써요?
쌤
써도 되지만 그건 공차가 22 인 등차수열이라 바로 an=a1+2(n−1)a_n=a_1+2(n-1) 이에요. 이 공식은 더하는 수가 nn 에 따라 바뀔 때 써요.
a1=1, an+1=an+2na_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2n
an=1+∑k=1n−12ka_n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2k
=1+2×(n−1)n2=1+2\times\dfrac{(n-1)n}{2}
↳자연수의 합
=n2−n+1=n^2-n+1
1, 3, 71,\ 3,\ 7
↳검산: n=1, 2, 3n=1,\ 2,\ 3 이면 a1, a2, a3a_1,\ a_2,\ a_3 과 같아요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a1=1, an+1=an+na_1=1,\ a_{n+1}=a_n+n 일 때 a5a_5 의 값은?
∑\sum 의 위끝
✗ 틀린 풀이
an=1+∑k=1n2k=n2+n+1a_n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2k=n^2+n+1
왜 틀렸나 an=a1+∑k=1n−1(ak+1−ak)a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) 이므로 Σ\Sigma 의 위끝은 n−1n-1 이다.
✓ 바른 풀이
an=1+∑k=1n−12k=n2−n+1a_n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2k=n^2-n+1
a2a_2 부터 ana_n 까지 차는 n−1n-1 개이다.
검산: 바른 식에 n=1n=1 을 넣으면 11 로 a1a_1 과 같고, n=2n=2 이면 3=a1+23=a_1+2 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

f(n)=an+1−anf(n)=a_{n+1}-a_n 은 이웃한 두 항의 차이므로, 이 방법은 첫째항에 그 차를 차례로 더하는 거예요.

공식이 나오는 과정
관계식의 nn 에 1, 2, ⋯ , n−11,\ 2,\ \cdots,\ n-1 을 차례로 넣으면a2=a1+f(1)a3=a2+f(2)  ⋮an=an−1+f(n−1)\begin{aligned} a_2&=a_1+f(1) \\ a_3&=a_2+f(2) \\ &\ \ \vdots \\ a_n&=a_{n-1}+f(n-1) \end{aligned}변끼리 모두 더하면 양변에 함께 있는 a2, a3, ⋯ , an−1a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{n-1} 이 지워져
an=a1+f(1)+f(2)+⋯+f(n−1)a_n=a_1+f(1)+f(2)+\cdots+f(n-1)
이 합을 ∑\sum 로 쓴 것이 위의 식이에요.

∑\sum 의 계산은 자연수의 합 공식을 써요.

더하는 수가 3n3^n 처럼 거듭제곱이면 등비수열의 합으로 계산해요.

응용
a1=1, an+1=an+3na_1=1,\ a_{n+1}=a_n+3^n
an=1+∑k=1n−13ka_n=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^k
↳f(k)=3kf(k)=3^k
∑k=1n−13k=3(3n−1−1)3−1=3n−32\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^k=\dfrac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}=\dfrac{3^n-3}{2}
↳첫째항 33, 공비 33, n−1n-1 항
an=1+3n−32=3n−12a_n=1+\dfrac{3^n-3}{2}=\dfrac{3^n-1}{2}

4an+1=anf(n)a_{n+1}=a_nf(n) 꼴

성질an+1=anf(n)a_{n+1}=a_nf(n) 꼴의 일반항
모든 항이 00 이 아니고 an+1=anf(n)a_{n+1}=a_nf(n) 이면 n≥2n\ge2 일 때
an=a1f(1)f(2)⋯f(n−1)a_n=a_1f(1)f(2)\cdots f(n-1)
학생
곱하는 수가 분수이면 계산이 복잡하지 않아요?
쌤
오히려 쉬워요. f(k)=k+1kf(k)=\dfrac{k+1}{k} 이면 21×32×⋯×nn−1\dfrac{2}{1}\times\dfrac{3}{2}\times\cdots\times\dfrac{n}{n-1} 처럼 이웃한 분자와 분모가 약분되어 nn 만 남아요.
a1=1, an+1=n+1nana_1=1,\ a_{n+1}=\dfrac{n+1}{n}a_n
an=1×21×32×⋯×nn−1a_n=1\times\dfrac{2}{1}\times\dfrac{3}{2}\times\cdots\times\dfrac{n}{n-1}
↳f(1)f(2)⋯f(n−1)f(1)f(2)\cdots f(n-1)
an=na_n=n
↳분자와 다음 분모가 차례로 약분돼요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a1=3, an+1=nn+1ana_1=3,\ a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n 일 때 a10a_{10} 의 값은?
합과 곱을 혼동하는 실수
✗ 틀린 풀이
an+1=n+1nana_{n+1}=\dfrac{n+1}{n}a_n 이므로
an=a1+∑k=1n−1k+1ka_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}
왜 틀렸나 관계식이 곱의 꼴이면 이웃한 항의 비를 곱해야 하므로 Σ\Sigma 로 더하지 않는다.
✓ 바른 풀이
an+1=n+1nana_{n+1}=\dfrac{n+1}{n}a_n 이므로
an=a1×21×32×⋯×nn−1a_n=a_1\times\dfrac{2}{1}\times\dfrac{3}{2}\times\cdots\times\dfrac{n}{n-1}
관계식이 더하기이면 차를 더하고, 곱하기이면 비를 곱해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

공식이 나오는 과정
모든 항이 00 이 아닐 때, 관계식의 nn 에 1, 2, ⋯ , n−11,\ 2,\ \cdots,\ n-1 을 차례로 넣으면a2=a1f(1)a3=a2f(2)  ⋮an=an−1f(n−1)\begin{aligned} a_2&=a_1f(1) \\ a_3&=a_2f(2) \\ &\ \ \vdots \\ a_n&=a_{n-1}f(n-1) \end{aligned}변끼리 모두 곱하면 양변에 함께 있는 a2, a3, ⋯ , an−1a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{n-1} 이 약분되어
n≥2n\ge2 일 때
an=a1f(1)f(2)⋯f(n−1)a_n=a_1f(1)f(2)\cdots f(n-1)

곱하는 수가 2n2^n 이면 밑이 같으므로 지수끼리 더해요.

응용
a1=1, an+1=2nana_1=1,\ a_{n+1}=2^na_n
an=1×21×22×⋯×2n−1a_n=1\times2^1\times2^2\times\cdots\times2^{n-1}
=21+2+⋯+(n−1)=2n(n−1)2=2^{1+2+\cdots+(n-1)}=2^{\frac{n(n-1)}{2}}
↳지수끼리 더해요
a3=a2×22=8=23⋅22a_3=a_2\times2^2=8=2^{\frac{3\cdot2}{2}}
↳검산

5나란히 비교하기

관계식의 꼴에 따라 일반항을 구하는 방법이 달라요. 표로 한꺼번에 정리해요.

공식관계식의 꼴과 일반항 (n≥2n\ge2)
an+1=an+da_{n+1}=a_n+d
an=a1+(n−1)d\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d
등차수열이다.
an+1=rana_{n+1}=ra_n
an=a1rn−1\displaystyle a_n=a_1r^{n-1}
등비수열이다.
an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n)
an=a1+∑k=1n−1f(k)\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)
이웃한 두 항의 차가 f(n)f(n) 이다. f(n)f(n) 이 상수이면 등차수열
an+1=anf(n)a_{n+1}=a_nf(n)
an=a1f(1)f(2)⋯f(n−1)\displaystyle a_n=a_1f(1)f(2)\cdots f(n-1)
이웃한 두 항의 비가 f(n)f(n) 이다. f(n)f(n) 이 상수이면 등비수열
학생
관계식이 어느 꼴인지 어떻게 구별해요?
쌤
ana_n 에 무언가를 더하는지, 곱하는지를 봐요. 더하는 꼴이면 차를 더하고, 곱하는 꼴이면 비를 곱해요. 그 수가 상수이면 등차·등비수열이에요.
성질구한 일반항 검산하기
구한 일반항에 n=1, 2, 3n=1,\ 2,\ 3 을 넣은 값이
첫째항, 그리고 관계식으로 차례로 구한 a2, a3a_2,\ a_3 과 같은지 확인한다.
n≥2n\ge2 에서 얻은 식도 n=1n=1 을 넣어 a1a_1 이 나오면 모든 자연수 nn 에서 쓸 수 있다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
an+1=2nana_{n+1}=2^na_n 꼴의 일반항을 구하는 방법은?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1첫째항과 이웃한 항 사이의 관계식으로 수열을 정하는 것을 수열의 귀납적 정의라 한다. 관계식의 nn 에 1, 2, 3, ⋯1,\ 2,\ 3,\ \cdots 을 차례로 넣어 항을 구한다.
  2. 2등차수열
    an+1=an+da_{n+1}=a_n+d 또는 2an+1=an+an+22a_{n+1}=a_n+a_{n+2}
    등비수열
    an+1=rana_{n+1}=ra_n 또는 an+1 2=anan+2a_{n+1}^{\,2}=a_na_{n+2}
  3. 3an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n) 이면
    an=a1+∑k=1n−1f(k)a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k) (n≥2n\ge2)
  4. 4an+1=anf(n)a_{n+1}=a_nf(n) 이면
    an=a1f(1)f(2)⋯f(n−1)a_n=a_1f(1)f(2)\cdots f(n-1) (n≥2n\ge2)
✗ 자주 하는 실수
  • 관계식의 nn 에 11 을 넣으면 a2a_2 가 나오는데, 관계식을 쓴 횟수와 항의 번호를 혼동하여 몇 번째 항인지 잘못 세요.
  • an+1=an+2na_{n+1}=a_n+2n 처럼 더하는 수가 nn 에 따라 바뀌는데 등차수열로 보거나, an=a1+∑k=1n−1f(k)a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k) 의 위끝을 nn 으로 써요.
  • an+1=rana_{n+1}=ra_n 에서 일반항을 rnr^n 으로 써서 첫째항을 빠뜨리거나, 곱의 꼴 an+1=anf(n)a_{n+1}=a_nf(n) 을 합으로 계산해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    a1=2, an+1=3an−1a_1=2,\ a_{n+1}=3a_n-1 (n=1, 2, 3, ⋯n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)로 정의된 수열 {an}\{a_n\} 에서 a5a_5 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    a1=4, a2=−2, an+1 2=anan+2a_1=4,\ a_2=-2,\ a_{n+1}^{\,2}=a_na_{n+2} (n=1, 2, 3, ⋯n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)로 정의된 수열 {an}\{a_n\} 에서 a6a_6 의 값을 구하시오. (단, 모든 항은 00 이 아니다.)
  3. 예제 3
    a1=2, an+1=an+3n−1a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3n-1 (n=1, 2, 3, ⋯n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)로 정의된 수열 {an}\{a_n\} 의 일반항을 구하시오.

다음 공부

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