수학 개념 노트전체 과목

수학적 귀납법

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
모든 자연수 nn 에 대하여 명제 p(n)p(n) 이 성립함을 보이려면 (i) n=1n=1 일 때 성립하고, (ii) n=kn=k 일 때 성립한다고 가정하면 n=k+1n=k+1 일 때도 성립함을 보여요. n≥mn\ge m 인 명제는 (i) 에서 n=mn=m 을 확인해요.
  1. 1수학적 귀납법의 원리
  2. 2등식의 증명
  3. 3부등식의 증명
  4. 4증명 빈칸 채우기 형식
  5. 5귀납적 정의와 수학적 귀납법
  6. 6명제가 이어지는 방식이 다를 때
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1수학적 귀납법의 원리

정의수학적 귀납법
자연수 nn 에 대한 명제 p(n)p(n) 이 모든 자연수 nn 에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.
(i) n=1n=1 일 때 p(n)p(n) 이 성립한다.
(ii) n=kn=k 일 때 p(n)p(n) 이 성립한다고 가정하면 n=n= k+1k+1 일 때도 p(n)p(n) 이 성립한다.
이와 같이 명제가 참임을 증명하는 방법을 수학적 귀납법이라 한다.
학생
(i), (ii) 두 가지만 보이면 왜 모든 자연수에서 성립해요?
쌤
도미노와 같아요. 첫 번째가 넘어지고(n=1n=1 에서 참), 어느 하나가 넘어지면 다음 것도 넘어지게(n=kn=k 에서 참이면 n=k+1n=k+1 에서도 참) 해 두면 전부 넘어져요.
왜 모든 자연수에서 성립하는가
p(1) 참p(1)\ \text{참}
↳(i)
p(1) 참⇒p(2) 참p(1)\ \text{참}\Rightarrow p(2)\ \text{참}
↳(ii) 에서 k=1k=1
p(2) 참⇒p(3) 참p(2)\ \text{참}\Rightarrow p(3)\ \text{참}
↳(ii) 에서 k=2k=2
p(3)⇒p(4)⇒p(5)⇒⋯p(3)\Rightarrow p(4)\Rightarrow p(5)\Rightarrow\cdots
↳끝없이 이어져요
도미노에 비유하면 (i) 은 첫 번째 도미노를 넘어뜨리는 것이고, (ii) 는 어느 도미노가 넘어지면 바로 다음 도미노도 넘어지도록 세워 두는 거예요.
⚠ 주의(ii) 에서 「가정」의 뜻
(ii) 는 p(k)p(k) 가 참임을 보이는 것이 아니에요.
「p(k)p(k) 가 참이면 p(k+1)p(k+1) 도 참」이라는 연결을 보이는 거예요.
그래서 p(k)p(k) 를 근거로 써도 되고, 반드시 써야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
수학적 귀납법의 (ii) 에서 보여야 하는 것은?
(i) 을 빠뜨린 증명
✗ 틀린 풀이
명제 1+2+⋯+n=n(n+1)2+11+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}+1 에서
n=kn=k 일 때 성립한다고 가정하고 양변에 k+1k+1 을 더하면
1+2+⋯+(k+1)=(k+1)(k+2)2+11+2+\cdots+(k+1)=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}+1
이므로 모든 자연수 nn 에 대하여 성립한다.
왜 틀렸나 수학적 귀납법은 (i) n=1n=1 일 때와 (ii) 를 모두 보여야 하므로 (i) 을 반드시 확인한다.
✓ 바른 풀이
n=1n=1 일 때
좌변은 11
우변은 1⋅22+1=2\dfrac{1\cdot2}{2}+1=2
(i) 이 성립하지 않으므로 이 명제는 증명되지 않는다. 실제로 거짓이다.
(ii) 의 계산은 맞지만, 넘어지는 첫 번째 도미노가 없어요.
몇 개만 확인하는 것은 증명이 아니다
✗ 틀린 풀이
n2−n+41n^2-n+41 은 n=1, 2, ⋯ , 40n=1,\ 2,\ \cdots,\ 40 일 때 모두 소수이므로 모든 자연수 nn 에 대하여 소수이다.
왜 틀렸나 모든 자연수에 대한 명제는 유한 개의 예로는 증명할 수 없고 (ii) 단계가 필요하다.
✓ 바른 풀이
n=41n=41 이면
412−41+41=41241^2-41+41=41^2
이므로 소수가 아니다.
유한 개의 nn 에서 확인한 것은 (ii) 를 대신할 수 없어요.

2등식의 증명

등식의 증명에서는 n=kn=k 일 때의 등식을 출발점으로 삼아 n=k+1n=k+1 일 때의 등식을 만들어요.

예
모든 자연수 nn 에 대하여 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2
  1. 1
    (i) n=1n=1 일 때
    좌변은 11, 우변은 12=11^2=1 이므로 성립해요.
    좌변은 첫째항 하나뿐이에요.
  2. 2
    (ii) n=kn=k 일 때 성립한다고 가정하면
    1+3+5+⋯+(2k−1)=k21+3+5+\cdots+(2k-1)=k^2
    이 가정을 아래에서 써요.
  3. 3
    양변에 2k+12k+1 을 더하면
    1+3+⋯+(2k−1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)21+3+\cdots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2
    더하는 항은 일반항 2n−12n-1 의 nn 에 k+1k+1 을 넣은 거예요.
  4. 4
    따라서 n=k+1n=k+1 일 때도 성립해요.
    우변이 n2n^2 의 nn 에 k+1k+1 을 넣은 (k+1)2(k+1)^2 이 되었어요.
  5. 5
    (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 nn 에 대하여 성립해요.

n=k+1n=k+1 일 때 좌변의 마지막 항은 일반항 2n−12n-1 의 nn 에 k+1k+1 을 넣은 2(k+1)−12(k+1)-1 이에요.
그래서 n=kn=k 일 때의 등식 양변에 2k+12k+1 을 더해요.

학생
증명할 식에서 출발하면 왜 안 돼요?
쌤
n=k+1n=k+1 일 때의 식은 아직 증명할 대상이라서 참이라고 쓸 수 없어요. 참이라고 가정한 n=kn=k 일 때의 식에서 출발해 그 꼴을 만들어야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} 의 (ii) 에서 n=kn=k 일 때의 등식 양변에 더하는 것은?
양변에 더하는 항
✗ 틀린 풀이
1+3+⋯+(2k−1)=k21+3+\cdots+(2k-1)=k^2 의 양변에
2k−12k-1 을 더한다.
왜 틀렸나 n=k+1n=k+1 일 때를 보이려면 양변에 다음 항인 제(k+1)(k+1)항 2k+12k+1 을 더해야 한다.
✓ 바른 풀이
1+3+⋯+(2k−1)=k21+3+\cdots+(2k-1)=k^2 의 양변에
2(k+1)−1=2k+12(k+1)-1=2k+1 을 더한다.
2k−12k-1 은 이미 있는 kk 번째 항이에요. 다음 항은 일반항의 nn 에 k+1k+1 을 넣어요.
증명할 식에서 출발하는 실수
✗ 틀린 풀이
n=k+1n=k+1 일 때의 등식
1+3+⋯+(2k+1)=(k+1)21+3+\cdots+(2k+1)=(k+1)^2
이 성립한다고 놓고 정리하여 k2=k2k^2=k^2 을 얻는다.
왜 틀렸나 수학적 귀납법의 (ii) 는 n=kn=k 일 때의 가정에서 출발하여 n=k+1n=k+1 일 때의 식에 도착해야 한다.
✓ 바른 풀이
n=kn=k 일 때의 등식(가정)에서 출발하여
양변에 2k+12k+1 을 더해 (k+1)2(k+1)^2 을 얻는다.
증명할 식을 참이라고 놓고 시작하면 안 돼요. 가정에서 출발하여 목표에 도착해야 해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
등식을 증명하는 순서
  1. 1
    n=1n=1 을 넣어 양변의 값이 같은지 확인해요.
    (i)
  2. 2
    n=kn=k 일 때의 등식을 써요.
    (ii) 의 가정
  3. 3
    목표인 n=k+1n=k+1 일 때의 우변을 미리 써 둬요.
    정리할 방향을 알 수 있어요.
  4. 4
    가정한 등식의 양변에 (k+1)(k+1) 번째 항을 더해요.
    일반항의 nn 에 k+1k+1 을 넣은 항이에요.
  5. 5
    우변을 정리하여 목표와 같아짐을 보여요.
    공통인수 k+1k+1 로 먼저 묶으면 계산이 짧아요.

같은 순서로 자연수의 제곱의 합 공식도 증명할 수 있어요.

응용
12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
1=1⋅2⋅361=\dfrac{1\cdot2\cdot3}{6}
↳(i) n=1n=1
12+22+⋯+k2=k(k+1)(2k+1)61^2+2^2+\cdots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}
↳(ii) n=kn=k 일 때 가정
(k+1)(k+2)(2k+3)6\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
↳목표: n=k+1n=k+1 일 때의 우변
k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=k+16{k(2k+1)+6(k+1)}\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\dfrac{k+1}{6}\{k(2k+1)+6(k+1)\}
↳양변에 (k+1)2(k+1)^2 을 더해 묶어요
=k+16(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)6=\dfrac{k+1}{6}(2k^2+7k+6)=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
↳목표와 같아요

3부등식의 증명

성질n≥mn\ge m 인 자연수에 대한 명제
명제가 n≥mn\ge m 인 모든 자연수 nn 에 대한 것이면 다음 두 가지를 보인다.
(i) n=mn=m 일 때 성립한다.
(ii) n=kn=k (k≥mk\ge m) 일 때 성립한다고 가정하면 n=k+1n=k+1 일 때도 성립한다.
첫 번째로 넘어뜨리는 도미노가 mm 번째인 셈이다.
예
n≥4n\ge4 인 모든 자연수 nn 에 대하여 n!>2nn!>2^n
  1. 1
    (i) n=4n=4 일 때
    좌변은 4!=244!=24    , 우변은 24=162^4=16 이므로 성립해요.
    시작 값 m=4m=4 를 넣어요.
  2. 2
    (ii) n=kn=k (k≥4k\ge4) 일 때 성립한다고 가정하면
    k!>2kk!>2^k
  3. 3
    양변에 k+1k+1 을 곱하면
    (k+1)!>(k+1)⋅2k(k+1)!>(k+1)\cdot2^k
    k+1>0k+1>0 이므로 부등호의 방향이 그대로예요.
  4. 4
    k≥4k\ge4 이면 k+1>2k+1>2 이므로
    (k+1)⋅2k>2⋅2k=2k+1(k+1)\cdot2^k>2\cdot2^k=2^{k+1}
    남은 두 식 (k+1)⋅2k(k+1)\cdot2^k 와 2k+12^{k+1} 의 대소를 비교해요.
  5. 5
    따라서 (k+1)!>2k+1(k+1)!>2^{k+1} 이므로 n=k+1n=k+1 일 때도 성립해요.
  6. 6
    (i), (ii)에 의하여 n≥4n\ge4 인 모든 자연수 nn 에 대하여 성립해요.

n=1, 2, 3n=1,\ 2,\ 3 이면
1!=1<21!=1<2
2!=2<42!=2<4
3!=6<83!=6<8
이므로 성립하지 않아요. 그래서 처음으로 성립하는 n=n= 44 부터 (i) 을 확인해요.

학생
(ii) 에서 k≥4k\ge4 라는 조건은 어디에 써요?
쌤
(k+1)!=(k+1)×k!>(k+1)×2k(k+1)!=(k+1)\times k!>(k+1)\times2^k 에서 써요. k≥4k\ge4 이니까 k+1>2k+1>2 이고, 그래서 (k+1)×2k>2k+1(k+1)\times2^k>2^{k+1} 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
n≥3n\ge3 인 모든 자연수 nn 에 대하여 2n>2n2^n>2n 임을 증명할 때 (i) 에서 확인하는 것은?
시작 값
✗ 틀린 풀이
n≥4n\ge4 일 때 n!>2nn!>2^n 을 증명하면서
(i) 에서 n=1n=1 일 때를 확인한다.
왜 틀렸나 n≥mn\ge m 에서 성립함을 보이는 증명은 (i) 에서 시작 값 n=mn=m 일 때를 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
(i) 에서 n=4n=4 일 때
4!=24>16=244!=24>16=2^4
을 확인한다.
n=1n=1 이면 1!>211!>2^1 이 거짓이에요. 첫 번째 도미노는 n=mn=m 이에요.
성질부등식의 (ii) 에서 쓰는 방법
가정을 써서 A>BA>B 를 얻은 뒤, 남은 BB 와 목표의 우변 CC 를 비교한다.
B−C≥0B-C\ge0 이면 B≥CB\ge C 이므로
A>CA>C
B−CB-C 를 계산할 때는 k≥mk\ge m 이라는 조건을 쓴다.
자세히 보기펼치기예제
응용
n≥5n\ge5 일 때 2n>n22^n>n^2
25=32>25=522^5=32>25=5^2
↳(i) n=5n=5
2k>k22^k>k^2
↳(ii) n=k (k≥5)n=k\ (k\ge5) 일 때 가정
2k+1>2k22^{k+1}>2k^2
↳양변에 22 를 곱해요
2k2−(k+1)2=k2−2k−1=(k−1)2−22k^2-(k+1)^2=k^2-2k-1=(k-1)^2-2
↳남은 두 식의 차
(k−1)2−2≥14>0(k-1)^2-2\ge14>0
↳k≥5k\ge5
2k+1>2k2>(k+1)22^{k+1}>2k^2>(k+1)^2
↳n=k+1n=k+1 일 때도 성립해요

4증명 빈칸 채우기 형식

시험에서는 증명의 일부를 (가), (나) 같은 빈칸으로 비워 두고 채우게 하는 문제가 자주 나와요.

예예
1+2+22+⋯+2n−1=2n−11+2+2^2+\cdots+2^{n-1}=2^n-1
(i) n=1n=1 일 때
좌변은 11, 우변은 21−1=12^1-1=1 이므로 성립해요.
(ii) n=kn=k 일 때 성립한다고 가정하면
1+2+⋯+2k−1=2k−11+2+\cdots+2^{k-1}=2^k-1
양변에 (가) 를 더하면 우변은
2k−1+2^k-1+ (가) == (나)
따라서 n=k+1n=k+1 일 때도 성립해요.
(i), (ii)에 의하여 모든 자연수 nn 에 대하여 성립해요.
빈칸: (가) 2k2^k, (나) 2k+1−12^{k+1}-1
학생
빈칸 채우기 증명 문제는 어떻게 풀어요?
쌤
목표인 n=k+1n=k+1 일 때의 식을 먼저 써 두고 거꾸로 맞춰요. 양변에 더하는 항은 일반항의 nn 에 k+1k+1 을 넣은 거예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
1+3+32+⋯+3n−1=3n−121+3+3^2+\cdots+3^{n-1}=\frac{3^n-1}{2} 의 (ii) 에서 양변에 더하는 항은?
자세히 보기펼치기왜 그런지
빈칸이 있는 수학적 귀납법 증명 읽기
  1. 1
    (i) 의 빈칸은 시작 값을 넣어 양변을 계산한 값이에요.
    n=1n=1 또는 n=mn=m
  2. 2
    (ii) 의 가정 식은 명제의 nn 에 kk 를 넣은 꼴이에요.
  3. 3
    양변에 더하는(곱하는) 것은 일반항의 nn 에 k+1k+1 을 넣은 항이에요.
  4. 4
    정리한 결과는 명제의 nn 에 k+1k+1 을 넣은 꼴이어야 해요.
    목표를 먼저 써 두면 빈칸을 거꾸로 찾을 수 있어요.

5귀납적 정의와 수학적 귀납법

귀납적으로 정의된 수열에서 추측한 일반항도 수학적 귀납법으로 증명해요.

학생
(ii) 에서는 무엇을 어디에 대입해요?
쌤
관계식에 가정을 넣어요. an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1 에 ak=2k−1a_k=2^k-1 을 넣으면 ak+1=2(2k−1)+1=2k+1−1a_{k+1}=2(2^k-1)+1=2^{k+1}-1 이 되어 일반항 꼴이 나와요.
추측한 일반항 증명하기
a1=1, an+1=2an+1a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1 이면 an=2n−1a_n=2^n-1
a1=1=21−1a_1=1=2^1-1
↳(i) n=1n=1
ak=2k−1a_k=2^k-1
↳(ii) n=kn=k 일 때 가정
ak+1=2ak+1=2(2k−1)+1=2k+1−1a_{k+1}=2a_k+1=2(2^k-1)+1=2^{k+1}-1
↳관계식에 넣어요
an=2n−1a_n=2^n-1
↳모든 자연수 nn 에서 성립
공식(ii) 에서 하는 일 나란히 비교
등식
p(k) 의 양변에 (k+1) 번째 항을 더한다\displaystyle p(k)\ \text{의 양변에}\ (k+1)\ \text{번째 항을 더한다}
우변을 n=k+1n=k+1 일 때의 꼴로 정리
부등식
p(k) 를 쓴 뒤 남은 두 식의 대소를 비교한다\displaystyle p(k)\ \text{를 쓴 뒤 남은 두 식의 대소를 비교한다}
k≥mk\ge m 을 쓴다
귀납적 정의
관계식에 ak 를 대입한다\displaystyle \text{관계식에 }a_k\text{ 를 대입한다}
ak+1a_{k+1} 을 일반항의 꼴로 정리
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a1=2, an+1=an+2a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+2 의 일반항 an=2na_n=2n 을 증명할 때 (ii) 의 계산으로 옳은 것은?
성질검산
(ii) 에서 얻은 식에 k=1k=1 을 넣어 p(2)p(2) 를 직접 계산한 값과 같은지 확인한다.
예: 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2 에서 k=1k=1 이면
(k+1)2=4(k+1)^2=4
1+3=41+3=4

6명제가 이어지는 방식이 다를 때

수학적 귀납법의 (ii) 는 「p(k)p(k) 가 참이면 p(k+1)p(k+1) 도 참」이라는 연결이에요.
연결이 p(k)p(k) 에서 p(k+2)p(k+2) 나 p(2k)p(2k) 로 바뀌면 참이라고 말할 수 있는 nn 도 바뀌어요.

공식출발점과 연결 방식에 따라 참인 nn
p(1)p(1), p(k)⇒p(k+1)p(k)\Rightarrow p(k+1)
1, 2, 3, ⋯ (모든 자연수)\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\ (\text{모든 자연수})
p(1)p(1), p(k)⇒p(k+2)p(k)\Rightarrow p(k+2)
1, 3, 5, ⋯ (홀수)\displaystyle 1,\ 3,\ 5,\ \cdots\ (\text{홀수})
p(1)p(1), p(k)⇒p(2k)p(k)\Rightarrow p(2k)
1, 2, 4, 8, ⋯\displaystyle 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots
성질참이라고 할 수 있는 범위
출발점에서 시작해 주어진 연결을 되풀이할 때 닿는 nn 에 대해서만 p(n)p(n) 이 참이라고 할 수 있다.
닿지 않는 nn 은 주어진 조건만으로는 참인지 알 수 없다.
학생
p(1)p(1) 이 참이고 p(k)p(k) 이면 p(k+2)p(k+2) 일 때, p(2)p(2) 는 거짓이에요?
쌤
거짓이라고도 할 수 없어요. 주어진 조건으로는 홀수에만 닿기 때문에 짝수일 때는 참인지 거짓인지 알 수 없는 거예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
p(2)p(2) 가 참이고 p(k)p(k) 가 참이면 p(2k)p(2k) 도 참일 때, 반드시 참인 것은?
자세히 보기펼치기예제
응용
출발점이 두 개일 때
p(1), p(2) 참,p(k)⇒p(k+2)p(1),\ p(2)\ \text{참},\quad p(k)\Rightarrow p(k+2)
↳출발점 두 개
p(1)⇒p(3)⇒p(5)⇒⋯p(1)\Rightarrow p(3)\Rightarrow p(5)\Rightarrow\cdots
↳홀수
p(2)⇒p(4)⇒p(6)⇒⋯p(2)\Rightarrow p(4)\Rightarrow p(6)\Rightarrow\cdots
↳짝수
모든 자연수 n 에 대하여 p(n) 참\text{모든 자연수 }n\text{ 에 대하여 }p(n)\text{ 참}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1자연수 nn 에 대한 명제 p(n)p(n) 이 모든 자연수 nn 에 대하여 성립함을 보이려면 다음 두 가지를 보인다.
    (i) n=1n=1 일 때 성립한다.
    (ii) n=kn=k 일 때 성립한다고 가정하면 n=k+1n=k+1 일 때도 성립한다.
  2. 2등식은 n=kn=k 일 때의 등식 양변에 (k+1)(k+1) 번째 항을 더하여 n=k+1n=k+1 일 때의 꼴로 정리한다.
  3. 3n≥mn\ge m 인 자연수에 대한 명제는 (i) 에서 n=mn=m 일 때를 확인한다. 부등식의 (ii) 는 가정을 쓴 뒤 남은 두 식의 대소를 비교한다.
  4. 4몇 개의 nn 에서 확인하는 것은 증명이 아니다. (i) 과 (ii) 를 모두 보여야 한다.
✗ 자주 하는 실수
  • (ii) 만 보이고 (i) 을 확인하지 않거나, 몇 개의 nn 에서 확인한 것을 증명으로 여겨요.
  • 등식의 (ii) 에서 일반항의 nn 에 k+1k+1 이 아니라 kk 를 넣은 항을 더하거나, 증명할 n=k+1n=k+1 일 때의 식을 참이라고 놓고 출발해요.
  • n≥mn\ge m 인 명제에서 (i) 을 n=1n=1 로 확인하거나, 부등식의 (ii) 에서 k≥mk\ge m 이라는 조건 없이 대소를 비교해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    모든 자연수 nn 에 대하여 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
  2. 예제 2
    모든 자연수 nn 에 대하여 13+23+⋯+n3={n(n+1)2}21^3+2^3+\cdots+n^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
  3. 예제 3
    h>0h>0 일 때, n≥2n\ge2 인 모든 자연수 nn 에 대하여 (1+h)n>1+nh(1+h)^n>1+nh 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

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