수학 개념 노트전체 과목

등차수열

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
첫째항부터 차례로 일정한 수(공차) dd 를 더하여 만든 수열이 등차수열이고, 일반항은 an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d 이에요. 세 수 a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서로 등차수열이면 2b=a+c2b=a+c 이에요.
  1. 1수열의 뜻
  2. 2등차수열과 공차
  3. 3등차수열의 일반항
  4. 4첫째항과 공차 구하기
  5. 5등차중항
  6. 6처음으로 음수가 되는 항
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1수열의 뜻

1, 3, 5, 7, ⋯1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots 처럼 차례로 나열한 수의 열을 수열이라 하고, 나열된 각 수를 수열의 항이라 해요.
앞에서부터 첫째항, 둘째항, 셋째항, ⋯\cdots, 제nn항이라 하고 기호로 a1, a2, a3, ⋯ , an, ⋯a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots 과 같이 나타내요.
이 수열을 간단히 {an}\{a_n\} 으로 써요.

정의수열과 일반항
수열 {an}\{a_n\} 에서 제nn항 ana_n 을 nn 에 대한 식으로 나타낸 것을 그 수열의 일반항이라 한다.
일반항의 nn 에 1, 2, 3, ⋯1,\ 2,\ 3,\ \cdots 을 차례로 넣으면 수열의 모든 항을 얻는다.
수열은 자연수에서 정의된 함수
번호 nn
항 ana_n
ff
11
22
33
44
11
33
55
77
수열 1, 3, 5, 7, ⋯1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \cdots 은 번호 nn 마다 항 하나를 대응시킨 함수 f(n)=an=2n−1f(n)=a_n=2n-1 이에요.
예일반항과 항
일반항으로 항 구하기
an=2n−1a_n=2n-1 이면 a1=1, a2=3, a3=5a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=5
an=n2+1a_n=n^2+1 이면 a5=52+1=26a_5=5^2+1=26
an=(−1)na_n=(-1)^n 이면 −1, 1, −1, ⋯-1,\ 1,\ -1,\ \cdots
나열된 항에서 일반항 찾기
2, 4, 6, 8, ⋯2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \cdots 의 일반항은 an=2na_n=2n
1, 4, 9, 16, ⋯1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \cdots 의 일반항은 an=n2a_n=n^2
12, 23, 34, ⋯\dfrac{1}{2},\ \dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4},\ \cdots 의 일반항은 an=nn+1a_n=\dfrac{n}{n+1}
학생
nn 과 ana_n 이 자꾸 헷갈려요.
쌤
nn 은 몇째 항인지 나타내는 번호이고, ana_n 은 그 항의 값이에요. an=2n−1a_n=2n-1 에서 a3=5a_3=5 는 「셋째 항의 값이 55」라는 뜻이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
an=3n+2a_n=3n+2 인 수열에서 2020 은 제몇항인가?
항의 번호와 항의 값
✗ 틀린 풀이
an=2n−1a_n=2n-1 에서 99 는 제99항이다.
왜 틀렸나 an=9a_n=9 를 만족하는 번호 nn 을 방정식으로 구해야 제 몇 항인지 알 수 있다.
✓ 바른 풀이
2n−1=92n-1=9 에서 n=5n=5
따라서 99 는 제55항이다.
an=9a_n=9 인 nn 을 구해야 해요.
nn 은 번호, ana_n 은 값이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

수열은 자연수 1, 2, 3, ⋯1,\ 2,\ 3,\ \cdots 에 수 a1, a2, a3, ⋯a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots 을 차례로 하나씩 대응시킨 거예요.
즉 수열은 정의역이 자연수 전체의 집합인 함수 f(n)=anf(n)=a_n 이에요.
nn 은 항의 번호(몇째인가)이고, ana_n 은 그 항의 값이에요.

2등차수열과 공차

수열 1, 4, 7, 10, ⋯1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \cdots 은 첫째항 11 에 차례로 33 을 더하여 만든 수열이에요.
이처럼 이웃한 두 항의 차가 늘 같은 수열을 생각해요.

정의등차수열
첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라 하고, 더하는 일정한 수를 공차 라 한다.
공차가 dd 인 등차수열 {an}\{a_n\} 에서 모든 자연수 nn 에 대하여
an+1=an+da_{n+1}=a_n+d
즉 an+1−an=da_{n+1}-a_n=d
학생
공차는 왜 (뒤의 항)−-(바로 앞의 항)으로 구해요? 반대로 빼면 안 돼요?
쌤
공차는 앞의 항에 더하는 수라서 an+1−ana_{n+1}-a_n 이에요. 반대로 빼면 부호가 바뀌어요. 10, 7, 410,\ 7,\ 4 의 공차는 7−10=−37-10=-3 이에요.
공차 구하기
(뒤의 항)−-(바로 앞의 항)
1, 4, 7, 10, ⋯1,\ 4,\ 7,\ 10,\ \cdots
↳공차 4−1=34-1=3
20, 15, 10, 5, ⋯20,\ 15,\ 10,\ 5,\ \cdots
↳공차 15−20=−515-20=-5
7, 7, 7, ⋯7,\ 7,\ 7,\ \cdots
↳공차 00
12, 1, 32, 2, ⋯\dfrac{1}{2},\ 1,\ \dfrac{3}{2},\ 2,\ \cdots
↳공차 12\frac{1}{2}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
등차수열 8, 5, 2, ⋯8,\ 5,\ 2,\ \cdots 의 공차는?
공차의 부호
✗ 틀린 풀이
20, 15, 10, ⋯20,\ 15,\ 10,\ \cdots 의 공차는 20−15=520-15=5
왜 틀렸나 공차는 뒤의 항에서 앞의 항을 뺀 값이므로 항이 작아지면 공차는 음수이다.
✓ 바른 풀이
20, 15, 10, ⋯20,\ 15,\ 10,\ \cdots 의 공차는 15−20=−515-20=-5
공차는 앞의 항에 「더하는」 수예요.
검산: 20+(−5)=1520+(-5)=15 이에요.
항이 작아지면 공차는 음수예요.

3등차수열의 일반항

공식등차수열의 일반항
일반항
an=a+(n−1)d\displaystyle a_n=a+(n-1)d
aa 는 첫째항, dd 는 공차
틀로 쓰기
a□=a1+(□−1)d\displaystyle a_{\square}=a_1+(\square-1)d
번호에서 11 을 뺀 만큼 공차를 더한다.
두 항 사이
am=ak+(m−k)d\displaystyle a_m=a_k+(m-k)d
예: a10=a4+6da_{10}=a_4+6d
n 에 대한 일차식
an=dn+(a−d)\displaystyle a_n=dn+(a-d)
nn 의 계수가 공차이다.
왜 그런가
+3+3
+3+3
+3+3
014710
a1a_1
a2a_2
a3a_3
a4a_4
  • a1a_1aa : 첫째항
  • a2a_2a+da+d : dd 를 11 번
  • a3a_3a+2da+2d : dd 를 22 번
  • a4a_4a+3da+3d : dd 를 33 번
예: 첫째항 11, 공차 33 인 1, 4, 7, 101,\ 4,\ 7,\ 10. 화살표(칸)의 수는 항의 번호보다 11 작아요.

제nn항은 첫째항에 공차 dd 를 n−1n-1 번 더한 거예요.

학생
왜 nn 번이 아니라 n−1n-1 번 더해요?
쌤
첫째항은 이미 aa 라서 공차를 더할 필요가 없어요. a2a_2 는 11 번, a3a_3 은 22 번 더하니까 ana_n 은 n−1n-1 번이에요.
응용하기
a=3, d=4:an=3+(n−1)×4=4n−1a=3,\ d=4:\quad a_n=3+(n-1)\times4=4n-1
a=10, d=−3:an=10+(n−1)×(−3)=−3n+13a=10,\ d=-3:\quad a_n=10+(n-1)\times(-3)=-3n+13
↳공차가 음수
a=−5, d=12:an=−5+(n−1)×12=12n−112a=-5,\ d=\dfrac{1}{2}:\quad a_n=-5+(n-1)\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}n-\dfrac{11}{2}
↳첫째항 음수, 공차 분수
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
첫째항이 22, 공차가 55 인 등차수열의 제1010항은?
n 이 아니라 n-1
✗ 틀린 풀이
a=3, d=4a=3,\ d=4 이면 an=3+4na_n=3+4n
왜 틀렸나 첫째항에는 공차를 한 번도 더하지 않으므로 등차수열의 일반항은 a+(n−1)da+(n-1)d 이다.
✓ 바른 풀이
an=3+(n−1)×4=4n−1a_n=3+(n-1)\times4=4n-1
제nn항까지 공차는 n−1n-1 번 더해진다.
검산: n=1n=1 을 넣으면 4−1=34-1=3 으로 첫째항과 같다.
음수 공차의 괄호
✗ 틀린 풀이
an=10+(n−1)×(−3)=−3n+7a_n=10+(n-1)\times(-3)=-3n+7
왜 틀렸나 음수인 공차를 곱할 때는 (n−1)(n-1) 의 두 항 모두에 −3-3 을 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
an=10+(n−1)×(−3)=10−3n+3=−3n+13a_n=10+(n-1)\times(-3)=10-3n+3=-3n+13
(−1)×(−3)=+3(-1)\times(-3)=+3 이에요.
검산: n=1n=1 을 넣으면 −3+13=10-3+13=10 으로 첫째항과 같아요.
성질일반항이 n 의 일차식이면 등차수열
일반항이 an=pn+qa_n=pn+q (p, qp,\ q 는 상수) 이면
an+1−an={p(n+1)+q}−(pn+q)=pa_{n+1}-a_n=\{p(n+1)+q\}-(pn+q)=p
이므로 첫째항이 p+qp+q, 공차가 pp 인 등차수열이다.
거꾸로, 등차수열의 일반항 a+(n−1)d=dn+(a−d)a+(n-1)d=dn+(a-d) 는 nn 에 대한 일차식(또는 상수)이다.
예: an=5−2na_n=5-2n 은 첫째항 33, 공차 −2-2 인 등차수열이다.
자세히 보기펼치기외우기 카드왜 그런지그림
일반항 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2첫째항에 공차를 몇 번 더하는가
an=a+(□)da_n=a+(\square)d
단계 1 / 2
am−ak=(□)da_m-a_k=(\square)d
일반항을 구하는 순서
  1. 1
    첫째항 aa 와 공차 dd 를 찾아요.
    공차는 (뒤의 항)−-(앞의 항)
  2. 2
    a+(n−1)da+(n-1)d 의 a, da,\ d 자리에 값을 넣어요.
    음수는 괄호를 쳐서 넣어요.
  3. 3
    전개하여 nn 에 대한 일차식으로 정리해요.
  4. 4
    n=1, 2n=1,\ 2 를 넣어 첫째항, 둘째항이 나오는지 확인해요.
    검산

4첫째항과 공차 구하기

등차수열은 첫째항 aa 와 공차 dd 만 알면 모든 항이 정해져요.
두 항의 값이 주어지면 각각을 a+(n−1)da+(n-1)d 꼴로 써서 a, da,\ d 에 대한 연립방정식을 세워요.

a3=7, a7=19a_3=7,\ a_7=19 인 등차수열
a+2d=7a+2d=7
↳a3a_3
a+6d=19a+6d=19
↳a7a_7
4d=124d=12
↳아래 식에서 위 식을 빼요
d=3,a=1d=3,\quad a=1
an=1+(n−1)×3=3n−2a_n=1+(n-1)\times3=3n-2
↳일반항
학생
연립방정식을 안 세우고 더 빨리 구할 수는 없어요?
쌤
있어요. 두 항 사이의 칸 수만큼 공차를 더했다고 보면 연립방정식 없이 바로 공차가 나와요.
성질두 항 사이의 칸 수
a7=a3+(7−3)da_7=a_3+(7-3)d 이므로
19=7+4d19=7+4d
따라서 d=3d=3
제kk항에서 제mm항까지 공차를 m−km-k 번 더한다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
등차수열에서 a2=5a_2=5, a6=17a_6=17 일 때 공차는?
칸 수 세기
✗ 틀린 풀이
a7=a3+7da_7=a_3+7d
왜 틀렸나 제33항에서 제77항까지는 공차를 7−3=47-3=4 번 더하므로 a7=a3+4da_7=a_3+4d 이다.
✓ 바른 풀이
a7=a3+(7−3)d=a3+4da_7=a_3+(7-3)d=a_3+4d
제33항에서 제77항까지는 44 칸이에요.
검산: a=1, d=3a=1,\ d=3 이면 a3=7a_3=7, a7=19a_7=19 이고 19−7=12=4×319-7=12=4\times3 이에요.

5등차중항

정의등차중항
세 수 a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, bb 를 aa 와 cc 의 등차중항이라 한다.
성질등차중항의 성질
세 수 a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서로 등차수열을 이루면2b=a+c2b=a+c즉 b=a+c2b=\dfrac{a+c}{2} 이다.
거꾸로 2b=a+c2b=a+c 이면 세 수는 이 순서로 등차수열이다.
학생
x, 7, 3x+2x,\ 7,\ 3x+2 처럼 문자가 섞여 있어도 같아요?
쌤
네. 가운데 수의 22 배가 양 끝 수의 합이니까 2×7=x+(3x+2)2\times7=x+(3x+2) 로 놓고 풀면 x=3x=3 이에요.
등차중항 구하기
x=2+142=8x=\dfrac{2+14}{2}=8
↳22 와 1414 의 등차중항
2×7=x+(3x+2)2\times7=x+(3x+2)
↳x, 7, 3x+2x,\ 7,\ 3x+2 가 등차수열
4x=12,x=34x=12,\quad x=3
3, 7, 113,\ 7,\ 11
↳검산: 공차 44
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
33 과 1111 의 등차중항은?
2 를 빠뜨리지 않는다
✗ 틀린 풀이
x, 7, 3x+2x,\ 7,\ 3x+2 가 등차수열이면
7=x+(3x+2)7=x+(3x+2)
왜 틀렸나 세 수 aa, bb, cc 가 이 순서로 등차수열이면 가운데 수의 22 배가 양 끝 수의 합이다.
✓ 바른 풀이
2×7=x+(3x+2)2\times7=x+(3x+2)
등차중항 bb 는 b=a+c2b=\dfrac{a+c}{2} 이므로 2b=a+c2b=a+c 이다.
검산: x=3x=3 이면 3, 7, 113,\ 7,\ 11 로 공차가 44 이다.
성질등차수열의 이웃한 세 항
등차수열 {an}\{a_n\} 의 이웃한 세 항에서 가운데 항은 등차중항이다.
2an+1=an+an+22a_{n+1}=a_n+a_{n+2}
번호가 같은 간격으로 떨어진 두 항의 합도 가운데 항의 22 배이다.
a2+a6=2a4a_2+a_6=2a_4
자세히 보기펼치기예제 2
왜 그런가
b−a=c−bb-a=c-b
↳이웃한 두 수의 차(공차)가 같아요
2b=a+c2b=a+c
↳정리해요
b=a+c2b=\dfrac{a+c}{2}
↳양 끝 두 수의 평균
등차수열을 이루는 세 수 놓기
합 1515, 곱 8080
a−d, a, a+da-d,\ a,\ a+d
↳가운데 수 aa, 공차 dd
3a=15,a=53a=15,\quad a=5
↳합이 간단해요
(5−d)×5×(5+d)=80(5-d)\times5\times(5+d)=80
↳곱
25−d2=16,d=±325-d^2=16,\quad d=\pm3
2, 5, 82,\ 5,\ 8
↳세 수

6처음으로 음수가 되는 항

공차가 음수인 등차수열은 항이 점점 작아지므로 어느 항부터는 음수가 돼요.
처음으로 음수가 되는 항은 an<0a_n<0 을 만족하는 자연수 nn 중 가장 작은 거예요.

첫째항 5050, 공차 −3-3
an=50+(n−1)×(−3)=−3n+53a_n=50+(n-1)\times(-3)=-3n+53
↳일반항
−3n+53<0 ⇒ n>533=17.6⋯-3n+53<0\ \Rightarrow\ n>\dfrac{53}{3}=17.6\cdots
n=18,a18=−1n=18,\quad a_{18}=-1
↳처음으로 음수가 되는 항
a17=2>0a_{17}=2>0
↳검산
학생
n>17.6⋯n>17.6\cdots 처럼 소수가 나오면 어떻게 해요?
쌤
nn 은 자연수이니까 17.6⋯17.6\cdots 보다 큰 가장 작은 자연수 1818 이 답이에요. 1717 은 부등식을 만족하지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
첫째항 3030, 공차 −4-4 인 등차수열에서 처음으로 음수가 되는 항은?
가장 작은 자연수
✗ 틀린 풀이
n>17.6⋯n>17.6\cdots 이므로 n=17n=17
왜 틀렸나 n>17.6⋯n>17.6\cdots 을 만족하는 자연수는 1818 부터이므로 가장 작은 것은 1818 이다.
✓ 바른 풀이
n>17.6⋯n>17.6\cdots 을 만족하는 가장 작은 자연수는 n=18n=18
1717 은 부등식을 만족하지 않아요.
검산: a17=2a_{17}=2 는 양수예요.
⚠ 주의번호와 값을 구분한다
「처음으로 음수가 되는 항」을 물으면 항의 번호(제1818항)를 답해요.
「그 항의 값」을 물으면 a18=−1a_{18}=-1 을 답해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
처음으로 음수가 되는 항 찾기
  1. 1
    일반항 ana_n 을 구해요.
  2. 2
    부등식 an<0a_n<0 을 nn 에 대하여 풀어요.
  3. 3
    부등식을 만족하는 가장 작은 자연수 nn 을 찾아요.
    n>17.6⋯n>17.6\cdots 이면 n=18n=18
  4. 4
    바로 앞 항은 00 이상이고 그 항은 음수인지 확인해요.
    검산
처음으로 100100 보다 커지는 항
첫째항 55, 공차 44
an=5+(n−1)×4=4n+1a_n=5+(n-1)\times4=4n+1
↳일반항
4n+1>100 ⇒ n>994=24.754n+1>100\ \Rightarrow\ n>\dfrac{99}{4}=24.75
n=25n=25
↳제2525항
a24=97,a25=101a_{24}=97,\quad a_{25}=101
↳검산
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1수열 {an}\{a_n\} 의 제nn항 ana_n 을 nn 에 대한 식으로 나타낸 것을 일반항이라 한다.
  2. 2첫째항부터 차례로 일정한 수 dd 를 더하여 만든 수열이 등차수열이고, dd 가 공차이다.
    an+1−an=da_{n+1}-a_n=d
  3. 3첫째항이 aa, 공차가 dd 인 등차수열의 일반항
    an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d
  4. 4세 수 a, b, ca,\ b,\ c 가 이 순서로 등차수열을 이루면 bb 는 등차중항이다.
    2b=a+c2b=a+c
✗ 자주 하는 실수
  • 일반항을 an=a+nda_n=a+nd 로 써서 모든 항이 공차만큼 커져요.
  • 공차를 (앞의 항)−-(뒤의 항)으로 계산하거나, 음수 공차를 넣을 때 괄호를 빠뜨려요.
  • 등차중항 조건을 b=a+cb=a+c 로 써서 22 를 빠뜨리거나, 처음으로 음수가 되는 항에서 n>17.6⋯n>17.6\cdots 을 n=17n=17 로 잡아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    첫째항이 −5-5, 공차가 44 인 등차수열 {an}\{a_n\} 의 일반항과 제1010항을 구하시오.
  2. 예제 2
    a4=10, a10=−8a_4=10,\ a_{10}=-8 인 등차수열 {an}\{a_n\} 의 일반항을 구하시오.
  3. 예제 3
    첫째항이 6060, 공차가 −7-7 인 등차수열에서 처음으로 음수가 되는 항은 제몇 항인지 구하고, 그 항의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 등차수열의 합 →다음 개념: 등비수열 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 함수의 뜻과 그래프, 중1 일차식의 계산, 중2 연립일차방정식, 중2 일차부등식대수 목차
← 코사인법칙과 삼각형의 넓이등차수열의 합 →
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