수학 개념 노트전체 과목

상용로그

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
밑이 1010 인 로그 log⁡N\log N 을 상용로그라 해요. N=a×10n (1≤a<10)N=a\times10^n\ (1\le a<10) 이면 log⁡N=n+log⁡a\log N=n+\log a 이므로, 상용로그표의 값과 정수 부분만으로 큰 수의 자릿수나 작은 수의 소수점 아래 자리를 알 수 있어요.
  1. 1상용로그
  2. 2상용로그표
  3. 3상용로그표에 없는 수의 상용로그
  4. 4자릿수와 소수점 아래 자리
  5. 5상용로그의 활용
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1상용로그

정의상용로그
양수 NN 에 대하여 밑이 1010 인 로그 log⁡10N\log_{10}N 을 상용로그 라 하고, 밑 1010 을 생략하여 log⁡N\log N 으로 쓴다.
성질1010 의 거듭제곱의 상용로그
1010 의 거듭제곱의 상용로그는 지수와 같다.log⁡10n=n\log 10^n=n
학생
log⁡0.01\log 0.01 처럼 진수가 11 보다 작아도 같은 방법이에요?
쌤
네. 0.01=10−20.01=10^{-2} 이니까 log⁡0.01=−2\log 0.01=-2 예요. 진수가 11 보다 작으면 상용로그의 값은 음수가 돼요.
1010 의 거듭제곱으로 보기
log⁡1000=log⁡103=3\log 1000=\log 10^3=3
log⁡1=log⁡100=0\log 1=\log 10^0=0
log⁡0.01=log⁡10−2=−2\log 0.01=\log 10^{-2}=-2
log⁡10=log⁡1012=12\log\sqrt{10}=\log 10^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
log⁡0.001\log 0.001 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

상용로그는 밑 1010 이 11 보다 크므로, 진수 NN 이 클수록 log⁡N\log N 도 커요.
1≤N<101\le N<10 이면 0≤log⁡N<10\le\log N<1 이에요.

2상용로그표

상용로그표는 1.001.00 부터 9.999.99 까지 0.010.01 간격의 수에 대하여 상용로그의 값을 소수 넷째 자리까지 반올림하여 나타낸 표예요.
표의 값은 근삿값이지만 보통 등호 == 를 써서 나타내요.
아래는 상용로그표의 일부예요(값의 앞자리 00 은 생략했어요).

학생
log⁡3.42\log 3.42 같은 값은 어떻게 알아요?
쌤
상용로그표에서 읽어요. 앞의 두 자리 3.43.4 의 행과 셋째 자리 숫자 22 의 열이 만나는 칸을 보면 돼요.
상용로그표에서 log⁡3.42\log 3.42 읽기
수00112233
2.02.0.3010.3032.3054.3075
2.12.1.3222.3243.3263.3284
⋮\vdots
3.43.4.5315.5328.5340.5353
  • ①왼쪽 「수」 열에서 앞의 두 자리 3.43.4 의 행
  • ②위쪽에서 셋째 자리 숫자 22 의 열
  • ③만나는 칸 .5340.5340 은 0.53400.5340 이므로 log⁡3.42=0.5340\log 3.42=0.5340
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
표에서 log⁡2.03\log 2.03 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

거꾸로 표 안에서 값을 찾으면 진수를 알 수 있어요.
log⁡N=0.3284\log N=0.3284 이면 표에서 .3284.3284 는 2.12.1 행, 33 열에 있으므로 N=2.13N=2.13 이에요.

3상용로그표에 없는 수의 상용로그

성질N=a×10nN=a\times10^n 꼴로 고치기
양수 NN 을 N=a×10n(1≤a<10, n 은 정수)N=a\times10^n\quad(1\le a<10,\ n\text{ 은 정수}) 꼴로 나타내면 log⁡N=log⁡a+log⁡10n=n+log⁡a\log N=\log a+\log 10^n=n+\log a
log⁡a\log a 는 상용로그표에서 읽는다.
학생
왜 aa 를 11 이상 1010 미만으로 맞춰요?
쌤
상용로그표에는 1.001.00 부터 9.999.99 까지의 값만 있기 때문이에요. 그렇게 맞추면 log⁡a\log a 를 표에서 바로 읽을 수 있어요.
log⁡3.42=0.5340\log 3.42=0.5340 일 때
log⁡342=log⁡(3.42×102)=2+0.5340=2.5340\log 342=\log(3.42\times10^2)=2+0.5340=2.5340
log⁡0.0342=log⁡(3.42×10−2)=−2+0.5340=−1.4660\log 0.0342=\log(3.42\times10^{-2})=-2+0.5340=-1.4660
정의정수 부분과 소수 부분
log⁡N\log N 을 log⁡N=n+α(n 은 정수, 0≤α<1)\log N=n+\alpha\quad(n\text{ 은 정수},\ 0\le\alpha<1) 로 나타낼 때, nn 을 log⁡N\log N 의 정수 부분, α\alpha 를 log⁡N\log N 의 소수 부분이라 한다.
log⁡342=2+0.5340\log 342=2+0.5340 의 정수 부분은 22, 소수 부분은 0.53400.5340 이다.
log⁡0.0342=−2+0.5340\log 0.0342=-2+0.5340 의 정수 부분은 −2-2, 소수 부분은 0.53400.5340 이다.

숫자의 배열이 같고 소수점의 위치만 다른 수는 상용로그의 소수 부분이 같아요.
log⁡342\log 342, log⁡3.42\log 3.42, log⁡0.0342\log 0.0342 의 소수 부분은 모두 0.53400.5340 이에요.
소수점의 위치는 정수 부분이 알려 줘요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
log⁡2=0.3010\log 2=0.3010 일 때 log⁡0.02\log 0.02 의 소수 부분은?
음수의 정수 부분
✗ 틀린 풀이
log⁡0.0342=−1.4660\log 0.0342=-1.4660
정수 부분 −1-1, 소수 부분 −0.4660-0.4660
왜 틀렸나 상용로그의 소수 부분은 00 이상 11 미만이어야 하므로 정수 부분은 그 수보다 크지 않은 최대의 정수이다.
✓ 바른 풀이
log⁡0.0342=−1.4660=−2+0.5340\log 0.0342=-1.4660=-2+0.5340
정수 부분 −2-2, 소수 부분 0.53400.5340
소수 부분은 0≤α<10\le\alpha<1 이어야 하므로 음수가 될 수 없어요.
음수는 11 을 빌려 「(정수)++(0 이상 1 미만의 수)」 꼴로 바꿔요.
정수 부분은 −1.4660-1.4660 보다 크지 않은 최대의 정수 −2-2 이에요.
자세히 보기펼치기예제
거꾸로
상용로그의 값에서 진수 구하기
log⁡N=2.5340=2+0.5340\log N=2.5340=2+0.5340
↳정수 부분과 소수 부분
=2+log⁡3.42=2+\log 3.42
↳표에서 읽어요
N=3.42×102=342N=3.42\times10^2=342

4자릿수와 소수점 아래 자리

성질정수 부분이 nn 자리인 수
NN 의 정수 부분이 nn 자리이면 10n−1≤N<10n10^{n-1}\le N<10^n각 변에 상용로그를 취하면 n−1≤log⁡N<nn-1\le\log N<n따라서 log⁡N\log N 의 정수 부분은 n−1n-1 이다.
거꾸로 log⁡N\log N 의 정수 부분이 kk 이면 NN 은 k+1k+1 자리의 수이다.
2302^{30} 은 몇 자리의 정수인가? (단, log⁡2=0.3010\log 2=0.3010)
log⁡230=30log⁡2=30×0.3010=9.03\log 2^{30}=30\log 2=30\times0.3010=9.03
109≤230<101010^9\le2^{30}<10^{10}
↳정수 부분이 99
10 자리10\ \text{자리}
↳(정수 부분)+1+1
성질소수점 아래 nn 째 자리에서 처음으로 00 이 아닌 숫자가 나타나는 수
0<N<10<N<1 인 NN 이 소수점 아래 nn 째 자리에서 처음으로 00 이 아닌 숫자가 나타나면 10−n≤N<10−n+110^{-n}\le N<10^{-n+1}각 변에 상용로그를 취하면 −n≤log⁡N<−n+1-n\le\log N<-n+1따라서 log⁡N\log N 의 정수 부분은 −n-n 이다.
예: 0.003‾40.00\underline{3}4 는 소수점 아래 셋째 자리에서 처음 00 이 아닌 숫자가 나오고, log⁡0.0034\log 0.0034 의 정수 부분은 −3-3 이다.
(12)20\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20} 은 소수점 아래 몇째 자리에서 처음으로 00 이 아닌 숫자가 나타나는가? (단, log⁡2=0.3010\log 2=0.3010)
log⁡(12)20=−20log⁡2=−6.02\log\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}=-20\log 2=-6.02
−6.02=−7+0.98-6.02=-7+0.98
↳소수 부분은 00 이상
정수 부분=−7\text{정수 부분}=-7
↳소수점 아래 77 째 자리
공식정리 (log⁡N\log N 의 정수 부분)
N≥1N\ge1
n 자리의 정수  ⟺  정수 부분 n−1\displaystyle n\ \text{자리의 정수}\iff\text{정수 부분 }n-1
자릿수는 (정수 부분)+1+1
0<N<10<N<1
소수점 아래 n 째 자리  ⟺  정수 부분 −n\displaystyle \text{소수점 아래 }n\text{ 째 자리}\iff\text{정수 부분 }-n
처음 00 이 아닌 자리는 (정수 부분)의 부호를 바꾼 것
학생
log⁡N=2.5\log N=2.5 이면 정수 부분이 22 니까 두 자리 수 아니에요?
쌤
아니에요. 정수 부분이 22 이면 100≤N<1000100\le N<1000 이라서 세 자리 수예요. 자릿수는 정수 부분보다 11 커요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
log⁡3=0.4771\log 3=0.4771 일 때 3203^{20} 은 몇 자리의 정수인가?
정수 부분을 잘못 읽는 실수
✗ 틀린 풀이
log⁡(12)20=−6.02\log\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}=-6.02
정수 부분 −6-6 → 소수점 아래 66 째 자리
왜 틀렸나 정수 부분은 그 수보다 크지 않은 최대의 정수이므로 −6.02-6.02 의 정수 부분은 −7-7 이다.
✓ 바른 풀이
−6.02=−7+0.98-6.02=-7+0.98
정수 부분 −7-7 → 소수점 아래 77 째 자리
−6.02-6.02 는 −6-6 보다 작으므로 정수 부분은 −7-7 이에요.
검산: (12)20=0.00000095⋯\left(\dfrac{1}{2}\right)^{20}=0.00000095\cdots 이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

예: 100≤N<1000100\le N<1000 인 세 자리 수는 2≤log⁡N<32\le\log N<3 이므로 정수 부분이 22 이에요.

5상용로그의 활용

거듭제곱이 커지는 양은 상용로그를 취하면 곱셈이 되어 계산하기 쉬워요.
상용로그는 진수가 클수록 값이 크므로, 부등식의 양변에 상용로그를 취해도 부등호의 방향은 그대로예요.

매년 10%10\% 씩 늘어나는 양이 처음으로 처음의 22 배 이상이 되는 해 (단, log⁡1.1=0.0414\log 1.1=0.0414, log⁡2=0.3010\log 2=0.3010)
A×1.1n≥2AA\times1.1^n\ge2A
↳nn 년 후의 양은 A×1.1nA\times1.1^n
1.1n≥21.1^n\ge2
↳양변을 AA 로 나눠요
nlog⁡1.1≥log⁡2n\log 1.1\ge\log 2
↳양변에 상용로그
n≥0.30100.0414=7.27⋯n\ge\dfrac{0.3010}{0.0414}=7.27\cdots
↳log⁡1.1>0\log 1.1>0 으로 나눠요
n=8n=8
↳가장 작은 자연수: 88 년 후
학생
nlog⁡1.1≥log⁡2n\log 1.1\ge\log 2 에서 nn 이 소수로 나오면 어떻게 해요?
쌤
n≥0.30100.0414=7.27⋯n\ge\dfrac{0.3010}{0.0414}=7.27\cdots 이니까, 이것을 만족하는 가장 작은 자연수 n=8n=8 을 답해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
log⁡2=0.3010\log 2=0.3010 일 때 2n≥10002^n\ge1000 을 만족하는 가장 작은 자연수 nn 은?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1log⁡N=log⁡10N\log N=\log_{10}N 을 상용로그라 한다.
    log⁡10n=n\log 10^n=n
  2. 2N=a×10n (1≤a<10, nN=a\times10^n\ (1\le a<10,\ n 은 정수)) 이면
    log⁡N=n+log⁡a\log N=n+\log a
  3. 3log⁡N\log N 의 정수 부분이 nn 이면 NN 은 n+1n+1 자리의 정수이다 (N≥1)(N\ge1).
  4. 4log⁡N\log N 의 정수 부분이 −n-n 이면 NN 은 소수점 아래 nn 째 자리에서 처음으로 00 이 아닌 숫자가 나타난다 (0<N<1)(0<N<1).
✗ 자주 하는 실수
  • log⁡0.0342=−1.4660\log 0.0342=-1.4660 의 정수 부분을 −1-1, 소수 부분을 −0.4660-0.4660 으로 써요. 소수 부분은 00 이상 11 미만이어야 해요.
  • log⁡N\log N 의 정수 부분이 99 일 때 NN 을 99 자리 수로 써요. 자릿수는 정수 부분보다 11 커요.
  • N=a×10nN=a\times10^n 으로 고칠 때 1≤a<101\le a<10 을 지키지 않거나, 소수점을 옮긴 횟수(지수 nn)를 잘못 세요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    log⁡4.56=0.6590\log 4.56=0.6590 일 때, log⁡4560\log 4560 과 log⁡0.0456\log 0.0456 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    3203^{20} 은 몇 자리의 정수인지 구하시오. (단, log⁡3=0.4771\log 3=0.4771)
  3. 예제 3
    0.3100.3^{10} 은 소수점 아래 몇째 자리에서 처음으로 00 이 아닌 숫자가 나타나는지 구하시오. (단, log⁡3=0.4771\log 3=0.4771)

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