수학 개념 노트전체 과목

산포도

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
자료가 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값을 산포도라 해요. (편차)==(변량)−-(평균)이고 편차의 합은 항상 00 이에요. 분산은 편차의 제곱의 평균, 표준편차는 분산의 음이 아닌 제곱근이며, 표준편차가 작을수록 자료가 평균 가까이에 모여 있어요.
  1. 1산포도의 뜻
  2. 2편차
  3. 3분산과 표준편차
  4. 4흩어진 정도 비교하기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1산포도의 뜻

두 모둠 학생들이 한 달 동안 읽은 책의 수가 다음과 같아요.
A 모둠4, 5, 64,\ 5,\ 6B 모둠1, 5, 91,\ 5,\ 9

두 모둠의 책의 수
A: 4, 5, 64,\ 5,\ 6
B: 1, 5, 91,\ 5,\ 9
012345678910
평균 55
A 모둠은 55 가까이 모여 있고, B 모둠은 넓게 흩어져 있어요.
학생
평균이 둘 다 55 권이면 두 모둠은 비슷한 자료 아니에요?
쌤
아니에요. 평균은 같아도 B 모둠이 훨씬 넓게 흩어져 있어요. 그래서 평균만 보지 않고 흩어진 정도도 함께 봐요.
정의산포도
변량들이 대푯값을 중심으로 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값을 산포도 라 한다.
산포도가 크면 변량이 넓게 흩어져 있고, 작으면 대푯값 가까이에 모여 있다.
여기서는 평균을 중심으로 한 산포도인 분산과 표준편차를 다룬다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
평균이 44 로 같은 두 자료 중 산포도가 더 큰 것은?

2편차

정의편차
각 변량에서 평균을 뺀 값을 그 변량의 편차 라 한다.(편차)=(변량)−(평균)(\text{편차})=(\text{변량})-(\text{평균})
학생
편차가 음수이면 어떤 뜻이에요?
쌤
그 변량이 평균보다 작다는 뜻이에요. 편차의 부호는 평균의 어느 쪽에 있는지, 절댓값은 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 알려 줘요.
변량 7, 9, 6, 10, 87,\ 9,\ 6,\ 10,\ 8 의 편차
7+9+6+10+85=405=8\frac{7+9+6+10+8}{5}=\frac{40}{5}=8
↳평균
−1, 1, −2, 2, 0-1,\ 1,\ -2,\ 2,\ 0
↳각 변량에서 88 을 빼요
성질편차의 성질
① 편차의 합은 항상 00 이다.
(−1)+1+(−2)+2+0=0(-1)+1+(-2)+2+0=0
평균보다 큰 변량의 편차(양수)와 작은 변량의 편차(음수)가 서로 지워지기 때문이다.
② 변량이 평균보다 크면 편차는 양수, 작으면 음수, 평균과 같으면 00 이다.
③ 편차의 절댓값이 클수록 그 변량은 평균에서 멀리 떨어져 있다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
네 변량의 편차가 3, −1, x, −43,\ -1,\ x,\ -4 일 때 xx 의 값은?
자세히 보기펼치기예제 2
편차로 변량 구하기
평균 7070 점, 편차 −3-3 점
(변량)=(평균)+(편차)(\text{변량})=(\text{평균})+(\text{편차})
70+(−3)=67 (점)70+(-3)=67\ (\text{점})
모르는 편차 구하기
2, −3, x, 1, −12,\ -3,\ x,\ 1,\ -1
2+(−3)+x+1+(−1)=02+(-3)+x+1+(-1)=0
↳편차의 합은 00
x=1x=1

3분산과 표준편차

편차의 합은 항상 00 이므로 편차의 평균도 항상 00 이에요. 그래서 편차를 그대로 평균 내서는 흩어진 정도를 나타낼 수 없어요.
편차를 제곱 하면 모두 00 이상이 되므로, 제곱한 값의 평균을 흩어진 정도로 써요.

정의분산과 표준편차
편차의 제곱의 평균을 분산이라 한다.(분산)=(편차)2의 총합(변량의 개수)(\text{분산})=\frac{(\text{편차})^2\text{의 총합}}{(\text{변량의 개수})}분산의 음이 아닌 제곱근을 표준편차 라 한다.(표준편차)=(분산)(\text{표준편차})=\sqrt{(\text{분산})}표준편차는 변량과 같은 단위를 쓴다(예: 키가 cm\text{cm} 이면 표준편차도 cm\text{cm}). 분산에는 보통 단위를 붙이지 않는다.
학생
분산이 있는데 표준편차는 왜 또 구해요?
쌤
분산은 편차를 제곱해서 단위까지 제곱이 돼요. 제곱근을 씌운 표준편차는 변량과 같은 단위라서 흩어진 정도를 원래 자료의 크기로 읽을 수 있어요.
변량 7, 9, 6, 10, 87,\ 9,\ 6,\ 10,\ 8 (평균 88)
변량779966101088
편차−1-111−2-22200
(편차)2(\text{편차})^21111444400
편차의 합은 00, 편차의 제곱의 합은 1010 이에요.
표로 계산하기
1+1+4+4+0=101+1+4+4+0=10
↳편차의 제곱의 총합
105=2\frac{10}{5}=2
↳분산
2\sqrt{2}
↳표준편차
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
변량 1, 3, 5, 71,\ 3,\ 5,\ 7 의 분산은?
편차를 제곱하지 않은 실수
✗ 틀린 풀이
(−1)+1+(−2)+2+05=0\frac{(-1)+1+(-2)+2+0}{5}=0
따라서 분산은 00
왜 틀렸나 분산은 편차를 제곱한 값의 평균이므로 각 편차를 먼저 제곱한 뒤 평균을 낸다.
✓ 바른 풀이
1+1+4+4+05=2\frac{1+1+4+4+0}{5}=2
따라서 분산은 22
편차의 합은 어떤 자료든 00 이므로, 흩어진 정도를 보려면 편차를 제곱한다.
분산과 표준편차를 혼동한 실수
✗ 틀린 풀이
분산이 22 이므로 표준편차는 22
왜 틀렸나 표준편차는 분산의 음이 아닌 제곱근이므로 분산이 22 이면 표준편차는 2\sqrt{2} 이다.
✓ 바른 풀이
분산이 22 이므로 표준편차는 2\sqrt{2}
문제가 분산과 표준편차 중 무엇을 묻는지 끝까지 확인한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드
분산과 표준편차를 구하는 순서
  1. 1
    평균을 구해요.
  2. 2
    각 변량의 편차를 구해요.
    편차의 합이 00 인지 확인하면 검산이 돼요.
  3. 3
    편차를 각각 제곱하여 모두 더해요.
  4. 4
    그 합을 변량의 개수로 나누어 분산을 구해요.
  5. 5
    분산의 음이 아닌 제곱근을 구하여 표준편차를 얻어요.
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
(편차)=(변량)−□(\text{편차})=(\text{변량})-\square
단계 1 / 2
(분산)=(편차)□의 총합(변량의 개수)(\text{분산})=\frac{(\text{편차})^{\square}\text{의 총합}}{(\text{변량의 개수})}
단계 1 / 2
(표준편차)=□(\text{표준편차})=\sqrt{\square}

4흩어진 정도 비교하기

분산이나 표준편차가 작을수록 변량들이 평균 가까이에 모여 있어요. 즉, 자료가 고르게 분포해 있어요.
분산이나 표준편차가 클수록 변량들이 평균에서 멀리 흩어져 있어요.
극단적인 값이 있는 자료는 사분위범위로도 흩어진 정도를 나타내요. 확률변수의 분산도 같은 생각으로 구해요.

두 반의 수행평가 점수 (평균 55 점)
1반: 3∼73\sim7
2반: 1∼91\sim9
012345678910
평균 55
1반은 3, 4, 5, 6, 73,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7, 2반은 1, 3, 5, 7, 91,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9 예요.
학생
표준편차가 큰 반이 점수도 더 높은 거예요?
쌤
아니에요. 표준편차는 점수가 평균에서 얼마나 흩어져 있는지만 알려 줘요. 점수의 높낮이는 평균으로 비교해요.
두 반의 분산 비교
4+1+0+1+45=2\frac{4+1+0+1+4}{5}=2
↳1반 편차 −2, −1, 0, 1, 2-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 를 제곱
16+4+0+4+165=8\frac{16+4+0+4+16}{5}=8
↳2반 편차 −4, −2, 0, 2, 4-4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4 를 제곱
따라서 1반의 점수가 평균 가까이에 더 고르게 모여 있어요.
⚠ 주의비교할 때 주의
평균이 같아도 산포도는 다를 수 있어요.
표준편차가 00 이면 모든 변량이 평균과 같아요.
표준편차가 크다고 점수가 높은 것이 아니에요. 산포도는 「높낮이」가 아니라 「흩어진 정도」를 나타내요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
평균이 같은 두 반의 표준편차가 A 반 33 점, B 반 55 점일 때 옳은 것은?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1자료가 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값을 산포도라 한다. 분산과 표준편차는 대표적인 산포도이다.
  2. 2(편차)==(변량)−-(평균)이고, 편차의 합은 항상 00 이다.
  3. 3(분산)=(편차)2의 총합(변량의 개수)=\frac{(\text{편차})^2\text{의 총합}}{(\text{변량의 개수})}, (표준편차)=(분산)=\sqrt{(\text{분산})}
  4. 4분산(표준편차)이 작을수록 변량이 평균 가까이에 모여 있고, 클수록 넓게 흩어져 있다.
✗ 자주 하는 실수
  • 편차를 제곱하지 않고 평균을 내어 분산을 00 이라고 해요.
  • 분산을 구한 뒤 제곱근을 취하지 않고 그대로 표준편차라고 답해요.
  • 편차를 (평균)−-(변량)으로 계산하여 부호를 반대로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    학생 55 명의 키의 편차가 차례로 2, −3, x, 1, −12,\ -3,\ x,\ 1,\ -1 (단위: cm\text{cm})일 때, xx 의 값과 분산을 구하시오.
  2. 예제 2
    다음 자료의 분산과 표준편차를 구하시오.12, 15, 9, 14, 1012,\ 15,\ 9,\ 14,\ 10
  3. 예제 3
    네 변량 4, 8, a, b4,\ 8,\ a,\ b 의 평균이 66 이고 분산이 55 일 때, a2+b2a^2+b^2 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 상자그림 →다음 개념: 산점도와 상관관계 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 대푯값, 중1 정수와 유리수, 확률과 통계 이산확률변수의 기댓값과 분산 (나중에)중학교 3학년 목차
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